CC BY
44
УДК 517.958:621.225:621.454
Д.В. Кондратов, А.В. Калинина
ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ
С УПРУГОЙ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ВНЕШНЕЙ ОБОЛОЧКОЙ
ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРАЦИИ
Рассмотрена механическая модель системы, представляющая собой трубу кольцевого профиля, образованную двумя поверхностями соосных цилиндрических оболочек, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя - абсолютно жесткий цилиндр. Построена математическая модель этой системы, состоящая из дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику вязкой несжимаемой жидкости и упругой ребристой оболочки совместно с граничными условиями.
Гидроупругость, труба кольцевого профиля, геометрически нерегулярная оболочка, вязкая несжимаемая жидкость, соосные оболочки, вибрация
D.V. Kondratov, A.V. Kalinina
HYDROELASTICITY ISSUES OF THE RING-TYPE TUBE WITH ELASTIC GEOMETRICALLY IRREGULAR OUTER SHELL UNDER VIBRATION
The paper considers a mechanical model of the system constituting a ring tube formed by two surfaces of coaxial cylindrical shells interacting with viscous incompressible liquid. The mathematical model of the given system presents a partial differential equation describing the dynamics of the viscous incompressible liquid and elastic ridge shell together with the boundary conditions.
Hydroelasticity, tube of the ring section, geometrically irregular shell, viscous incompressible liquid, coaxial shell, vibration
Вопросы математических постановок задач гидроупругости сложных механических систем, являющихся совокупностью абсолютно жестких, упругих и жидких тел с учётом сложных динамических взаимосвязей, длительное время привлекают внимание исследователей. Одними из основных конструкций таких систем являются механические системы, состоящие из двух цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, между которыми расположена жидкость. Демпфирующая жидкость, протекающая между внутренней и внешней цилиндрической оболочками, может считаться вязкой несжимаемой жидкостью.
Примерами использования модели с двумя цилиндрическими оболочками можно считать двигатели внутреннего сгорания, поплавковые приборы навигации, жидкостные ракетные двигатели, телескопические шасси, силовые цилиндры с полым плунжером [1-3]. Также примерами использования модели с двумя цилиндрическими оболочками можно считать системы трубопроводов, где жидкость проходит по кольцевой трубе, а во внутренней трубе находится газ либо жидкость постоянного давления. Ранее рассматривалась задача для трубы кольцевого профиля с внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочкой при воздействии гармонического перепада давления на концах [4].
В процессе эксплуатации механические системы подвергаются значительным вибрационным нагрузкам от внешних и внутренних источников вибрации. Наличие вибрации в механической систе-
ме может приводить к возникновению существенных колебаний элементов конструкции. На резонансных частотах скорости упругих перемещений стенок трубопроводов будут максимальны, а это может приводить к появлению разрывов в жидкости и возникновению вибрационной кавитации в потоке жидкости и, как следствие, кавитационного износа стенок цилиндрических оболочек [5].
Для уменьшения веса механических конструкций используются тонкостенные оболочки. Однако для достижения определенных целей конструкции внешняя оболочка может быть геометрически нерегулярной, а внутренняя - абсолютно жесткой. Использование геометрически нерегулярной внешней оболочки с поперечными ребрами жесткости в виде шпангоутов не только позволяет уменьшить вес конструкции, но и обеспечивает устойчивость к различным вибрационным воздействиям.
Таким образом, актуальной задачей является исследование динамики взаимодействия трубы кольцевого профиля с упругой, геометрически нерегулярной внешней оболочкой и абсолютно жесткой внутренней с вязкой несжимаемой жидкостью при наличии вибрации.
Рассмотрим модель механической системы, состоящую из двух соосных цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью. Внутренняя оболочка представляет собой абсолютно жесткий цилиндр. Внешняя цилиндрическая оболочка представлена трубой кольцевого сечения, в которой толщина стенки трубы значительно меньше ее радиуса, что дает возможность рассматривать ее как упругую цилиндрическую оболочку. Кроме того, для увеличения жесткости внешней упругой цилиндрической оболочки используются ребра жесткости в виде шпангоутов. Между цилиндрическими оболочками рассматривается ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости. Модель механической системы представлена на рис. 1.
Ширина й 0 цилиндрической щели кольцевого сечения значительно меньше внешнего радиуса Я2 внутренней оболочки и внутреннего радиуса и радиуса срединной поверхности К внешней оболочки й = 2(К - К) << К . Радиус срединной поверхности К значительно больше толщины внешней й0 = 2(К - К) оболочки. Радиус срединной поверхности оболочки равен К а ее толщина на участках, где отсутствуют ребра жесткости, равна й 0 . Длины цилиндрических оболочек I - одинаковые, а упругие перемещения внешней оболочки значительно меньше ширины 8 цилиндрической щели. Торцы внешней оболочки свободно опираются на опоры, перемещение внутренней оболочки относительно внешней на концах отсутствует. Система считается термостабализированной. В системе присутствует внешний источник вибрации.
Рис. 1. Модель механической системы Система рассматривается в цилиндрической системе координат г, 0, у (пг, п0, ] - орты цилиндрической системы). Центр системы 01 расположен в геометрическом центре соосных оболочек
в невозмущенном состоянии. Полюс цилиндрической системы координат совпадает с началом координат 01 х1 у1 г1 и направления осей Оу, 01 у1 цилиндрической и декартовой систем координат совпадают. Перемещения вдоль оси 01 у1 отсутствуют.
Внешняя поверхность внешней оболочки трубы является геометрически нерегулярной и имеет п ребер жесткости ступенчато изменяющейся высоты. Ребра жесткости представляют собой внешние шпангоуты, характеризуются своей высотой Йру, длиной е 0 ^ и продольной координатой начала
ребра у^ . При этом высота ребра при движении по оси Оу изменяется скачкообразно.
Таким образом, получается, что внешняя оболочка имеет разрывы в точках оси 0у , соответствующих началу появления ребер и точек их окончания. Можно воспользоваться единичной функцией Хевисайда Г (у), которая определяется как
Г (у):
10, если у < 0 [1, если у > 0
В этом случае ступенчатый характер изменения высоты ребра можно описать с помощью разностей функций Хевисайда по продольной координате. Тогда внешнюю поверхность оболочки можно описать с помощью общего уравнения:
к ^
= \ +1
2 .=1
Л
1 _
к .
а У
к„,ЛГ
где лг^ = г(у _ у})_ Г (у _ у) _ е^), Г(у) - единичная функция Хевисайда по продольной координате; у. - точка появления ребра по продольной координате.
Математическая модель рассматриваемой механической системы представляет собой связанную систему уравнений, включающую нелинейные уравнения в частных производных Навье - Сток-са и уравнение неразрывности, уравнения в частных производных для описания динамики внутренней и внешней упругих цилиндрических оболочек, полученные исходя из гипотез Кирхгофа - Лява, и соответствующие граничные условия.
Течение вязкой несжимаемой жидкости между цилиндрическими оболочками с учетом окружной деформации оболочки при наличии вибрации описывается уравнениями Навье - Стокса. Скалярная форма уравнений динамики жидкости имеет следующий вид:
1 Эр (Э2Уг 1 ЭУг 1 Э2Уг Э2Уг 2 ЭУв V
Ж = _~^ + У р Эг
\
- + —
- +
+ -
Эг2 г Эг г2 Эв2 Эу2 г2 Эв
1 Эр (Э2Ув 1 ЭУв 1 Э2Ув Э2Ув 2 ЭУГ V
Жв =---- + П
рг Эв
- + —
+
+
+
Эг2 г Эг г2 Эв2 Эу2 г2 Эв г2
где
Т!г 1 ЭР
Ж =--+ у
у Р Эу
(72-
Э 2У 1 ЭУ 1 Э V Э У
2т/ Л
- + —
+
Эг г Эг г Эв
+
Эу2
Эу У 1 ЭУв ЭУ
.+—
Эг г г Эв Эу
= 0 .
ЭУг ТгЭУг УвЭУг ЭУг уЖ = Ж СОвв + Ж 81Пв+-г- + У-L +—-г- + У ----- ,
Ж Ж-СО8в + Ж 1x15111 в э г Эг гЭв у Эу г '
ЭУ ЭУ
Жн=_Ж^51Пв + Ж1х1СО5в + —в + У в
Ув ЭУв
Эt
ЭУу ЭУ
Ж+У' -У-
Эг
У в эу.
--в + У-
г Эв у Эу
ЭУв УУв
+Уу ЭУ^
г Эв у Эу
Здесь у у ,
у' Г
(1)
, У - компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат (пг,.), начало О которой находится в центре внутренней оболочки; р - давление жидкости; р -плотность жидкости; п - кинематический коэффициент вязкости; у - координата вдоль оси симметрии Оу ; г - расстояние от оси Оу ; t - время.
Граничные условия для системы (1) представляют собой условия прилипания вязкой жидкости к поверхностям оболочек и условия для давления на концах механической системы:
V =
Эи3 у = Эи 2
Эt ' Ув=~Э^~
V =
Эи1
"Э7
при г = Я 2 + 8 +
Уг = 0, Ув= 0
= 0, У = 0
при
г
Я2;
(2)
z
2
2
г
+
г
и
где Ыз - прогиб внешней оболочки, положительный в сторону противоположную центру кривизны;
- окружное упругое перемещение оболочки в направлении Щ и, - продольное перемещение оболочек, положительное в сторону противоположную оси 0у .
Для вывода уравнений динамики геометрически нерегулярной оболочки применим вариационный интегральный принцип Гамильтона. Исходя из вариационного принципа Гамильтона, уравнения динамики упругой геометрически нерегулярной оболочки в случае осесимметричной и окружной деформации имеют вид:
д№ 1 д2и А п 1
- + -
ду К д0
- НоГ
■оно -ул
д(2
д 1 д N 2? 1 дм ? 2 д И1
+
+
+
ду К д0 К2 д0 К ду
- НоГ
1 +1МГ
V м д 2и í
д2м1р 1 д2мр 2 дИр 1
>2л# р
- +
+ -
ду2 К2 д02 К дуд0 К
-- N1? - НоГ
0У0 д(2
д 2и А
1 +1 к; . АГ^
V м
2 Ъ2
1 +1 к1. АГ
V м
■-Чп
где зависимости Бр, Ир, N1?, N1, мр, М2? от перемещений имеют вид
Бр = -
ЕНп
ди2 1 ди1
V
+ —
2(1 + ^о) IV ду К д0
1 + I куАГ
V .м
Л 2 А ди, д 2и
+ — К
2
д у д уд0
Но I к2/ АГ, |> ,
./=1
Ир =
ЕН3
1
ади д2и V
12(1 + т) КI ду дуд0
ЕНо | 1 1
л
1 +1 к3 / АГ/
V /=1
+ ЕНо А <^2 +1 ^и!V I АГ
2(1 + то) V ду К дoJ * 2/
=
ди1
+ Мо —
1 ( ди,
К V д0
- + и-
( п
1 + I к,. АГ
V / = !
т К2
ЕН
А 1 А ди, ди 1 ди 1
ч до до2 J ду2 У
1 А ди, | ди,
К V юо+из ] + т
/
2 1 -то2
АА
VК V
2
ди2 д и3
до до2
д 2и31
' то -V 2
д у2
Но I к 2 / АГ
/=1 ]
Ап
1 + Iк.АГ
V / = !
Но ^/ АГ,[ ;
/=1
мр =
ЕН3
А 1 Ади, д2и, 1 д2и, 1А
12(1 -т2)
+
ЕНп
1 -то2
то
ди,
—1+то—
дУ к
до до2
д у 2
1+1 кз / АГ
/=1
+
ди1 до
1
+и
Но I к2/ АГ, ,
/у
/=1
мр = -
ЕН3
А 1 А
12(1 -то2)
VК V
2
д и2 д 2и3
до до2
д2и31А -то^г
+
ЕНп
1 -то2
т(
д и1 1
+—
дУ к
ди2 до
д у 2 11
1+1кз/АГ,
/=1
+
+и
Но Iк2. АГ
УУ
/=1
к1/ =
; - А_1
К/ У
й
, к,,. =
К
2/
К У
1 н 2,.
2К
, к,- =
2 г /
^ 7 V
; - А_
К у
К К2 Н
г
4 - 2^ + ^ К/ н2 у
Н
(3)
Здесь АГда. = Г(у - у)- Г(у - у - £0 *), Г(у) - единичная функции Хевисайда по продольной координате у; у. - точка появления ребра по продольной координате; /ло - коэффициент Пуассона материала оболочки; Е - модуль Юнга материала оболочки; ро - плотность материала оболочки.
Граничные условия для уравнений (3) представляют собой условия свободного опирания на торцах:
п
п
3
п
+
+
+
+
*Ь = 0, и2
Эу ' 2
0 Э^
' Эу2
: 0 при у = ±1.
2
(4)
Тогда уравнения динамики ребристой оболочки при осесимметричной и окружной деформации (3) в перемещениях имеют вид:
1А
Я Эв
_Э_
Эу
(
1 ( Эи
—т—I —- + и3
Эу ^ ЯV Эв 3
1 Эи1 1 . . . 2
,, ---к i • к1( у) + —
2(1 + т) iI Эу я эв У я
• у)+
( Эи
1 (Эи2 Э2и31 Э2и?
"Эв ~~э—) "Эу2
А Я2
Кк2( у)!
(5)
2 \
Э2 и
Эу ЭуЭв
_Э_ Эу
Ек0
1 _Э_ +я эв
г
Ек
2(1 + т)
( 1 ( Эи
Эи2 1 Эих
"Эу ~ Я ~Эв
л
А( у)+Я2
Эи
'к0 к2 (у)| Э 2из 1
Э2
= _ к0р0~Г2Г к1( у ) _ У*
Эt2 л
Эу ЭуЭв
к0 К( у)'
У
А А
Я2 Эв
(
1 _а2
ЕкЗ
Л
IV Яч
((
Эв
- + и
Эи1
эу.
л
12(1+т2)
VЯ V
у
^ 1
М у) +
( 1 (
2
Эи2 Э2и3
Эи2 Э2и3
-а
/
2Э +—
Я Эу
Эу2 1Э
(
Ек3
1
(Эи Э 2и
2
12(1 + а) Я I Эу ЭуЭв
кз( у) + :
Э 2и31 Ек
Ч у) +
( 7и,
Я
Ек
Эв Эв2
2
Э и3
Эу2
к0к2( у)(
1
1
-т
Эи1 1 ( Эи
Эу я V Эв
л
+ из 11 • к<А(у)
2(1+а) v эу я эв
к к2( у)
Э 2ип
= _ д в
Ек3
12(1
Ек3
я2 Эв2
((
Эи2 Э и3
^ 1 Э2 и
л
12(1 _аг)
2 Э
VЯ V
Эв Эв2
Эи2 Э 2и31
Эу2
Ек
къ( у) + 0
, , — +тп—I —1 + и3 | |к0к,(у) 1 _т02 V Эу Я V Эв
Ек I
Эв Эв2
1 ( Эг
■А
Э 2и31
Эу2
Я ЭвЭу V 12(1 + А0) Я I Эу ЭуЭв
Ек
*3( у) + 7^
1 "Ас2
Ек
А
Эи1 1 ( Эи
Эу Я V Эв
А
+ и311 • к<А(у)
к3(у)+
Э и
Ек „
1 ( Э и, — I тт- + и.
1 _ т02 IV Я V Эв
2(1 + т0) V Эу Я Эв
Э 2 и
А0 ЭуР( у) + I Я 2 [ Эв Эв2
1 • К к 2 (у)
к 0 к 2 (у)
А0
Э у2
= _ к 0 р0
Э 2 и 3
ТР2"
■к 1(у) _ Уп
Таким образом, была построена математическая модель механической системы представляющая собой связанную систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для описания динамики жидкости (1) и динамики геометрически нерегулярной оболочки с ребрами жесткости ступенчато изменяющейся высоты (3) и соответствующих граничных условий (2), (4).
Предложенная математическая модель поможет исследовать динамику взаимодействия трубы кольцевого профиля с упругой, геометрически нерегулярной внешней оболочкой и абсолютно жесткой внутренней с вязкой несжимаемой жидкостью при наличии вибрации, что позволит определить причины возникновения кавитационной коррозии деталей и будет способствовать повышению прочности и надежности элементов механических систем.
Выполнено при поддержке гранта РФФИ 13-01-00049-а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кондратов Д.В. Пульсирующее ламинарное течение жидкости по упругой цилиндрической трубе кольцевого сечения / Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова, Л.И. Могилевич // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2009. № 4. С. 60-72.
2. Кондратов Д.В. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при свободном торцевом истечении в условия вибрации / Д.В. Кондратов, Л И. Могилевич // Вестник СГТУ. 2007. № 3 (26). Вып. 1. С. 22-31.
3. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними / Л.И. Могилевич, В.С. Попов, А.А. Попова // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 23-32.
3
2
3
2
2
Э2 и
2
2
+
4. Кондратов Д.В. Гидроупругость геометрически нерегулярной оболочки, содержащей слой вязкой жидкости и упругий цилиндр, в условиях гармонического давления / Д.В. Кондратов, И.В. Плаксина, Е.Л. Кузнецова // Сборник научных трудов 2о13. Т. 6. № 4. С. 17-2о.
5. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика / Т.М. Башта. М.: Машгиз, 1963. 696 с.
Кондратов Дмитрий Вячеславович -
доктор физико-математических наук, профессор заведующий кафедрой «Прикладной информатики и информационных технологий в управлении» Поволжского института управления имени П.А. Столыпина - филиала Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ
Dmitry V. Kondratov -
Dr. Sc., Professor
Head: Department of Applied Informatics and Information Technologies in Management, Stolypin Volga Region Institute of the Russian Academy of Public Administration under the President of the Russian Federation
Калинина Анна Владимировна -
старший преподаватель кафедры «Информационного и документационного обеспечения управления» Балаковского филиала Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ
Anna V. Kalinina -
Senior Lecturer
Department of Information and Document Management,
Balakovo Branch of the Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration
Статья поступила в редакцию 12.02.14, принята к опубликованию 20.04.14
