Многомерные обобщения задачи теплопроводности со случайным тепловыделением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г 2л 1

в частности, при »¡/(i) = 11 + log—J (сх>1). Но no теореме 3

(

lim К F -£„(/•) Ил- =0, для ф(/)= 1 + log— . Поэтому из (7) и следует

Л-ЮО v \ I J

утверждение теоремы 2, так как ф(х) = (1 + log —

V *

Доказательство теоремы 1. Обозначим

(«*)%(/ -5л(/)) = а„->0.

о

Тогда

(*')* «f = (R')\Ssn(f) + ая -flQ(g): а°(п * 0 0 г

+ tMf)<4c(g) + bk(f)bk(g))-HLn. *= 1

Так как а„ —> 0, то теорема 2 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Gordon RA. The Integrals of Lcbesgue, Denjoy, Perron and Henstoek. AMS. Providence, 1994.

2. Лукомский С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к I * И Мат. заметки. 2001. Т. 70, выи. 6. С. 882 - 889.

3. Кскim С И., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

УДК 518:517.944

А. Д. Луш.кои

МНОГОМЕРНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СО СЛУЧАЙНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

В работе [1] была рассмотрена задача расчёта нестационарных температурных полей со случайным тепловыделением в двумерных многосвязных областях. Было задано уравнение теплопроводности 1 56

—г-— = А0 + ц. Д - двумерный оператор Лапласа. (1)

а д1

Были заданы начальные значения температуры и граничные условия 3-го рода, функция тепловыделения ц - случайный процесс вида

<7 =Яо + 41 ПО- (2)

Здесь / и q0 - детерминированные (неслучайные) функции, q{ -случайная величина с заданным распределением.

Решение искалось в виде случайного процесса

0(*,У,О = 00(дc,y,t) + qß^yj). (3)

После подстановки (3) и (2) в (1), а также в начальные и граничные условия, стохастическая задача разделялась на две детерминированные. Разделив случайные и неслучайные составляющие уравнений (это было возможно благодаря тому, что случайная величина в каждом уравнении присутствует только одна), мы получили две краевые задачи - для уравнений теплопроводности с переменными температуры 0П и

соответственно. Эти задачи решаются независимо друг от друга. Линейная комбинация двух решений, полученная в соответствии с (3), удовлетворяла исходной краевой задаче для (1). Точный вид краевых задач и пример расчётов приведены в [1].

Методика и примеры решения нестационарных детерминированных задач теплопроводности известны и для разнородных тел, т.е. для тел, состоящих из т подобластей, различающихся коэффициентами теплопроводности. Соответствующее уравнение имеет вид дО

РА ^Г = + Мб; + 4i(x,y,t), i = 1 ..т. (4)

от

На внешней границе каждой подобласти заданы условия 3-го рода Лв

Х4-± + а0(=ае*. (4а)

дп

Заданы начальные условия

ei(x,y,0) = A0,(x,y). (46)

Такие задачи рассмотрены, например, в [2].

Внесём изменение в задачу. Пусть qi = q0i + qufj(t). Тепловыделение в каждой подобласти - случайный процесс того же вида, что и в представлении (2). Тогда <?,o>/i ~ детерминированные функции,

Ч\~(Ч\\->Ч\г......Ч\т) - случайный вектор. Таким образом, мы получили

задачу теплопроводности со случайным тепловыделением в составной области.

Используя метод, описанный в [1], ищем решение уравнения теплопроводности в г'-й подобласти в виде

0, (*, y,t) = 0Ш (х, y,t) + quQu Сx,y,t). (5)

Подставив это представление в (4), (4а), (46), разделив случайные и неслучайные (содержащие и не содержащие qu) составляющие каждого уравнения, получим новые уравнения, являющиеся компонентами новых краевых задач. Разделяя уравнения (4)-(4б), полагаем, что в каждом из них множители при случайной составляющей в сумме равны нулю, тогда в

каждом уравнении равна нулю и совокупная неслучайная составляющая. Имеем три уравнения для 00 и три для 0]:

(6)

о! (7)

к, —+ 010,, = 0, ' дп ь (6а)

Ви(х,у, 0) = 0, (66)

дО 6п +а°"' =а°'ж' (7а)

0о,(х,у,О) = /1о,(х,у). (76)

Не определены условия на границах между областями ни в (4), ни в

90 • ^0; л п

(6)-(7). 11усть это условия 4-го рода: А.,-—- = А. .•—— ; О,-— и.-, ¿Ф }.

дп дп 1

Описанный выше способ разделения основного уравнения и краевых условий чаще всего неприменим в отношении граничных условий 4-го рода даже в том случае, когда qu и ; зависимы (за исключением связи вида ци =Cq^j). Мы ослабляем эти граничные условия, полагая, что

температуры и тепловые потоки должны быть равны только в среднем. Кроме того, мы предполагаем, что постоянные составляющие функции температур 0Ш и 0О; на границе между 1-й иу'-й подобластью равны. Тогда

и условия на внутренних границах мы можем разделить. Получаем

50, • 501/

К -¿-мЧи =; ЪцЩц = , * *;; (бв)

01 .е 0 (7в)

дп ' дп '

В качестве температуры в г'-й подобласти в уравнении (6) теперь необходимо рассматривать аиМци. Умножим левые и правые части равенств (6), (6а), (66) на среднее значение qu с целью получения стандартной условий теплопроводности. Заметим, что тогда изменится и функция тепловыделения, и другие функции, присутствующие в краевых условиях. После этого преобразованные (6),(6а), (66), а также соотношения (6в) определяют краевую задачу для Qu^íqu. Уравнение (7) и краевые условия (7а),(7б),(7в) определяют краевую задачу для 0Ш.

Полученные таким образом краевые задачи мы решаем методом, описанным в [2], [3]. Зная средние значения случайных величин qu, мы найдём значения температуры для каждой фиксированной точки в

66

соответствии с (5). Решения, полученные по (5), будут удовлетворять уравнению (4), условиям (4а), (46), а также дополнительным условиям на внутренних границах. Эти дополнительные условия - (6в) и (7в). Подобно тому, как это сделано в [1 ], можно получить основные числовые характеристики температуры как случайного процесса. Были проведены расчёты для некоторых модификаций задач, описанных в |2], [3].

Рассмотрено также обобщение представлений (2)-(3) для задачи (1) на любое конечное число случайных величин - слагаемых, определяющих тепловыделение и температуру в фиксированной точке области:

<1=чо + 2>,/,(<); о=о0+ £е,/ДО-

Для нахождения некоторого решения краевой задачи из [I] нет необходимости накладывать какие-либо условия на случайные составляющие ряда. Мы получаем п краевых задач и решаем их независимо друг от друга. Линейная комбинация всех решений в фиксированной точке даст нам решение уравнения (1) в этой точке.

Метод, описанный в [2], применим и к трёхмерным (в частности, к осесимметричным) телам, нестационарные уравнения теплопроводности для которых исследованы в [3], [4]. Здесь отличие от \2] - лишь в некоторых граничных условиях и в методах решения краевых задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Луньков АД. Задачи теплопроводности со случайным тепловыделением // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 83 - 86.

2. Луньков AM- Плоские нестационарные задачи теплопроводности в составных областях // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-га, 2001. Вып. З.С. 163-166.

3. Федик И.И., Колесов B.C., Михайлов В.II. Температурные поля и термонапря-жених в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985.

4. Бенерджи П., Баттерфшн) И. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.

УДК 519.21

В. Н. Михайлов, В. Ю. Михайлов О РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

Рассмотрим однородную цепь Маркова с конечным числом состояний п и непрерывным временем t, с матрицей ннтенсивностей переходов А = i,j =1,...,л; 0 при и Х„ ■ Обозначим через

j*í

p¡(t) вероятность того, что в момент времени t система находится в со-