CC BY
31
ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
УДК 517.958:621.225:621.454
Ю.Н. Кондратова, Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич
ГИДРОУПРУГОСТЬ ТРУБОПРОВОДА КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ СО СВОБОДНЫМ ОПИРАНИЕМ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ
Проведено исследование амплитудных частотных характеристик (АЧХ) упругой трубы кольцевого профиля свободно опираемой по концах, содержащей слой вязкой несжимаемой жидкости при воздействии гармонической по времени вибрации. Показано, что значения АЧХ для внутренней и внешней оболочек на резонансных частотах совпадают.
Амплитудная частотная характеристика, вибрация, упругая труба.
J.N. Kondratova, D.V. Kondratov, L.I. Mogilevich
HYDROELASTICITY OF THE TUBING OF THE RING PROFILE FREELY RESTED
OF FOUNDATION VIBRATION
The amplitude frequency characteristics (AFC) of elastic tubes of the ring profile freely rested after the ends closed cylindrical environments containing a viscous incompressible liquid of foundation harmonically for time vibration is investigated. It is demonstrated that the meanings of AFC for internal and external environments at resonance frequence coincide. The article is written withthe support of RFFI Grant №10-01-00177-а.
Amplitude frequency characteristic, foundation, elastic tubes.
Современные конструкции, используемые в различных отраслях техники, могут быть описаны моделью, которая состоит из двух цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, между которыми расположена жидкость. Примерами использования модели с двумя цилиндрическими оболочками можно считать двигатели внутреннего сгорания, поплавковые приборы навигации, жидкостные ракетные двигатели, телескопические шасси, силовые цилиндры с полым плунжером [1-5]. Следует отметить, что в такой модели жидкость между оболочками может служить как для демпфирования собственных колебаний оболочек, так и для охлаждения этих оболочек. При вибрации упругая податливость внутренней и внешней оболочек приводит к динамическому воздействию на слой жидкости, в котором, в следствие этого, возникают зоны пониженного и повышенного давления. В рассматриваемой колебательной системе - «упругая оболочка - охлаждающая жидкость - упругая оболочка» возможен резонанс, при котором прогибы внутренней и внешней оболочек будут максимальны, а в слое охлаждающей жидкости возникает кавитация на частотах соответствующих резонансным. Будем предполагать, что на торцах оболочек обеспечивается свободное опирание.
Таким образом, для определения критических частот вибрации, которые могут вызывающих излишний прогиб оболочек и кавитационный износ необходима постановка и решение задачи угидроупругости внутренней и внешней оболочек кольцевой трубы, содержащих слой вязкой несжимаемой жидкости [3, 4].
Рис. 1. Физическая модель механической системы
Рассмотрим далее следующую физическую модель механической системы (рис. 1).
Механическая система представляет собой внешнюю оболочку 1, которая является упругой замкнутой цилиндрической оболочкой, жестко защемленной по торцам. Внутренняя оболочка 2 - также упругая цилиндрическая оболочка, свободно опертая на концах. Зазор между стенками оболочек 2 и 1 R2 и R1 полностью заполнен вязкой несжимаемой жидкостью 4. Наружная поверхность внешней оболочки и поверхность внутренней оболочки образуют цилиндр в цилиндре длиной 12. Радиальный зазор цилиндрической щели 8 = R1 - R2 << R2. Жидкость свободно вытекает из цилиндрической щели. Перемещения внутренней оболочки относительно внешней как твердого тела отсутствуют [1]. Механическая система считается термостабилизированной.
Таким образом, физическая модель кольцевой трубы представляет собой две упругие замкнутые цилиндрические оболочки взаимодействующих между собой через слой жидкости под воздействием вибрации.
Систему координат O1x1 у1 z1 свяжем с основанием, к которому крепится кольцевая труба. Положим, что перемещения вдоль оси O1 у1 отсутствуют. Обозначим виброускорение основания, к которому крепится механическая система через X0, г0. Введем в рассмотрение необходимую далее цилиндрическую систему координат г, 0, у , полюс которой совпадает с
началом координат O1x1 у^, направления осей Oy, O1 у1 цилиндрической и декартовой си-
стем координат совпадают.
Закон поступательного движения механической системы, как абсолютно жесткого тела и его абсолютное ускорение представляется в виде (относительно инерциального пространства)
Х0 ( )= Exfx0 )’ Уо Ь )= 0’ *-0 ( )= Ezfz0 ) > (1)
Wы = -0 = Е- М2 /' (<М), Wl = 0^ы = *0 = Ег М2/*0 (мt), где штрих означает производную функции по ее аргументу, Ех, Е1 - амплитуды поступательных колебаний; < = 2ц[ - частота поступательных колебаний, рад/с.
В реальных механических системах отношение 8 к R2 очень мало, поэтому можно ввести малый параметр у = 8/R2 << 1, характеризующий ширину цилиндрического слоя жидкости, окружающей внутреннюю цилиндрическую оболочку.
Малый параметр у позволяет упростить постановку задачи гидроупругости с цилиндрическими оболочками. Перейдем к безразмерным переменным, вводя редуцированное давление для цилиндрической щели [2, 3, 5]
£ = (г - ^2)/«, 0 = 0, т = м;, С = 2y|l2, К = ^, К = №ЦуК,
Уу =(міф){12/2Я2)ыг ; и(] = 4Ъ{'1, и2']
V Ъ (І) и (І)
' Ут и 2 , и3
^т»и3'1, ¥=а/ «2 << (, Л' ] = «т 7«;
(с" >)2 = Е" ]/[р<' ](і-(М'1)2 )], ' =
: (,2 ,
Р = Ро +Р К:
у Яе
Р _ Яе
.((]
, Яе =
82ю
V
(2)
где верхний индекс 1 относится к внешней оболочке, а индекс 2 - к внутренней оболочке, р0, р, V - уровень отсчета давления, плотность и кинематический коэффициент вязкости
жидкости; ), р(), Е(), Мо) - толщина, плотность, модуль Юнга и коэффициент Пуассона
материала оболочки; Р - редуцированное безразмерное давление жидкости; где ы() = ы{!)(у, 0, £) - продольное упругое перемещение оболочки, положительное в направлении
противоположным направлению 7 ; и
,(') _„(■
(')
«2 )(У’ 0 *] -
окружное упругое перемещение
оболочки в направлении п0; ы3‘) = ы3‘)(у,0,£) - прогиб внешней оболочки, положительный в
направлении п , совпадающим с пг и противоположным направлению к центру кривизны;
К,К0,Ку - проекции скорости жидкости на г, 0, у .
Уравнения динамики поддерживающего и демпфирующего слоя жидкости в нулевом приближении по у примут вид:
— = 0, Яе д£
ді
Ґ
Яе
дг
дт
+ Л
+ Л дт
( д иг
и
д и0 д и0
------+ ид—^0 + и{■
- + и.
д0
- + и/
д0
д иг ^
д и0 ^
~дс
дР д2и0
- + -
у і N ( 2«2 "І
У_ V 12 у
д0 д£2
д Р д2 и - +
(3)
і
дС д£2
+ -
д
0; Яе
82а
д£ д0 дС V
Граничные условия на непроницаемых поверхностях в нулевом приближении по у запишутся в виде:
ди3 ы0 = 0 ; ы^ = 0 при £ = ^*1) = 1 + Я(1)и31;
дт
^2] дЪ<2)
; и0 = 0; ис = 0 при £ = ^*2) = Л(2]Ъ 32],
(4)
^ дт
Р = 0 при £ = ±1.
Уравнения динамики упругих цилиндрических внутренней и внешней оболочек кольцевой трубы , основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява,в безразмерных переменных (2) с учетом условия у << 1 запишутся в виде:
\2 (,-им ^2р(0 ^ ( ^) 1-м(,) ( д2и(«)
"эс2
(с1'1]2 р£Ч!|
(я(!]]2
(+ н0'1 ( 2^]>1 ('] '1
2Я1] о д2Ъ'1 , (-1101 ('] Э2Ъ11' и -2 + 2 и" ад2
У
у-_____^ _м('1
т дСд0 Мо
V
I
ж
У
(']ди3'11 ('Ь('] 2 ('] дЪ1 -
_р0 ^ ™ ит’^т-=°;
п
2
8
і
0
2
I
(•И)2рО^ | 1+м0! 1 2Я« I,)ЭЫ‘>, 1 -м0° Г2й">I2 „)д-и2> ,
'т^+
р0"0 (#))2 I 2
ди ()
I
(') д 2и22) (,)
+ V --------т----+ Ж
1 ГЯ1 —. _ О 1 ' у гм
д02
д0
3 + («0 'I2 V",1
дСд0
2(1 -
2
Мо))
2Я(') )2 д2и() д2и()
дС2
д02
(2-М 0'))
2Я(') ) д3и3') + д3и3')
дС2д0 д03
(•"))2р0'IA0'I I „И 2Х"’Ы(,)диг , I')ди2
----------------- м0 --------ыт —+ V -------------------
'(' ^ )^2 Г —^СОВ 0- —10 + V
ю
ю
') д 2и 2') )
дт2
(')
:0,
,(<•)
Г(')
(')
(я°))
I
дС
« ))2'(') - («0 ) 'т
(2 -
) / 2Я(') ) д3и(') д3и()
(')
I
- + -
дС 2д0 д03
д0
+Ж и 3°+
+ ш,
(' ж,(')
(«0°}
-р0' >л0' V
№
Г 2Я(') V д4и() Г 2Я(') )2 ди) д4и|')
V
I
У
дС4
- + 2
I
+ ■
дС 2д02 д04
1x1
2
81п 0 +
—
М.
X-
Ке УР0 р^2 )ю
V ю ю
+ Р - Яе
сое 0 + ж'
(')
д 2и 3') ) “эГ^
:(- Г
-1 р^2 ж""' )Ю2
Яе у
X
(5)
уЕх г" { \ • о 1 уЕг ^ \ о
([у 1x0 (Г) »1п 0 + -(^ /,0 (Г) С08 0
ж,
ж:
)
где £11) = 1 + Я(1)и 31), £*2) =Я(2)и 32).
Условия жесткого защемления на торцах внешней и внутренней оболочек запишутся в виде
ди}') л „(') ~ „(') - д2и3')
■ 0, и2') = 0, и3г) = 0,
: 0 при С = ±1 .
(6)
дС ~’~3 дС2
Таким образом, получена связанная задача упругогидродинамики. Для решения задачи упругогидродинамики (3)-(6) применяется метод возмущений. За малые параметры принимается относительные прогибы внутренней и внешней оболочек Я(г), которые считаются величиной значительно меньше единицы, что применительно к реальным механическим системам действительно имеет место. Для решения получившейся линейной задачи определяется частное решение неоднородных линейных уравнений в виде гармонических функций по времени с коэффициентами, зависящими от координат. Общее решение соответствующих однородных уравнений не определяется и переходный процесс не исследуется, так как в колебательной системе присутствует демпфирующий слой жидкости, взаимодействующий с цилиндрическими оболочками.
Решение уравнений динамики цилиндрических оболочек будем искать в виде
')^ . Г 2к -1
ы1(0)=ыт )и10=ыт) 2 8Ч ~т- ){(а1(0сео8 0+^п 0)81п (т+фЫ1 )+«(0о}
,(')
ы20 = 'т и 20
к=1
(' )и (''М) 2 ео5|
к=1
V 2 2к -1 2
Г 2к -1
пС |{«20)х ео^0+4ос ^[п 0+«20)о }^[п (т+фы!2 ),
ы30> = жт)и« = жт)2с„,[ .С^{(a30>cе089+&8>п0>S,n(T+фЫ'3)+ «« }.
к=1
I
Учтем, что в системе присутствует демпфирование, возникающее за счет жидкости, что приводит к быстрому затуханию собственных колебаний системы и возникновению установившихся вынужденных колебаний одной формы. Поэтому будем предполагать, что колебания механической системы носят гармонический характер.
Подставляя формулы (7) в уравнения динамики внутренней и внешней оболочек в нулевом приближении по Я(г), приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях этих уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов, входящих в формулы (7). Из полученной системы уравнений определяются необходимые в дальнейшем коэффициенты (данные коэффициенты из-за громоздкости не приводятся). Поставляя полученные коэффициенты в выражения (7), получим следующие выражения для прогибов внутренней и внешней оболочек и амплитудные частотные характеристики для внешней и внутренней оболочек для каждого слагаемого ряда
А()(ю) = Vпиш([) / йвп , ' = 1,2. (8)
Расчеты произведены для модели с параметрами Л2=2-10-1 м, /2 =1,5 м, 8 =2-10"2 м, р=103 кг/м3, V=10-4 м2/с, н0')=10-2 м, Е(') =1,61011 Па, м0° =0,25, р(0') =7,4103 кг/м3 , ' = 1,2.
Расчеты показывают (см. таблицу), что значения резонансных частот и амплитудной частотной характеристики, рассчитанные по формулам (8), практически совпадают на всем диапазоне частот.
В амплитудной частотной характеристики системы наблюдаются шесть резонансных частот, что может быть объяснено именно наличием двух упругих оболочек, у каждой из которых есть свои три резонансные частоты. Следует заметить, что совпадение резонансных частот и значений АЧХ для внутренней и внешней оболочек можно объяснить несжимаемостью жидкости, находящейся между оболочками. Таким образом, в случае, когда в системе вязкая несжимаемая жидкость находится между двумя упругими оболочками, тогда вся система начинает колебаться как единое целое. Тогда подбором материалов и типоразмеров системы можно не только уменьшить величины АЧХ на резонансных частотах, но и сдвинуть резонансы в области более высоких или низких частот.
Резонансные частоты и величины АЧХ на резонансных частотах для внутренней и внешней оболочек
Частота, рад/с А(2)(ю) , с2 Л(1)(ю], с2
129 4,42Е-06 3,67Е-06
2467 5,46Е-01 5,46Е-01
14976 3,25Е-05 3,29Е-05
17299 5,11Е-04 5,10Е-04
24716 5,03Е-07 5,11 Е-07
33619 1,56Е-04 1,56Е-04
Таким образом, предложенная математическая модель применима для большого класса объектов, состоящих упругих, жидких и абсолютно жестких тел, при свободном торцевом истечении жидкости. Объекты такого типа широко применяются на автомобильном, железнодорожном, речном, морском, авиационном транспорте, а также в ракетно-космических системах. Предложенные математические модели позволяют уже на стадии проектирования выявить резонансные частоты и путем изменения типоразмеров механической системы сдвинуть их в область более низких или высоких частот.
Выполнено при поддержке гранта РФФИ №10-01-00177-а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика / Башта Т.М. М.: Машгиз, 1963. 696 с.
2. Могилевич Л.И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом/ Андрейченко К.П., Могилевич Л.И. Саратов: Изд-во. Сарат. ун-та, 1987, 160 с.
3. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, Попов В.С. Саратов: СарГАУ, 2О0З. 156 с.
4. Симдянкин А.А. Контактно-силовое взаимодействие деталей цилиндро-поршневой группы/ А.А. Симдянкин. Саратов: СарГАУ, 2003. 144 с.
5. Кондратов Д.В. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при свободном торцевом истечении в условия вибрации / Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. №3 (26). Вып.1. С. 22-31.
Кондратова Юлия Николаевна -
аспирант кафедры «Теоретическая механика» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Кондратов Дмитрий Вячеславович -
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Прикладная информатика и информационные технологии в управлении» Поволжской академии государственной службы им. П. А. Столыпина
Могилевич Лев Ильич -
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Теоретическая механика» Саратовского государственного технического университета им. Г агарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 19.07.11, принята к опубликованию 11.10.11
