Плоские нестационарные задачи теплопроводности в двумерных составных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коновалов С. Ф., Медведева И. И., Трунов А. А. Экспериментальное исследование движения поплавка внутри поплавковой камеры, заполненной вязкой жидкостью // Прикладная гидродинамика поплавковых приборов: Тр. МВТУ им. Н. Э. Баумана. М., 1982. № 375. С. 60-65.

2. Чернов А. М. Гидродинамические реакции в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом на вибрирующем основании // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 188 - 190.

3. Андрейченко К. П., Могилевич Л. И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. 160с.

УДК 518:517.944

А. Д. Луньков

ПЛОСКИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ДВУМЕРНЫХ СОСТАВНЫХ ОБЛАСТЯХ

Рассмотрим задачу расчёта нестационарных температурных полей в двумерных составных областях, возникающую в случае, когда тепловой поток проходит через разнородное тело (то есть тело, состоящее из нескольких частей, различающихся коэффициентами теплопроводности).

В многосвязной области Д состоящей из m подобластей, в прямоугольной системе координат (х, у) задано нестационарное уравнение теплопроводности

р,с,е,.( = ^fiixx + ^-fîiyy + Si({x,y,t) г—1,2,—, т. (1)

Даны начальные условия 0, (х,_у,0) = 90,, на границах между подобластями заданы условия 4-го рода.

Пусть Г - граница области, tm> 0 интерпретируется как финальный момент времени, а (л:0, >"0 ) — некоторая фиксированная точка в области D.

Для решения краевой задачи в области, заданной указанным выше образом, используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) в соответствии с [1], где изложено решение задачи для однородного тела. Метод ГИУ, применённый к неизвестной 0 = 0,-, приводит к следующему представлению решений уравнения в однородной области:

P(x0,y0)Q(x0,y0,tm) = |£(i)cfs+ j£ml(0(im,5),e„(i,f/n),i)<fc + г г

(2)

г

Здесь и далее нижний индекс п обозначает производную по нормали. tm > tm_l >... >t{ >t0= О.Вид подынтегральных функций приведен в [1].

Согласно (2) значение температуры в т-й момент времени выражается через значения на границе области температуры и её производной по нормали в предыдущие моменты. Если точку (^0,_у0) брать на границе, то (2) станет интегральным уравнением относительно 6 и е„.

Зададим границу Г области О в параметрическом виде относительно некоторой переменной х с помощью Р-формы, определённой в [1]. Это однозначное отображение границы на некоторый отрезок , ¿/д, ]: х = хк(т),у = ук(т) - уравнение к-го участка границы, где < х <(1к. Здесь йк увеличивается с ростом к.

Далее решение зависит от условий, заданных на внешних границах. Предположим, что условия могут быть 3-го (как и в [1]) или 1-го рода.

Объединим полученные для всех 1=1, 2, ..., т и некоторого набора точек (х0,у0) уравнения, подставив в них граничные условия. Получаем систему одномерных интегральных уравнений двух видов

9; (т0 Л,) + № о> V« )9, СМт )<1х = Ь(т0, /т) + ¿0

¿0

+ |5(Т0, Т, , е,- (Т, г0)... .0,- (Т, . (3)

<1о

Здесь х0 - образ точки (х0,_у0), находящейся на внешней границе, < - номер подобласти, на внешней границе которой находится точка (х0,у0).

<>* 1 <*» Л.) + К(Т0,Х,/т)Л 9,(хо,1т)+ ^|.(т0,т,/я1)е<(х,/т)л + ¿0 ] <¡0 <*п

+ {¿,(т0,т,^)9ш(т,/т)Л= (4а).

¿0

¿0

Здесь х0 - образ точки (л:0, _у0), находящейся на внутренней границе между г-й и ;-й подобластями. Для таких точек имеет место, кроме того, уравнение (46), получаемое заменой в (4а) г на у.

- известные функции, выражение которых через время и параметрические координаты достаточно громоздко. Так выглядят уравнения для задачи 3-го рода. Для задачи 1-го рода отличие состоит в том, что в уравнениях (3) при интеграле с ядром К неизвестной будет не 9, а 9„.

164

В [1] при решении задачи для однородной области возникали лишь уравнения вида (3), т.е. тепловой поток в качестве неизвестной не присутствовал.

6(т,(0) известно из начальных условий. Тогда задача сводится к итеративному по времени решению интегральных уравнений относительно 0(х,г() и 6п(т,<,•). Каждое интегральное уравнение в соответствии с [1] приводится к системе линейных алгебраических уравнений. Если задача 3-го рода, то неизвестными в системе будут значения температуры на всем наборе точек (х0, у0), и значения теплового потока в тех точках, которые находятся на границах между подобластями. Если же задача - 1-го рода, то, напротив, тепловой поток будет искаться во всех точках, а температура лишь на внутренних границах. Уравнения (4а) умножаются на Я.,-, а уравнения (4Ь) на Л. • для того, чтобы в качестве неизвестной был именно

тепловой поток, а не производная по нормали. Значение функции может быть теперь найдено и в каждой точке внутри области по формуле (2). Полученная система уравнений имеет блочный вид. Поэтому при ее решении можно применять методы для разреженных матриц.

По приведённому выше алгоритму составлена программа расчёта температур в многосвязных сложных областях. В качестве примера рассмотрим область Д состоящую из 2-х прямоугольных подобластей. Подобласть Д ограничена прямыми х=-1, х=0, у= 0, у=1. Подобласть Д ограничена прямыми х=0, х=1, у=0, у= 1. Тогда граница между ними проходит по прямой х=0, а вся граница области £> состоит из 7 участков (отрезков, параллельных одной из координатных осей).

Точное решение выглядит так:

0, = I ■ (х2 + 100* +1) + 1; 92 = * • (10х +1) +1

0О,!=0,в1=1,а2=10Л1=1,Я.2=1.

Приведём в таблице решение задачи 3-го рода на каждом из участков границы в 5 узловых точках с шагом по времени 1т =0.001 после 20-го шага (начальное время /о=0, финальное время /20=0.02).

Участки Номера узлов

1 2 3 4 5

у=0 ; х>0 1.020 1.521 2.025 2.531 3.040

х=\ 3.040 3.040 3.040 3.040 3.040

у=1; х&О 3.040 2.531 2.025 1.521 1.020

х=0 1.020 1.020 1.020 1.020 1.020

у=1;х<0 1.020 .970 .920 .871 .820

х= -1 .820 .820 .820 .820 .820

>^=0; х <0 .820 .871 .920 .970 1.020

Сравнение показывает, что точное значение температуры отличается от приближённого в большинстве точек не более чем на 0.01. Узловые точки соответствую т разбиению каждого отрезка на 4 равные части.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федик И. И., Колесов В. С., Михайлов В. Н. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985. 280 с.

УДК 531.383

Л. И. Могилевич, В. С. Попов

ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГОГО ТЕЛА СО СЛОЕМ ЖИДКОСТИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДВИГАТЕЛЕСТРОЕНИЮ

Рассмотрим динамику упругой гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания и слоя охлаждающей жидкости для следующей физической модели (см. рисунок). Корпус двигателя 1 является абсолютно жёстким. Поршневая группа 2 приходит в движения за счёт периодического кратковременного воздействия взрыва рабочей смеси. Корпус двигателя имеет цилиндрическую полость длиной I и радиусом Rx. Слой вязкой несжимаемой охлаждающей жидкости 3, толщиной 8 « R2, окружает гильзу цилиндра двигателя 4, радиуса R2, толщиной й0 « R2. Возможны следующие случаи истечения жидкости из радиальной щели в торцы: 1) истечение отсутствует (закрытые торцы); 2) свободное истечение (открытые торцы).

Корпус двигателя совершает колебания, за счёт неуравновешенности вращающихся масс самого двигателя, неровности дороги, а кроме того, на гильзу цилиндра действует сила давления газов при взрыве рабочей смеси.