Аппроксимация решений сингулярных интегродифференциальных уравнений полиномами Эрмита-Фейера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 2 (2018). С. 109-117.

УДК 519.64.7

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОЛИНОМАМИ ЭРМИТА-ФЕЙЕРА

А.И. ФЕДОТОВ

Аннотация. Сингулярные интегральные и интегродифференциальные уравнения имеющие обширные приложения исследовались отечественными и зарубежными математиками с начала 20-го столетия, и к 70-м годам была построена их законченная теория. Из этой теории известно, что такие уравнения имеют точные решения лишь в редких частных случаях, поэтому большое развитие получили приближенные методы решения этих уравнений, а также методики обоснования приближенных методов. Под обоснованием приближенного метода решения операторных уравнений здесь понимается доказательство существования и единственности приближенного решения, оценка его погрешности и доказательство сходимости приближенных решений к точному. Кроме того, для сравнений приближенных методов решения была создана теория их оптимизации.

Однако зачастую, в зависимоти от конкретной задачи, существенную роль играет также вид приближенного решения. В частности, иногда желательно иметь приближенное решение в виде сплайна, иногда в виде полинома, иногда достаточно значений искомой функции в узлах. Естественно, что в зависимости от выбора вида приближенного решения выбирается и методика обоснования такого приближенного метода. Однако арсенал методик обоснования приближенных методов пока еще скуден, и поэтому теория обоснования находится в настоящее время в стадии интенсивной разработки.

В данной работе обоснован приближенный метод решения полных сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений в периодическом случае. Приближенное решение при этом ищется в виде тригонометрического интерполяционного полинома Эрмита-Фейера. Для обоснования этого приближенного метода использована методика разработанная Б.Г. Габдулхаевым и его учениками для обоснования приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений. Доказана сходимость метода, получены оценки погрешности приближенного решения.

Ключевые слова: сингулярные интергродифференциальные уравнения, обоснование приближенных методов.

Mathematics Subject Classification: 65R20

1. Введение

Алгебраические интерполяционные полиномы е кратными узлами, носящие название полиномов Эрмпта, хорошо исследованы и успешно используются для решения широкого круга прикладных задач. Их тригонометрический аналог исследован значительно хуже и многие вопросы, касающиеся существования, единственности и аппроксимативных свойств таких полиномов, до сих пор остаются открытыми.

A.I. Fedotov, Approximation of solutions to singular integro-differential equations by Hermite-Fejer polynomials. © Федотов А.И. 2018. Поступила 24 мая 2017 г.

Первые исследования тригонометрических интерполяционных полиномов с кратными узлами начались, по-видимому, с конца 30-х годов прошлого столетия. С, М, Лозинский [1] рассматиривал вопросы приближения функций комплексной переменной регулярных внутри единичного круга и непрерывных на его границе тригонометрическими интерполяционными полиномами с кратными узлами, расположенными на единичной окружности. Он же впервые назвал такие полиномы полиномами Эрмита-Фейера. Э.О. Зеель [2,3], обобщая результаты предшественников [4-7], доказал существование тригонометрических интерполяционных полиномов по системе равноотстоящих узлов произвольной кратности т > 0 для действительнозначных 2^-периодических функций и указал способ построения соответствующих фундаментальных полиномов. Кроме того, он получил условия равномерной сходимости таких полиномов к интерполируемой функции в зависимости от ее гладкости и четности или нечетности т.

Б, Г, Габдулхаев [8] получил в удобной форме неулучшаемые, в смысле порядка, оценки скорости сходимости тригонометрических интерполяционных полиномов первой кратности в пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Кроме того, в этой работе он впервые исследовал свойства квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Гильберта, полученных при кратном интерполировании плотности. Опираясь на результаты работы [3] и используя методику Б, Г, Габдулхаева [8], Ю, С, Солиев [9-11] систематически исследовал квадратурные формулы с узлами различной кратности для сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта,

Для приближенного решения операторных уравнений до настоящего времени полиномы Эрмита-Фейера использовались только в работах автора [12,13],

В данной работе построена вычислительная схема и дано обоснование метода колло-каций для полного сингулярного интегродифференциального уравнения в периодическом случае. Доказана сходимость метода, получены эффективные оценки погрешности приближенного решения,

2. Постановка задачи Рассмотрим сингулярное интегродифференциальное уравнение 1

^(а,Ц)х{и)Ц) + Кт.]х{и))а) + (.]оКх(и))(£)} = у(1), г е [0, 2^], (2.1)

где х - искомая, аю Ью (по обеим переменным), и = 0,1, и у - известные непрерывные 2^-периодичеекие функции, сингулярные интегралы

1 Г2п г — +

(^])(1) = — х(и)(т-¿т, и = 0,1, г е [0, 2ж\,

2

понимаются в смысле главного значения по Коши-Лебегу, а

1 Г2п

(.ЬКх^Щ = — к(¿,т)жи(т)^т, и = 0,1, г е [0, 2п], о

являются регулярными интегралами,

3. Вычислительная схема

Будем, как обычно, обозначать N множество натуральных чисел, N множество натуральных чисел дополненных нулем, К множество действительных чисел и С множество комплексных чисел.

Зафиксируем п € N. Приближенное решение задачи (2,1) будем искать в виде тригонометрического полинома Эрмита-Фейера

= Л У" (х2к + х'2к sin(t — t2k))-21 . ^ , t Е [0, 2т], (3.1)

П2 z—' • 2 1 — 2к

к=0 Sin -

2

где t2k, к = 0,1...,п — 1,- узлы с четными номерами сетки

tk =—, к = 0,1,..., 2п — 1. (3.2)

п

Неизвестные коэффициенты х2к, х'2к-> к = 0,1...,п — 1, полинома (3.1) найдем из системы линейных алгебраических уравнений i

(tk )x%\tk) + bv (tk )(JxW)(tk) + (J0P2¡n(hvxV))(tk)) = (3.3)

v=0

= y(tk), к = 0,1,..., 2n — 1,

где

1 2n-i sin п(т — tk) cos -——

PL(hAu))(t,T) = -£ ^ (t,tk )x¿\tk)-r — tk 2 ,

k=0 Sin-

sin2 — (t — t2k )

V = 0,1, t,T Е [0, 2т],

примененный по переменной т к функциям huXn \ у = 0,1, интерполяционный оператор Лагранжа Р2п по узлам (3.2). При этом

п— 1

1

(Jxn)(tk) = - + ^0,k—2j'^2j) , к = 0, ^ ..., 2'П — ^

=0

VK

аог = {— ctg— при г = 0, 0 при г = 0}, , 2п

а0„ = {--при г = 0, 2--при г = 0};

, п п

1 п—1

(Jx'n)(t2k) = -^J2(ai,2k-2j X2j + ®l,2k-2j ¿2j ), k = 0, 1,...,П — 1,

П 3=0

1 n—1

(Jx,n)(t2k+1) = a0,2k-2j+1^2j , к = 0, 1,...,П — ^

П 3=0

m , „ n2 — 1

a1r = {cosec2 — при r = 0,--при r = 0},

, 2n 3

TT

a1 r = {(—1)r cosec— при r = 0, 0 при r = 0}; , 2n

1 2n-1

(j0p;n(Kx%]))(tk) = 2~Y1 hv(tk,tj)xP(tj), y = 0,1, к = 0,1,...,2n — 1.

n 3=0

1 Отметим, что в работе [8] формулы (4), (5) и (6) — тригонометрический интерполяционный полином с

узлами первой кратности, квадратурная формула, построенная на основе этого полинома, и соответствующая квадратурная сумма - приведены с опечатками. Квадратурную сумму без опечаток можно найти, например, в диссертации [11], полином и квадратурную сумму - в данной работе.

4. Вспомогательные результаты Обозначим С множество непрерывных 2^-периодических функций с обычной нормой

||/||с = 8пр | f (*) |, f е С. гем.

Для фиксированного т е N0 обозначим Ст С С множество функций, имеющих на К ограниченную т-ю производиую (С0 = С). Норму на множестве Ст определим соотношением

||/||с™ = опмх ||/м||с, / е Ст.

Множество функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем а е К, 0 < а ^ 1, будем обозначать Иа, Для функцнй из Иа определим величину

Ч(Г ) | f (*) - f (г) |

Н(/; а) = вир —--—.

| г - т |а

г,т еК

Это наименьшая постоянная условия Гёльдера функции $ е Иа, Введенная величина позволяет определить норму на множестве Иа, а именно

||/||Нв =шах{||/||с,Н(/; а)}.

Из множества функций Ст для фиксированой постоянной а е К, 0 < а ^ 1, выделим подмножество функций И™, производные порядка т которых удовлетворяют условию Гёльдера

| /Мф - /Ы(т) ^ н(/а) | г - т Г,г,т е К. Норму на множестве И™ (И° = Иа) определим соотношением

|иг = шах{|/||с™,Н(/(т); а)}.

Обозначим множество всех тригонометрических полиномов степени не выше п. Ниже нам понадобятся две леммы, которые следуют из результатов работы [14].

Лемма 4.1. Пусть числа е К 0 < а ^ 10 < ¡3 ^ 1, и т,г е т ^ г, таковы, что т + ¡3 ^ г + а. Тогда для любого п е N и любой функции х е Ига справедлива, оценка, 1

||ж - Тга|и? ^ спт-г-а+Н(х(г); а), где Тп е Тп - полипом наилучшего равномерного приближения функции х.

Лемма 4.2. Для, любых п е N А е К 0 < [3 ^ 1, и произвольного тригонометрического полипом,а, Тп е 7П справедлива, следующая оценка:

ЦТпЦщ < (1 + 21-^^)|Тп|с.

Далее, оператор Р2п точен для любого тригонометрического полинома степени п - 1 и, как показано в [15,16], обладает следующими свойствами:

^ сЦР^пЦс^с ^ С 1пп (4.1)

для любых п е N п ^ 2, ¡3 е К 0 < ¡3 ^ 1, и произвольных фиксированных т е N.

1 Здесь и дал ее с обозначает вполне определенные константы не зависящие от п, возможно различные в разных вхождениях.

5. Обоснование метода Для вычислительной схемы (3,1)-(3,3) уравнения (2,1) справедлива следующая

Теорема 5.1. Пусть для уравнения (2.1) выполнены следующие условия: А1 функции и = 0,1 и у удовлетворяют условию Гёльдера с некоторым пока-

зателем а € Е, 0 < а ^ 1; функции и = 0,1, удовлетворяют условию Гёльдера, с тем, а

А2 а1{г) + ИЦг) = 0, ге [0,2ж\, АЗ к = тё^ + гЬ\) = 0,

А4 уравнение (2.1) имеет единственное решение х* € Нр, при любой правой части, у € Нр, 0 < / <а ^ 1

Тогда, при достаточно больших система уравнений (3.3) однозначно разрешима и приближенные решения х^ сходятся к точному решению х* уравнения (2.1) по норме пространства Нр щи п ^ ж со скоростью

||х* -х*п\\Я1 ^ сп-а+р 1пп, 0 < 3 < а ^ 1.

Доказательство. Покажем вначале, что предложение А4 теоремы 1 непусто в том смысле, что имеются уравнения рассматриваемого класса для которых это условие выполняется.

Действительно, рассмотрим уравнение

аг(г)(х'(г) + х(г)) + Ь^^х')(г) + №)($) = у(г), г е [0,2ц\. (5.1)

Известно [17], что характеристический оператор

Вх = а!(г)х(г) + Ь1(г)^х)(г), в : Нр ^ Нр,

уравнения (5.1) обратим, и обратный оператор В-1 : Нр ^ Нр может быть выписан в явном виде. Применим оператор В-1 к обеим частям уравнения (5.1). Получим равносильное ему уравнение

х(г) + х(г) = (в-1 у)(г), ге [0, 2ц\. (5.2)

В паре пространств ( Нр, Нр), уравнение (5.2) является уравнением Фредгольма, Однородное уравнение

х(г) + х(г) = 0, ге [0,2ж\, в пространстве действительнозначных функций имеет решение х(Ь) = се-*, Ь € [0, 2ц],

= 0,

щее значение с = 0, то есть однородное уравнение в пространстве периодических функций Нр имеет только пулевое решение. Это означает, что уравнение (5.2), а следовательно и уравнение (5.1), однозначно разрешимы при любой правой части у € Нр, 0 < / < а ^ 1. Дальнейшее доказательство теоремы 1 проведем методом работ [18,19]. Зафиксируем / € Е, 0 < / < а ^ 1, и пусть X = Нр^ У = Нр. Тогда задачу (2.1), можно записать в виде операторного уравнения

дх = у, д : X ^ У. (5.3)

Каждой функции х € X поставим в соответствие интеграл типа Коши вида

2ж

, ^ ^ , ч 1 [ х(т)(1т ^

Ф(г) = Ф(х;г) = — --( ) . С.

2ц ] 1 — хехр(—гт) о

Обозначим х+(Ь) и х-(Ь) предельные значения функции Ф(г) при стремлении г к точке ехр(й) по любым путям соответственно изнутри и извне единичной окружности. Для функций х+ и х- справедливы формулы Сохоцкого 1

х±(г) = 1((±1 — и)х)(г) +1.10х, г € е. (5.4)

Дифференцируя (5,4) и используя известные формулы

(х'(1))± = (х±(1))', (Зх)' (I) = (Зх' )(*),

имеем

х'(г) = х'+(г) — х'-(г), (Зх')(г) = ¡(х'+(г) + ж/—(¿)). (5.5)

В силу условий А2, АЗ согласно [20]

а1 — гЬ1

а1 + гЬ1 гф~ '

где

ф(г) = в(г) = Ф(щ г), и = 1п , г Е с.

а1 + го1

Тогда, используя (5,5), характеристическую часть уравнения (2,1) можно представить в виде [17,20]

а1(г)х' (г) + ЬШМ )(г) = (а1 (^ +(г) — (г)х'—(г)).

Уравнение (2,1) или, что одно и то же, уравнение (5,3) запишем в виде эквивалентного им операторного уравнения

Кх - Их + Ух = /, К : X ^ У, (5.6)

где

их = гф—х' + — гф+х'—, Ух = Ах + Вх + Шх,

1

Ах = ь—1а0х, Вх = ь—1Ъ0Зх, Шх = V-1 ^^

/ = V V =

и=0

а1 + гЬ1

причем, по условию А2 теоремы 1, ^(¿) = 0 £ € [0, 2^]. Эквивалентность здесь понимается в том смысле, что уравнения (2.1) и (5.6) разрешимы или нет одновременно и их решения совпадают.

Пусть Хга С Тп множество тригонометрических полиномов вида (3.1), а Уга = Р2пУ С Тп-Тогда система уравнений (3.3) эквивалентна операторному уравнению

К'пХп — и<пХп + У'пХп !п, : У Уn,

где

ип = P2nU, УпХп = Р2пАхп + Р2пВхп + ^пХп-, 1

№ПХП = р2п ^ ^0(^Лж!"))), = р2п/.

и=0

Эквивалентность здесь понимается в том смысле, что если система уравнений (3.3) имеет решение х2к,х'2*к, к = 0,1,...,п — 1, то уравнение (5.7) также будет иметь решение, совпадающее с полиномом

п

1 8Ш2 ^ — ^)

<(1) = (ХЫ + В1п(* — ^))—^Т—1—, I € К.

2

Установим близость операторов К и Кп Хп.

Для любого хп € Хп, используя полипом наилучшего равномерного приближения Тп— 1 € Тп-1 для функции Ахп, получим

\\Алп — Р2пАхп\\у ^ (1 + НР^Ну^у)\\Ахп — Тп—1\\у. (5.8)

Теперь, учитывая структурные свойства функции Ахп, оценим

Н(Ахт а) ^ с(\\х,п\\с + КНо) ^ с\\х,п\\х (5.9)

Из (5,8), используя лемму 1, оценку (4,1) и учитывая (5,9), найдем

\\ Ахп -Р2пАхп\\у < с(п-а+а Ып)\\хп\\х. (5.10) Рассуждая аналогично, получим

\\Вхп -РъпВхпЪ ^ с('п-а+13 Ы'п)\\хп\\х. (5.11)

Учитывая тригонометрическую степень точности использованных в (3.3) квадратурных формул для регулярных интегралов, можно записать

1 1

\^хп - WпXп\\Y < \\ ^ J^^ - Р2п ^.fPLih^WY < (5.12)

v=0 v=0

1 1 1

^ \\ Y.J'h^ - Р2п ^^(Ъх^к + \\Р2п - РпК ))\\y .

v=0 v=0 v=0

Теперь, используя полипом наилучшего равномерного приближения Тп-1 е Тп-1 для функции J°Нихп\, получим

v=0

1 1 1 \\ y^j0^:)) - Р2п^^(^х^ь ^ (1 + \\Р2п\ь^)\\ Y^J0^ -Тп-Аи. (5.13)

v=0 v=0 v=0

Учитывая структурные свойства функции hv (t, т) по переменной t, легко показать, что

11

о ^ с||хп\х. (5.14)

=0 =0 Из (5.13) и (5.14), используя лемму 1 и оценку (4.1), найдем

11 \\ YJ0hvX(n:) - Р2п YJ0hv^h ^ С(п-а+а ln п) \\хп\х. (5.15)

v=0 v=0

h v( , )

ноети использованных квадратурных формул и лемму 2, для второго слагаемого правой части оценки (5.12) получим

1

\\Р2п YJ'^^v - РТ2пК ))\\Y ^ (5.16)

=0

1

^ с(па 1пп)\\ - Р2ПК))\\о ^ с(п-а+а 1пп)\хп\х.

v=0

Наконец, используя оценки (5.12), (5.15) и (5.16), найдем

\^хп - W^nh ^ С(п-а+р 1пп)\\хп\\х. (5.17)

Обозначим через фn-1(t) е Тп-1 полином наилучшего равномерного приближения функции ф(Ь). Используя вспомогательный оператор

йП ■ Xn ^ Yn, йпхп ф-—1хп фп-1хп ,

найдем

\\ихп - ипхп\\y ^ (1 + \\Р2п\Ь^)\\ихп - йпхп\Ь. (5.18)

Далее, имеем

\\йхп - йпхпЬ ^ \\(Ф- - ФП-1)х(\\y + \\(Ф+ - ФП-^П-Ъ. (5-19)

Каждое из слагаемых правой части (5,19) оценим, применяя лемму 1, следующим образом:

- fâ-itâlW ^ 11^ - ^T-iIIY |Юк ^ cn-a+ß К IX. (5.20)

Теперь, с учетом (5,19), (5,20) и (4,1), неравенство (5,18) примет вид

HUxn - UnXnh ^ c(n-a+ß lnn)llxjx. (5.21)

Окончательно, используя оценки (5.10), (5.11), (5.17) и (5.21), получим

ЦК - Knllxn^Y < cn-a+ß ln п. Поскольку операторы Q и К обратимы или пет одновременно и

||X-1||Y^X ^ IMIY||Q-1||Y^X, (5.22)

то для достаточно больших п имеем

ЦК-1||Y^X||^ - Knllx^Y ^ cn-a+ß lnп ^ 1.

Для таких п в силу теоремы 1,1 работы [19] существуют операторы К-1 : Yn ^ Xn, и они ограничены. Кроме того, для правых частей уравнений (5,6), (5,7) по аналогии с (5,8), используя условие AI теоремы 1, лемму 1 и оценку (4,1), получим

Цу - Уп || Y = Цу - P2nyllY < cn-a+ß ln п. (5.23)

Теперь, используя следствие теоремы 1.2 работы [19] для решений х* и хП уравнений (5.6), (5.7), учитывая оценки (5.22), (5.23), найдем

Цх* - <||х ^ cn-a+ß ln п. Теорема 1 доказана. □

Следствие 1. Пусть в условиях теоремы, 1 функции av, bv, hv (по обеим, переменным), V = 0,1, и у G Wa, г G N Тогда, приближенные решения хП сходятся, к точному решению х* уравнения (2.1) при п ^ ж по норме прострапства Hß со скоростью

lk* - <Ц ^ cn-r-a+ß ln п, г + a>ß. (5.24)

Доказательство. Используя теорему 6 из [18], запишем

Цх* - <||х ^ (1 + IIW - ХпЦх + ЦК-1ЦЦКпХп - P2nKXnllY, (5.25)

где хп - произвольный элемент из Xn, В условиях следствия 1 решение х* уравнения (2.1) таково, что х*' G Hra при 0 < а < 1 и ж*(г+1) G Z при а =1 (Z - класс Зигмунда), Тогда, взяв в качестве хп G 7П полином наилучшего равномерного приближения для функции х* и используя лемму 1, для первого слагаемого правой части (5,25) найдем

(1 + ||X-1P2n^ ||)||ж* - Хп Цх ^ cn-r-a+ß ln п. (5.26)

Учитывая структурные свойства функций hv(t,r), и = 0,1, то переменной г, оценку погрешности квадратурных формул, используя лемму 2 и оценку (4.1) для второго слагаемого правой части неравенства (5.25), получим

ЦКпХп - P2nKXnllY = Ц^пЖп - P2nWXnllY < (5-27)

1

^ ЦР2п £ М^КК - Р^пК))|Y ^

и=0

1

^ c(nß lnn)ll ^ Mx^h - PT2nhv))Цс ^ c(n-r-a+ß)lnn\|Xn11X.

v=0

Теперь, подставляя в (5.25) оценки (5.26) и (5.27) и учитывая, что

ЦхпЦх ^ ||ж*||х + Цх* - Хп Цх ^ ||ж*||х + cn-r-a+ß, убедимся в справедливости оценки (5.24). Следствие 1 доказано. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лозинский С.М. Об интерполяционном процессе Fejer'a // ДАН СССР. Т. 24. № 4. 1939. С. 318-321.

2. Зеель Э.О. О тригонометрическом (0,р, q)-интерполировании // Изв. вузов. Математика. № 3. 1970. С. 27-35.

3. Зеель Э.О. О кратном, т,ри,гон,ом,ет,ри,ческом, интерполировании, // Изв. вузов. Математика. № 3. 1974. С. 43-51.

4. Киш О. О тригонометрическом (0, г)-интерполировании // Acta math. Acad, scient. Hung. V. 11. № 3-4. 1960. P. 243-276.

5. A. Sharma, А.К. Varma Trigonometric interpolation // Duke math. j. V. 32. № 2. 1965. P. 341-357.

6. A.K. Varma Trigonometric interpolation //J- math, analysis and applic. V. 28. № 3. 1969. P. 652659.

7. H.E. Salzer New formulas for trigonometric interpolation // J. math and phys. V. 39. № 1. 1960. P. 83-96.

8. Габдулхаев Б.Г. Квадратурные формулы с кратными узлами для сингулярных интегралов // ДАН СССР. Т. 227. № 3. 1976. С. 531-534.

9. Солиев Ю. О квадратурных и кубатурных формулах для, сингулярных интегралов с ядрам,и, Коши // Изв. вузов. Математика. № 3. 1977. С. 108-122.

10. Солиев Ю. Об интерполяционных кубатурных формулах с кратными узлами для сингулярных интегралов // Изв. вузов. Математика. № 9. 1977. С. 122-126.

11. Солиев Ю. Квадрат,урны,е и кубатурные формулы с кратным,и, узлами для сингулярных интегралов. // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Казань: КГУ, 1978. 124 с.

12. Федотов А.И. Аппроксимация решений одного класса, сингулярных интгро-дифференциалъных уравнений тригонометрическими полиномами с кратным,и, узлами, Казан, ун-т. Казань, Деп. в ВИНИТИ № 2483 - В86. 1986. 12 с.

13. Федотов А.И. Об одном, подходе к построению квадратурно-разностного метода решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 29. № 7. 1989. С. 978-986.

14. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация, в H-пространствах и приложения jI ДАН СССР. Т. 223. № 6. 1975. С. 1293-1296.

15. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, // Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ, Т. 18. М.: ВИНИТИ, 1980. С. 251-307.

16. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казан. ун-та. 1980. 232 с.

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

18. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы терии приближенных методов, IV// Изв. вузов. Математика. № 6. 1971. С. 15-23.

19. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I-IV // Изв. вузов. Математика. № 11. 1971. С. 33-44; Изв. вузов. Математика. № 12. 1971. С. 28-38; Изв. вузов. Математика. № 3. 1972. С. 18-31; Изв. вузов. Математика. № 4. 1972. С. 32-43.

20. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 512 с.

Александр Иванович Федотов,

Казанский филиал московского социально-гуманитарного института, ул. Столярова, 3, 420030, г. Казань, Россия E-mail: fedotovkazan@mail.ru