CC BY
28
УДК 517.911.5
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
Н.П. Пучков1, А.И. Булгаков3, А.А. Григоренко3,
А.И. Коробко3, Е.В. Корчагина2, А.Н. Мачина4,
О.В. Филиппова3, И.В. Шлыкова4
Кафедры: «Высшая математика» (1),
«Прикладная математика и механика» (2), ГОУ ВПО «ТГТУ» ;
«Ачгебра и геометрия», ГОУ ВПО «ТГУ им, Г.Р. Державина» (3); «Математические науки и технологии»,
Норвежский университет естественных наук (4);
Ключевые слова и фразы: априорная ограниченность; вольтерров по А.Н. Тихонову оператор; выпуклость по переключению (разложимость); импульсные воздействия; функционально-дифференциальные включения.
Аннотация: Изучаются функционально-дифференциальные включения с во-льтерровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением как не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, так и обладающим этим свойством (в последнем случае эти включения изучаются с импульсными воздействиями). Для таких включений рассмотрены вопросы продолжаемости решений. Установлена связь между априорной ограниченностью множества всех локальных решений системы и почти реализацией множеством решений расстояния в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений. Даны оценки расстояний от наперед заданной функции, имеющей специальный вид, до решения рассматриваемой системы. Сформулированы условия, при которых выполняются принцип плотности и «бэнг-бэнг» принцип.
Введение
В последние годы интенсивно изучаются возмущенные включения, порождаемые алгебраической суммой значений многозначных отображений, одно из которых имеет выпуклые по переключению значения [1,2] (определение см. ниже). К таким включениям сводятся многие классы дифференциальных включений (обыкновенные дифференциальные, функционально-дифференциальные и т.д.). В указанных работах исследованы вопросы разрешимости, получены оценки решений, аналогичные оценкам А. Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений, введено и исследовано понятие квазирешения, доказаны принцип плотности и «бэнг-бэнг» принцип. В [3-6] рассмотрены возмущенные включения с внешними и внутренними возмущениями. Доказано, что «небольшими» внутренними и внешними возмущениями нельзя пренебрегать, поскольку они могут существенно изменить множество решений возмущенного включения. В цитируемых работах доказательства полученных результатов существенно
опирались на предположение, что многозначное отображение, образующее алгебраическую сумму значений, имеет выпуклые по переключению образы. Поэтому эти исследования еще раз подтверждают высказанное профессором В. М. Тихомировым предложение о том, что выпуклость по переключению (разложимость) является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений и т.д. Если отказаться от требования выпуклости по переключению значений многозначного отображения, то все существующие в настоящее время методы исследований многозначных отображений нельзя будет применить даже для изучения вопроса разрешимости возмущенного включения. Кроме того, в этом случае нарушится равенство между множествами квазирешений возмущенного включения и «овыпукленного» возмущенного включения, впервые установленное Т. Важевским для обыкновенных дифференциальных включений [7]. Дело в том, что в рассматриваемом случае замыкание (в слабой топологии пространства суммируемых функций) значений многозначного отображения не совпадает с его замкнутой выпуклой оболочкой. Вследствие чего не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и «бэнг-бэнг» принцип [8-12]. Данную ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения, не обладающего свойством выпуклости по переключению образов.
Здесь рассматривается задача Коши для функционально-дифференциального включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений (разложимости) в пространстве суммируемых функций. К такому включению могут привести математические модели многокомпонентных систем автоматического управления [13], у которых в связи с отказом тех или иных приборов и устройств объекты регулируются разными законами управления (разными правыми частями) с разными множествами допустимых значений управления, то есть закон управления объектом состоит из набора подсистем управления. Эти подсистемы могут быть как линейными, так и не линейными. Такие случаи возникают, например, в вопросах управления гибридными системами [14-18].
В связи с вышесказанным в п. 2 для рассматриваемой задачи Коши вводится понятие обобщенного решения и изучаются его свойства. Доказано, что для функционально-дифференциального включения с вольтерровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением имеет место теорема о существовании локального обобщенного решения и его продолжаемости. Это соответствует одному из сформулированных в монографии А. Ф. Филиппова [19] требований к обобщенным решениям для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Кроме того, в работе доказано, что в регулярном случае, когда многозначное отображение имеет выпуклые по переключению значения, обобщенное решение совпадает с обычным решением. В то же время, предложенное здесь обобщенное решение не удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к обобщенным (в смысле монографии [19]) решениям дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Так, например, предел обобщенных (в терминологии данной работы) решений может не быть обобщенным решением. Это связано с тем, что многозначное отображение, с помощью которого определяется обобщенное решение (определение см. ниже), не обладает свойством замкнутости в слабой топологии пространства суммируемых функций, поскольку оно может быть невыпуклозначно. В п. 3
рассматриваются обобщенно приближенные решения функционально-дифференциальных включений. В п. 4 формулируются свойства решений функциональнодифференциальных включений с многозначным отображением, имеющим выпуклые по переключению значения, и с импульсными воздействиями.
Обозначения и некоторые определения
Пусть X - нормированное пространство с нормой || • ||х • Обозначим через В\[х,в] открытый шар пространства X с центром в точке * € X и радиусом е > 0, если е = 0, то В\[х ,0] = * . Пусть и СХ. Тогда и - замыкание множества и ; сои - выпуклая оболочка множества и ; со и = со и ; ехШ - множество крайних точек множества и; ехШ = ехШ; ||{/||х =
= 8ир||и||х; и£ = ^и€иВ[и,г], если е > 0, и и0 = и; рх[х;11] - рас-
иеи
стояние от точки * € X до множества и в пространстве X; /г+[^;1/] =
=С
хеи1
и в пространстве X; кх[и\',и] = тах{к +[^ь1/];Л+[^;1/1]} - расстояние по Ха-усдорфу между множествами II] и и в пространстве X; сотр[Х] (сотр[Х*]) -множество всех непустых компактов пространства X (множество всех непустых ограниченных замкнутых в пространстве X предкомпактных в слабой топологии пространства X подмножеств); 2х - множество всех непустых ограниченных подмножества пространства X.
Пусть Р - некоторая система подмножеств пространства X (множество, принадлежащее X). Обозначим через ЩТ) множество всех непустых выпуклых подмножеств пространства X, принадлежащих системе Р (множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств, принадлежащих Р).
Пусть М" - п -мерное пространство вектор-столбцов, с нормой | • |. Обозначим через Сп[а,Ь] (Т)п[а,Ь}) пространство непрерывных (абсолютно непрерывных) функций * : [а,Ь] ^ М с нормой ||*||с'' = тах{|*(?)| : г € [а,Ь]} ь
( |МЬ''[а.6] = |*(а)1 + / |*(5')|^) .Пусть и С [а, Ь] - измеримое множество, (Х(Ц) > 0
а
и
х : и ^ М с р -й спепенью и нормой Н^Нь*'^) = ( /
Р \и
С
(разложимо), если для любых х,у € Ф и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполняется включение \(Ы)х + х([а,Ь]\Ц)у € Ф, где х(0 - характеристическая функция соответствующего множества.
Обозначим через П(Ь"[а,6]) ( £>(Ь"[а,6])) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями) подмножеств пространства 1^'{[а,Ь].
Пусть Р : [а,Ь] ^ сотр[Мя] - измеримое отображение. Обозначим ={ € € € }
Обозначим через С1+[а,Ь](1}+[а,Ь}) конус неотрицательных функций пространства С 1[а,Ь](Ъ\[а,Ь}).
Измеримость однозначных функций везде понимается здесь по Лебегу, измеримость многозначных функций понимается в смысле [20].
Если X = М , то в этом случае для сокращения записи индекс Мя в обозначениях расстояний опускаем.
Ниже приведем основные характеристические свойства выпуклых по переключению множеств, которые будут использоваться в дальнейшем.
€.
и € Ь 1+[а,Ь], что для любой функции ср € Ф и для почти всех г € [а,Ь\ выполняется оценка |ф(г)| ^ и(г).
Лемма 2. Пусть Ф € ЩЦ\[а,Щ), Ф; € Ф, г = 1,2,... - последовательность, плотная в Ф. Далее, пусть измеримое отображение Р : [а, Ь] ^ ^ сотр[Ми] определено равенством
Дг) = {Ф,-(0, 1=1,2,...}.
Тогда справедливо равенство Б{Р{;)) = Ф.
Лемма 3. Пусть измеримые отображения ^ : [а,Щ ^ сотр[Ми], г = 1,2,..., ограничены суммируемыми функциями. Тогда Б{Р\{;)) С 5(7ъ(0)
С€
Следствие 1. Пусть Ф € П(1/[а,6]), ^ : [а,Ь] ^ сотр[Мя],
= ...
ния Ф = 5(^1 (0) = 5(Л (0). Тогда при почти всех г € [а, Ь] выполняется равенство =.
€
ражение Р: [а,6] ^сотр[Мя], удовлетворяющее условию 5(Р(:)) = Ф, однозначно
.
1. Выпуклая по переключению оболочка множества в пространстве суммируемых функций
Введено понятие выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций. Исследованы свойства этой оболочки. Рассмотрено многозначное отображение, значения которого принадлежат пространству суммируемых функций и, вообще говоря, не обладают свойством выпуклости по переключению. По этому отображению построено «овыпукленное по переключению» отображение. Изучены топологические свойства такого отображения.
Определение 1. Пусть Ф - непустое подмножество пространства .
ций
У = %(и\)х\ + Х(Щ)*2 + ... +%{ит)хт (1.1)
элементов х1 € Ф, г = 1,2,...,т, где непересекающиеся измеримые подмно-
т
жества Щ, г = 1,2,..., т, отрезка [а, Ь] удовлетворяют условию и Щ =
1=1
= [а,Ь]. Пусть, далее, - замыкание множества зп>Ф в пространстве Ща,^].
С
выпукло по переключению.
Действительно, пусть У\,У2 € .ЯУФ и и С [а, Ь] - измеримое множество. Не уменьшая общности, будем считать, что
>>; = х(щух + х(Щ>4 +... + Х(Щ,К> (1.2)
где *'• € Ф, у = 1,2,...,т, г = 1,2, измеримые непересекающиеся множества
т
Щ С [а,6], у =1,2 ,...,т, г = 1,2, удовлетворяют условию [а,Ь]= и Щ, г =1,2
=
(если число слагаемых, представляющих функции у\ и у2, различно, то недостающие слагаемые можно добавить произвольными функциями из множества Ф, умноженными на характеристические функции пустых множеств). Далее, из равенства
т т
Х(Щ)У1 + Х([а,Ь]\Щу2 = £Х(ЩПЩ)х} + £ х№,Ь]\Щ>ПЩ?)х?
==
вытекает, что х(Щ)у\ + х([а,Ь]\Щу2 € лк'Ф. Следовательно, множество •ум'Ф выпукло по переключению.
С
множество чи'Ф. вообще говоря, может быть и неограниченным. Для этого докажем равенство
зы(ВЧ[аф,Ц) = Ц[а,Ь] (р€[\,ж)). (1.3)
Замечание 3. Из равенства (1.3) вытекает, что если множество
С
мгФ может и не обладать этим свойством.
Замечание 4. Отметим, что если множество выпукло в пространстве I/[\а,Ь], то оно, вообще говоря, может и не быть выпуклым по переключению. Шар 5ц>[О.б][0,1] обладает таким свойством.
С
цией, если существует такая функция фф € Ь + [а,6], что для люб ого х € Ф при почти всех г € [а,Ь\ выполняется неравенство |*(г)| < фф(г).
С
функцией, то согласно лемме 2 для ^Ф € П(Ь"[а,6]) найдется измеримое ограниченное суммируемой функцией отображение ^ф : [а,Ь] ^ сотр(7?п], для которого справедливо равенство
^Ф = 5(^Ьф( 0). (1.4)
С
=.
С
пуклое по переключению (разложимое) множество, содержащее множество Ф.
С
.
По аналогии с определением выпуклой оболочки в нормированном пространстве множество 51уФ будем называть выпуклой по переключению оболочкой множества Ф в пространстве суммируемых функций или просто выпуклой по переключению оболочкой множества Ф . Аналогично 51уФ будем называть замкнутой выпуклой по переключению оболочкой множества Ф.
€
выпуклой по переключению оболочки множества Ф (множества чи Ф) эквивалентно нахождению измеримого ограниченного суммируемой функцией отображения РшФ ■ [а,Щ ^ сотр[Ми], удовлетворяющего равенству (1.4) (см. замечание 5). Отметим, что во многих случаях построение такого отображения проще, чем нахождение множества чи'Ф . В то же время, при установлении метрических соотношений
С
чению оболочками удобнее пользоваться вышеприведенным определением.
Лемма 7. Пусть V € Ц[(Щ), и С [а, Ь], множество ФсЬ"[а,6] и выпукло по переключению. Тогда для любых измеримых непересекающихся множеств ^^2 С и, удовлетворяющих условию Щ ии2 = и, справедливо равенство
Рц'(И)[у;Ф] — Рц'си^Ф] + Рь?(ад^;Ф].
(1.5)
Лемма 8. Пусть множества ФьФг € и существует такая
функция ю € 1}+[а,Ь}, что для любого измеримого множества
иС
Замечание 7. Отметим, что функция ю € Ь\[а,Ь] в неравенстве (1.6) дает равномерную оценку полуотклонения множеств Ф|. Фд € £>(Ь"[а,6]) относи-
и С .
.
части неравенства будут стоять замыкания в пространстве Ь^[а,6] выпуклых по переключению оболочек соответствующих множеств.
Далее, будем говорить, что многозначное отображение Ф :СИ [а, Ь] — £>(Ь" [а, Щ)
С
ограничен суммируемой функцией.
По заданному многозначному отображению Ф: Сп[а,Ь] — £>(14 [а, 6]) определим оператор Ф :Сп[а, Ь] — П(Ьу[а,6]) равенством
Отображение ф : Сп[а,Ь] — Щ1!\[а,Ь}) будем называть овыпукленным по переключению отображением.
Отметим, что из непрерывности отображения Ф : Сп[а,Ь] — £>(Ь"[а,6]), вообще говоря, не вытекает непрерывность оператора ф: Сп[а, 6] —П(Ъ"[а,6]), опреде-..
Пример. Определим суммируемую функцию ф : [0,2] х [0,1] х [0,2] — К1 равенствами (рис. 1)
А+(и)[фьф 2К ш(5)ds.
.
и
иС
h+^[^Ф] ;,sw®2] ^ ©(s)ds.
и
.
ф(*) — ^^Ф(г).
.
если г € [х,х + г] П [0,2], г = 0, ф(х, г)(г) = если г € [*>х + г\ П [0,2], г = 0,
если
Пусть многозначное отображение Ф: [0,1] —^ £>(Ь} [0,2]) имеет вид
—
Ф(г) —\ хе[0,2]
—.
Отметим, что для любых г\,г2 € [0,1] имеет место соотношение
\1[0,2][Ф(П);Ф(Г2)] — И — 7l\.
^ь![0,2][Ф(®)>Ф(г)] — 2.
Используя лемму 8, можно получить следующие условия непрерывности овы-пукленного по переключению отображения ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ща,6]), определен..
Определение 2. Пусть U С Сп [а, Ь]. Будем говорить, что отображение Р : U х U ^ L\[а,Ь] принимает нулевое значение на диагонали U х U, если для любого * G U имеет место равенство Р(х,х) — 0; симметрично на множестве U, если для любых х,у G U выполняется соотношение Р(х,у) — Р(у,х); непрерывно
х
любой последовательности V,- G U) в пространстве Сп[а,Ь] при i ^ то
—
х
х.
х.
С.
Р: U xU ^ L\[а,Ь] обладает свойствами A, B, C на множестве U, если оно при-
х
A
B
C.
Теорема 1. Пусть U С Сп[а,Ь] и для отображения Ф : Сп[а,Ь] ^ ^ Q(Ll[a,b]) найдется такое отображение Р :U xU ^ L l+[a,b], что для любых х,у G U и любого измеримого множества U С [а, Ь] выполняется оценка
h+,mmx)My)\ < l№,v)||Li(U). (1.9)
Тогда для овыпукленного по переключению отображения ф: С" [а, Ь] ^ П(14[а,6]), определенного равенством (1.8), для любых х,у G U и любого измеримого множества U С [а, Ь] выполняется оценка (1.9), в которой Ф(-) = ф(•).
Следствие 3. Если в условиях теоремы 1 отображение Р : U х U ^ \[a,b] обладает свойством A (B, C) на множестве U С Сп[а,Ь], то овы-
пукленное по переключению отображение ф : Сп[а,b] ^ U{U\[a,bJ), определенное .
С.
Отображение Р : U х U ^ L\[а,Ь] для любого измеримого множества U С [а,Ь], удовлетворяющее неравенству (1.9), будем называть мажорантным для отображения Ф : Cn[a,b] ^ Q(JJ[[a,b}) на множестве U или просто мажорантным.
Пусть отображение Ft: [a,b] х R ^ comp[Rn], i — 1,2, для каждой непрерывной функции * G С" [а, Ь] суперпозиционно измеримо и ограничено суммируемой функцией для каждого ограниченного множества К С R. Рассмотрим отображение М : Cn[a,b] ^ Q(lj'\[a,bJ), заданное равенством
M{x) — M(jc)uN2(*), (1.Ю)
где отображение N : Сп[а,Ь] ^ Щ1/х[а,Ь}), i — 1,2 - операторы Немыцкого, порожденные функциями Fi : [a,b] х R ^ comp[Rn], i — 1,2. Для оператора M : Cn[a,b] ^ Q(JJ[[a,b}), имеющего вид (1.10), мажорантное отображение Р: Сп[а,Ь] хСп[а,Ь] ^ L\[а,Ь] можно задать равенством
P(*,v)( t) — тах{Л + [F,(?,40);^i(M0)];A+[^,40);^M0)]}. (1.11)
Как следует из теоремы 1, оператор P(v), имеющий вид (1.Побудет мажорантным и для овыпукленного по переключению отображения M : Сп[а,Ь] ^ ^ n(L"[a,fe]), определенного соотношением (1-8), в котором
Ф(0 = М(0.
Кроме того, из следствия 3 вытекает, что, если отображения Fi : [a,b] х R ^ comp[Rn], i — 1,2, полунепрерывны снизу (полунепрерывны сверху, непрерывны) по Хаусдорфу по второму аргументу, то овыпукленное по переключению отображение М : Сп[а,Ь] ^ П(h'\[a,b}), имеющее вид (1.8), полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) по Хаусдорфу.
Определение 4. Будем говорить, что многозначное отображение Ф : Cn[a,b] ^ Q(JJ\[a,b}) обладает свойством A ( B, C ), если для него существует мажорантное отображение Р : Сп[а,Ь] хСп[а,Ь] ^ L +[а,Ь], удовлетворяющее ABC
2. Основные свойства обобщенных решений функционально-дифференциального включения
С помощью понятия выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций, сформулировано обобщенное решение функционально-дифференциального включения, правая часть которого не обладает свойством выпуклости по переключению значений. Fla основе доказанных в п. 1 топологических свойств овыпукленного по переключению отображения изучены свойства обобщенного решения задачи Коши. Р1екоторые результаты по обобщенным решениям приведены в [21, 22].
Рассмотрим задачу Коши для функционально-дифференциального включения х G Ф(х), х{а)—х$ (хо G R”), (2.1)
где отображение Ф : Cn[a,b] ^ g(Ly[a,fe]) удовлетворяет условию: для каждого
С
цией. Отметим, что правая часть включения (2.1) может не обладать свойством
выпуклости по переключению значений. Также отметим, что производная в (2.1) понимается как элемент пространства суммируемых функций, а не как производная в точке [8, 23, 24]. Изучение такой задачи наталкивается на принципиальные трудности, описанные во введении. В связи с этим введем понятие обобщенного решения задачи (2.1) и изучим его свойства. С помощью оператора Немыцкого, который обладает свойством выпуклости по переключению значений, задачу Коши для дифференциального включения в классической постановке [8, 23, 24] можно свести к эквивалентному виду (2.1).
Определение 5. Обобщенным решением задачи (2.1) будем называть абсолютно непрерывную функцию х : [а,Ь] ^ М", удовлетворяющую соотношениям
Отметим, что согласно лемме 5, если множество Ф(л ) в (2.1) выпукло по переключению, то обобщенное решение задачи (2.1) совпадает с классическим решением.
Как отмечалось во введении, включение (2.1) может состоять из набора подсистем управления. В связи с отказом того или иного устройства объект регулирования переходит с одного закона управления на другой. Так как отказы (переключения) могут происходить в любые моменты времени, и при этом должно быть гарантировано управление объектом, то модель должна учитывать все возможные траектории (состояния), соответствующие любым переключениям. Обобщенные решения включения (2.1) и составляют множество всех таких траекторий.
Определение 6. Будем говорить, что оператор Ф : Сп[а,Ь] ^ ^ 5(Ь"[а,6]) волыперров по А.Н. Тихонову (или просто вольтерров) [23], если из условия х\х =у|т, * € (а,Ь] следует равенство (Ф(г))|х = (Ф(у))|т , где сужение функции г € С" [а, 6] на отрезок [а,х], (Ф(г))\х - множество сужений всех функций из Ф(г) на отрезок [а, х].
Далее, предположим, что оператор Ф : Сп[а,Ь] ^ О^Ц[\а,Ь\) (правая часть включения (2.1)) вольтерров. Из этого условия вытекает, что овыпукленный по переключению оператор Ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), определенный равенством (1.9), также вольтерров.
Пусть х € (а, Ь]. Далее, обозначим непрерывное отображение У%: Сп [а,х]^Сп [а, Ь] равенствами
Определение 7. Будем говорить, что абсолютно непрерывная функция х:[а,х\ ^ М" является обобщенным решением задачи (2.1) на отрезке [а,х], хє(а,6], если х удовлетворяет включению х Є (^Ф(Кх(.г)))|х и равенству х(а) = х0, да непрерывное отображение Ух : Си[а,х] ^ Сп[а,Ь] определено ..
Далее, будем говорить, что абсолютно непрерывная на каждом отрезке [а, х] с С [а, с), с Є (а, Ь] функция х : [а, с) ^ Ми является обобщенным решением задачи
(2.1) на [а, с), если для каждого хє(а,с) сужение функции х на отрезок [а,х]
..
Обобщенное решение х:[а,с)^ М задачи (2.1) на [а, с) будем называть
.
на [а,х] (здесь хє(с,6], если с<Ь и х = Ь, если с = 6), таодшлюбого і Є [а,с)
х є sw®(x), х(а) =хо (xq є R”).
.
.
непродолжаемым.
Далее, в теоремах 2-6 предполагается, что отображение Ф : Сп[а,Ь] — £>(14 [а, 6]) обладает свойством А. Согласно следствию 3 овыпукленное по переключению отображение ф : С" [а, Ь] — П(Ьу[а,6]), определенное равенством (1.8), полунепрерывно снизу. Поэтому в силу [25, 26] у овыпукленного по переключению отображения ф : Сп[а, Ь] — П(Ь"[а,6]) найдется непрерывная однозначная ветвь. На основании этого справедливы следующие теоремы о локальных обобщенных решениях.
Теорема 2. Найдется такое х € {а, Ь], что обобщенное решение задачи
.
Теорема 3. Для того, чтобы обобщенное решение х : [а, с) — Ми задачи
(2.1) было продолжаемымпа некоторый отр езок [а,х] (х € (с,Ь]), необходимой достаточно, чтобы Пт \Ш)\ < то.
I——с—О
Теорема 4. Если у — обобщенное решение задачи (2.1) на [а,х], х € € (а,Ь), то существует непродолжаемое решение х задачи (2.1) либо на [а, с) (с € (х,6]), либо на [а,Щ такое, что при любом г € [а,х] выполнено равенство =.
.
[а,х] (%€(а,Ь ]).
Будем говорить, что множество всех локальных обобщенных решений задачи (2.1) априорно ограничено, если найдется такое число г > О, что для всякого х € (а, Ь] не существует обобщенного решения у € II(хо,х), для которого выполняется неравенство |Ну||с"[а.т] > Г.
Из теорем 2-4 вытекает следующая теорема.
Теорема 5. Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (2 А) априорно ограничено. Тогда для любого х € (а,Ь] множество Н(х о,х) = 0 и существует та кое г > О, что для кажд ых х € (а,Ь], у € П(хо,х) выполняется неравенство ||.уЦс''[а.т] ^ г.
Определение 8. Будем говорить, что отображение Ф : Сп[а,Ь] —
— (){Ц\[а,Щ) обладает свойством Г], если найдется изотонный непрерывный оператор Г] : С\[а,Ь] — Ь\[а,Ь], для которого справедливы условия: для любой функции х € Сп[а,Ь] и произвольного измеримого множества и С [а,Ь] выполняется неравенство
||Ф«||Ц'(и) < ||Г,(2*)||М^; (2.4)
множество всех локальных решений задачи
т> = Г1^), у{а)= \лг0\ (2.5)
априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение 2 : Сп[а,Ь] — С\[а,Ь] определено равенством
=\ \. .
Лемма 9. Пусть многозначное отображение Ф : Сп[а,Ь] — £>(Ь"[а,6])
.
ф : С" [а, Ь] — П(Ь"[а,6]), определенное равенством (1.8), обладает этим свойством.
Теорема 6. Пусть отображение Ф: С п[а,Ь] — (){Ц\[а,Щ) обладает свойством Г ]. Тогда для любо го х€(а,Ь] множество Н(х о,х) непусто и существует
Непрерывный линейный оператор Л : и\[а,Ь} ^ Сп[а,Ь] определим равен-
Оператор Л : Ь"[а,6] ^ Сп[а,Ь] будем называть оператором интегрирования.
Определение 9. Будем говорить, что множество обобщенных решений задачи (2.1) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений, если для любого \> Є Ь"[а,6] и любого є > 0 существует такое обобщенное решение х Є Б" [а, 6] задачи (2.1), что для любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется неравенство
Если неравенство (2.8) выполняется и при е = 0, то будем говорить, что множество обобщенных решений задачи (2.1) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.
Теорема 7. Пусть множество всех локально обобщенных решений задачи (2 А) априорно ограничено. И пусть отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ ^ (){и1[а,Щ) обладает свойством С. Тогда множество обобщенных решений за.
любой суммируемой функции до своих значений. Если Ф : Сп[а,Ь] ^
.
пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.
Из теорем 6, 7 вытекает следствие.
Следствие 4. Пусть отображение Ф : С п[а,Ь] ^ (){Ц\[а,Щ) обладает свойством Г] и С . Тогда множество обобщенных решений задачи (2.1) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений. Если Ф : Сп[а,Ь] ^ ПЩ{и\[а,Щ)), то множество
.
руемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.
Замечание 9. Пусть отображение ф : Сп[а,Ь] ^ 2с"[о'6] задано равенством
Оператор Ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ц[а,6]) определен отношением (1.8), а непрерывное отображение 1¥г: Сп[а,Ь] ^ Сп[а,Ь] имеет вид
Ф
ством (2.9). Так как оператор )¥г ограничен на всем пространстве Сп[а,Ь], то множество и = соф(Си[а,6]) - выпуклый компакт пространства Сп[а,Ь], причем ф(£/) С и . Поэтому множество Н(}¥г) = 0 и принадлежит множеству и . Пусть число г > 0 таково, что для каждого т € (а,Ь], у € Н(хо,т) выполняется неравенство ||.уЦс''[а.т] ^ г. Тогда для люб ого т € (а,Ь] справедливо равенство
ством
(Лг)(г)
:{s)ds, t є[а,Ь\.
.
а
.
ф(*) = Xq + Лф(^.(х)).
.
Я(ЖГ)|Х = Н(хо, т) и, следовательно, Н(хо,Ь) С и . Другими словами, если множество всех локально обобщеных решений задачи (2.1) априорно ограничено, то для любого х € (а, Ь] найдется выпуклый компакт пространства Сп[а,т], которому принадлежит множество Н(хо, т).
Определение 10. Будем говорить, что отображение Ф : Сп[а,Ь] ^
^ 2(14 [а, 6]) обладает свойством Г“Др, если найдется изотонный непрерыв-
ный вольтерров оператор Г2 : С\[а,Ь] ^ Ь\[а,Ь], удовлетворяющий условиям: Г2(0) = 0, для любых функций х,у € Сп[а,Ь] и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется неравенство
кцт[Ф(х); Ф(у)] < Ш2(х — у)).^; (2.10)
множество всех локальных решений задачи
у = и + е + Г2(у), у(а) = р (2.11)
априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение 2 : Сп[а,Ь] ^ С\[а,Ь] определено равенством (2.6), и€Ь \[а,Ь], числа е,р > 0.
Будем предполагать, что функции у € Бп[а,6] и к € Ь\[а,Ь] для каждого
иС
^s)ds. (2.12)
Теорема 8. Пусть функции у € Бп[а,6] и к € Ь \[а,Ь\ для каждого из-
и С . .
отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ (){Ц\[а,Ь]) обладает свойством где 5^0,
р= — у{а)1, - начальное условие з адачи (2 Л). Тогда для любого обобщенного решения х €^п[а,Щ задач и (2.1), удовлетворяющего для любого измеримого
множества и С [а,Ь\ неравенству (2 Я), в котором V = у, при любом г € [а,Ь\ имеет место оценка
®{х—у)Ц) ^(к,е,р)(г) (2.13)
и при почти всех г € [а, Ь] справедливо соотношение
|Д0 —Я01 < к(г) + е + (Г2(^(к,е,р)))(г), (2.14)
где функция £,(к,е,/?) € Т)1[а,Ь\ — верхнее решение задачи (2.11) при и = к и р= |*о —у(а)1, отображение ©:В"[а,6]^С \[а,Ь\ задано равенством
(0г)(О = Ш1 +
Из теорем 7, 8 вытекает следующая теорема.
Теорема 9. Пусть функции у € Бп[а,6] и к € Ь \_[а,Ь\ для каждого из-и С . .
отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ (){Ц\[а,Ь]) обладает свой ством где 5^0,
=| — | .
.> ществует обобщенное решение х €^п[а,Щ задач и (2.1), для которого при всех
г € [а,Ь] справедлива оценка (2.13) и при почти всех г € [а,Ь] выполняется соот-..
Если Ф : С"[а, Ь] ^ ПЩ{и\[а,Щ)), то утверждение справедливо и для е = 0. Следствие 5. Пусть функции у € Т)п[а,Ь\ и к € Ь \_[а,Ь\ для каждого
и С . .
отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ (){Ц\[а,Ь]) обладает свойствам и Г] и Ткг'р, где е > 0, р= |*о — у(а) |, хо - начтьное условие з адачи (2 Л). Тогда при е>0 существует обобщенное решение х € Бп[а,6] задач и (2.1), для которого при всех г € [а,Ь\ справедлива оц енка (2ЛЗ) и при почти всех г € [а, Ь] выполняется соот-..
Если Ф : С" [а, Ь] ^ 0(2(Ь"[а,6])), то утверждение справедливо и для е = 0. Замечание 10. Отметим, что утверждения теорем 8, 9 и следствия 3 остаются в силе, если функции у € Лп[а,Ь] и к € Ь\[а,Ь] для каждого измеримого
иС
n(s)ds.
Определение 11. Будем говорить, что абсолютно непрерывная функция х € Б" [а, Ь\ — обобщенное квазирешение задачи (2.1), если найдется такая последовательность функций х1 € Лп[а,Ь], г = 1,2,..., что выполняются условия: х1 ^х в пространстве Сп[а,Ь] при г ^ то; для любого г= 1,2,..., имеют место включение ±1 € ^^(х) и равенство х^а) =х$.
Отметим, что согласно лемме 5, если множество Ф(л ) в определении обобщенного квазирешения выпукло по переключению, то обобщенное квазирешение совпадает с квазирешением, введенным в работах [3,5], в случае когда Ф(-) -оператор Немыцкого. Заметим также, что данное определение обобщенного квазирешения несколько отличается от определения квазитраектории, данного в работах [7, 27, 28], наличием условия *,• € ^Ф(г). В силу этого можно получить более общие результаты о свойствах квазирешений (см. замечание 11), и, кроме того, оно более удобно для приложений.
Пусть Н(*о) - множество всех обобщенных квазирешений задачи (2Л). Определим отображение Фсо : С"[а, Ь] ^ £2(П(Ь"[а,&])) равенством
Фсо(*) = ш(^РФ(х)). (2.15)
Оператор фсо : Сп[а, Ь] ^ £1(П(Ь"[а,6])) будем называть обобщенно овыпукленным оператором.
.
фсо:С"[а, Ь] ^ £1(П(Ь"[а,6])), заданным равенством (2.15),
х€ фсо(х), х(а)=хо (хо € М"). (2.16)
.
(х € (а, Ь]).
Теорема 10. Справедливо равенство ) =Нсо{хо, Ь).
Замечание 11. Отметим, что теорема 10 справедлива без предположения какой-либо непрерывности и совокупной ограниченности отображения
Ф:Сп[а,Ь]^^{а, Щ).
Определение 12. Будем говорить, что компактное выпуклое множество и С Сп [а, Ь] обладает свойством V, если справедливо вложение Н(хо)си
и для любого х € Нрсо) найдется такая последовательность абсолютно непрерывных функций Х1ш.\а.,Ь\^ М", г = 1,2,..., что вьшолняются уеловия: х^^х в пространстве Сп[а,Ь] при г ^ го; для любого г =1,2,..., имеют место включения € и, ±1 € Ш>Ф(х) и равенств о х^а) =х$.
.
С
свойством V.
Действительно, в силу теоремы 10 и замечания 9 множество и = соф (Си [а,Ь]) обладает этим свойством, где отображение ф: С"[а,Ь] ^ 2С"^’^ определено равенством (2.9), в котором ф(0 = Фсо(0.
Лемма 11. Пусть множества ф, € П(Ь"[а,6]), г = 1,2, и измеримые отображения ^ : [а, Ь] ^ сотр[Кп], г = 1,2, связаны между собой соотношениями ф, = г = 1,2. Тогда для любого измеримого множества и С [а,6]
выполняются неравенства
Лц'(и)[ФьФг] ^ /гР^г);^?)]^? ^ 2/гц>(и)[фьф2]. (2.17)
и
Пусть ^ : [а, 6] ^ сотр[Мп] - измеримое отображение. Отображение со^ : [а, Ь] ^ сотр[Мп] определим равенством
=.
Следствие 6. Пусть множества ф, € П(Ь"[а,6]), г = 1,2, и измеримые отображения ^ : [а, 6] ^ сотр[Ми], г = 1,2, связаны между собой соотношениями ф, = 5(7<}0), г = 1,2. Тогда для любого измеримого множества и С [а,6] выполняется неравенство
Лц'(и)^(ф0;со(ф2)] < 2/гц>(и)[фьф2]. (2.18)
Действительно, согласно [29] имеет место равенство со(ф,) = 5(со^(0), г = 1,2.
иС
Лц'(и)^(ф0;со(ф2)] < /г[(со^)(г);(соЛ)(?)]<*.
и
иС
/г[(со^])(г);(соЛ)(г)]й?г < |вд(0;Я(0]Л,
то из неравенств (2.17) вытекает неравенство (2.18).
Определение 13. Будем говорить, что отображение ф:Сп[а,Ь] ^ ^ 0(Ц{[а,Ь}) обладает свойством Гз, если выполняется свойство Г?’0,0, а задача (2.11) при и = 0, е = 0, Р = § на каждом отрезке [ а,т] (х€(а,Щ) имеет только нулевое решение.
Теорема 11. Пусть множество всех локально обобщенных решений .
ф : Сп[а,Ь] ^ (){и1[а,Щ) удовлетворяет условию Г3. Тогда Н(хо,Ь) = 0 и справедливо равенство
где Н(хо,Ь) - замыкание множества Н(хо,Ь) в пространстве Сп[а,Ь].
Следствие 7. Пусть отображение Ф : С п[а,Ь] ^ (){и1[а,Щ) удовлетворяет условиям Г] и Т3. Тогда Н(х0,Ь) = 0 и справедливо соотношение (2.19).
Замечание 12. Свойство, когда множество решений включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости значений, плотно во множестве решений «овыпукленного» включения, называют принципом плотности. Принцип плотности является фундаментальным свойством в теории включений [30]. Установлению принципа плотности для включений посвящены многие работы (например, [4, 8-11, 19, 23, 24, 30-33]). Таким образом, теорема 11 и
.
принцип плотности.
3. Обобщенные приближенные решения функционально-дифференциального включения
Приближенные решения играют важную роль при изучении дифференциальных уравнений и включений [19, 34-36]. Они используются в теоремах существования (например, ломанные Эйлера), при исследовании зависимости решения от начальных условий и от правой части уравнения. В работе [34] для дифференциального уравнения с кусочно-непрерывной правой частью с помощью так называемых внутренних и внешних возмущений дано определение приближенного решения, которое учитывало не только малые изменения правой части в областях ее непрерывности, но и малые изменение границ этих областей. В монографии [ 19] дано более общее определение приближенного решения, которое пригодно для исследования не только дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, но и дифференциального включения с полунепрерывной сверху и выпуклозначной правой частью. В этой работе для них установлено важное свойство, что предел приближенных решений есть решение диффренциального включения. Здесь даются разные определения обобщенных приближенных решений для функциональнодифференциальных включений. Главное отличие этих определений от сформулированного в монографии [19] заключается в том, что здесь значения многозначных отображений, которые определяют приближенные решения, не овыпукляются. Это обстоятельство позволило исследовать топологические свойства множеств обобщенных приближенных решений, доказать признак их устойчивости.
Обозначим через К([а,Ь] х [0,го)) множество всех функций г| : [а, Ь] х [0, го) ^ [0, го), обладающих свойствами: при каждом 8 > 0 функция г|(-,8) € Ь}[а,6]; для каждого 8 > 0 найдется такая функция рз(-) € Ь}[а,6], что при почти всех г € [а,Ь] и всех т € [0,8] выполняется неравенство т|(г,8) < р8(г),
при почти всех г € [а, Ь] справедливы равенства Пт г|(г,8) = г)(/,0) = 0.
5^0+о
хго
ю : Сп[а,Ь] х [0,го) ^ [0,го), для которых при любом х € Сп[а,Ь] справедливо соотношение ю(.г,0) = 0 и для любых (х, 8) € Сп[а, Ь] х (0, го) выполняется неравенство (о(д:,8) >0.
.
той выпуклой по переключению оболочки множества, то естественно поставить вопрос о том, как влияют погрешности вычисления замкнутой выпуклой по переключению оболочки значений отображения Ф : Сп[а,Ь] ^ £>(Ц[а,6]) на опре..
каждого фиксированного х € Сп[а,Ь] построение значения Ш>(д:) эквивалентно нахождению измеримого ограниченного суммируемой функцией отображения Рх : [а,Ь] ^ сотр[Мп], удовлетворяющего равенству
Ш>Ф(х) = 5(ВД). (3.1)
Отображение Рх : [а,Ь] ^ сотр[Мп] далее будем записывать Р : [а,Ь] хСп[а,Ь] ^ ^ сотр[Мп] и будем называть отображением, порождающим овыпукленное по переключению отображение Ф : С"[а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), определенное ра.
отображение). В связи с тем, что отображения Р(;,^ и Ф(-) непосредственно .
лой по переключению оболочки значений отображения Ф : Сп[а,Ь] ^
.
точность вычислений значений отображения Р : [а,Ь] хСп[а,Ь] ^ сотр[Мп], порождающего овыпукленное по переключению отображение. Точность вычисления значения отображения зададим функцией !](•,•)€ Щ[а,6] х [0, го)). В связи
с этим рассмотрим отображение Рц : [а,Ь] хСп[а,Ь] х [0,го) ^ сотр[Мп], имеющее вид
=.
где функция т|(т) € К([а,Ь] х [0, го)) в каждой точке ($,х) €[а,Ь\ х Сп[а,Ь] при каждом фиксированном 8 € [0, го) определяет погрешность вычислений значений отображения Р(;, •), порождающего овыпукленное по переключению отображение, причем эти погрешности равномерны относительно переменной х € С"[а,Ь]. Далее функцию !](•,•) по аналогии с [6] будем называть радиусом внешних возмущений отображения Р(;, •).
Заметим, что из (3.2) при всех (},х) €[а,Ь]хСп[а,Ь] вытекает равенство
= . .
.
Г|0,0 € К([а,Ь\ х [0,го)) при почти всех г € [а,Ь] и всех х € Сп[а,Ь] справедливо соотношение
= . .
Поэтому все отображения Рц : [а,Ь] хСп[а,Ь] х [0,го) ^ сотр[Мп], определенные равенством (3.2) и зависящие от радиуса внешних возмущений !](•, •) €К^а,Ь\ х х[0, го)), близки в смысле равенства (3.4) к отображению Р : [а,Ь] хСп[а,Ь] ^ ^ сотр[Мп]. Это приближение будем называть поточечной аппроксимацией вложением отображения Р{•,•), порождающего овыпукленное по переключению отображение, или просто поточечной аппроксимацией вложением. Отображение Рц : [а,Ь] х Сп[а,Ь] х [0,го) ^ сотр[Мп] будем называть аппроксимирующим оператором.
Далее, определим отображение : С"[а, Ь] х [0,го) ^ П(Ц[а,6]), заданное соотношением
Фл(*,8 ) = 5(^л (•,*, 8)), (3.5)
где оператор Рц : [а,Ь] хСп[а,Ь] х [0,го) ^ сотр[Мп] имеет вид (3.2).
Из равенств (3.3) и (3.5) для любого х€Сп[а,Ь] вытекает соотношение
hj[[a,b} Фл(*,8);Ф(г)
r\(t,8)dt. (3.6)
Пт /гц.[о.6][фл(х,8);ф(х)] = 0. (3.7)
6^0+0 1
Таким образом, все отображения ф^ : С" [а, Ь] х [0,го) ^ П(Ь"[а,6]), задан..
Л(т) € К([а,Ь] х [0,го)), близки (в смысле равенства (3.7)) к овыпукленно-му по переключению отображению ф : С" [а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), определенному равенством (1.8). Это приближение оператора ф(•) будем называть поточечной аппроксимацией вложением в среднем. Таким образом, из поточечной аппроксимации вложением отображения Р(;, •), порождающего овыпукленное по переключению отображение, вытекает поточечная аппроксимация отображения ф(•) в среднем.
Лемма 12 [4]. Пусть X - нормированное пространство, и С X - выпуклое множество. Тогда для любых х\,х2 € и и всех г\,г2 >0 справедливо неравенство
Лх[5х[*ъП]П^;Лх[х2,Г2]П^] < р] -л:2||х + Уг-г 11. (3.8)
Пусть и С Сп[а,Ь] - выпуклое замкнутое множество и пусть ©(•,•) € € Р(Сп[а,Ь] х [0,го)). Рассмотрим многозначное отображение Ми (а). Му (а): и х [0,го) ^ 0(С/) и имеет вид
Ми (ю)(х, 8) = Вс>[а.Ь}[х, ® (х, 8)] П и. (3.9)
.
С
пусть ©(•,•) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го)). Тогда многозначное отображение М(Дю) : и х [0,го) ^ Щи), заданное соотношением (3.9), непрерывно по Хаусдорфу.
Определим отображение Ф(Дю): [а,Ь] х и х [0,го) ^ [0,го) соотношением
=.
г М (('))(.*.(V)
где отображение Ми (а): и х [0,го) ^ £1(1/) задано равенством (3.9), а отображение Р : [а,Ь] хСп[а,Ь] ^ сотр[Мп] - порождающее овыпукленное по переключению отображение ф : Сп[а,Ь] ^ П(Ь"[а,6]), определенное равенством (1.8).
Значение функции фу(<ю)(^,•,•) в точке (?,х,§) € [а,Ь] х и х [0,го), на наш взгляд, естественно назвать модулем непрерывности отображения Р : [а,Ь] х Сп[а,Ь\ ^ сотр[Мп] в точке (г,х) по переменной х на множестве и, функцию ©(•,•) — функцией радиуса модуля непрерывности отображения или просто радиусом непрерывности, а саму функцию ФиО, т) - функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения Р : [а, Ь] х Сп[а,Ь\ ^ ^ сотрЩп] на множестве и относительно радиуса непрерывности ©(•,•).
Определение 14. Будем говорить, что отображение ф : Сп[а,Ь] ^ ^ обладает свойством С, если оператор Р : [а,Ь] х С"[а,Ь] ^
^ сотр[7?п], порождающий овыпукленное по переключению отображение ф: Сп[а, Ь] ^ П(14[а,6]), определенное равенством (1.8), обладает следующим свойством: при почти всех г € [а,Ь] отображение ^(г, •) непрерывно по Хаусдорфу.
Лемма 14. Если для отображения ф : Сп[а,Ь] ^ (){иЧа,Щ) найдется такой непрерывный изотопный оператор Г : С+[а,Ь] +[а,Ь\, удовлетворяющий
условию Г(0) = 0, что для любых х,у €Сп[а,Ь] и любого измеримого множества и С [а,Ь\ имеет место неравенство (2АО), в котором Г2=Г, то отображение Ф(0 обладает свойством С.
Лемма 15. Пусть V - непустое, выпуклое, компактное множество пространства Сп[а,Ь] и пусть ©(•,•) € Р(Сп[а,Ь] х [О,го)). Далее, пусть отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ (){Ц\[а,Щ) обладает свойством С. Тогда отображение х х го .
любых (.£,5) € и х [О, го) функция ф(До> )(•,*,8) измерима', при почти всех г € [а,Ь] отображение Ф(Дг,•,•) непрерывно на и х [О,го); для любого х € и при почти всех г € [а, Ь] выполняется соотношение
=.
+0
существует такая суммируемая функция ри '■ ^ [0, го), что при почти всех
г € [а,Щ для любого х €и и всех 8 € [0, го) справедлива оценка ф<Д<о)(/,л:,8) ^
0.
С.
!](•, •) € К{[а, Ь] х [0,го)) равномерно на множестве и С Сп[а,Ь] оценивает сверху относительно радиуса непрерывности ©(•,•) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го)) модуль непрерывности отображения Р : [а,Ь] х Сп[а,Ь\ ^ сотр[Мп], порождающего овыпук-ленное по переключению отображение ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), определенное ра. > > всех г € [а, Ъ] и всех х € и и 8 € (0,8(е)] выполняется неравенство
Фи(«))(?,.*,8) < г|(г,е), (3.12)
где отображение ф^ : [а,Ь] х и х [0, го ^ [0, го) определено равенством (3.10).
Пусть и С Сп[а,Ь] ш пусть «>(•, •) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го). Определим функцию Ху(<о): [а,Ь] х^,го ^ [0, го) соотношением
= . .
хеи
Из леммы 15 вытекает следствие.
Следствие 8. Пусть V— непустое, выпуклое, компактное множество пространства Сп[а,Ь] и пусть ©(•,•) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го). Далее, пусть отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ (){Ц\[а,Щ) обладает свойством С. Тогда отображение Хи(<я) : [а,Ь] х [0,го) ^ [0,го), определенное равенством (3.13), принадлежит х го С
ет сверху относительно радиуса непрерывности ©(•,•) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го)) модуль непрерывности отображения Р : [а,Ь] х Сп[а,Щ ^ сотр[Ми], порождающего овыпукленное по переключению отображение ф : С" [а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), опреде-..
Замечание 13. Следствие 8 устанавливает, что если и- непустое выпуклое компактное множество пространства С"[а, Ь], и отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ £>(Ь"[а,6]) обладает свойством С, то найдется хотя бы одна функция !](•,•) € К([а,Ь\ х [0,го)), которая равномерно на множестве и оценивает сверху относительно наперед заданного радиуса непрерывности «>(•,•) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го)) модуль непрерывности отображения
Р : [а,Ь] х Сп [а, Ь] ^ сотр[Ми], порождающего овыпукленное по переключению отображение ф : Сп[а,Ь] ^ П(Ща,6]), определенное равенством (1.8).
Пусть т|(т) € К([а,Ь] х [0, го). Рассмотрим для каждого 8 € [0, го) задачу Коши
х € ф^(х,8), х(а) = *о (хо € М"), (3.14)
где отображение ф^ : Сп[а, Ь] х [0,го ^ П(Ц[а,6]) задано соотношениями (3.1), (3.5). Так как овыпукленный то переключению оператор ф : С"[а,Ь]^ ^ П(Ь"[а,6]), определенный соотношением (1.8), вольтерров по Тихонову, то порождающее его отображение Р : [а,Ь] хСп[а,Ь] ^ сотр[Мп] обладает свойством: если х =у на [а,т] (х € {а,Ь}), то при почти всех г € [а,т] выполняется равенство = . . . фг1 : С" [а, Ь] х [0, го ^ П(Ь"[а,6]) при каждом 8 € [0, го) является вольтерровым по Тихонову оператором.
.>
обобщенным 8-решением (обобщенным приближенным решением с внешними
..
ных 8-решений задачи (2.1), принадлежащих множеству и С С"[а,Ь].
Теорема 12. Пусть множество и С Сп[а,Ь\ обладает свойством Р.
Тогда для любой функции т|(-,-) € КЦа,Ь] х [0,го)), равномерно на множестве
и С С"[а, Ь] оценивающей сверху относительно радиуса непрерывности <*>(•,•)€ € Р(Сп[а,Ь\ х [0, го)) модуль непрерывности отображения Р : [а, Ь] х Сп[а,Ь\ ^ ^ сотр[Мп], порождающего овыпукленное по переключению отображение ф : С"[а, Ь] ^ И{Ц\[а,Щ), определенное равенством (1.8), справедливо равенство
Нсо(х0,Ь)= П^*8)(^), (3.15)
8>о
где Н-ф)(и) - замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества Н-ф^и).
Теорема 13. Пусть множество и С Сп[а,Ь\ обладает свойством Р. Для выполнения равенства
Н(х0, Ь)= П Щф)(и) (3.16)
>
для любого радиуса внешних возмущений !](•,•) € КЦа,Ь\ х [0, го)) необходимо и
..
.
внешних возмущений !](•,•) € К([а,Ь] х [0, го)) является свойством устойчивости
.
щений.
Как уже отмечалось, внешнее возмущение (радиус внешних возмущений !](•,•) € К([а,Ь] х [0,го))) характеризует погрешность вычисления значений овыпукленного по переключению отображения ф : С" [а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), опре..
х : [а,Ь] ^ М" задачи (2.1) может вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать некоторой функцией из множества Р(Сп[а,Ь] х [0,го)).
.
называемыми внутренними возмущениями, которые определим ниже. Далее покажем, что внутренние возмущения существенно влияют на свойства обобщенных ..
Определим отображение Fen : [a,b\ xCn[a,b] ^ comp[Rn] равенством
Fen(t,x) = ext(coF{t,x)),
где і7 : [а,Щ х Сп [а, Ь] ^ сотр[Мп] - отображение, порождающее овыпукленный по переключению оператор Ф : С"[а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), определенный равенством (1.8). Отметим, что для каждого х Є Сп[а,Ь\ отображение Реп(-,х) измеримо [24] и ограничено суммируемой функцией.
Рассмотрим оператор Феп :Сп[а,Ь] ^ П(Ь"[а,6]), имеющий вид
где отображение : [а,й] х Си[а,6] ^ сотр[Мп] задано соотношением (3.17).
Замечание 15. Отметим, что для любого х € Сп [а, Ь] множе ство фея(*) обладает свойством
Ф
тых в пространстве Ц[а,6] выпуклых по переключению подмножеств, принадлежащих множеству Ш>Ф(х) и удовлетворяющих равенству (3.19) (см., например, [10]). Рассмотрим задачу
.
ным экстремальным решением (обобщенным экстремальным квазирешением) ..
Пусть Неп(х0) - множество всех обобщенных экстремальных квазирешений . . .
Следствие 9. Справедливо равенство НеХ1(*о) = ^со(хо> Ь).
Пусть !](•,•) € КЦа,Ь] х [0,го)), «>(•,•) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го)). Пусть
.
ражения Ф^ : и х [0,го) ^ сотр[Ь"[а,6]*], ^ех(.г| : [а,Щ х Сп[а,Ь] х [0,го) ^
где отображения ф^ : С"[а,Ь] х [0,го) ^ ЩЦ\[а,Ь^), Ми(ю): и х [0,го) ^ Щи), ^ех(: [а,Ь] х Сп[а,Ь] х [0,го) ^ сотр[Мя] заданы равенствами (3.5), (3.9), (3.17) соответственно.
С>
Ф = ■
.
со(Фея(.г)) = CO(sW<E>(.r)).
.
х Є Фея(х), х(а) =хо (*о Є R”).
.
ФлДх, 8) = Ф^МДшХ^З))^);
=
(Фея,п)(*> 8) = S(F^m(:,x,S)y, (Фея,п,ю)(*> 8) = ( Фехсп)((МДю)(х,8)),8),
.
.
.
.
х Є Ф^Лз(*,8), х(а) =хо (хо Є R"); х Є ФехІЛЮ(х, S), х(а) =х0 (х0 Є R"),
.
.
где отображения ф^ : и х [0,го) ^ сотр[Ц[а,6]*], ф^ : и х [0,го) ^ ^ сотр[]Ь^[сг,определены соотношениями (3.21)-(3.24).
Каждое решение задачи (3.25) при фиксированном 8 > 0 будем называть
.
.
..
.
>
..
жеству и С Сп[а,Ь]. Так как для любого 8 > 0 и любого х €11 выполняется включение (фех1.л.ю)(х, С Ф^.е)(*, 8), то для люб ого 8 > 0 справедливо вложение С.
Теорема 14. Пусть множество и С Сп[а,Ь\ обладает свойством Р. Тогда для любых !](•, •) € К([а,Ь\ х [0,го)), (!>(•, •) € Р(Сп[а,Ь] х [0,го)) справедливы равенства
Нсо(х0, Ь)= Р ЯеХ1.г|(5).(о(5) (Ю = Р Нфуф)(У), (3.27)
8>о 8>о
где Неп г^щ Ьу(щ(и), Нг£щ ьу(щ(и) - замыкания в пространстве Сп[а,Ь] множеств решений Неп г^щ Ьу(щ(и), Нг^щ ь^щ(и) соответственно.
Замечание 16. Теорема 14 устанавливает, что никакая точность вычислений значений отображения Р : [а,Ь] хСп[а,Ь] ^ сотр[Мя], порождающего овы-пукленный по переключению оператор ф : С" [а, Ь] ^ П(Ь"[а,6]), определенный равенством (1.8), не гарантирует «восстановление» множества Н(хо,Ь) по замыканиям в пространстве Сп[а,Ь] множеств обобщенных приближенных решений .
одном случае, когда выполняется принцип плотности для обобщенных решений.
4. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями
Здесь рассматриваются функционально-дифференциальные включения с воль-терровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением и импульсными воздействиями. Формулируются теоремы о продолжаемости решений и устанавливается связь априорной ограниченности решений с глобальной разрешимостью, а также формулируются утверждения о принципе плотности и «бэнг-бэнг» принципе для таких систем. Отметим, что дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями исследовтись в работах [37-39]. Некоторые вопросы теории функционтьно-дифференцитьных включений с импульсными воздействиями рассматривались в работе [40].
Пусть 4 € [а,Ь] (а < ^ < ... < 4, < Ь) - конечный набор точек. Обозначим че-Ф
..., (?т,Ь] ограниченных функций * : [а,Ь] ^ М", имеющих пределы справа в точках 4, к = 1,2,.. .,т, с нормой ||*||= зир{|*(г)|: г € [а,Ь]}, С +[а,6] -
множество неотрицательных функций пространства С1 [а,Ь]. Если х € (а,Ь], то Си[а,т] - это пространство функций * : [а,х] ^ Мя, являющихся сужениями на отрезок [а,х] элементов из С"[а,6] с нормой |М|фЛ[ОТ] = зир{|*(г)| : г € [а,х]} . Рассмотрим задачу
х € ф(*); (4.1)
Ax(tk) = Ik(x(tk)), k=\, ...,m; x{a) = xq,
.
где полунепрерывное снизу отображение Ф : Сп[а,Ь] ^ П(1/[а,6]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С Сп[а,Ь] образ Ф(Х/) ограничен суммируемой функцией. Отображения 4:М" ^Мя, к=\,2,...,т непрерывны, Ад;(4) = *(4 + 0)— *(4)> к = 1>2, ...,т.
Определение 16. Под решением задачи (4.1) - (4.3) будем понимать
— П
функцию л: € С [а, 6], для которой существует такое ц € Ф(*), что функция х : [а, Ь] ^ Мя представима в виде
где Ах(1к), к=\,2,...,т, удовлетворяют равенствам (4.2).
Далее предположим, что оператор Ф : С [а,Ь] ^ П(Ь"[а,6]) (правая часть включения (4.1)) вольтерров (см. определение 6).
—12
Определение 17. Будем говорить, что функция л: € С [а, т] является решением задачи (4.1) — (4.3) на отрезке [а, т], х € (а,Ь], если существует такое ц € (Ф(Кх(л:)))|т , что функция л;: [а,х] ^ М представима в виде (4.4), где 1к € [а,х],
— Я —П
а непрерывное отображение ¥Х:С [а,тС [а,Ь] определено равенством (2.3).
Далее, будем говорить, что функция * : [а, с) ^ Мя является решением задачи (4.1) — (4.3) на [а,с), если для любого х € (а,с) сужение *|т € С [а,х] и найдется такая функция д : [а,с) ^ М , что для любого х € (а,с), ц\% € (Ф(Кх(л:)))|т и для любого г € [а,с) имеет место представление (4.4), где 4 € [а, с).
Решение * : [а, с) ^ Мя задачи (4.1) - (4.3) на [а, с) будем называть непродол-жаемым, если не существует такого решения у задачи (4.1) - (4.3) на [а,х] (здесь х € (с, Ь], есл и с < Ь, и х = Ь, если с = Ь), что для люб ого г € [а, с) выполняется
=
Теорема 15. Найдется такое х € (а,Ь], что решение задачи (4.1) - (4.3) существует на отрезке [а, х].
Теорема 16. Для того чтобы решение х : [а, с) ^ Ми задачи (4.1) - (4.3) было продолжаемым на некоторый отрезок [а, х], х € (с, Ь], необходимо и достаточно , чтобы Пт |*(г)| < го.
Теорема 17. Если у -решение задачи (4.1)- (4.3) на [а, х], х € (а, Ь), то существует непродолжаемое решение задачи (4.1) - (4.3) либо на [а, с), с € (х, Ь], либо на \а,Ъ\ такое, что при любом г € [а, х] выполнено равенство х{{)= у{{).
С
х € (а, Ь].
Определение 18. Будем говорить, что множество всех локальных ре-
>
что для всякого х € (а, Ь] то существует решения у € Н(хо, х), для которого выполняется неравенство |М|с»г т , > г.
*' \рл\
Теорема 18. Пусть множество всех локальных решений задачи
(4.1) - (4.3) априорно ограниченно. Тогда для любого х € (а, Ь] множество Н{х$,х) = 0 и существует такое г >0, что для каждых х € (а,Ь] и у € Н(хо,х) выполняется неравенство | |у| |с„^ ^ ^ г.
x(t) = х0 + q(s)ds + £ x(tllM](t)Ax(tk),
.
ke[a,b]
— п
Определение 19. Будем говорить, что отображения Ф : С [а,Ь] ^ ^ и 4 : М ^ М", к = 1,2 ,...,т, обладают свойством Т, если
найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Г : С +[а,Ь] \[а,Ь] и
неубывающие непрерывные функции С : М+ ^ М+, к = 1,2,...,т, для которых
— П
справедливы условия: для любой функции * € С [а,Ь] и произвольного измеримого множества и С [а,Ь] выполняется неравенство ||Ф(л:)||ь"(и) ^ для
любого к= 1,2,... ,т и произвольного * € М имеет место оценка |4(*)| ^ 4(И); множество всех локальных решений задачи
У = Г(у), Ау(гк) = 7к(у(к)), £=1,2,..., от, у(а) = |*0 |
—п — 1
априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение 2 : С [а,Ь] ^ С +[а,Ь] определено равенством (2.6).
Теорема 19. Пусть отображения Ф : С [а,Ь] ^ Щ1]\[а,Ь]) и 4 : М ^ Ми, к= 1,2,... ,т, обладают свойством Т . Тогда для любого т € (а,Ь] множество Н(хо, х) = 0 и существует такое г > 0, что для любых т € (а, Ь] и у€ Н(хо,т) выполняется неравенство |Ну||сл[ОТ] ^ г-
Определение 20. Будем говорить, что множество решений задачи
(4.1) - (4.3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений, если для любого \> € Ь"[а,6] и
— П
любого е > 0 существует такое решение * € С [а,Ь] задачи (4.1) - (4.3), что для
иС
^ — < Р£?(и)[у,Ф(*)] + Щ(и), (4.5)
где функция д € Ф(*) удовлетворяет равенству (4.4).
Теорема 20. Пусть множество всех локальных решений задачи (4 Л) —4.3) априорно ограничено. И пусть отображение Ф : С [а,Ь\ ^ П(Ь" [а,Щ)
.—.
реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений. Если Ф : С [а,Ь\ ^ £1(П(Ь"[а,6])), то множество .—.
функций от любой суммируемой функции до своих значений.
Определение 21. Будем говорить, что импульсные воздействия 4 : М ^ Ми, к = 1,2 ,...,т, обладают свойс твом Я, если для каждого к=1,2,...,т, найдется такая непрерывная неубывающая функция 4 : М+ ^ М+, удовлетворяющая равенству С(0) = 0, что для любых х,у € Мя выполняется оценка
|4«—4(у)| <С(^—УЬ. (4.6)
Определение 22. Будем говорить, что импульсные воздействия 4 : М ^ Мя, к =1,2,.. ^ т , и отображение Ф : С"[а,Ь] ^ П(Ь"[а,6]) обладают свойством (Ти’г’р\С,к =1,2,...,т), если импульсные воздействия 4, к =1,2,..., т, обладают свойством Я и если найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Г : С +[а,Ь] ^ Ь\[а,Ь], удовлетворяющий условиям:
— П
Г(0) = 0, для любых функций х,у € С [а,Ь] и любого измеримого множества
иС
Лц,(и)[Ф«; ФСУ)] < ||Щ(* —у))^^;
множество всех локальных решений задачи
у = и + е + Г(у), Ay(tk) = 4W4)), к=\,2,...,т, у(а) = р (4.7)
априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение 2 : С [а,Ь] ^ С + [а,Щ определено равенством (2.6), отображение С : М+ ^ М+, к =1,2,...,т, удовлетворяет неравенству (4.6), и€Ь\[а,Ь], числа е,р^0.
— П
Пусть для функции у € С [а,Ь] существует такая функция 4 € М[а,6], что для любого г € [а, 6] имеет место представление
y(t) = у(а) +
q(s)ds + £ ХимШУ^к), (4.8)
к= 1
где Ау(4), к = и2,...,т, удовлетворяет равенству (4.2). Пусть для функции к € Ь +[а,й] дм каждого измеримого множества и С [а,Ь] справедливо соотношение
РЩИ)[4 Ф0-О] <
x(s)^s, (4.9)
где функции с € и\[а,Ь] и V € С [а,Ь] удовлетворяют равенству (4.8).
— П
Теорема 21. Пусть для функции у € С [а, Ь] имеет место представление (4.8) и функция к € 1}+[а,Ь] для каждого измеримого множества
и С .
ствия 4 : Мя ^ М", к=\,2,...,т, и отображение Ф : С [а,Ь] ^ П(Ь"[а,6]) обладают свойством (ГиДр;4,& = 1,2,...,т), где е ^ 0, р= |*о — Ха)1> хо —
— П
начальное условие задачи (4Л) — (4.3). Тогда для любого решения х € С [а,Щ задачи (4Л) — (4.3), удовлетворяющего для любого измеримого множества и С [а,Ь\ неравенству (4.5), в котором функция д € и\[а,Ь\ из представления (4.4), а функция \> = 4 из соотношения (4.8), при любом г € [а,Ь\ имеет место оценка
ИХ>—ЖН <^(к,е,р)(г) (4.10)
и при почти всех г € [а, Ь] справедливо соотношение
т — СИ)| < к(0 + г + (Щ(к,е,^)))(0, (4.11)
где \{к,ъ,р) € С+ [а,6] - верхнее решение задачи (4.7) при и = к и
=| — |.
Из теорем 6, 7 вытекает следующая теорема.
—12
Теорема 22. Пусть для функции у € С [а, Ь] имеет место представление (4.8) и функц ия к € Ь \[а,Ь] для каждого измеримого м ножества и С [а,Ь] удовлетворяет неравенству (4.9). Далее, пусть импульсные воздействия 4 : М" ^ ^ М", к=\,2,... ,т, и отображение Ф : С [а,Ь] ^ П(Ь"[а,6]) обладают свойством (Гж-г'р ;4,к =\,2 ,...,т), где е ^ 0, р= |*о —Ха)1> хо — начальное усло-. — . . — . априорно ограничено. Тогда при е > 0 существует решение х € С [а, Ь] задачи (4Л) — (4.3), для которого при всех г € [а,Ь\ справедлива оценка (4.10) и при почти всех г € [а, Ь\ выполняется соотношение (4.11).
— Я .
Если Ф:С [а,Ь ] ^ ЩЩЪ"[а,Ь])), то утверждение справедливо и при е = 0.
Определение 23. Будем говорить, что функция у € С п[а,Ь], имеющая представление (4.8), в котором у{а) = х$, является квазирешением задачи (4Л) — (4.3), если найдется такая последовательность *,• € С [а,Ь], 1= \,2,..., что для каждой функции г = 1,2,..., найдется функция ц, € Ф(у), для которой при любом г € [а, Ъ] имеет место равенство
t
=
где Ах^к) удовлетворяет равенству (4.2), и х, ^ у в пространстве С [а, Ь] при г ^ го.
Пусть Н(хо) - множество всех квазирешений задачи (4.1) - (4.3).
Рассмотрим задачу
д:€тоФ(*), Ах^к) = 4(*(4))> к=\,2,...,т, х(а)=хо. (4.12)
С
х €{а,Ь].
Теорема 23. Справедливо равенство Н{х$) = Нт{х$,Ь). Определение 24. Будем говорить, что импульсные воздействия 4:М" ^ Мя, к =1,2,..., т, и отображение Ф : С"[а,6] ^ П(Ь"[а,6]) обладают свойством К, если выполняется свойств о (Г0’°’°;4Д = 1,2 ,...,т), а задача у = Г(у), у(а) = 0 на каждом отрезке [а,т] (х € (а,Ь]) имеет только нулевое решение.
Теорема 24. Пусть множество всех локальных решений задачи .—.
4 : М ^ М", к=\,2,... ,т и отображение Ф : С [а,Ь] ^ П(1/[а,6]) обладают свойством К . Тогда Н(хо,Ь) = 0 и справедливо равенство
Щщ,Ь) = Ню(хо,Ь), (4.13)
где Н(Х0'Ь) - замыкание множества Н{х$,Ь) в пространстве С [а, Ь].
Таким образом, теорема 24 дает достаточные условия выполнения принципа плотности [12] для задачи (4.1)- (4.3). Равенство (4.13) можно усилить следующим образом.
Рассмотрим задачу
х € ех1:(соФ(л:)), Ах^) = 4(*(4))> к=\,2,...,т, х(а)=х о. (4.14)
С
(г€(а,Ь ]). _
С =0
и справедливо равенство
Яех^^О, ^0 Ясо(.Хо,/?),
где Неп(хо, Ь) - замыкание множества Неп(х$,Ь) в пространстве С [а, Ь].
Таким образом, для задачи (4Л) — (4.3) выполняется не только принцип плотности, но и «бэнг-бэнг» принцип.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-01-00305'), темплана 1.6.07 Рособразования, Норвежской национальной программы научных исследований FUGE при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования (NUFU), грант PRO 06/02, а также при финансовой поддержке C1GENE — Center for Integrative Genetics at Norwegian University of Life Sciences and the Norwegian Research Council и финансовой поддержке Lanekassen — Norwegian State Educational Loan Fund.
Список литературы
1. Булгаков, А.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений / А.И Булгаков, Л.И. Ткач // Мат. сб. - 1998. - Т. 189, № 6. - С. 3-32.
2. Булгаков, А.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами / А.И Булгаков, Л.И. Ткач // Изв. вузов. Математика. - 1999. - № 3. - С. 3-16.
3. Булгаков, А.И. Ассимптотическое представление мрожеств 8-решений включения типа Гаммерштейна / А.И. Булгаков, Л.И. Ткач // Вестн. Тамб. гос. ун-та им. Г.Р. Державина. Сер. Естеств. и техн. науки. - 1997. - Т. 2, вып. 3. -С. 294-298.
4. Булгаков, А.И. К теории возмущенных включений и ее приложениям / А.И. Булгаков , О.П. Беляева, А.А. Григоренко // Мат. сб. - 2005. - Т. 196, № 10. -С. 21-78.
5. Булгаков А.И. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями / А.И. Булгаков, А.А. Ефремов, Е.А. Панасенко // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, № 12. - С. 1587-1998.
6. Булгаков, А.И. Аппроксимация дифференциальных включений / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Мат. сб. - 2002. - Т. 193, № 2. - С. 35-52.
7. Wazewski, Т. Sur une generalisation de la notion des solutions d’une equation au contingent / T. Wazewski // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. Astron. Phys. - 1962. -V. 10, № l.-P. 11-15.
8. Благодатских В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управое-ние / В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппов // Тр. МИАН СССР. - 1985. - Т. 169. -С. 194-252.
9. Bressan, A. On a bang-bang principle for nonlinear systems / A. Bressan // Boll. Unione Math. Italiana. Supp 1. - 1980. - № l.-P. 53-59.
10. Филиппов, А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / А.Ф. Филиппов // Вестн. Моск. ун-та. - 1967. -№ З.-С. 16-26.
11. Ирисов, А.Е. Замыкание множества периодических решений дифференциальных включений / А.Е. Ирисов, Е.Л. Тонков // Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький, 1983. - С. 32-38.
12. Pianigiani, G. On the fundamental theory of multivalued differential equations /
G. Pianigiani // J. Different. Equations. - 1977. - V. 25, № l.-P. 30-38.
13. Ляпин, Л.Н. Обеспечение оптимальной программы контроля на множестве функциональных структур / Л.Н. Ляпин, Ю.Л. Муромцев // Автомат, телеупр. -1993. - Т. 24, № З.-С. 85-93.
14. Branicky, M.A. Unified framework for hybrid control: Model and optimal control theory / M. Branicky, V. Borkar, S. Mitter // IEEE Trans. Aut. Control. - 1993. -V.43,№ l.-P. 31—45.
15. Brockett, R.W. Hybrid Models for Motion Control Systems / R.W. Brockett,
H. Trentelman, J.C. Willems // Assays in Control: Perspectives in the Theory and its Applications. - Boston, MA : Birkhauser, 1993. - P. 29-54.
16. Lygeros, J. Controllers for reachability specifications for hybrid systems / J. Lygeros, C. Tomlin, S. Sastry // Automatica: Special issue on hybrid systems. - 1999. -№ 35. - P. 349-370.
17. Тихонов, A.H. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секция А. - 1938. - Т. 1, № 8. - С. 1-25.
18. Van, A.J. An Introduction to Hybrid Dynamical Systems / A.J. Van der Schaft, J.M. Schumacher, Springer Lect // Notes in Control and Information Sciences. - London, 2000.-V. 251.-P. 35-57.
19. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М. : Наука, 1985. - 219 с.
20. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. -М. : Наука, 1974. - 480 с.
21. Булгаков, А.И. Функционально-дифференциальное включение с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений / А.И. Булгаков, О.П. Беляева, А.Н. Мачина // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. - 2005. - № 1. - С. 3-20.
22. Самойленко, А.М. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями / А.М. Самойленко, Н.А. Перестюк. - Киев : Выща школа, 1987. - 370 с.
23. Kamenskii, М. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. - New-York : Walter de Gruyter, - 2001. - 370 p.
24. Толстоногое, A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А.А. Толстоногое. - Новосибирск : Наука, 1986. - 310 с.
25. Bressan, A. Extensions and selections of maps with decomposable values / A. Bressan, G. Colombo // Studia. math. - 1988. - V. 90, № l.-P. 69-86.
26. Fryszkowski, A. Continuous selection for a class of non-convex multivalued maps / A. Fryszkowski // Stud. Math. - 1983. - V. 76, № 2. - P. 163-174.
27. Plis, A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field / A. Plis // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math. Astron. Phys. - 1963. - V. 11, № 6. - P. 369-370.
28. Turowicz, A. Remarque sur la definition des quasitrajectoires d’un system de commande nonlineaire / A. Turowicz // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math., astr., phys. -1963. - V. 11, № 6. - P. 367-368.
29. Булгаков, А.И. Интеграьные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений / А.И. Булгаков // Мат. сб. - 1992. - Т. 183, № 10. - С. 63-86.
30. Булгаков, А.И. Функционально-дифференциальные включения с оператором, обладающим невыпуклыми образами / А.И. Булгаков // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 10. - С. 1659-1668.
31. Булгаков, А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения / А.И. Булгаков // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т 28, № 3. - С. 371-379 ; Т. 28, № 4. - С. 566-571 ; Т. 28, № 5. - С. 739-746.
32. Толстоногов, А.А. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве / А.А. Толстоногов, П.И. Чугунов // Сиб. мат. журн. -1983. - Т. 24, № 6. - С. 144—159.
33. Толстоногов, А.А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве / А.А. Толстоногов, И.А. Финогенко // Мат. сб. - 1984. - Т. 125, № 2. - С. 199-130.
34. Hajek, О. Discontinuous differential equations. I, II / О. Hajek // Joum. of Dif. Equal - 1979. -V. 32, №2. -P. 149-170, 171-185.
35. Hermes, H. The generalized differential equation (t) G R(t, x) / H. Hermes // Adv. Math. - 1970. - V. 4, № 2. - P. 149-169.
36. Hermes, H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations / H. Hermes // Proc. Amer. Math. Soc. -1971. - V. 29, № 3. - P. 535-542.
37. Завалищин, C.T. Импульсные процессы. Модели и приложения / С.Т. Зава-лищин, А.Н. Сесекин. - М.: Наука, 1991. - 446 с.
38. Азбелев, Н.В. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. - М. : Высшая школа, 1987.-384 с.
39. Булгаков, А.И. К теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями / А.И. Булгаков, А.И. Коробко, О.В. Филиппова // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. - 2008. - Вып. 2. - С. 24—27.
40. Булгаков, А.И. Некоторые вопросы функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями / А.И. Булгаков, А.И. Коробко, О.В. Филиппова // Вестн. Тамб. гос. ун-та им. Г.Р Державина. Сер. Естеств. и техн. науки. - 2007. - Т. 12, № 4. - С. 414-418.
41. Булгаков, А.И. Функционал и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами / А.И. Булгаков, В.П. Максимов // Дифференц. уравнения. - 1981. - Т. 8, № 8. - С. 881-890.
42. Натансон, И.П.Теория функций вещественной переменой /И.П.Натансон.-| М. : Наука, 1974. - 480 с.
43. Machina, А.А. Generalized Solutions of Functional Differential Inclusions / A.H. Machina, А.И Bulgakov, A.H Grigorenko // Abstract and Applied Analysis. -2008. - V. 2008. - P. 1-35.
About Some Tasks of Functional Differential Inclusions
N.P. Puchkov1, A.I Bulgakov3, A.A. Grigorenko3,
A.I Korobko3, E.V. Korchagina2, A.N. Machina4,
O.V. Filippova3, I.V. Shlykova4
Departmens: “HigherMathematics”(1),
“AppliedMathematics andMechanics”(2), TSTU;
“Algebra and Geometry”, TSU named after G.R. Derzhavin (3); “Mathematical Sciences and Technologies”,
Norway University of Natural Sciences (4)
Key words and phrases: apriority limitation; functional differential inclusions; impulse effects; switch over convexity (expandability); Volterra’s operator by A.N. Tikhonov.
Abstract: The paper studies functional differential inclusions with
A.N. Tikhonov’s volt multi-notional reflection possessing no property of expandability of values switch over as well as possessing this property (in the latter case these inclusions are studied with impulse effects). For such inclusions matters of solutions continuality are considered. The paper establishes the link between the apriority limitations of the set of all local solutions of the system and implementation of the set of solutions of the distance in the space of summed functions from any summed function to its value. The paper estimates the distances from the set in advance function having special form to the solution of the studied system. The conditions to meet the density principle and “bang-bang” principle are formulated.
Uber einigen Aufgaben der funktional-differentialen Einsprengungen
Zusammenfassung: Es werden die funktional-differentialen Einsprengungen mit der volterrischen nach A.N.Tichonow mehrstelligen Darstellung sowohl ohne Eigenschaft der Konvexitat fur die Wertumstellung als auch mit dieser Eigenschaft studiert (im letzten Fall warden diese Einsprengungen mit den Impulseinwirkungen studiert). Fur solche Einsprengungen sind die Fragen der Fortsetzung der Losungen betrachtet. Es ist die Verbindung zwischen der apriorischen Mengenbegrenztheit aller Lokalsystemlosungen und der Realisierung von der Menge der Entfernungslosungen im Raum der summierbaren Funktionen von jeglicher summierbaren Funktion bis ihrer Bedeutung festgestellt. Es sind die Einschatzungen der Entfernungen von der Vorgabefunktion bis zur Losung des betrachteten Systems angegeben. Es sind die Bedingungen, bei denen die Dichte- und “Beng-Beng”Prinzipien erfullt warden, formuliert.
Sur quelques problemes des inclusions fonctionnelles et differentielles
Resume: Sont etudiees les inclusions fonctionnelles et differentielles Volterra d’apres la reflexion multisignificative de A.N. Tikhonov, la reflexion ne possedant pas de propriete de la convexite et celle qui la possede (dans le dernier cas ces inclusions sont etudiees avec les actions impulsives). Pour ces inclusions sont examinees les
questions de la continuation des solutions. Est etablie la liaison entre la limitation a priori de la multitude de toutes les solutions locales du systeme et la quasi-realisation des solutions des distances dans l’espace des fonctions sommaires a partir de n’importe quelle fonction sommaire jusqu’a ses significations. Sont presentees les evaluations de la fonction donnee a priori ayant une vue speciale jusqu’a la solution du systeme examine. Sont formulees les conditions de l’execution du principe de la densite et celui «Beng- Beng».
