О продолжаемости обобщенных решений функционально-дифференциальных включений с вольтерровым оператором и импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ВОЛЬТЕРРОВЫМ ОПЕРАТОРОМ И ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

© А. И. Булгаков, О. В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; обобщенное решение.

Аннотация: В работе сформулировано понятие обобщенного решения задачи Коши для функционально-дифференциального включения с вольтерровым по Тихонову многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению (разложимости) значений. Получены условия существования и продолжаемости локального обобщенного решения задачи Коши.

Одним из основных свойств для обобщенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, как сформулировано в монографии [1], должно быть свойство продолжаемости локальных решений. Максимально продолженные решения должны «дойти» до границы области определения правой части дифференциального уравнения, если область определения является ограниченной областью в [a, b] х R”. Если же областью определения правой части уравнения является все произведение [a, b] х R”, то максимально продолженные ре-

[a, b]

рассматривается функционально-дифференциальное включение с вольтеровым по А.Н. Тихонову оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений (разложимостью) и импульсными воздействиями. Для него введено понятие обобщенного решения, которое обладает тем свойством, что локальное решение «не обрывается», а продолжается до максимально

[a, b]

[a, b]

импульсными воздействиями были исследованы в монографиях [2 -4].

Пусть U Е [a, b] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим lr}(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U ^ Rn с норм ой ||x||£n(u) = / |x(s)|ds.

и

Пусть Ф С L^a, b]. Будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению (разложимо), если ДЛЯ любых x,y Е Ф И любого измеримого МНожества e С [a, b] выполняется ВКЛЮчение Х{е)Х + + Х([а,ь\\е)У Е Ф, где Х(.) - характеристическая функция соответствующих множеств.

Обозначим через n(In[a, b]) (Q^jl[a,b\)) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями) подмножеств пространства \jl[a,b\.

Пусть X - нормированное пространство с нормой || ||х- Обозначим рх[x; U] - расстоя-

ние от точки x Е X до множества U в пространстве X; h+ [Ui; U] = sup рх[x,U] - полуот-

x£Ui

клонение по Хаусдорфу множества Ui С X от множества U в пространстве X; hx[Ui; U] = = max{h+[Ui; U]; h+[U; Ui]} - расстояние по Хаусдорфу между множествами Ui и U в пространстве X.

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131) и включена в Темплан № 1.6.07.

Пусть ¿к е [а, Ь] (а < ¿1 < ... < ¿т < Ь) - конечный набор точек. Обозначим через С [а, Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, ¿1], (¿1, ¿2], • • •, (¿т, Ь] ограниченных функций х : [а, Ь] — М”, имеющих пределы справа в точках ¿к, к = 1, 2,т, с нормой ||х^п[а6] =

= 8ир{|х(£)| : £ е [а, Ь]} [а, Ь] - множество неотрицательных функций пространства С [а, Ь].

Если т е (а, Ь], то С [а,т] - это пространство функций х : [а,т] — М”, являющихся сужениями на отрезок [а, т] элементов из С [а, Ь] с нормойЦхЦ^пт] = вир{|х(£)| : £ е [а, т]}.

Определение 1. Пусть Ф - непустое подмножество про странства Ь”[а, Ь]. Обозначим через swФ совокупность всевозможных конечных комбинаций

У = х(^1)х! + х(^2)х2 + ... + Х(Мт)хт, элементов хг е Ф, г = 1,2,..., т, где непересекающпеся измеримые подмножества Ыг, г =

т

= 1, 2,..., т отрезк а [а, Ь], удовлетворяют условию и Ыг = [а, Ь]. Пусть далее, SWФ замыкание

г=1

множества swФ в пространстве Ь”[а, Ь].

Рассмотрим задачу

х е Ф(х), (1)

Ах(£к) = 1к(х(Ьк)), к = 1,...,т, (2)

х(а) = х0, (3)

где отображение Ф : С [а, Ь] — ф(Ь”[а, Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией и найдется такое отображение Р : С [а, Ь] х С [а, Ь] —— И/+[а, Ь], принимающее нулевое значение на диагонали С [а, Ь] х х С [а, Ь], и непрерывное по второму аргументу на ней, что для любых х,у е С [а, Ь] и любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняется оценка

Ь+ци)[Ф(х) Ф(У)] < 1Р(х,У)Ь\{Ы). (4)

Отметим, что правая часть включения (1) может не обладать свойством выпуклости по переключению значений. Отображения 1к : М” — М”, к = 1, 2,..., т, непрерывны, Ах (¿к) = х(Ьк+0)-х(£к), к = 1, 2,..., т.

Определение 2. Под обобщенным решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию

х е С”[а, Ь], для которой существует такое д е ^Ф(х), что при всех £ е [а, Ь] имеет место

представление

« т

х(£) = хо + q(s)ds + ^2х(гк,ь](£)А(х(£к)), (5)

а к=

где А(х(£к)), к = 1, 2,...,т, удовлетворяют равенствам (2).

Отметим, что согласно [5], если множество Ф(х) в (1) выпукло по переключению, то обобщенное решение задачи (1)-(3) совпадает с классическим решением (см. также [6]).

Нужно отметить, что к задаче (1)-(3) сводятся, например, математические модели сложных многокомпонентных систем автоматического управления с импульсными воздействиями, в которых в связи с отказом того или иного устройства объект регулирования переходит с одного закона управления на другой (регулируется разными правыми частями). Так как отказы (переключения) могут происходить в любые моменты времени, и при этом должно быть гарантировано управление объектом, то модель должна учитывать все возможные траектории (состояния), соответствующие любым переключениям. Обобщенные решения задачи (1)-(3) и составляют множество всех таких траекторий.

По заданному отображению Ф : фп[а, b] ^ Q(L”[а, b]) определим многозначный оператор Ф : Сn[a, b] ^ П(ЬП[а, b]) равенством

Ф (х) = sw Ф (x). (6)

Отображение ф : фп[а, b] ^ П(ЬП[а, b]) будем называть «овыпукленным» по переключению отображением.

Определение 3. Будем говорить (см. [7]), что оператор Ф волътерров по А. Н. Тихонову (или волътерров), если из условия x\T = у\т, т Е (а, b), следует равенство ( Ф(х))|т = ( Ф(у))\т,

где z\T — сужение функцпп z Е Сп[а, b] на отрезок [а,т], ( Ф(г))\т — множество сужений функций

из множества Ф^) на отрезок [а,т].

Далее предположим, что оператор Ф : фп[а, b] ^ Q(Ln[a, b]) (правая часть включения (1)) вольтерров, тогда оператор ф : фп[а, b] ^ П(ЬП[а, b]), определенный равенством (6), также воль-терров. Кроме того, в силу оценки (4), оператор ф : фп[а, b] ^ П(ЬП[а, b]) полунепрерывен снизу (см. [6]). _ _

Пусть т Е (а, b]. Определим непрерывное отображение VT : Iеп[а,т] ^ Iеп[а, b] равенством

(Vt(x))(t) = ( х'(); если tЕ 1а'т} (7)

v v [ х(т), если t Е (т,Ь].

Определение 4. Будем говорить, что функция х Е С п[а,т ] является обобщенным решением задачи (1)-(3) на, отрезке [а,т], т Е (а, b], если существует такое q Е ( ф(VT(х)))\т, что функция х : [а, т] ^ Мп представима в виде

t

x(t) = хо + ^ q(s)ds + Х^к,ь](1)А(х(Ьк)), (8)

а k:tk е[а,т]

где отображение VT : фп[а, т] ^ фп[а, b] определено равенством (7), Д(х(Ьк)) (к : tk Е [а,т]) удовлетворяют равенствам (2).

Далее, будем говорить, что функция х : [а, с) ^ Мп является обобщенным решением задачи (1)-(3) на [а, с), если для любого т Е (а, с) сужение х\т Е |фп[а,т], и найдется такая функция q : [а, с) ^ Мп, что для любого т Е [а, с) q\T Е ( ф(VT(х)))\т, и для любого t Е [а, с) имеет место tk Е [а, с).

Обобщенное решение х : [а, с) ^ Мп задачи (1)-(3) будем называть непродолжаемым (маку

[а,т], (здесь т Е (с, b], если с < b и т = b, если с = b), что доя любого t Е [а, с) выполнено равенство x(t) = y(t).

Обобщенное решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.

Теорема 1. Найдется такое т Е (а, b], что обобщенное решение задачи (1)-(3) суще-[а, т]

Теорема 2. Для того чтобы обобщенное решение х : [а, с) ^ Мп задач и (1)-(3) было продолжаемым на [а,т], (т Е [с, b]), необходимо и достаточно, чтобы lim \x(t)\ < ж.

t^c-0

Теорема 3. Если у - обобщенное решение задачи (1)-(3) на, [а,т ], т Е (а, b], то существует непродолжаемое решение х задач и (1)-(3), определенное либо на [а, с) (с Е (т, b]), либо на [а, b] такое, что при всех t Е [а, т] выполнено равенство x(t) = y(t).

Пусть H(хо,т) - множество всех обобщенных решений задачи (1)-(3) на отрезке [а, т] (т Е

Е (а, b]).

(1) (3)

ограничено, если найдется такое число r > 0, что для всякого т Е (а, b] не существует обобщенного решения у Е H (хо,т), ДЛЯ которого выполняется не равенство ||y||gn[aT ] > r.

Из теорем 1-3 вытекает:

Теорема 4. Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено. Тогда, для любого т G (a, Ъ\ множество H(х0,т) = 0, и существует такое r > 0, что для каждых т G (а,Ъ\, y G H(х0,т) выполняется неравенет,во ||y||cn[a,T] ^ г.

Определение 5. Будем говорить, что отображения Ф : С [а, Ъ\ ^ Q(Ln[a, Ъ\) и Ik : ^ к = 1, 2,... ,m обладают свойс твом A, если найдется пзотонный непрерывный

вольтерров оператор Г : С+1[а, Ъ\ ^ L+1 [а, Ъ\ и неубывающие непрерывные функции

Ik : R+ ^ R+, к = 1,2,..., m, для которых справедливы условия: для любой функции х G G С [а, Ъ\ и произвольного измеримого множества U С [а, Ъ\ выполняется неравенство

IIФ(х)||ьn(u) < l|r(Zx)|Li(u);

для любого к = 1, 2,... ,т и произвольного х G Rn имеет место оц енка \Ik (х)| ^ Ik ( |х|); множество всех локальных решений задачи

У = Г(у), Ay(tk ) = Ik (y(tk )), У (а) = \хо\

априорно ограничено.

Здесь непрерывное отображение Z : С [а, Ъ\ ^ С+[а, Ъ\ равенством ^х)^) =

= |хС0\.

Теорема 5. Пусть отображения Ф : (Г [а, Ъ\ ^ Q^га[а, Ъ\^ Ik : Rn ^ Rn, к = 1, 2,... ,m обладают свойством A. Тогда, для, любого т G (а, Ъ\ множест во H (х0,т ) = 0, и существует такое r > 0, что для лю бых т G (а,Ъ\ и у G H (х0,т ) выполняется нераве нет,во ||y||gn[aT ] ^ г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища ж., 1987.

3. Завалищин С. Т., С'есекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

5. Булгаков А.И., Беляева О.П., Минина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. № 1. С. 3-20.

6. Пучков Н.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А., Коробко А.И., Корчагина Е.В., Мачина А.Н., Филиппова О.В., Шлыкова И.В. О некоторых задачах функционально-дифференциальных включений // Вестник ТГТУ. 2008. Т. 14. №4. С. 947-974.

7. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень Московского университета. Секция А. 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

Abstract: In the work the concept of generalized solution of the Cauchy problem for a functional-differential inclusion with Volterra (in the sense of Tikhonov) multivalued map not necessarily convex-valued with respect to switching (dicomposable) is formulated. The conditions of existence and prolongability of a local generalized solution to the Cauchy problem are derived.

Key words: functional-differential inclusion; impulses; generalized solution.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Alexandr Bulgakov

doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]

Филиппова Ольга Викторовна Olga Filippova

аспирант post-graduate student

Тамбовский государственный университет Tambov State University named after

им. Г.Р. Державина G.R. Derzhavin

Россия, Тамбов Russia, Tambov

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

УДК 517.927.4, 517.929, 517.977.1

О КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ 1

© Е. О. Бурлаков

Ключевые слова: краевые задачи; управляемые системы; дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Аннотация: Получены утверждения о непрерывной зависимости от параметров решений общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения, исследована корректность конкретных краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом.

В работах [1, 2] найдены условия непрерывной зависимости периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений от управления. Широкое применение уравнений с отклоняющимся аргументом для описания управляемых систем потребовало исследования корректности таких систем и, в частности, нахождения условий непрерывной зависимости периодических решений функционально-дифференциальных уравнений от значений управления и других параметров. Как известно, задача о периодических решениях уравнений эквивалентна краевой задаче.

В данной работе получены утверждения о непрерывной зависимости от параметров решений общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения. Результаты применены к исследованию конкретных краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом. Доказаны утверждения, аналогичные результатам работ [1, 2].

Обозначения: Кп - пространство векторов, имеющих п действительных компонент, с нормой

| • |; ц - мера Лебега на [а, Ь]; Ь([а, Ь], ц, Кп) - пространство измеримых суммируемых функций

ь

у : [а, Ь] ^ Кп с нормой ||у||ь=/ Ь^([а,Ь], ц, Кп) - пространство измеримых существенно

а

ограниченных функций у : [а, Ь] ^ Кп с норм ой ||у||ь^,= уга18ир |у(£)|; С ([а, Ь], Кп) - пространство

Ь€.\а,Ь]

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131) и включена в Темплан № 1.6.07.