CC BY
31
УДК 517.958: 531.383:532.516
Д.В. Кондратов, И.В. Плаксина
ГИДРОУПРУГОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00177а и гранта Президента РФ МД - 1025.2012.8
Дана постановка задачи гидроупругости для трубы кольцевого профиля с геометрически нерегулярной внешней оболочкой, свободно опираемой на концах трубы, и абсолютно жестким внутренним цилиндром.
Гидроупругость, вязкая жидкость, труба кольцевого сечения, геометрически нерегулярная оболочка
D.V. Kondratov, I.V. Plaksina
HYDROELASTICITY OF GEOMETRICALLY IRREGULAR RING SHAPE TUBE UNDER HARMONIC DIFFERENTIAL PRESSURE
The problem covered includes hydro elasticity of a ring shape tube having a geometrically irregular outer shell freely supported by the pipe ends and an ultimately rigid interior barrel.
Нуёше1а8Иску, viscous liquid, ring shape tube, geometrically irregular shell
Современные конструкции, используемые в различных отраслях техники, могут быть описаны моделью, которая состоит из двух цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, между которыми расположена жидкость. Примерами использования модели с двумя цилиндрическими оболочками можно считать двигатели внутреннего сгорания, поплавковые приборы навигации, жидкостные ракетные двигатели, телескопические шасси, силовые цилиндры с полым плунжером [1-5]. Следует отметить, что в такой модели жидкость между оболочками может служить как для демпфирования собственных колебаний оболочек, так и для охлаждения этих оболочек. Кроме того, внешняя оболочка может быть геометрически нерегулярной, а внутренняя - абсолютно жесткой.
Рассмотрим механическую систему, представленную на рис. 1.
Рис. 1. Механическая модель
Рассматривается ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе кольцевого сечения, образованного поверхностями соосных цилиндрических оболочек, причем внешняя оболочка является упругой геометрически нерегулярной, а внутренняя оболочка является абсолютно жестким цилиндром. Внутренний Rl и срединной поверхности R радиусы внешней оболочки, а также внешний радиус R2 внутренней оболочки значительно больше ширины ^ = 2^ - R1) << R
цилиндрической щели кольцевого сечения. Толщина внешней \ = 2^ — R1) оболочки значительно меньше радиуса срединной поверхности R. Радиус координатной поверхности оболочки R, а ее
толщина на участках, где отсутствуют ребра жесткости, равна Нр]. Длины оболочек I - одинаковы, а упругие перемещения внешней оболочки значительно меньше ширины 5 цилиндрической щели. Течение происходит под действием переменного по времени перепада давления. Перемещение внутренней оболочки относительно внешней на торцах отсутствует. Механическая система считается термостабилизированной.
Внешняя поверхность внешней оболочки является геометрически нерегулярной и имеет п ребер жесткости ступенчато изменяющейся высоты. Ребра представляют собой внешние шпангоуты. Высота 7-го ребра равна Ни, а его длина £0ф. Геометрически нерегулярная оболочка на торцах имеет свободное опирание.
Систему координат О1х1 у1г1 свяжем с основанием, к которому крепится рассматриваемая механическая система. Ее центр Оі расположен в геометрическом центре соосных оболочек в невозмущенном состоянии. Положим, что перемещения вдоль оси О1 у1 отсутствуют. Введем в рассмотрение необходимую далее цилиндрическую систему координат г, 0, у (пг, п0, ] - орты цилиндрической системы), полюс которой совпадает с началом координат О1х1 у1г1, направления осей Оу , О1 у1 цилиндрической и декартовой систем координат совпадают (рис. 2).
Текущее ребро характеризуется высотой Нр, длиной £0ф и продольной координатой начала
ребра у]. При этом высота ребра скачкообразно изменяется при движении вдоль оболочки. Нормальная к координатной поверхности координата г, внутренней поверхности оболочки постоянна
¿1 =- Но/2.
Н
Часть внешней поверхности оболочки постоянна г2 = , а расположенные вдоль оси Оу на
интервалах у. < у < у. + £0. (] = 1,2,...,п) ребра, ограничены по высоте поверхностями
¿2 = Нр] - Н0 =
( 7 ^
1 - А.
V Нр] У
к.
Рис. 2. Системы координат
Ступенчатый характер изменения высоты ребра опишем с помощью разностей функций Хевисайда по продольной координате.
Таким образом, общее уравнение, описывающее внешнюю поверхность оболочки можно представить в виде
¿2 =V + Е
2 ]=і
\
1 - А_
V Нр] У
Нр]АГ,
где АГ, = г(у - у,)-г(у - у, -е;,), г(у) - единичная функция Хевисайда по продольной координате;
у, - точка появления ребра по продольной координате.
Течение жидкости между оболочками осесимметричное и описывается уравнениями Навье -Стокса, которые в цилиндрической системе координат имеют вид 26
ЭУ. + уЭУ.+уЭУ
Эг ' Эг ’ Эу
к 1 др к =-------------— + V
р Эк
Эг2
- + —
+
X
У
г Эг Эу2 г
(1)
ЭУ V Эу
—^ ^ = 0.
дг г ду
Здесь к = г или у; % = 1 при к = г , % = 0 при к = у ; Уу, Уг - компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат (пг,)), начало О которой находится в центре внутренней оболочки; р - давление жидкости; р - плотность жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости; у - координата вдоль оси симметрии Оу; г - расстояние от оси Оу; t - время.
Граничные условия представляют собой условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия для давления на концах механической системы:
Уг = ди3/дt, Уу =-д^/дt при г = Я2 +5 + и3;
Уг = 0, Уу = 0 при г = Я2;
р = р+ при у = // 2, р = р при у = - //2, (2)
где и3 - прогиб внешней оболочки, положительный в сторону, противоположную центру кривизны; и1 - продольное перемещение оболочек, положительное в сторону, противоположную оси Оу.
В случае осесимметричной деформации ребристой оболочки уравнения динамики для введенной в рассмотрение цилиндрической системы координат, полученной исходя из вариационного интегрального принципа Гамильтона, имеют вид [6]:
ЕН0 Э
(
1 -д0 э у
Эи, и3
—1 -Д 0 — Эу Я
1 +Е кіі ДГу
І=1
Э 2и,
Л
Эу
к0 Е к2 і АГу,
2 0 ^ 2уі
;=і
(3)
= КР ^ І'1+Е к1, ДГ, I - ч,.
2
Эу2
ЕНІ Э 2и3
12(1 -д2) Эу2
1 + Е кз; ДГу,
;=1
+ -
ЕК
1-д
Эи1 и3
—1 “ Д0 Эу 0 Я
к0 Е к2 і ДГу,
і=1
+
+ -
1 ЕК
и3 Эи,
Я-д0 э7
(
Э 2и,
1 + ЕкцЩ, -Д0^ТТКЕк2,ДГ
І і=1 I Эу
311 + Е к1 і ДГ I + чп.
і =1
Э 2 и.
К°р0 Эг2 Г ' м"1 ^уі
Здесь АГу = г(у - у] )-Г(у - у] -е0] *), Г(у) - единичная функции Хевисайда по продольной координате у; у] - точка появления ребра по продольной координате; ц0 - коэффициент Пуассона материала оболочки; Е - модуль Юнга материала оболочки; р0 - плотность материала оболочки. Поверхностная нагрузка определяется напряжением со стороны жидкости
Чп =-
Ргу 008 (п, Пг)+ Руу 008 (п, і)
Л А
Ргг 008 (П, Пг)+ Ргу 008 (П, і)
(4)
г=Й2 +5+из
г=Й2+^+из
где п - единичный вектор нормали к срединной поверхности оболочки; , - единичный вектор в продольном направлении в срединной поверхности оболочки, противоположный единичному вектору і ; пг, і - единичные векторы введенной цилиндрической системы координат.
(
к1 і =
Л
1 —2V КРі I
1 —2V КРі I
-і к3, =
2к2 3і
V
1 —2V кРі I
4 - 2^ + %
кРі кРі у
п
п
п
2
К
0
„ dV
Prr =- Р + 2V^^-JL = dr
Pry =VP
V
dV+dV. \
dy dr y
dV
= - p + 2vp—-
Эу
A_ R2 + ô + u3
cos(n, nr ) = —-
N
cos(n,j)=
R2 + Ô + U3 Эи, I rrl / _ q \
2 3 3 N = (R2 + ô + u3 ).
N
Эу
1 +
dy
Граничные условия уравнений представляют собой условия свободного (шарнирного) опирания
I д 2и
u3 = 0 при у =± —,
э/=0 при y=± I •
(5)
дщ l
—1 = 0 при y = ±— . dy 2
Таким образом, получим связанную задачу гидроупругости для трубы кольцевого профиля с геометрически нерегулярной внешней оболочкой, свободно опираемой на концах трубы, и абсолютно жестким внутренним цилиндром.
ЛИТЕРАТУРА
1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика / Т.М. Башта. М.: Машгиз, 1963. 696 с.
2. Могилевич Л.И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом / К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевич. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. 160 с.
3. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. 156 с.
4. Симдянкин А.А. Контактно-силовое взаимодействие деталей цилиндропоршневой группы / А.А. Симдянкин. Саратов: ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. 144 с.
5. Кондратов Д.В. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при свободном торцевом истечении в условиях вибрации / Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Вестник СГТУ. 2007. № 3 (26). Вып.1. С. 22-31.
6. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком жидкости внутри нее применительно к трубопроводному транспорту / Л.И. Могилевич, А.А. Попова, В.С. Попов // Наука и техника транспорта. 2007. № 2. С. 64-72.
Кондратов Дмитрий Вячеславович -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и системный анализ»
Саратовского государственного
технического университета имени Гагарина Ю.А.
Плаксина Ирина Владимировна -
преподаватель кафедры «Прикладная информатика и информационные технологии в управлении» Поволжского института имени П.А. Столыпина - филиала Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ
Dmitry V. Kondratov -
Dr. Sc., Professor Department of Applied Mathematics and System Analysis,
Yu. Gagarin Saratov State Technical University
Irina V. Plaksina -
Lecturer
Department of Applied Informatics
and Information Technologies in Management,
Stolypin Volga Region Institute -
Branch of the Russian Academy
of Public Administration under the President
of the Russian Federation
Статья поступила в редакцию 28.10.11, принята к опубликованию 15.11.11
