Гидроупругость упругой цилиндрической трубы кольцевого сечения при различных ее закреплениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516: 517.958: 531.383

Ю.Н. Кондратова

ГИДРОУПРУГОСТЬ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЕЕ ЗАКРЕПЛЕНИЯХ

Рассмотрена цилиндрическая труба кольцевого сечения с упругими внутренней и внешней оболочками для случаев свободного опирания и жесткого защемления оболочек по торцам. Исследовано влияния типа закрепления и свойств жидкости на резонансные частоты и амплитудные частотные характеристики оболочек.

Г идроупругость, вязкая жидкость, труба кольцевого сечения

J.N. Kondratova HYDROELASTICITY OF THE ELASTIC CYLINDRICAL TUBE OF RING SECTION AT ITS VARIOUS FIXING

The cylindrical tube of ring section with elastic internal and external shells for cases free fixing and a rigid fixing of shells on end faces are considered. The influences of type of fastening and properties of a liquid on resonance frequencies and amplitude frequency characteristics of shells are investigated.

Hydroelasticity, viscous liquid, tube of ring section

В современных машинах и агрегатах широко используются различные трубопроводы кольцевого профиля для подвода (отвода) жидкости. Такие трубопроводы при работе агрегата могут подвергаться значительным механическим воздействиям, таким как перепады давления или вибрация.

В данной работе рассматривается одно из воздействий на трубопровод, а именно гармонический перепад давления на входе и выходе из трубы.

Следует заметить, что тип закрепления оболочек трубы может влиять на надежность работы трубопровода, поэтому будем рассматривать два типа закрепления оболочек: свободное опирание и жесткое защемление по торцам.

Исследования по ламинарным движениям вязкой несжимаемой жидкости в бесконечно длинной абсолютно жесткой цилиндрической трубе под действием гармонического перепада давления были проведены И.С. Громека [1], под действием внезапно приложенного давления - Н.А. Слезкиным [2], по волновым движениям в бесконечно длинных упругих трубах при заданной форме упругих перемещений - в [3] и при безмоментной теории оболочек - в [4]. Однако случай свободного опирания на торцах ранее не рассматривался.

Рассмотрим трубопроводную систему кольцевого профиля с упругими внутренней и внешней оболочками конечной длины, взаимодействующими с вязкой несжимаемой жидкостью под действием гармонически изменяющегося давления на входе и выходе (рис. 1).

Рис. 1. Трубопроводная система кольцевого профиля с упругими внутренней и внешней оболочками конечной длины, взаимодействующими с вязкой несжимаемой жидкостью под действием гармонически изменяющегося давления на входе и выходе

Трубопроводная система состоит из двух упругих соосных цилиндрических оболочек. Обозначим внутренний Я1 и срединной поверхности Я(1) радиусы внешней оболочки; внешний радиус Я2 и радиус срединной поверхности Я(2) внутренней оболочки. Ширина 8 = Я1 — Я2 цилиндрической щели кольцевого сечения значительно меньше радиуса внутренней оболочки. Толщины внешней Ио1 = 2(Я(1) — Я1) и внутренней И>2) = 2(Я2 — Я(2))

оболочек значительно меньше радиусов их срединных поверхностей Я(1) и Я(2). Длины оболочек I - одинаковы, а упругие перемещения значительно меньше ширины 8 цилиндрической щели. Течение происходит под действием переменного, гармонического по времени перепада давления.

Течение жидкости между оболочками осесимметричное и описывается уравнениями Навье-Стокса и неразрывности [5], в цилиндрической системе координат в безразмерных переменных [6], имеющими вид:

у 2Яе

дпХ Л ( дп

—Х + 1

дт

п

V

дХ С дС

у.

дР 2

:------------+ У2

дХ

2

д пХ

у

дпХ (

у

2

Яе

дпС Л( дп

—^ + 1

дт

дХ С дС

у

дХ2 і+ Ху дХ ^ 1+Ху

У иис

Пх +

у2 д 2Пх

о2 дС2

1 дР д 2Пс у дп

- + -

дпХ дм

*Х

+ -

+ •

о2 дС дС2 у

-+-

+

у2 д 2п

1 + Ху дХ о2 дС2

(1)

дХ дС 1+Ху

-пХ

О,

где

(Г — Я2 )

8

(і)

«. 2у

С = — , т = ЮҐ . /

К. = ^юп.

К.

^/у)

оПс , п

(і).

,(г')

8

о

ру ^)«2 8 1

:^о +^т—Р, у = ^<< 1, Яе

у 2Яе Я2

82ю

V

г = 1 для внешней оболочки, г = 2 для внутренней оболочки.

Здесь г, у - координаты цилиндрической системе координат (пг, у'), начало О которой находится в центре внутренней оболочки, Уг, Уу - компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат; р - давление жидкости; р - плотность жидкости; V -кинематический коэффициент вязкости; ^ - время; ш - частота (рад/с); ^) - амплитуды

3

прогибов оболочек; ) - амплитуды продольных перемещений оболочек; р0 - постоянный

уровень отсчета давления; ) - прогибы оболочек, положительные в сторону,

противоположную центру кривизны; Ы) - продольные перемещения оболочек,

положительные в сторону, противоположную оси у .

Граничные условия представляют собой условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия для давления на торцах, в безразмерных переменных имеют вид:

эиГ' , х=х<1>=1, (2)

о w(:> Эх

т

1(1) ,,<2) ЭТТ<2)

п

Х

--------, пС

дт С

п

ди3(2)

Х

--------, пС

дт С

. у 1 пт ди1 Х = Х(2)=1(2)и(2)

■ о1(2) ^2) дт , Х = Х =Л и3 ’

Р = Р+, С = 1; Р = Р~, С

-1.

Уравнения динамики внутренней и внешней упругих замкнутых цилиндрических оболочек, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява [7, 8], в безразмерных переменных представлены как:

V 1 у

,(г)

№(г) дС

1 (г) 2Я(г) (г)

1—тО—

ди3(г) (я(г))2 ю2 (г)ди1(г)

I т дС (с(г))

,2 пт

(я(г))

дт2

р(г )И(г )(с(г ))2

(г)

(3)

(г) 2^1

,(г)

ди()

і т дС

?(г' ))2 ю2

+«С и3' >+ко')

і

(г)

у

(г ))2

д 4и3г) дС4

- +

+Мю «и дШ=(—1)(—1 Я ))

+ 1с1г ))2 «т дт2 ' 1

р(г )И(г )(с(г))

1 о о \ /

Ч(г)

2 ^ п •

Напряжения на поверхностях оболочек со стороны слоя жидкости записываются в

виде:

(г) (г) Г рЯ^ )ЮП

чт = — ^ 1^8—у

( дпС у2 дпХ ^

О —^ + —„------------Х-

дХ О2 дС

+

+

Р

1 ди3(г) о дС

— 2у2

1 дпс ди(г) ^

о дС дС

1 ди3(г)' о дС

ч(' ) = . (г) [ р + РЯ2«т)ЮП

Чп ~ * Л У о ^

у8

дпХ

( дп

1 + ^

(И?Т.

12(я(г))

(г)

1 +

дХ о2 дС у дС

IV Т‘1/г

о2

где Е <г) - модули Юнга материала оболочек,

т0г) - коэффициенты Пуассона материала оболочек, р0) - плотности материала оболочек,

(=<•')=е < У[р0' '<1 -<т0г Т) - скорости распространения продольной волны (звука) в материале оболочек.

(4)

Х=Х

(г )

Граничные условия для упругих перемещений могут быть представлены условиями свободного опирания

2

т

4

О

т

и3г' =

Э2и<г) эи,(0

3 _ ци1 _

эс2 эс

или жесткого защемления

и[г' = и3г'

Эи

<г)

эс

= 0, С = ±1

0, С = ±1.

(5)

(6)

В нулевом приближении по у << 1 (для тонкого слоя жидкости) уравнения (1) примут

вид:

= 0, Яе

ЭХ

Эи

Эх

С + 1<1)

С Эис Эис ^

ыХ —- + ыС —-

Х ЭХ С эс

ЭыХ ЭиС -^ + —^ = 0.

1 ЭР Э 2и,

о2 эс + эс2

эх эс

а граничные условия (1, 2) запишутся в форме:

эи<'

ыС = 0, Х = 1 + 1<1)и31), г = 1; Х = 1<2)и32), г = 2,

(7)

(8)

Эх С

Р = р+, С= 1; Р = Р-, С = -1.

Запишем уравнения динамики внешней и внутренней оболочек (3) с учетом (4) при

у << 1:

V 1 У

и

< г) Э 2и<'-т <г'

эс2 т

2 Я

г)

г)

Эи3г' (Я(г))2ю2 <г) ЭЦ) =

—w —^---------- --- —

I т ЭС СИ)2

(9)

}

2Я-'} <,'Эи0

I

+ Я')ш2 ^Э2и3;1=<_1Г Я')

I ЛЛ\2 т -ч_2 V V (Л,(Л! I

-и<г)и-+w<; и)+<а0г ))2

ЭС

С 2Я<г) V --------- 1

1 У

,<!■ )Э4Щг1

т эс4

(г) 2 С

(С'г))2 "" ЭХ2

р0 V ’(с1, ))2

Р0 +

р^т ’ю2 р ^

у Яе

Граничные условия для упругих перемещений совпадают с (5) и (6).

Полагая, что прогибы оболочек w^m’ << 8, решение задачи можно представить в виде

асимптотического разложения по степеням малых параметров 11’ и 1<2)=1<" wту w^m1:

т=т0 +1<1}т + о<<1<1)}2) (10)

где под т понимается давление Р, компоненты скорости жидкости Ых и Ыс , упругие

перемещения внешней и внутренней оболочек и[г’,и3} (для простоты записи индексы в

последствии опускаются).

Подставляя (10) в уравнения динамики жидкости (7), условия прилипания жидкости (8), уравнения динамики оболочек (9), а также в граничные условия (5) и (6) со снесением их на невозмущенную поверхность, и опуская слагаемые порядка 1<1}, получим уравнения динамики жидкости в нулевом приближении по 1<1}:

ЭР Л ^ Э ыС 1 Э Р Э2 Ыс Э Ых Э Ыс

ЭР Э Ыс

— = 0 Яе— =

эх ’ Эх о2 эс ' эх2 ’ эх эс

с граничными условиями

Ых = -

эи3<1}

Эх:

, Ыс = 0 , Х = 1; Ых =

wi2} Эи(2)

Х w<l) Эх

, и г = 0 , Х = 0,

(11)

(12)

2

р = р +, z = 1; p = P-, С = -1,

где P+ = Pm + sin г, P- = Pm- sin г - гармонические функции времени.

Уравнения динамики оболочек в нулевом приближении по 1(1) будут иметь вид (9), а граничные условия останутся в виде (5) и (6) соответственно для свободного опирания и жесткого защемления.

Предполагая гармоническую зависимость от времени давления в жидкости, компонент скорости жидкости и упругих перемещений оболочек из второго уравнения системы (7) с учетом граничных условий (8), находим компоненты скорости жидкости и безразмерное редуцированное давление:

1 Э2

и

e2o2 эс 1Э

р j и j i,(xd;

Эг

+ -

W2 эи <2>

Эг

и (Х)р+А(Х)ЭЭГ

С e2о2 ЭС

2 1 С

р = 2 (p *+р -)+ 2 С(р *+P ■)-°2- (С- 1)jj

2

ю ЭГ + 12у—

Эг

о 2 Э 2Г

2е а—- +

1 С

dZdC-o2 jj

С 0

2е2а

ЭГ

Эг

-1 о

ю ЭГ

2 + 12уэТ

Эг2 dCdC,

(13)

Г = U

(2)

(1) - w^u(2)

w

L1(X) = 2a ® -F1(eX)]A + F2(eX)5 -4F(eX)C}, F(X) = A(F(eX)A -F(eX)B -4F(eX)C},

F (eX) = cheX • cos eX, F2 (eX) = 1 (cheX • sin eX + sheX • cos eX), F3(eX) = 1 sh eX • sin eX,

F4 (eX) = 1 (ch eX • sin eX - sh eX • cos eX),

e = 8 — V2v

A = F22(e) + 4F42 (e).

B = 4F3 (e) F4 (e) + F (e) F2 (e) - F>(e), C = F2 (e) F (e) - F (e) F4 (e) + F4(e), Ft (e) = [F (eS)]^:

а=

d

d2 + f2’ sine

g = -1 e2 ■ f ■ , d = 1 +1 (c1 - c2), f =1 (c1 + c2),

6 d2 + f 2 e 1 2 e 1 2

she

c1 =

ch e + cos e

c2 =

ch e + cos e

1 1 1 1

, jL,(X)dX = -d, jL(X)dX = - f.

Учитывая граничные условия (5) и (6), решение уравнений динамики внешней и внутренней оболочек будем искать в виде:

r )=um u )=j к=1

1.i_,„ mu3 )=jr

(u1(i 0 + u1; ’(г))з1п

к=1

u3i)o+

2k -1 2

2k -1

p£ + (u(20 + u1(2) (t))cos kp£

2

pC + (u32)o + u3;2) (t))sin kp£

(14)

или соответственно:

U1(i) = C(1 - С2 )(Un0 + U1(l) )+ (1 - С2 ) (u1(2o + U12 ),

u3;) = (1-С2 )2 (u3i0 + u3;1))+C(1 - С2 )2 (u320 + u32)).

0

0

m

Здесь коэффициенты п

1' )

{(г) 12 •

/г)

<31

и п3(г2) при многочленах по С являются

*120, п310 и п320 не зависят от т

гармоническими функциями по х, а ы^}0, ы^, ы;<|1}0 и ы;<2)0

Подставляя (13), (14) и (15) в уравнения динамики оболочек (9) и граничные условия (5), (6) и применяя процедуру метода Бубнова-Галеркина по С, получим систему алгебраических уравнений, при решении которой находятся выражения для прогибов внутренней и внешней оболочек:

п3(1) = «31 ^п (т + ф!13)1 ’ =

X

О2

О -1]+ V - 2—I -1

2

X

СОБ ®(р ++ р )+ БІЙ 0 — (р ++ р ) йі

(16)

ы(2) = ^) яп(т + ф(2)1) = 22 (-12 + -22 )[соб ^(р + + р- )+ вШ ¥ — (р+ + р- )],

^1)

"*31

,(1)

’'31

,(1),

п32 = «32^ (т + фі13)2 ) =

1 С_ "2 |Я|

,(2) =-,,

X

СОБ Н(р+ — р )+ БІЙ Н — (р +— р )

—і

'Й’ ^ + фі23)2 ) = ^2Щ^К2 (^12 + ^ )Х С^Ф(р + — р~ )+ БІП Ф — (р + — р~ )

—1 ^ О2 • —1

V = агсія —L, 0 = агсія--------------------------2-1---

-2 О • -2 — О1 ' -1

5 тт К 2 • 5

Ф = атсір — , Н = агсія--------------------------2—1-----

V К . б2 — К1 • 5

Таким образом, из прогибов оболочек (16) находятся амплитудные частотные характеристики прогибов оболочек:

4'2)1ю) = 2 щ^О'- (-1 + - 22), 4» = 2 ^К2 (5,2 + ^),

1 В

1

О2

О -1]+ V - 2—I -1

2

(17)

1 С

К2

2

О = ^авО^яа1 — -є-ав01|я(2) — я!2 Я1, О2 = -є2aB02)bз(3) — -г2aB^i)Ъ^^ + ^Я?:

О = 2е 2ав02)ь33) — -e2aв0l)b3з2) — йМ0, Я?)

а

(1)

+ а(1) Я(2) “ и11 ’ а

(a1з2))- + а(2)

(2) "1"а11 ’

а2

А, = яаі)*32)]+ -є-aв01|), А, = *32)[яа2)*33) + ЯЧ2^ -e-aB02,<*l,

Щ=—<а>[я«4,+Я,?’4,], -1 = О Я

(я1г)У „ (Я111)

(1)_

(я(2))2

+Я

(2)

(я»*)2

1c(2,)2Р^-,Иl-, а (с"*)2р01|Л„

(1)

- 2 = Л,

(сМ)р'2|А'21 (с11')2р'11*'11'

Я

(1)

М

с(1)

с(1)

-41

(2)

Ш2

с(2)

+с

(2)

11

К = -є-aв00lЯ<11) — -є-aB,11,lЯ.l2 ’ — ЯрЯ1’, К = -є2aB((2—1’ — -є2aB,11,)—2* + di1,)Яl2)

-'ОО^ V

00 ^33

К = ^оВОО—^ — -e-aв00,d32l — —^’Я?1, С„ = 3* + Я?—2 ’]+ (яс1’ + -e2aв00)),

С2, = —І2-|ІЯ!—3’+яС^К-e-aв^0l <ІЄС1, Я=-к [^сз)с,1,+яі'К, ],

11

с

11

Я

(1).

(я(2))2

+Я

(2)

1я('>|-

(с(2))2р|2)И02) с (с(1))2р01)ио

(1)

(я{2])

— С

(Я (1)1

Для граничных условий (5) выполнены соотношения:

к—1

В-

а

(г)

'2к — 1

а33) = 1 +

4(—1)

(2к — 1)р' 11 V 2

4 ( 2Я(' 1 ]4

-р

2 ( 2Я(г 1 ]2 ( Я(г ’ю ]

+

с(0 Vе У

а

13

2к —1 2Я

-Р-

2

і

-т0г 1, а31)

—а

(} *

2к — 1

2

-р

В (г) = —( 2к -1 р I -2

' V

^—2 2 р I о2

і

(а|г ’І2

( Я(г ’ю ]2

У

с(г *

Vе У

, *33' = — 127В,

(' '

рЯ (я1'1'2

ю

,(г)

В^г 1 = —— о

^00 - и

2 У рО''И1'' (с-'')уЯе ’

то , с31

С = 2=1> кр

к—1

( )

=—(кр)2

( 2 Я(г) ]2 ( Я (г)ю I2

+

с(г)

Vе У

—крЛО

і

—с1(3), с33) = 1 + (кр)4

( Я ]\ (г) * (Я'г'юІ2

(аО0)2 —

с1', ,

V с У

—33'^иВ1,

_ рЯ2 (я1'')2 ю2

кр^ р|''И?1 (сі'1'2уЯе

2

п (') = О

320

( ) *310

(-1|' (я1'',2 ро 4(-1)‘-1

(с(г))2 р|г )и>) (2к—1)р

а для граничных условий (6):

X

1—(.0 'І2+(а|'1)

(-я(г)1

2к — 1

-р

—1

В =16, а1(1) 15 11

+ -

16

( Я(г)ю I2

у( '’

256 128 ( Я I4

- + ■ 315 5

V 1 У

(а0( ))

105 2 256

с(г)

V с У

а

64 2Я 105 і

( )

-т0г 1, а31

—а

( )

315

С

16

105

( )

256

( 2Я(г) I

105

+ -

256

( Я(г)ю I2

Vе У

( Я(г)ю I

41278 2 о2

рЯ2 (я"!

ю

*33’ = —1^0°, В|г)=--------------^ ( , ( ,, () ,2--.

33 155925 р|г)И|г) (с(г))2уЯе

315

с(г)

Vе У

с( ) ‘■'13

128 2Я 315 і

( )

( ) ( )

( )

".О , с31 с13

( )

256 128 ( 2 Я(г) I4

- + -

В( ) =

00

3465 7

4871

(а0( ))

2 256

3465

( Я(г)ю I

Vе У

, —3(3) = —127В,

1 ') 00

____________о_рЯ^ (я1'1)2 ю2

405405 р| 'ИО'1 (с1'1)2 у Яе

п (') = О

320 и :

,(')

1- 1,'(я ы)2

ро Х

(с1'1'2 р|''И1''

л

16 32

21 147

( 2Я(г) I

4

і

\

—1

Из формул (17) следует, что в амплитудные частотные характеристики для внешней оболочки входят параметры внутренней оболочки, и наоборот.

Расчеты произведены для двух вариантов с параметрами.

Вариант-1: Я2=1.775-10-1 м, і2 =7.82-10-1 м, 8 =2-10-2 м, р =103 кг/м

-2

V =10-6 м2/с, И|и=1.85-10-2 м, Е[1)=1.61011 Па, т|и=0.25, р|и=7.4-103 кг/м3 , ИО^.^-Ш-2 м,

,(1)=і

-2

К1’=1

->11

(1)=Г

3 Ь(2)=С

Е(2) =6,96-1010 Па, т|2^ = 3.4-101, рО^Л-Ю3 кг/м3.

В табл. 1, 2 представлены значения резонансных частот, амплитудных частотных характеристик А3(1)(ю), А3(1 ’(ю), А3(2)(ю), А3(12)(ю) для свободного опирания при к=1 для (14)

ч10

(2)

1 г\(2)=^

2

і

і

і

4

4

і

2

8

і

5

2

і

2

і

( I- для стандартного варианта, II - для варианта с V =10'4 м2/с, III - для варианта с р =2-103 кг/м3).

Таблица 1

Значения резонансных частот и амплитудных частотных характеристик 4?(®) , 4^(ю)

в случае свободного опирания

Частота, рад/с II I] [I

4 )(ю), м/Ра 4(ю), м/Ра 4 )(ю), м/Ра 4(ю), м/Ра 4)(ю), м/Ра 4(ю), м/Ра

3.11Б+03 - - - - 1.35Е-09 7.03Е-09

4.36Е+03 1.61Е-09 8.48Е-09 1.61Е-10 8.48Е-10 - -

1.92Е+04 1.19Е-08 1.08Е-08 1.19Е-09 1.08Е-09 1.19Е-08 1.13Е-08

2.01Е+04 3.99Е-08 4.09Е-08 3.99Е-09 4.09Е-09 4.04Е-08 4.09Е-08

3.69Е+04 1.58Е-08 1.54Е-08 1.58Е-09 1.54Е-09 1.57Е-08 1.55Е-08

Таблица 2

Значения резонансных частот и амплитудных частотных характеристик АДю), 42^®)

в случае свободного опирания

Частота, рад/с II I] [I

4)(ю), м/Ра 4(ю), м/Ра 4)(ю), м/Ра 4Ы, м/Ра 4)(ю), м/Ра 4Ы, м/Ра

5.98Е+03 - - - - 9.03Е-10 5.39Е-09

8.19Е+03 1.08Е-09 6.76Е-09 1.08Е-10 6.76Е-10 - -

3.22Е+04 1.07Е-08 9.70Е-09 1.07Е-09 9.70Е-10 1.03Е-08 9.82Е-09

3.89Е+04 4.86Е-09 5.62Е-09 4.86Е-10 5.62Е-10 4.88Е-09 5.26Е-09

4.68Е+04 5.08Е-09 4.51Е-09 5.08Е-10 4.51Е-10 4.82Е-09 4.53Е-09

В табл. 3, 4 представлены значения резонансных частот, амплитудных частотных характеристик 4Л®), 4 )(ф), Д32)(ю), Д^ю) для жесткого защемления (5) (I - для стандартного варианта, II - для варианта с V =10-4 м2/с, III - для варианта с р =2-103 кг/м3).

Из приведенных таблиц следует, что независимо от типа закрепления (жесткого защемления или свободного опирания) внутренней оболочки, значения резонансных частот для 4^(ю) и Д3(2)(ю) не совпадают, также как они не равны и для внешней оболочки: Л3(11)(ю),

4)(ю).

Резонансные частоты для Л32)(ю) и Л311) (ю) совпадают также как и для Д32Н®) и Л3(2)(ю), т.е. для амплитуд прогибов внутренней и внешней оболочек, что можно объяснить принятой моделью несжимаемой жидкости.

Следует отметить, что тип закрепления для оболочек значительно влияет как на резонансные частоты, так и на значения амплитудной частотной характеристики прогибов оболочек на этих частотах.

Расчеты показали (табл. 1-4), что увеличение плотности жидкости в 2 раза практически не влияет на поведение амплитудной частотной характеристики, в то время как увеличение коэффициента V на 2 порядка резко уменьшает амплитуду на резонансных частотах. При увеличении вязкости жидкости влияние упругости оболочки значительно ослабевает, так как демпфирующие свойства жидкости увеличиваются.

Таблица З

Значения резонансных частот и амплитудных частотных характеристик А^Д®), 4^®)

в случае жесткого защемления

Частота, рад/с II I] [I

4)(w). 4)(w). 4 )(w). 4)(w). 4)(w). 4)(w).

м/Ра м/Ра м/Ра м/Ра м/Ра м/Ра

3.49E+03 - - - - 1.33E-09 7.72E-09

4.88E+03 1.58E-09 9.35E-09 1.58E-10 9.35E-10 - -

3.47E+04 1.85E-08 1.79E-08 1.85E-09 1.79E-09 1.83E-08 1.80E-08

3.99E+04 4.93E-08 4.97E-08 4.93E-09 4.97E-09 4.93E-08 4.95E-08

4.58E+04 9.88E-09 9.50E-09 9.88E-10 9.50E-10 9.70E-09 9.51E-09

Таблица 4

Значения резонансных частот и амплитудных частотных характеристик ^12)(ю), 4НЮ)

в случае жесткого защемления

Частота, рад/с II I] [I

4)(w). 4)(w). 4)(w). 4)(w). 4)(w). 4)(w).

м/Ра м/Ра м/Ра м/Ра м/Ра м/Ра

4.83E+03 - - - - 2.38E-09 1.51E-08

6.68E+03 2.85E-09 1.86E-08 2.85E-10 1.86E-09 - -

2.11E+04 1.28E-08 9.01E-09 1.28E-09 9.01E-10 1.26E-08 1.07E-08

2.25E+04 5.04E-08 5.39E-08 5.04E-09 5.39E-09 5.20E-08 5.37E-08

3.91E+04 2.33E-08 2.18E-08 2.33E-09 2.18E-09 2.28E-08 2.20E-08

Построенная в данной работе модель упругой цилиндрической трубы кольцевого профиля позволила определить резонансные частоты для внутренней и внешней оболочек и значения прогибов этих оболочек на резонансных частотах, возникающих при пульсации жидкости.

Изменением размеров и типа закрепления оболочек можно сместить резонансные частоты внутренней и внешней оболочек цилиндрической трубы кольцевого профиля в необходимый диапазон частот, в котором не возникает кавитация, а также увеличить или уменьшить величины прогибов на резонансных частотах.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00177-а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Громека И.С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубках. М.: Изд-во АН СССР, 1952. С. 149-171.

2. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955.

520 с.

3. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука, 1991. 200 с.

4. Womersley J. R.: Oscillatory motion of a viscous liquid in a thin-walled elastic tube — I: The linear approximation for long waves. Phil. Mag.46, 1955. P. 199-221.

5. Кондратов Д. В., Могилевич Л. И. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при отсутствии торцевого истечения в условия вибрации // Вестник СГТУ. 2007. №3(27). Выпуск 2. С. 15-23.

6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

7. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте. М.: РГОТУПС, 2007. 169 с.

8. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н.

Аэрогидроупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

9. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек М.: Наука, 1978. 383 с.

Кондратова Юлия Николаевна - Kondratova Julia Nikolaevna -

аспирант кафедры «Теоретическая механика» Post-graduate Student of the Department

Саратовского государственного технического “Theoretical Mechanics”, Saratov State

университета Technical University

Статья поступила в редакцию 22.01.2011 , принята к опубликованию 20.08.2011