О реализации расстояния на множестве решении функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

M..+2 = Л"

4n+i (n +

where are the numbers of up-down permutations of the numbers {0,1,... ,n} (see, for example, [5]).

REFERENCES

1. Lomtatidze A.G., Pilza B., Hakl R. On periodic boundary value problems for first order functional differential equations // Differential equations. 2003. T. 39. № 3. P. 320-327. [In Russian]

2. Hakl R., Mukhigulashvili S. On one estimate for periodic functions// Georgian Math. J. 2005. V. 12. № 1. P. 97-114.

3. Mukhigulashvili S. On a periodic boundary value problem for third order linear functional differential equations 11 Nonlinear Anal. Theory, Methods, Appl., 2007. V. 66. № 2(A). P. 527-535.

4. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. Moscow: Inostrannaya Literatura, 1946. [Russian translation]

5. Arnol’d V.I. The calculus of snakes and the combinatorics of Bernoulli, Euler and Springer numbers of Coxeter groups // Russian Mathematical Surveys. 1992. V. 47. № 1(283). P. 3-45.

Аннотация: Для широкого класса резонансных краевых задач для скалярных функционально-дифференциальных уравнений с положительными операторами получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости.

Ключевые слова: периодическая краевая задача; резонансная краевая задача; функционально-дифференциальные уравнения; константы Фавара; функция Грина.

Бравый Евгений Ильич к. ф.-м. и., доцент Пермский государственный технический университет Россия, Пермь e-mail: [email protected]

Bravyi Evgeniy

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer

Perm State Technical University,

Russia, Perm

e-mail: [email protected]

УДК 517.911, 517.968

О РЕАЛИЗАЦИИ РАССТОЯНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

© А. И. Булгаков, Е. В. Корчагина

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; многозначные импульсные воздействия.

Аннотация: На множестве решений функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями рассмотрен вопрос о реализации расстояния в пространстве суммируемых функций от произвольной суммируемой функции до своих значений. Получены эффективные оценки решений задачи Коши.

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131) и включена в Темплан № 1.6.07.

В монографиях [1-3] исследованы дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. Здесь рассматривается функционально-дифференциальное включение с вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором (см. [4]) и многозначными импульсными воздействиями.

Пусть и € [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ь”(и) пространство суммируемых по Лебегу функций х : и ^ М” с норм о й ||х||£п(и) = / |х(з)|^з, сот р [М”]- множество

и

непустых компактов пространства М”.

Пусть 5(Ь”[а, Ь]) - множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) (см. [5]) подмножеств пространства Ь”[а, Ь]; П[5(Ь”[а, Ь])] - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) подмножеств пространства Ь” [а, Ь].

Пусть ^ € [а, Ь] (а < £1 < ... <1т < Ь) - конечный набор точек. Обозначим через С [а, Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, £1], (£1^2], ■ ■ ■, (£т, Ь] ограниченных функций х : [а, Ь] ^ М”, имеющих пределы справа в точках £к, к = 1, 2,т, с нормой ||х||ёп[а6] =

= 8ир{|х(£)| : £ € [а, Ь]} С+ [а, Ь] - множество неотрицательных функций пространства С [а, Ь]. Если т € (а, Ь], то Са[а,г] - это пространство функций х : [а,т] ^ М”, являющихся сужениями на отрезок [а, т] элементов из С”[а, Ь] с нормой||х||^П[аг] = 8ир{|х(£)| : £ € [а, т]}. Пусть X - произвольное пространство и ^1,и С X, тогда ^х [^1; Щ- расстояние по Хаусдорфу между множествами и и в пространстве X, еели X = М”, то индекс пространства в расстоянии по Хаусдорфу между множествами опускаем.

Рассмотрим задачу

х € Ф(х), (1)

Д(х(4)) € 4(х(гк)), к = 1,...,т, (2)

х(а) = х0, (3)

где отображение Ф : С [а, Ь] ^ 5(Ь”[а, Ь]) непрерывно по Хаусдорфу и удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф(Щ) ограничен суммируемой функцией. Отображения 1к : М” ^ сотр [М”], к = 1, 2, ...т непрерывны по Хаусдорфу, А(х(Ьк)) = х(£к + + 0) — х(£к), к = 1, 2, ...т.

Определение 1. Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию х € С [а, Ь], для которой существует такое д € Ф(х), что при всех £ € [а, Ь] имеет место представление

« т

х(£) = хо + д(в)йв + ^Х(гк, ь](£)А(х(£к)), (4)

а к=

где А(х(£к)) € 1к(х(Ьк)), к = 1,...,т.

Предположим, что оператор Ф : С [а, Ь] ^ 5(1” [а, Ь]) вольтерров по А.Н. Тихонову. Определенпе2. Будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений, если для любого V € Ь”[а, Ь] и любого е > 0 существует такое решение х € С [а, Ь]

и С [а, Ь]

Ы — (и) < Pъ'l{U)[v, Ф(х)]+ е^(и), (5)

где функция д € Ф(х) удовлетворяет равенству (4). Если при е = 0 в (5) выполняется равенство, то будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.

Определение 3. Будем говорить, что множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, если найдется такое число г > 0, что для всякого т € (а, Ь] не существует решения у задачи (1)-(3) на [а, т], для которого выполняется неравенство 1М|£;п[а т] > г.

Теорема 1. Пуст ь множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено. И пусть отображение Ф : С [а, Ь] — Б(X”[а, Ь]) непрерывно по Хаусдорфу. Тогда, множество решений задачи (1)-(3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений. Если Ф : С [а, Ь] — П[5(Ь”[а, Ь])], то множество решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.

Определение 4. Будем говорить, что импульсные воздействия 1к : К” — сотр [К”], к = 1, 2, ...,т, обладают свойс твом А, если доя каждого к = 1, 2,...,т найдется непрерывная

неубывающая функция 1к : К+ — К+, удовлетворяющая равенству 1к(0) = 0, что для любых

х,у € К” выполняется оценка

Ц1к(х),1к(у)] < 4(|х - у|). (6)

Определение 5. Будем говорить, что импульсные воздействия 1к : К” — сот р [К”], к = = 1, 2,..., т, и отображение Ф : С [а, Ь] — Б (Х”[а, Ь]) обладают свойством (Г“’ £ ,р,к = 1, 2,...,т), если импульсные воздействия 1к : К” — сотр [К”], к = 1, 2,..., т, обладают свойством А, и если найдется изотопный непрерывный вольтерров оператор Г : С+ [а, Ь] — Ь+[а, Ь], удовлетворяющий условиям Г(0) = 0, для любых функций х,у € С”[а, Ь] и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется неравенство

К^ы)[ф(х);ф(у)] < 11Г(%(х -у))^1(м); (7)

множество всех локальных решений задачи

у = и + е + Г(у), A(y(^k)) = Ск (у(Ьк)), к = 1, ...т, у (а) = р (8)

сшриорно ограничено. Здесь непрерывное отображение % : С [а, Ь] —— С+[а, Ь] определено решен-

ч-1

ством

(%х)(Ь) = |х(Ь)1, (9)

отображения 1к : К” — сотр [К”], к = 1,2,...,т, удовлетворяют неравенству (6),

и € Ь + [а, Ь], числа е,р ^ 0.

Пусть для функции у € С [а, Ь] существует функция С € Ь”[а, Ь], что для любого Ь € [а,Ь] имеет место представление

« т

у(Ь) = у(а) + С(<ч)(^ + ^ Х[1к,ь](Ь)А(у(Ьк)), (10)

а к=1

где А(у(Ьк)) € 1к(у(Ьк)), к = 1, 2,..., т. Пусть доя функции к € Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества и справедливо соотношение

Рь^(ы)[С;Ф(у)] к(s)ds, (11)

ы

где функции С € Ь”[а, Ь] и у € С”[а, Ь] удовлетворяют равенству (10).

Теорема2. Пуст ь для функции у € С ”[а, Ь] имеет, место представление (10), а, функция к € Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству (11). Далее, пусть импульсные воздействия 1к : К” — сотр [К”], к = 1,2,...,т, и отображение

Ф : Cn[a, b] — S(L™[a, b]) обладают свойством (Гк,£ ,p,k = 1, 2, где е ^ 0, p = \x0 — y(a)\,

x0 — начальное условие задачи (1)-(3). Тогда, для л,юбого решения x Е Cn[a, b] задачи (1)-(3), •удовлетворяющего для, любого измеримого множества U С [a, b] неравенству (5), в котором функция q Е Ln[a,b] из представления (4), а функция v = q из соотношения (10), при любом t Е [a, b] имеет, мест,о оценка

\x(t) — y(t)\ < С(K,e,p)(t), (12)

t Е [a, b]

\q(t) — q(t)\ < K(t) + е + (r(c(K,e,p)))(t), (13)

где С(к, е, p)— верхнее решение задачи (8) при и = к и p = \xo — y(a) \.

y Е Cq n[a, b]

к Е L+[a, b] для каждого измеримого множества U С [a, b] удовлетворяет неравенству (11). Далее, пусть импульсные воздействия, Ik : Rn — comp [Rn], k = 1,2,...,m, и отображение Ф : Cn[a, b] — S(Ln[a, b]) обладают свойством (Гк,£,p, k = 1, 2,..., m), где e ^ 0, p = \x0 —y(a)\, x0 — начальное условие задачи (l)-(3), и множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограниченно. Тогда, при е > 0 существует решение x Е Cn[a, b] задачи (1)-(3), для, которого при всех t Е [a, b] справедлива оценка (12), и при почти всех t Е [a,b] выполняется соотношение

nn

Если Ф : С [a, b] — Q(S^n[a, b]], то утверждение справедливо и при е = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1 .Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

3. Завалищин С.Т., С'есекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

4. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень Московского университета. Секция А. 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

5. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. № 3. С. 3-16.

Abstract: The work is concerned with functional-differential inclusions with multivalued impulses. There is considered the question of realization of the distance (in the space of summable functions) from an arbitrary summable function to the values of a multivalued map acting on the solutions set. The effective estimates of solutions to the Cauchy problem are derived.

Key words: functional-differential inclusion; multivalued impulses.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Корчагина Елена Валерьевна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Alexandr Bulgakov

doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]

Elena Korchagina

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]