CC BY
51
The regularities of the influence of the anisotropy of mechanical properties, the geometric dimensions of the workpiece and the details of the law of its load on the limiting possibilities of deformation associated with the accumulation of damage, under isothermal deformation of anisotropic materials obeying the kinetic theory of creep and damage, in the mode of viscous flow.
Key words: anisotropy, domed shell, high-strength materials, isothermal deformation, viscosity, defect, breakdown.
Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical science, docent, Archon80@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 517.958:621.225:621.454
ГИДРОУПРУГОСТЬ ТРЕХ СООСНЫХ ОБОЛОЧЕК, СВОБОДНО ОПЕРТЫХ ПО КОНЦАМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ВЯЗКИМИ ЖИДКОСТЯМИ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИИ
К. А. Барулина, Д.В. Кондратов, Е.Л. Кузнецова
Рассмотрена математическая модель системы, представляющая собой цилиндрическую трубу, образованную тремя поверхностями соосных упругих цилиндрических оболочек, свободно опертых по концам, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью между ними, в условиях вибрации.
Ключевые слова: гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, соосные оболочки, вибрация.
Тонкостенные конструкции, взаимодействующие с вязкой несжимаемой жидкостью, занимают значимые позиции в современной высокотехнологичной машинотехнической продукции, которая используется в ракетно-космической отрасли, а также в железнодорожном транспорте, сельхозмашиностроении, топливно-энергетическом комплексе и в автомобиле-, двигателе- и агрегатостроении [1-5]. Так, с их помощью решается множество проблем: нужная прочность при уменьшении веса и габаритов деталей, снижение и выравнивание динамических воздействий и уровня вибраций, уменьшение трения и изнашивания, охлаждения.
25
Таким образом, уже на начальном этапе необходимо проводить оценку поведения совместного взаимодействия упругости тонкостенных элементов конструкций и вязкой несжимаемой жидкости. В данном случае это система "упругая оболочка - вязкая несжимаемая жидкость - упругая оболочка- вязкая несжимаемая жидкость - упругая оболочка". Так, упругая податливость оболочек, параметры жидкостей, воздействие различных источников вибрации - это все надо учесть. Процесс определения таких задач является трудоемким и достаточно сложным. Поэтому они представляют большой научный и практический интерес. Следовательно, проблема создания математической модели, позволяющей исследовать динамические процессы в системе «оболочка - жидкость-оболочка-жидкость - оболочка», является актуальной для разработок в различных инженерных областях.
Ранее были рассмотрены задачи гидроупругости для двух соосных упругих цилиндрических оболочек со свободным опиранием [7] или жестким защемлением [5] на концах трубы при наличии внешнего источника вибрации и гармонического перепада давления на концах, а также случай, когда внешняя оболочка является геометрически нерегулярной [6]. Кроме того, были рассмотрены следующие случаи.
1. Описание объекта исследования. Рассмотрим общую модель, показанную на рис. 1.
Будем считать, что внешняя оболочка 1, средняя оболочка 2 и внутренняя оболочка 3 механической системы являются упругими цилиндрическими оболочками, свободно опертыми на концах.
Внутренний радиус внешней оболочки обозначим R1, внешний радиус внутренней оболочки - Rз, а внешний и внутренний радиус средней оболочки - соответственно R21 и R22. Наружная поверхность внешней оболочки и поверхность средней оболочки образуют цилиндр в цилиндре длиной 11. Вязкая несжимаемая жидкость 1 и 2 полностью заполняет зазор между стенками трех оболочек.
Также поверхность средней оболочки и внутренняя поверхность оболочки 3 образуют цилиндр в цилиндре длинной 12. Будем считать, что длина 11 равна длине 12 и обозначим её 1.
Будем предполагать, что радиальный зазор цилиндрической щели в цилиндре 1 51 значительно меньше внешнего радиуса средней оболочки 2, то есть §1 = Е[ - Л*21 << ^21. Также будем предполагать, что радиальный зазор цилиндрической щели в цилиндре 2 62 значительно меньше внутреннего радиуса средней оболочки 2, то есть §2 = ^22 - << ^3.
На механическую систему действует переносная гармоническая по времени сила инерции. Перемещение внутренней и средней оболочки относительно внешней на торцах отсутствует. Также перемещение внутренней и средней оболочки относительно друг друга отсутствует. Механическая система считается термостабилизированной.
При исследовании динамики указанной механической системы для слоя жидкости 1, окружающего внешнюю и среднюю оболочку, и для слоя жидкости 2, окружающего среднюю и внутреннюю оболочку, принята модель вязкой несжимаемой жидкости. Учет вязкости необходим, так как именно она создает демпфирующие свойства, что предотвращает бесконечно большие прогибы при резонансе. Жидкости 1 и 2 приняты несжимаемыми, так как характерная скорость течения ее значительно меньше скорости звука (число Маха значительно меньше единицы). Если бы частота колебаний внешнего источника вибрации была столь велика, что возникающая при этом скорость течения жидкости была бы соизмерима со скоростью звука (число Маха было бы не менее 0,4), учет сжимаемости был бы необходим. Но обычно частоты колебаний источника вибрации (переносное ускорение) таковы, что скорость движения жидкости в зазоре весьма мала, и жидкость можно считать несжимаемой. Используемая в реальных механических системах жидкость может считаться ньютоновской.
Таким образом, модель механической системы представляет собой три упругие цилиндрические оболочки, свободно опираемые по торцам, взаимодействующие между собой через 2 слоя жидкости при наличии вибрации.
2. Математическая модель. Для построения математической модели рассматриваемой механической системы введем систему координат 0[Х[у^, связанную с основанием, к которому крепится рассматриваемая
механическая система, то есть центр 01 расположен в геометрическом центре соосных оболочек в невозмущенном состоянии. Будем предполагать, что составляющая виброускорения вдоль оси 01 у отсутствует. Обо-
значим виброускорение основания через 3&0, '¿0. Дополнительно введем цилиндрическую систему координат г,6, у (пг, п6, ^- орты цилиндрической системы), полюс которой совпадает с О1, направления осей Оу, О1у1 цилиндрической и декартовой систем координат совпадают (рис. 2).
Рис. 2. Оси координат
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости 1 и 2, находящейся между упругими цилиндрическими оболочками, описываемое уравнениями Навье - Стокса и уравнениями неразрывности, которые с учетом переносного движения основания в выбранной системе координат г, 9, у, жестко связанной с центром координат, в скалярной форме примут вид:
1 Эр
Wiir _
W2
22r
Pi Эг 1 Эр2
+ Vi
P2 Эг
fV 2
W _ 1 ЭР1
W119 _---
р1г Э9
Э V 1 Э^г 1 Э 2^1г Э 2Цг 2 ЭЦ9 Vi, 1
Эг 2 1 г Эг г2 Э92 Эу2 г 2 Э9 г2 J
Э2V2г . 1Э ^2г . 1 Э2 ^2г Э2 ^2г 2 Э V2q V^
Эг^ ' 1 г Эг г2 Э92 Эу2 г 2 Э9 г 2
Э % , 1 Э^9 . 1 Э 2V1q , Э2V19 2 ЭVlг V19
(1)
Эг2 г Эг г2 Э92 Эу2 г2 Э9 г2
'э2 V2q + 1 ЭК29+ 1 Э2 V2q Л
W _ 1 ЭР2 +V
W229 _---^" + V 2
р2г Э9
Эг2 г Эг г2 Э92
+
Э 2V2
29
2 ЭК2г V
29
Эу2
28
г
2 Э9
г
W\\ у = + V\
'э 2V
Pl ЭУ
W22 у = - — Эр2 + V 2
ly
l ЭК
ly
l Э2V\
Эг2
г
Эг
l У + Э У Л
г
Эе
2
Эу2
2
P2 Эу
Э2 V2 у l э V2 у l э V
+
2у
2т/ Э2У,
2у
V
Эг2
ЭК
lr
Эг
Vr+1 Э}к+Э}к = 0.
г Эг
э v2r
2у
г
г эе
Эу
Эг
г
v2r
Эе2
l Э V2q
Эу ЭУ2
(l)
г
г эе
2 у
Эу
= 0.
где
wlU = W\z1 cos е+wlxl sin е+
ЭК
1г
+ V
1г■
ЭЧг + VlеЭVlг
+ V
ЭК
1г
Эг 1 Эг гэе 1 у" Эу
и^2г = wlzl cos е+w1x1 sin е+
Э ^2г + V Э ^2г , V2еЭV2г
2г"
+ V
ЭК
Эг 2г Эг гЭе 2у" Эу wl 1е = ~W\z\ sin е+W\x\ cos е+ ЭИе + ^Э1\е + VlbЭНе + V ЭИе , V\гV\е
2г
Ле
г
Yk
г
Э1 1 Эг г эе 1у Эу W22е = - W z\sin е+w\x\ cos е+
Э^2е , V2гV2е 2 у 1 +
г
Э1
(2)
Эг
г
Эе
Эу
г
W
1\у
ЭИу + V эИу + Ие ЭИу + т/ ЭИ
Э1
\г
W
ЭК
22 у
2 у
+ V2
2г"
Эг г Эе
Э ^ у + V2еЭV2 у
ьК
\у
\у
Эу
+
+ V2
ЭК
Э/ 2Г Эг г Эе 2у Эу
Здесь р - давление жидкости 1; Р2 - давление жидкости 2; Р1 - плотность жидкости 1; Р2 - плотность жидкости 2; VI - кинематический коэффициент вязкости жидкости 1; П2 - кинематический коэффициент вязкости жидкости 2; А - оператор Лапласа; V - оператор Гамильтона; Э V
Щц = Щ +--1 + (У1 - абсолютное ускорение единицы объема жидко-
Э/
_ _ ЭР2 /-
сти 1 в камере; Щ22 = Щ + + (^2 • V)V2 - абсолютное ускорение едини-
Э/
цы объема жидкости 2 в камере; Щ[ = + - переносное ускорение основания; Г = гпГ + у] - радиус-вектор центра масс жидкой частицы от-
2у
носительно полюса 01 цилиндрической системы координат г, 0, у; V = \\гпг + У\0Л0 + \\у] - скорость жидкости 1 относительно камеры в проекциях на оси г, 0, у; = У2гпг + 1^0Л0 + у7 - скорость жидкости 2 относительно камеры в проекциях на оси г, 0, у; пг, п0,7 - орты базиса цилиндрической системы координат г, 0, у.
Граничные условия для системы уравнений (1) на непроницаемой поверхности внутренней и внешней оболочек в цилиндрической щели представляют собой условия прилипания жидкости 1 и жидкости 2 к стенками, запишутся следующим образом:
Эи^) Эи^ Эи^
1г Э/ 10 Э/ 1у Э/
при г = Я3 + 51 + + 82 + ;
Эи3У) Эи^ ЭиДО (2) 0 (2)
Чг = , У10=^Т, К1у = ""при г = *3 + АТ + §2 + и32), (3)
Эи3у) Эи^ Эи^
2г Э/ 20 Э/ 2у Э/
при г = Я3 + и33),
Эи3у) Эи^ Эи^
2г Э/ 20 Э/ 27 Э/
при г = Я3 +82 + 42), и^ = и^ (у, 0, /) - продольное упругое перемещение оболочки, положительное в направлении п5, противоположным направлению 7; и2 = ^^ (у, 0, /) - окружное упругое перемещение оболочки в направлении
п0; и^ = и3^(у, 0, /) - прогиб оболочки, положительный в направлении п , совпадающим с пг и противоположным направлению к центру кривизны;
и (1) = и^п5 + и^щ + - вектор упругих перемещений оболочки.
Здесь и далее верхний индекс 1 = 1 относится к внешней оболочке, 1 = 2 -к средней оболочке, 1 = 3 - к внутренней оболочке.
Кроме того, необходимы условия периодичности параметров течения по 0 с периодом 2р (условия замкнутости потока жидкости).
Скалярные уравнения динамики внешней и внутренней упругих цилиндрических оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, с учётом переносного движения относительно инерциального пространства запишутся в виде
Г и
Эу2
Машиностроение и машиноведение
1 +1 -т0У) 1 э^ 1+т0У) 1 Э24у) т0У)Эи3у)
2
эе2
2 ЭуЭе Я1) Эу
Е(* Ц1)
р0 Ч' 40)-с(1)
1+т01) 1 Э Э^и^!+
1 Э 2и
2„М
2
+ а,
1
Я1) ЭуЭе
2(1 -т 0
2
Эу2 (Я'))2 эе2
л\Э2^ 1 Э2и2)
+
(Я1
эе
- а
Эу2
(2^
эе2
+
э^ + э3«(;)
(4)
Эу2 эе
эе3
1 -
Е
р0 ЦЧ- с«
э««
1 Эи
я(1) Эу (^ эе
(2
3« (*)
Э3и
1 Э3«
3« (')'
Эу2эе (^О)2 эе3
+
+Я§+(а0
4«() Э^
Э 4«
+ 2
1 Э и
4« (')'
Е ^
Эу4 Эу2эе2
■рО^/М*сЗ*
Эе4
1 = 1,2,3,
где верхний индекс 1 относится к внешней оболочке, индекс 2 - к средней оболочке и индекс 3 - к внутренней оболочке; Е(1) - модуль Юнга, то** -
коэффициент Пуассона; рО^ - плотность материала, Я(1) - радиус средин-
ной поверхности; - толщина оболочки; Щ0$ абсолютного ускорения единицы площади срединной поверхности оболо-
—(л — Э 2« (1) ___
чек Щ() = Щ +--—, 1 = 1,2,3 на оси п5, щ, п (продольное и окружное
Э/2
направления в серединной поверхности оболочек и по нормали к ней), имеющие вид:
(1) Щ(1) Щ(1) , Щое, Щ0п
проекции
1
1
Э2u(/) . u
wti =_UL M/tó - М/ — О М/ , w U2
э2
», Э 2uí')
w¿q = Wi^jcos e-n^sin e+—2
Э(2
|2„ (')
С,-) Э u\
ww = W1M sin e+wi zicos e+—f-, ,=i,2,3.
Э/2
Напряжения на поверхностях оболочек со стороны слоя жидкости записываются в виде
£) = - P¡¡) cos(l)(n, ñr)+ é) cos(l)(n, ne)+ cos(l)(n, j)
Qs
qMPl'
qÜ=l^rr
cosVi '(ñ, ñr) + P© cos(l)(n, ne) + dl) cos(l)(n, j)
qS2)=-
re r ee e ey
cosVi '(ñ, ñr) + р1 cos(l)(n, ne) + рГ(1) cos(l)(n, j)
+
r=r(i) ;
r=r(i) ;
Q (2) Qie
O(2)_ Q2e =
re e ry
P1 cos(2l)(n, nr) + cos(2l)(n, ne) + p¡1) cos(2l)(n, j)
cos(22) (n, nr) + P2 cos(22) (n, ne) + + cos(22)(n, j)
pe) cos(2l)(n, ñr)+ pee) cos(2l)(n, ne) + + $ cos(2l)(n, j)
рГ2) cos(22)(n, ñr) + P^2) cos(22)(n, ne) + + P2) cos(22)(n,j)
P1 cos(2l)(n, nr) + pe) cos(2l)(n, ne) + + $ cos(2l)(n, j)
"P2) cos(22)(n,ñr) + cos(22)(n ,ne)+
+ P2 cos(22)(n, j)
=r (i); , = 1,2,3,
r=r
r = R3 +82 + h(2)+u32);
(2);
r = R3+82+u
r = R3+82+h(2)+u32);
=R3 +82+u
(2) ;
r=R3+82+^+
(2 ) + „ (2)
r = R3 +82 +u
(2)
=-
Машиностроение и машиноведение
Р2 ^(з)(л, пг)+ Р$ ^(з)(л, Лй) Ру2 соэ(з)(л, ])
+
г=г
(з);
%
й3) = [р2) С08(3)(Л, пг) + Р02) С08(3)(Л, Л0)+ р2 С08(3)(Л,])
г=г
(з);
$ = № С08(з)(п, Лг)+ С08(з)(п, п0)+ рг(2) С08(з)(п, ])
=г (з); ; = 1,2,3,
г=г
где
г(1) = Яз + 81 + + 82 + ^; г(з) = Яз + 43),
Р1 = - п + 2Р1У1 ^; Р^1 = Р1П1
Эг
3(1)
ЭИе Ле +1 ду±т Ог г г эе
1ее(1) = - Р1 + 2Р1П1
1 ЭНе + г эе г
ЭУл
; р$) =
гУ
Р1П1
ЭЛ1У , ЭЦ/ Эг Эу
Руу(1) = - Р1 + 2Р1п^-^Уу; Реу(1) = РЛЧ
ЭУщ , 1 ЭЛ1у Эу г эе
Р(2} = -Р2 + 2Р2П2 ^ ; Ре(2) =Р2П2
Эг
ЭУю +1 ЭЛг
Эг г г Эе
Рее(2) =- Р2 + 2р2п 2
1 ЭЛ2е + ^
г Эе г
; Ргу{2) =Р 2П 2
ЭЛ2у , Э У2г Эг Эу
Руу(2) =- Р2 + 2р 2П 2
ЭК
2 у.
Реу(2) = Р 2П 2
уу
Эу
С0^'\п, пг):
г
и
(1)
С0Б
(1)(п, пе) =
ЭУ2е , 1 Э^к'
Эу г Эе 1 Эи31)
N
(1) Эе
С0Б
(1)(п, 1 ) =
г Эи31)
N
(17 Эу
г= Яз +82 +/0 )+81+и31)
С0Б(21)(л, Лг ) =
г
(21)
С0Б
(1)(п, 1 )=■
г Э„32)
N
(2ГУ Эу
; С0Б
(22)(п, Лг ) =
г
г=Яз +82+42)+«з
33
N
(22)'
cos
(22)(п, ПеЬ-^у^; 005« (п,; )=.
г Эи<2)
N
Яр Эу
г = Е3 + 52 + 42)
00Б(3)(п, Лг ) = ^ГТ3
005
N
(3)(п, ] ) =
(3)(_ _ ) 1 Эи3з) 005 (п• пе) = -
г Эи33)
N
(37 Эу
г = ¿3+и3з)
N
(1)
(2).
¿3 +52 + Аэ + §1 + »3
Г Э»31) 1 1 + 3 2 + Г Эи« ] 2
Эу Эе
V
N
(21)
(¿3 +52 + А02 )+§1 + »3
Г Эи32) 1 1 + 3 2 + Г э»32 ) ] 2
Эу Эе
V
N
(22 ) =
(¿3 +52 + 4:
1+
Эи(2) Г
Эу
+
Эй-
(2)
эе
N
(3) =
¿3 + »3
1+
Эи
(3)'
)Г
Эу №
2 Г Эи(3)л +
Эе
12 Ы2
1
= 0 при у = ±—.
Граничные условия для перемещений оболочки состоят в условиях свободного опирания на торцах:
—^ = 0, и22) = 0, и^ = 0,-3 =
Эу 23 Эу2
Кроме того, для обеих оболочек ставятся условия периодичности параметров по е с периодом 2р .
Заключение. Таким образом, получаем математическую модель механической системы, состоящей из трех соосных упругих цилиндрических оболочек, взаимодействующих через слой вязкой несжимаемой жид-
34
1
2
2
1
2
2
кости при наличии внешней вибрации, приложенной на торцах. Математическая модель рассматриваемой системы «оболочка - жидкость - оболочка - жидкость - оболочка» представляет собой связанную систему уравнений, включающую нелинейные уравнения в частных производных Навье-Стокса и уравнение неразрывности для описания динамики жидкостей, находящихся между упругими цилиндрическими оболочками, также уравнения в частных производных для описания динамики упругих цилиндрических оболочек, полученные исходя из гипотез Кирхгофа-Лява и соответствующие граничные условия.
Выполнено при поддержке гранта РФФИ 13-01-00049-а, 15-01-01604-а, МД-4560.2015.8, НШ-1387.2014.8.
Список литературы
1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика. М.: Машгиз, 1963.
696 с.
2. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом прибора на вибрирующем основании // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. №3. С. 11-21.
3. Епишкина И.Н., Могилевич Л.И., Попов В.С., Симдянкин А. А. Математическое моделирование вынужденных колебаний гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. № 4. С. 19-26.
4. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской Академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179-190.
5. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И.. Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте. М.: РГОТУПС, 2007. 169 с.
6. Гидроупругость трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации при различных ее закреплениях / Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова, Л.И. Могилевич, И.В. Плаксина // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 1. С. 29-37.
7. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Исследование амплитудных частотных характеристик колебаний упругих стенок трубы кольцевого профиля при пульсирующем движении вязкой жидкости в условиях жесткого защемления по торцам// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. №3. С. 15-21.
8. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой / Р.В. Агеев, Е.Л. Кузнецова, Н.И. Куликов, Л.И. Могилевич, В.С. Попов // Вестник ПНИПУ. Механика. №3. 2014. С. 17-35.
Барулина Ксения Андреевна, асп, lentiaikakc@yandex.ru, Россия, Поволжский институт управления им. ПА.Столыпина,
Кондратов Дмитрий Вячеславович, д-р физ.-мат. наук, проф., kondratovdv@yandex.ru, Россия, Поволжский институт управления им. П.А.Столыпина,
Кузнецова Екатерина Львовна, д-р физ.-мат. наук, проф., ведущий научный сотрудник, lareyna@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)
HYDROELASTICITY TWO COAXIAL SHELLS FREELY SUPPORTED AT ALL, INTERACTING VISCOUS FLUID UNDER VIBRATION
K.A. Barulin, D.V. Kondrashov, E.L. Kuznetsova
A mathematical model of the system, which is a cylindrical tube formed by three coaxial surfaces of elastic cylindrical shells, simply supported at the ends of interacting with a viscous incompressible fluid between them, in terms of vibration.
Key words: Hydroelasticity, viscous incompressible fluid, coaxial shell vibration.
Barulin Xenia Andreyevna, postgraduate, lentiaikakc@yandex.ru, Russia, Volga Institute of Management named after P.A. Stolypin,
Kondrashov Dmitry Vjacheslavovich, doctor of physical and mathematical scienses, professor, kondratovdv@yandex.ru, Russia, Volga Institute of Management named after P.A. Stolypin,
Kuznetsova Catherine L'vovna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, senior research fellow, lareyna@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
