CC BY
15
Сравнение показывает, что точное значение температуры отличается от приближённого в большинстве точек не более чем на 0.01. Узловые точки соответствую т разбиению каждого отрезка на 4 равные части.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федик И. И., Колесов В. С., Михайлов В. Н. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985. 280 с.
УДК 531.383
Л. И. Могилевич, В. С. Попов
ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГОГО ТЕЛА СО СЛОЕМ ЖИДКОСТИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДВИГАТЕЛЕСТРОЕНИЮ
Рассмотрим динамику упругой гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания и слоя охлаждающей жидкости для следующей физической модели (см. рисунок). Корпус двигателя 1 является абсолютно жёстким. Поршневая группа 2 приходит в движения за счёт периодического кратковременного воздействия взрыва рабочей смеси. Корпус двигателя имеет цилиндрическую полость длиной I и радиусом Rx. Слой вязкой несжимаемой охлаждающей жидкости 3, толщиной 8 « R2, окружает гильзу цилиндра двигателя 4, радиуса R2, толщиной й0 « R2. Возможны следующие случаи истечения жидкости из радиальной щели в торцы: 1) истечение отсутствует (закрытые торцы); 2) свободное истечение (открытые торцы).
Корпус двигателя совершает колебания, за счёт неуравновешенности вращающихся масс самого двигателя, неровности дороги, а кроме того, на гильзу цилиндра действует сила давления газов при взрыве рабочей смеси.
Упругие свойства гильзы цилиндра учтём посредством введения упругой связи с приведённым коэффициентом жёсткости. Таким образом, будем рассматривать перемещения вследствие прогиба гильзы, центра масс твёрдого цилиндра с упругой связью и приведённой массой.
Систему координат Oxxxyxzx свяжем с корпусом двигателя. Введём в рассмотрение цилиндрическую систему координат г, Э, у и соответствующую ей декартовую систему координат Oxyz. Полюс О цилиндрической системы координат имеет смещение е = х1 «8 относительно О,, вследствие перемещения гильзы, как жёсткого цилиндра с упругой связью. Направления осей Оу и 01у1 цилиндрической и декартовой систем координат совпадают.
Осуществим переход к одномассовой системе согласно [1], представив гильзу балкой: а) с жёстким защемлением и б) с шарнирным опирани-ем на торцах. Таким образом, уравнение движения центра масс гильзы будет иметь вид
т2х J + пхх = -т2х0 + А^ЖХ| + F(t), (1)
где х0 - переносное виброускорение корпуса двигателя - гармоническая функция; т2 - приведённая масса гильзы; п- приведённый коэффициент жёсткости упругой связи (учтём, что: а) жёсткое защемление п = \92Ej/, т2 = 192шг/4,734 ; б) шарнирное опирание л = 48£//У, т2 = 48тг/л4; здесь тг = 2nR2h0£p0 - масса гильзы; J = 2rcR2h0(Rj + h}s/4) - момент инерции гильзы относительно оси; р0 -плотность материала гильзы; Е - модуль Юнга); N^, - реакция охлаждающего слоя жидкости; F(t) - импульсная периодическая сила, обусловленная взрывом рабочей смеси; хх - перемещение центра масс гильзы.
Представим силу F(t) в виде
F(t) = S[(tf (0 - H(t + еГ/2)) + (Я(0 - H(t - вТ/2))], (2)
здесь S - амплитуда силы F(t); H(t) - единичная функция Хевисайда; Т-период; гТ - длительность действия силы F(t); е «1.
Учитывая периодичность (2) с периодом Т, разложим её в ряд Фурье
о)
«1=i к Т
Введём в рассмотрение безразмерные малые параметры задачи X = е/5 «1 и = 8/R2 «I. Решая задачу гидродинамики методом возмущений по малым параметрам X и у, в режиме установившихся гармонических колебаний с частотой со, получим выражение для реакции охлаждающего слоя жидкости [2]
N*cxt =-Mxl-Kxl+mx0, (4)
здесь M = 2ws2a(v)/Re)_1(l - ст_1*пстФ) - присоединённая масса жидкости; Af = 12ywco(\(/Re)"1(l-CT_1ínaO) - коэффициент демпфирования; т = nR2£p - масса охлаждающей жидкости в объёме гильзы; Re = 62сo/v ; у - кинематический коэффициент вязкости, р - плотность охлаждающей
2e3(jÄe-sins) i
жидкости; 12у = —-———-——-; a =-;
s (с/ге + cos е) - 2e(í/is + sin s) + 2(сАе - cos е) 2R2
2е2а = -_2е3(е(с^ + С05е)-(^ + еше))_. ф = 0 _ддя
Е2(с/г£ + С05Б)-2Б(,5Й£ + Зт£) + 2(сЙ£-С08Б) V 2 случая закрытых торцов; Ф = 1 - для случая открытых торцов.
В силу линейности уравнения (1) рассмотрим отдельно воздействие переносного виброускорения х0 и силы .
В первом случае получим закон перемещений центра масс жёсткого цилиндра за счёт действия переносного виброускорения х0
1 ,
х10=-== = АтЕ0а> + ср0 + ^(со)); (5)
т/[п-(т2 +М)а2}2 + К2 а2
_. . К® . 2
здесь г (со) = arctg-----; Ат = т - т2; Е0ш - амплитуда
(т2 +М)ю - п переносного виброускорения х0; ф0 - начальная фаза.
Выражение (5) определяет амплитудную частотную характеристику (АЧХ) ^____
Л10(оо) = ]Д/(1-(т2 + М)ы2/п)2 +К2со2/п2 . (6)
Проведём сравнение значения резонансных частот, найденных по (6), для гильзы цилиндра двигателя КамАЗ-740 < Я2 =68-10"1 м, £ =25-10"2 м, Ао=8-10"3м, £ = 10и Па, р0=6,5-103 кг/м3, р = 1000кг/м3, у=10"4м2/с, 8=10'2 м) с резонансными частотами, определёнными в [3, 4], для гильзы, представляемой упругой оболочкой с жёсткой заделкой по торцам. (Заметим, что в рассматриваемом случае имеет место одна резонансная частота в отличие от трёх резонансных частот в [3, 4]). Резонансные частоты оболочки, окружённой слоем жидкости: а) закрытые торцы [3] -со°= 10210,68 рад/с, С0з= 70781,07 рад/с, со|=1 13684,87 рад/с; б) открытые торцы [4] - со[ = 11541,77 рад/с, ас2= 71603,75 рад/с, со|=113727,99 рад/с. Резонансные частоты для жёсткого цилиндра с упругой связью при жёстком защемлении: а) закрытые торцы - (0^=24556,82 рад/с; б) открытые торцы со^=34011,68 рад/с; при шарнирном опирании: а) закрытые торцы
- со" =12136,03 рад/с; б) открытые торцы - 03^=16665,23 рад/с. Сравнение позволяет сделать вывод о правомерности предлагаемого подхода и о предпочтительности использования модели с шарнирным опиранием.
Во втором случае рассмотрим действие силы давления при взрыве рабочей смеси F(t). С учётом (3) и (4), в котором х0 =0, уравнение (1) можно записать в виде
m2xlF + nxXF + MxlF + Kx{F = F(t), (7)
здесь xlF - перемещение гильзы, обусловленное импульсной силой (3).
Решая (7) для режима установившихся гармонических колебаний, получим закон перемещения центра масс жёсткого цилиндра в виде
_ 45 ^,sin2(7tfe/2) sinCtoji + FCtoj))
x\f - — L-7---Jf у, (8)
*=1 л1[п-(т2+М)к2(й\\+K2k2(s$
здесь co1 = 2n/T - частота импульсной силы; К и М - коэффициент демпфирования и присоединённая масса, вычисляемые для ArcOj.
Закон перемещения (8) позволяет определить АЧХ для к-й гармоники
A]F(m) = \/yj(l~(m2 + М)к2а2 /п)2 + K2k2aj /п2. (9)
Сравнивая выражения (6) и (9), можно отметить, что вклад в резонанс колебаний будут вносить только гармоники, частоты которых близки к резонансным частотам, определённым по (9) (to! »сош). Таким образом, если известен период Т импульсной силы, то номер гармоники, вносящий вклад в явление резонанса колебаний, определяется на основе выше найденных резонансных частот.
В заключение отметим, что найденные в работе резонансные частоты соответствуют частотам, на которых возникает кавитационная коррозия гильзы цилиндра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курс сопротивления материалов / Под ред. М. М Филоненко-Бородич. М.: Гос. изд. техн.-теор. лит-ры, 1956.
2. Андрейченко К. П., Могшевич Л. И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. 160 с.
3. Могилевич Л. И., Попов В. С. Гидроупругость гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания при внешней вибрации // Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Сб. науч. тр. межвуз. научн. конференции. СГТУ, 2000. С. 189 - 196.
4. Могилевич Л. И. Упругогидродинамика гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания в слое охлаждающей жидкости // Аэродинамика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 15 (18). Изд-во Сарат. ун-та, 2001. С. 70 - 76.
