Математическое моделирование ламинарного движения жидкости в упругой цилиндрической трубе кольцевого профиля со свободным опиранием по торцам Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 517.958: 531.383:532.516

Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова, Л.И. Могилевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ КОЛЬЦЕВОГО

ПРОФИЛЯ

СО СВОБОДНЫМ ОПИРАНИЕМ ПО ТОРЦАМ

Исследовано течение вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонически изменяющегося давления в цилиндрической щели, образованной двумя соосными цилиндрическими упругими оболочками. Найдены параметры течения и упругие перемещения оболочек. Определены их амплитудные и фазовые частотные характеристики и найдены резонансные частоты.

Упругодинамика, вязкая жидкость, упругая цилиндрическая оболочка.

D.V. Kondratov, Yu.N. Kondratova, L.I. Mogilevich MATHEMATICAL MODELLING OF LIQUID’S STREAMLINE MOTION IN THE RING PROFILE’S ELASTIC CYLINDRICAL PIPE WITH FREE FIXING ON BUTT ENDS

Current of a viscous incompressible fluid under operation of harmonically varying pressure in the cylindrical slot, organized by two coaxial cylindrical elastic envelopes is researched here. Parameters of current and elastic migrations of envelopes are discovered. Their amplitude and phase frequency characteristics are defined and resonance frequencies are determined.

Elastodynamic, viscous fluid, elastic cylindrical envelope.

Современные конструкции, используемые в различных отраслях техники, могут быть описаны моделью, которая состоит из двух упругих цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, между которыми расположена жидкость. Примерами использования модели с двумя цилиндрическими оболочками могут служить системы подачи топлива, системы дозирования и тому подобное. Задача установившегося ламинарного движения жидкости под действием гармонически изменяющегося перепада давления в абсолютно жесткой цилиндрической трубе была рассмотрена в [1]. Часто элементы конструкции таковы, что давление жидкости имеет гармоническую составляющую, например за счет работы насосов. Учитывая, что радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек значительно превосходят толщину стенки, их можно считать упругими цилиндрическими оболочками. Будем предполагать, что на торцах оболочек обеспечивается жесткое защемление (т.е. не возможны поворот и перемещение), следовательно, обе оболочки могут рассматриваться как цилиндрические оболочки с жестким защемлением на торцах. Под воздействием давления возникают

перемещения упругих

цилиндрических оболочек. На резонансных частотах упругие перемещения оболочек приводят к возникновению зон пониженного и повышенного давлений и, как следствие, к возникновению

кавитационного эффекта. Таким образом, важной задачей является рассмотрение трубопроводной системы кольцевого профиля с упругими внутренней и внешней оболочками.

Рассмотрим ламинарное

течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе кольцевого сечения, образованного поверхностями упругих цилиндрических оболочек, расположенных концентрически. Внутренний радиус Я1 и радиус срединной поверхности Я внешней оболочки, а также внешний радиус Я2 и радиус срединной поверхности Я внутренней оболочки значительно больше ширины 8 = Я — Я2 цилиндрической щели кольцевого сечения. Толщина внешней

оболочки к0 = 2(Я — Я1) и толщина внутренней оболочки ~ = 2(я2 — Я) значительно меньше

радиусов их срединных поверхностей Я и Я. Длины оболочек I одинаковы. Течение происходит под действием переменного по времени перепада давления (см. рисунок).

Течение жидкости между оболочками осесимметричное и описывается уравнениями механики жидкости в цилиндрической системе координат [1]:

дУ дУ ЗУ

—^ + У + У —т

& г дт у ду

1 др (д 2Ут 1 дУт Ут д У + VI —т +---------------------------- —г + ■

р дт

дт т дт

ду2

дУу дУу дУу

—*■++Уу-у

ду

1 др (д 2Уу 1 дУу д У)

дt

дт

=-------------+ V

р ду

+

+

дУ У' дУу

■ + ^ + -г

дт т дт ду

= 0.

(1)

дт т ду

Здесь Уу, Ут - компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат (пт,]), начало О которой находится в центре внутренней оболочки; р -

давление жидкости; р - плотность жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости; у - координата вдоль оси симметрии Оу; т - расстояние от оси Оу; t - время.

Граничные условия представляют собой условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия для давления на концах механической системы:

У = диз т дt

ди

Уу =-------------------------1 при т = Я2 + 8 + и3;

у дt

тг ди3 тг д~ г> ~

У=~Е3’ У = --дТ при т Я + "зР = Р+ при у = I/ 2, р = р ~ при у = — I/ 2, где и3, ~3 - прогибы оболочек, положительные в сторону, противоположную центру кривизны; и1, и1 - продольные перемещения оболочек, положительные в сторону,

противоположную оси Оу.

Динамика упругих цилиндрических оболочек, между которыми протекает жидкость, в осесимметричном случае описывается уравнениями теории Кирхгофа - Лява [2]. Для внешней оболочки имеем:

г

д2и1 д0 ди3 _ 1 -д'

ду2 Я ду ЕИ()

р0Ис

д 2и1 ~дё

ч*

(3)

д0 ди1

Я ду

и3

~Я

д 4и3 1 - д

ду4

ЕИ0

д2и3

-р0

+ч„

а для внутренней оболочки будем иметь

д2и1 ~0 ди3 1 - ~2

ду2 Я ду ЕИ0

~ ~ д2~ р0^с 1

ч*

(4)

д~ ди^ + и~ + ~2я~2 д и3 ~~

Я? ду Я? 0 ду4 ЕИ0

ч.

где Е, Е - модули Юнга материала оболочек; д0, ~0 - коэффициенты Пуассона

материала оболочек; р0, р0 - плотности материала оболочек, а^ _

И2

И0

а: _■

12Я2 ’ "'0 12Я2

Поверхностная нагрузка определяется напряжением со стороны жидкости:

Ч* _~[Ру со^, пг) + руу СО*(п, ]Я

г_Я1+из г_Я2 +~з

; Чп _ -\ргг со<п, п Я+Р соБ(п, ]Я

г_Я1+из ’ г_Я2 +~з

дУ

Ргг _-р+2р^^г ; Ру _рV дг

(д¥у дУ

- + -

дг ду

; руу _-р+2ру-

дУ,

у

ду

(5)

где для внешней оболочки

,____ч Я, + и3 /_ Я, + и3 ди3

СОБ (п, пг) _ ‘ . 3 ; СОБ (п, ] )_—‘ . 3—3

v г’ N 4 " N ду

а для внутренней оболочки

, ч Я2 + и3

соБ (п, пгЯ _ 2N ;

/_ -ч Я2 + и3 ди3

СОБ (п, ])_-----------------^=Г 3 3

N _\(Я.+ и /

N _\(Я-+~3 /

1+{ди±

\^у.

1 +

( ди3 ду

N1 ду

где п - единичный вектор нормали к срединной поверхности верхней и нижней оболочек; £ _ -] - единичный вектор в продольном направлении в срединных поверхностях оболочек, противоположный вектору j; пг, j - единичные векторы полярной системы координат.

Граничные условия для перемещений оболочки состоят в условиях свободного опирания:

д2и3 диу ~ д2~3 д~ ,

и3 _^ _^ _ 0 и ~ _ —-3 _—1 _ 0 при у _±Ц2.

ду ду ду ду

Введем безразмерные переменные

\ _(г-Я2 /Ъ , ^_ 2 у/1 , Т_Ш t, Уг _ wm® и% , Уу _(wm Ш/у)(11 2Я2 )и^\

и1 _ UmU1, и3 _ 3, ~1 _ Мти^ ~3 _ 1~mPз, °_(1/2Я2 ),

(6)

Р _ Р0 +

Р, у_5/Я2 << 1, Х_ wm|5, Х_ Ъ, Яе _

5 2ш

у 2Я^ V

Здесь ш - частота (рад/с); wm - характерный прогиб; иш - характерное продольное перемещение оболочки. Параметры у, X, Х_(~ш / wm )Х малы по сравнению с единицей, что означает малую по сравнению с радиусами трубы ширину цилиндрической щели и малые по сравнению с шириной цилиндрической щели прогибы оболочек.

2

2

2

2

Подставим безразмерные переменные (7) в уравнения динамики жидкости (1), условия прилипания жидкости (2), уравнения динамики оболочек (3) и (4), а также в условия жесткого защемления на торцах (6). Подставляя решение в виде асимптотического разложения по степеням малых параметров у и X и оставляя главные члены разложения, получим уравнения динамики жидкости

дР п ^ д uz 1 д P д2 uz д щ д uz

— = 0, Re—- =------- ----+-----Z-, —- +—- — 0,

дт а2 дZ д¥ дl дZ

с граничными условиями

да

дт '

0U3 W

дт w_

3 Uz = 0 при l — 1

, uz — 0 при l = 0

(9)

P — P + при Z = 1, P = P при Z = -1,

где P+ — Pm sin т, P — Pm sin т - гармонические функции времени. Уравнения динамики оболочек примут вид

l

2R Л2 д2а (2R Л диз К2ш2 02U

---- 7/ -----1--III ----- и; -----3----------7/ -----1

m 2

w...

2R 0U 2 (2R

^0~Т Um^T + WmU 3 + a0 l^-| Wm ^4

l oZ V l J oZ

cZ2 ‘ 0V l J m OZ c

4 д 4U R W д 2U.

-u„

2 m 2

дт2

— 0,

(10)

-w„

-P0 +

P,

дт2 c2p0h0 у Re c 2p0h0

( 2R Л2 ^2

v l J

u.

02UX

m oz2

(2R Л ~2''2 ^

vlJ

w.

~2 Um rs2

c дт

— 0,

2R ~ 0U ~ т ~2( 2R

Ъ-Г Um^T + WmU3 + a0

l oz

v l J

W

д4U3 R 2ш2 ~ д2U

m4

oz4

-+-

W

3

l2

2 m дт2

PR2 WmR 2Щ C2p0h/ " уReC2~0h0

P.

с граничными условиями свободного опирания

тт д 2U3 OUj 0 ~т д 2U3 OU1 0 z ±1

U3——^ — —± — 0 и U3——^ ——1 —0 при Z — ±1.

дZ2 дZ 3 дZ2 дZ

Здесь с2 _ Е/[р0(1 -д2)], ~2 _ Е/[~0(1 - ~02 /] - квадрат скорости звука во внешней и

внутренней оболочках.

Полагая гармоническую зависимость от времени давления в жидкости, компонент скорости жидкости и упругих перемещений оболочек из второго уравнения системы (8) с учетом граничных условий (9), находим компоненты скорости жидкости

1 д2 ~

(11)

e2o2 OZ2

l OP1

P j L2 (Ddb + O-l Ll(l)dl

. 0 дт 0

+

Wm OU3 wm дт

(12)

1д

Z ^2^2

e2o2 OZ

L (l)P + ЦП)0?-дт

p—2 (p * + p -)+2 z(p *+p-)-а- (z-1) j 2 2 2 -10

2e 2a

02 (

дт2

д ( +12^41

дт

д( +12^ дт

W ~

U3---mU3

Wm ,

u3 - ^U3

Wm

1 z

dZ dZ-o2 jj

Z0

dZ dZ,

2e2a

д2 (

дт2

w ~

u3 —mU3

Wm

w ~ I U3-mU3 | +

V Wm J

Л

+

J

c

Ll (?) = {[1 - F1 (є?)]А + F, (є?) B - 4F4 (є?)С};

L2(?) = -A {(є?) A - F4mB - 4F2№C};

F^?) = ch є?- cos є?, F2(є?) = 1(ch є?- sin є? + sh є?- cos є?), F3^?) = 1 sh є?- sin є?,

F4^?) = -^(ch є?-sin є?-sh є?-cos є?), є = дл— , A = F22^) + 4F42^),

4 V 2v

B = 4F3 (є)F4 (є) + F1 (є)F2 (є) - ^^, C = F2 (є)F3 (є) - F1 (є)F4 (є) + F4 (є) =

Fi (є) = Fi (є?)І?=і, г =1,4; a =

d 1 2 f j і 1 ( \

^ У = -Тє —-----~, d = 1 + “(C1 - C2 )

2 2 є

d2 + f

1 , ч sh є

f = ~(cl + c2), cl = ;-------------------

є ch є + cos є

c2 = -

б d2 + f

sin є

сИ 8 + соб г

Учитывая граничные условия (11), решение уравнений динамики внешней и внутренней оболочек будем искать в виде

U1 = UmU1 = Z k=1

ад

U3 = UmU3 = Z

k=1

U1 = UmU 1 = Z

k=1

U3 = UmU3 = Z

k=1

. 2k -1 „ . „ u11 sin—^— %Z + u12 cos knZ

2k -1 „ . j r u31 cos—^— nZ + u32 sin knZ

P . 2k -1 „ P j r u11 sin—2— nZ + u12 cos knZ

p 2k -1 „ p . j r u31 cos—^— nZ + u32 sin knZ

(13)

Подставляя (12), (13) в уравнения динамики оболочек (10) и применяя процедуру метода Бубнова - Галеркина по ^, получим систему алгебраических уравнений, решая которую, получим выражения для прогибов внутренней и внешней оболочек

u

de2

de2Det11 + fDet2 -de1 Det1

de 1J У 2 de 1

d

cos ©(+ + p )+sin 0—(++ p )

dt

p p • / P 4 1D . 2 Det1 + Det22

u3l = wlsin(:+Ф" зі ) = 2B^de —D—

D2

cos Х¥І( ++ p )+sin Y—(++ p )

dt

(14)

u

= W2 Sin(т + Ф" 32 )= 2 C^

det

f det2 Deter] + fDeter2 - detlDeter ]

2 У det J У det J

F2

d

cos Н(+- p )+sin H—( +- p )

dt

1

U32 = W2 sin(: + Pu32 ) = 2 Cy de^

Deter2 + Deter2

F2

cos ф(+- p )+sin Ф d (+- p )

где

X

X

X

X

X

1T( Det, ~ de2 - Det,

і = arctg---------L, © = arctg---------------2-------1------

Det2 de - Det2 - de1 - Det1

Ф = arctg

Deter1

Deter

H = arctg-

det2 - Deteri

ёе1> Вєїєг2 - ёе^ • Бвїв^

Таким образом, из прогибов оболочек (14) находим амплитудные частотные характеристики (АЧХ) прогибов оболочек

p / \ 1 D г 2 Det,2 + Det2

A31 (о) = — BJde2----------1—-

3lW 2 V D

2

2

F

(15)

31

(о) = 2 B]

de2

de2

de

Det, Det2 - Det,

de

D2

det2

Deter \ + fDeter2 - Deter1 det 1J У 2 det 1J

F2

где

de, = 2є2aBO

f ^ + an ^-Іє^ f «С3 + al, V

У a11

a

11

f a2

u13 У ail

+ a1

If a2

+ a1

У a11

de2 = 2є2aBOb33 - 2є2aBOb33 + b33

f a2

+ a1

de = 2є2aBOb33 - 2є2aBOb33 - b33

f a2

+ a1

A1s b33

f ~2

—13 + a, b, +

f a2

LV ail

7 ~2

A2s b33

a13 p і

~—+ а,, \Ьзз +

aii

+ aii \b33

Уaii J _

f «з \ P

+ aii \b33

Уaii J .

+ de

f a,2

— + an + 2є 2aBO

У a11

Det = de

a

a,

-+a

R2 f ~2

'c2Poh(

■ +

■ + a

+ 2є2aBOde1, D = -de

1 R2

f a,2,, P 1

~ + «11 \A1s +

LV ail J

f «з \ Л

+ aii \A2s

У ail J .

o"o У aii

14 „2

c Poho.

Det = A

R2

-A

R2

c2Poho 2 sc 2Poh(

det, = 2є2aB(

2

OO

p2

— + C11 I- 2є2aBoo

У c11

p2

У c11

+ c11 \ -

2

+ c1

У c11

+ c1

У c11

p2

det2 = 2є2aBOOd33 - 2є2aBOOd33 + d33

2

r3 + сп \, det = 2є2aBOOd33 - 2є2aBOOd33 - d33

У c11

+ c1

У c11

C1 s = d33

f P2

LV cll

13 + С,, id,, +

f C-2

У c11

+ C11 ld33

+ det1

f c 2 1^1

У c11

13 + Cl, + 2є2aBoo

C2s = d33

p2

c13 + с,, \—зз +

LV cll

f c2 1 p ■

— + C11 |—зз

У cll J .

F = - det

f # + P11 C +

LV cll J

f C 2 1

-із + c \C

TtinU2

У cll J

Deter = det

f C 2

13

R2

lp2Poho

- +

f p2

13

R2

1 c 2Poho

Deter2 = Cis

R2

p2Po ho

-C

R2

2s 2

c P о ho

2

У a11

У a11

У c11

в =

4(-1)*-1 (2к - 1)п

2к -1 У ( 2 Я У Я 2ш2

. 2к — 1 “„ = 1 + |--------------п

•*33

-п

2Я V 2 Я2ш2

т) “

+

2к -1 2Я

“13 = 2 П I ^0 , “31 = —“13 ,

Ь33 =-12УВ0, “11 =-1

2к -1

п

22

+ -

Я ш

2к-1 2Я,

“13

в0 = -

2 "П 1 До, “31 “13, “33 1 +

2к -1

2к -1

2

п I а

2 рЯ2 Я2ш2

р0Л0 с2уЯе

с11 = -(кп)

2( 2ЯУ Я2ш2

1

+

В0 = -

2Я

2

2к -1

п

~2 Я2ш2 р = ~

“0 Ь33 = -12УВ(

2

с

22

0

п I а

рЯ Я ш р0~0 р> Яе

с=1)

к-1

С13 = -кп і д0, С31 = -С13, С33 = 1 + (кп)

2Я

кп

4 2 Я2ш2 “0 -

с

2

^33 =-12YBоо, ~11 = -(кп)

2Я

( 2Я V Я2ш2

+ -

~ = . 2Я ~ ~ = ~

С13 кп і Д0, С31 С1:

~33 = 1 + (кп)

С

2

~2 Я2ш2 р ~ в ( 1 У 2 рЯ2 Я2ш2

“-------— , й33 = - 12УВ00 , В00 =- I — I а 2

1

а

рЯ Я2ш2

В°° =- кп^ Р ~

Р0^0 С УЯе Я2 Р0 4(- 1)к-1

и310 2

я 2 Р0 4(-1)

к-1

Р0И0 С у Яе 1

С2р0И0 (2к - 1)п

с2Р0^0 (2к - 1)п

1 -~02 + “02

2к -1

2

-п

1 -д02 + “02| -у

и320 0 •

2Я У ( 2к -1

2

п

Расчеты произведены при к = 1 в рядах (13) для модели с параметрами Я2 = 10 1 м.

І2 =4 м, 5 =210 2 м, р =103 кг/м3, V = 10-6 м2/с, к{) =210 3 м, Е =1,961011 Па, д =0,3, р0 =7,87-103 кг/м3 , р0 = 5• 103 м, Е = 6,96-1010 Па, р0 = 3,4^ 101, р0 = 2,7-103 кг/м3.

В табл. 1, 2 представлены значения резонансных частот, амплитудных частотных характеристик А31 (ш), А32 (ш), А31 (ш), А32 (ш), и коэффициентов динамичности К31 (ш),

К32 (ш) , К31 (ш), К32 (ш), где К31 (ш) =

А31(ш) р („)= А32(ш) V (ш)= А31(ш)

А31 (0)

К32 (ш)

А32 (0)

, К 31(ш)

А31 (0) ’

К32 (ш)

А32 (ш )

А32 (0) ‘

Таблица 1

“11

2

1

2

С

2

2

2

2

-2

-2

2

1

С

2

2

4

и310

4

Частота, рад/с А31 (ш), м / ра К31 (ш) А31 (ш) , М / ра К31 (ш)

4044 4.93-10"10 2.86101 4.93-10"10 3.19101

4157 7.13-10-11 4.10-100 7.13-10"11 4.60-10°

53435 7.24-10"9 4.16102 7.24-10"9 4.67102

Из таблиц следует, что значения резонансных частот для четных ( ^32 (ш/, ^32 (ш/ ) и нечетных (^31 (ш/,^31 (ш/) составляющих прогибов внутренней и внешней оболочек не

совпадают. А резонансные частоты для внутренней и внешней оболочек совпадают, что можно объяснить принятой моделью несжимаемой жидкости.

Таблица 2

Частота, рад/с A32 (ш), М / pa K32 (ш) Д,2(ш) , М / pa К32 (ш)

7878 7.09-10"10 8.15101 7.09-10-10 8.52 • 101

8369 2.89-10'11 3.33-10° 2.89-10"11 3.48100

53493 3.61 -10-9 4.15102 3.61 -10-9 4.34102

Следует отметить, что при изменении типоразмеров и параметров материала рассматриваемой механической системы возможно смещение резонансных частот как в область более низких, так и в область более высоких частот.

Выполнено при поддержке грантов РФФИ №06-08-00043 а и 08-01-12051-офи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003.

840 с.

2. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков,

А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

В.И. Морозов,

Кондратов Дмитрий Вячеславович -

кандидат физико-математических наук, докторант кафедры «Теоретическая механика»

Саратовского государственного технического университета

Кондратова Юлия Николаевна -

ассистент кафедры «Математическая кибернетика и компьютерные науки»

Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Могилевич Лев Ильич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика»

Саратовского государственного технического университета Статья поступила в редакцию 22.09.08, принята к опубликованию 26.11.08

Kondratov Dmitry Vyacheslavovich -

Candidate of Science in Physics and Mathematics, candidate for doctor’s degree of the Department of «Theoretical Mechanics» of Saratov State Technical University

Kondratova Yulia Nikolayevna -

Assistant of the Department of «Mathematical Cybernetics and Computer Sciences» of Saratov State University in the name of N.G. Chernishevskiy

Mogilevich Lev Ilich -

Doctor of Technical Sciences,

Professor of the Department of «Theoretical Mechanics» of Saratov State Technical University