Общий "бенг-бенг" принцип для функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

ОБЩИЙ "БЭНГ-БЭНГ" ПРИНЦИП ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© А.И. Булгаков, А.И. Коробко, Е.В. Малютина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; вольтерров по А.Н. Тихонову оператор; локальное решение; априорная ограниченность.

Сформулированы достаточные условия выполнения "бэнг-бэнг" принципа для функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями.

Пусть comp[Rn] — множество всех непустых компактов п -мерного векторного пространства Шп с нормой |*|; рх [•; •] - расстояние в пространстве X между точкой и множеством; /&[•; •] — расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве Х\ Ln[a,6] — пространство суммируемых по Лебегу функций х: [а, Ь] —> Еп с нормой ||я||ьп[а,Ь] =

L+[a, 6] конус неотрицательных функций пространства L1 [а,, 6] ; *Sr[LTl[a,, 6]] -множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению (см. [3]) подмножеств пространства Ln[a, b] ; П(5[Ьп[а, Ь]]) — множество всех непустых, выпуклых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a, 6] ; со Y — выпуклая оболочка множества Y СХ ; со Y = coY ; ext Y — замыкание множества крайних точек множества Y С X.

Пусть tk € [a, b] (а < t\ < ... < tp < b) — конечный набор точек. Обозначим С [а, Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов •••» ограни-

ченных функций х: [а, Ь\ —> Мп, имеющих пределы справа в точках к = 1,2,... ,р, с нормой ||ж||^|а 6| =sup{|x(t)|: £E[a, 6]}; C+[a, 6] — множество неотрицательных функций про--—■ 1 '—■ 'fi

странства С [а, &]; Сп[а, Ь] С С [а, Ь] - пространство непрерывных функций ж: [а,6] —> Мп с нормой ||^||(^n[a = max {|х (t)\: t Е [а, 6]} ; Dn[a, b] - пространство абсолютно непрерыв-

ь

ных функций х : [a, b] —» Rn с нормой ||#||£>п[а>ь] = \х (а)| + f |i(s)| ds.

а

Пусть отображение Ф: Cn[a, b] —> 5[Ln[a, b]\. Обозначим отображение F: [а, Ь] х Сп[а, 6]

—> comp[Rn], обладающее следующим свойством: при каждом фиксированном хЕСn[a,6] отображение F(-,a:) измеримо и удовлетворяет равенству:

ф(ж) = {у Е Ln[a,6] : y(t) € F(t,x) при п. в. t £ [a, b]}. (1)

Такое отображение существует (см. [2]). По аналогии с‘оператором Немыцкого будем называть отображение F : [а, Ь] х С71 [а, 6] -> сошр[Мп] отображением, порождающим оператор Ф : Cn[a, b] —» S[Ln[a, b]]. Далее, отображение Фext: Cn[a, b] —> 5[Ln[a, b]] определим равенством:

«

Фех^я) = {у £ Ln[a,6] : y(t) £ ext(co.F(£, х) при п.в. t € [a,6]}. (2)

Отметим, что при каждом хеСп[а,Ь] множество Фех^я), определенное равенством (2), — минимальное по включению выпуклое по переключению, замкнутое в пространстве Ln[a, b] множество, содержащееся в множестве Ф(х) и удовлетворяющее условию:

со(Фезл(®)) = со(Ф(ж)). (3)

1511

Рассмотрим следующие функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями:

х Е 3(х) + ЛФ(х); (4)

х € Э(х) + ЛФеХ1(а:); (5)

х € 3(а:) + ЛФС0(х), (6)

где вольтерров по А.Н. Тихонову оператор (см. [7]) Ф : Сп[а, Ь] —> 5[Ьп[а, 6]] удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества С/ С Сп[а, Ь] образ Ф([/) ограничен суммируемой функцией; отображение Фехг: С71 [а, Ь] 5[Ьп[а, 6]] задано равенством (2); оператор Фсо : Сп[а, 6] —» П(£[Ьп[а, 6]]) определен соотношением:

Фсо(х) = со(Ф(ж)); (7)

непрерывное отображение 3 : Сп[а, Ь] —> Сп[а, 6] при всех £ Е [а, 6] определено равенством:

(Эаг)(*) = ^2 Хцк,ь](1)Ых(*к)), (8)

к=1

в котором отображения /*.: Мп —» Еп, к = 1,...,р непрерывны; непрерывный интегральный оператор А : Ьп[а, 6] —> С71 [а, Ь\ определен соотношением:

ь

(Аг)(Ь) = хо + J г(з)с1з. (9)

а

Из определения оператора 3 : Сп[а,6] —> Сп[а, 6], заданного формулой (8), следует, что функции : Мп —> Мп, к = 1,...,р определяют величину "скачка" решения х: [а, Ь] —> Мп в точках т.е.

Л(®(^)) = + о) - х(Ьк) = А(х{гк)).

Отметим также, что для любых хеСп[а, Ь] и для любых £ Е [а,^] справедливо равенство (3ж)(£) = 0.

Определение1. Решением задачи (4), ((5), (6)) будем называть функцию хЕСп[а,6], для которой существует такая измеримая функция б/ЕФ(х) (^ЕФе^М)^ Е Фсо(х)), что при всех ^ Е [а,, 6] справедливо представление:

х(4) = (Ад)(4) + (Зх)(Ь). (10)

Пусть т Е (а, Ь]. Определим отображение Пт : Сп[а, г] -> Сп[а, Ь] равенством:

(пгХт = (х?\ если 4д(^* (п)

4 4 ( ^(т), если £ Е (т, о).

Согласно определению отображения Пт : Сп[а, т] —> Сп[а,6], оператор 4 П^,: Сп[а,6] —>> -> Сп[а,6] является тождественным.

Определение 2. Решением задачи (4) ((5)^(6)) на отрезке [а, г] (г Е [а, 6]) (локальным решением) будем называть функцию хЕСп[о,г], для которой существует такое ^ Е Ф(Пгх) (д Е ФеХ1(Пгх), д Е Фсо(Пт:г)), что для любого £ Е [а, г] имеет место представление:

х(() = (Л<г)(*) + (ЗпГ1)(*). (12)

1512

Обозначим Н(хо, г), Нехь(хо,т), Нсо(хо,т) множество всех локальных решений включений (4), (5), (6) соответственно.

ОпределениеЗ. Будем говорить, что множество локальных решений включения (4) ((5), (6)) априорно ограничено, если существует такое число А > 0, что для любого тЕ Е (а, Ь] не существует решения х Е #(ж0, т), (х Е НехЬ(хо, г), х Е Нсо(хо, т)), для которого справедливо соотношение:

Н^Нс’Ча.т] >

Определение 4. Будем говорить, что функция х Е С п[а, Ь] является квазирешением задачи (4) ((5), (6)), если найдется такая последовательность Х{ Е Сп[а,6], г — 1,2, что для каждой функции хг =1,2,... найдется функция ^ Е Ф(х) ^ Е Фех^я), <7г € Е Фсо(я)), что

= (Л9г)(<) + (3®<)(*) (13)

и XI—>х в Сп[а,6] при г—»оо.

Обозначим Н(хо,Ь), Нехь(хо,Ь), Нсо(хо,Ь), множество всех решений задач (4), (5), (6) соответственно, а 'Н(хо), Нехг(^о) ^со(^о) — множество всех квазирешений задач (4), (5), (6) соответственно.

Из равенства (3) и [3] вытекает

Теорема!.. Справедливы следующие равенств:

'Н,{хо) = ^со(^о) = ^ех^З'О) ~ Нсо{х0>Ь).

Пусть хЕ Нсо(хо,Ь). Тогда по определению решения задачи (6) найдется такой элемент <7 Е Фсо(^)? что при всех te [а,6] справедливо представление (10). В силу того, что ядро интегрального оператора Л : Ьп[а, Ь] —> Сп[а, 6], определенного соотношением (9), состоит только из нулевого элемента, представление (10) является единственным. Тогда для функции (х — 3(х)) Е И71 [а, Ь] при почти всех £ Е [а, Ь] имеет место равенство:

(*-3(*))'(0 = «(*),

где^функция # Е ФСо(яО удовлетворяет представлению (10). Поскольку для отображения 3 : Сп[а, Ь] —> Сп[а, 6], определенного равенством (8), при почти всех £Е[а,Ь] выполняется условие:

0(х)т = о,

то функция дЕФсо(^) из представления (12) удовлетворяет соотношению:

х = д

и называется производной кусочно непрерывной функции хЕСп[а,Ь\.

Зафиксируем некоторое отображение д : Нсо(хо, Ь) —Ьп[а, Ь]. Рассмотрим функционал г]: Нсо(хо, 6) —> М1, определенный соотношением:

ф) = т?(х,5(х)) = ||д - А(х)||ьп|0ь]) (14)

где функция ^ЕФсо(^) удовлетворяет представлению (10).

Л е м м а 1. Пусть множество всех локальных решений задачи (6) априорно ограничено, и пусть многозначное отображение Фсо: Сп[а, Ь] -> П(5(Ьп[а, &])) полунепрерывно сверху по Хаусдорфу (см. [9]) на Ясо(хо,Ь), а оператор д : Нсо(хо, Ь) —> Ьп[а, Ь] непрерывен. Тогда функционал Т):Нсо(х0,Ь)^Ш\ определенный соотношением (14), полунепрерывен снизу на Ясо(х0, Ь).

1513

Рассмотрим функционал 0 : Нсо(хо, 6) —> М1, заданный равенством:

в(х) = е(х,д(х)) = Рь"[а,Ь]Ь0*0, Ф«й(а:)]- (15)

Л е м м а 2. Пусть множество всех локальных решений задачи (6) априорно ограничено. Далее, пусть найдется такой изотонный непрерывный оператор Г :С^[а,Ь] —>Ъ+[а,Ь], удовлетворяющий условиям Г(0) = 0, для любых функций х,у Е Сп[а, Ь] и любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняется неравенство:

Ььп(и)[^со{х)]Фсо{у)] < ||Г(2(ж-у))||Ь1(10, (16)

где непрерывное отображение Z : С71 [а, Ь] —> С+[а, 6] определено равенством:

(гх№ = |®(*)|. (17)

Далее, пусть отображение д : Нсо(хо, Ь) —> Ьп[а, Ь] непрерывно. Тогда функционал 0 : Ясо(хо, Ь) —> Е1 полунепрерывен сверху на Нсо(хо,Ь).

Определение 5. Будем говорить, что отображения 3 : С71 [а, Ь] —> С71 [а, 6], Ф : Сп[а, 6] —> 5[Ьп[а, Ь]] обладают свойством Б, если найдутся непрерывные изотопные

вольтерровы по А.Н. Тихонову операторы Г: С+[а, Ь] —>■ [а, Ь], 3: С+[а, 6] —> С+[а, 6], удо-

влетворяющие условиям

г(о) = о, 3(0) = о,

и для любых х,у Е С71 [а, 6] и любого измеримого множества Ыс [а, 6] выполняются неравенства:

Ль"(м)[Ф(*); *(»)] < 1|г(2(Х - у))ЦЬ1(Ы), (18)

1(3)(ж) - (3)(у)| < 3{г(х - у)), (19)

а задача

У = Г у, у (а) = 0 (20)

на каждом отрезке [а,т] (т € (а, Ь]) имеет только нулевое решение, где отображение

Г : С + [а,Ь] —> Ь\[а,Ь\ удовлетворяет неравенству (18), а непрерывное отображение

Z : Сп[а, Ь\ —> С+[а, Ь] определено равенством (17).

На основании утверждений лемм 1 и 2 доказывается следующая теорема. Теорема2. Пусть множество всех локальных решений задачи (6) априорно ограничено. Далее, пусть отображения 3 : С71 [а, Ъ\ —> Сп[а, 6], Ф : Сп[а, Ь] —> 5[Ьп[а, Ь]\ обладают свойством Б. Тогда Нехь(хо,Ь)^0 и справедливо равенство:

Я(®0,6) = ЯёЖЛ) = Нсо(х о, 6), (21)

где Н(хо,Ь), Нехь(хо,Ь) — замыкание множеств Н(хо,Ь), Нех^хо,Ь) в пространстве С71 [а, 6] соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

%

1. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис АД., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. 2005. 216 с.

2. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. № 10. С. 63-86.

3. Булгаков А.И., Коробко А.И., Филиппова О.В. К теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск, 2008. Вып. 2. С. 23-26.

1514

4. Завалищин С. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

5. Иоффе А.Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

7. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секция А. 1938. Т. 1. № 8. С. 1-25.

8. Толстоногое А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

9. Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2000. Т. 3. № 2. С. 88-102.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (соглашение № 14.132.21.1348), Российского фонда фундаментальных исследований (гранты

№ № 11-01-00-626, 11-01-00-645).

Поступила в редакцию 10 сентября 2012 г. Bulgakov A.I., Korobko A.I., Malyutina E.V., Filippova O.V.

General "bang-bang" principle for functional-differential inclusion with impulses. Formulated the sufficient conditions of "bang-bang" principle for functional-differential inclusion with impulses.

Key words: functional-differential inclusion; impulses; Volterra operator; local solution; apriori boundedness.

1515