CC BY
47
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2357-2359
2357
УДК 532.5: 539.3
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СТЕНОК ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ЖИДКОСТЬЮ, ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ
© 2011 г. Л.И. Могилевич1, Ю.Н. Кондратова2
'Поволжский филиал Московского госуниверситета путей сообщения, Саратов 2Саратовский государственный технический университет
mogilevich@sgu.ru
Поступила в редакцию 24.08.2011
Поставлена и решена связанная задача гидроупругости трубы кольцевого сечения, состоящая из уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости и уравнений динамики внутренней и внешней упругих цилиндрических оболочек конечной длины, основанных на гипотезах Кирхгофа - Лява, с соответствующими граничными условиями при вибрации основания, к которому крепится кольцевая труба. Из решения этой задачи найдены параметры течения и упругие перемещения оболочек. Определены их амплитудные и фазовые частотные характеристики и резонансные частоты. Рассмотрены случаи свободного опирания и жесткого защемления оболочек по торцам и влияния типа закрепления и свойств жидкости на резонансные частоты и амплитудные частотные характеристики оболочек.
Ключевые слова: вязкая жидкость, труба кольцевого сечения, упругие соосные оболочки, вибрация.
1. Рассматривается ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе кольцевого сечения, образованного поверхностями упругих соосных цилиндрических оболочек. Внутренний Я1 и срединной поверхности Л1'1'1 радиусы внешней оболочки, а также внешний радиус Я2 и радиус срединной поверхности Я2 внутренней оболочки значительно больше ширины 5 = Я1 — Я2 цилиндрической щели кольцевого сечения. Толщины внешней = 2(Я(1) — Я1) и внутренней й((2) = 2(Я2 — Я(2)) оболочек значительно меньше радиусов их срединных поверхностей Я1'1'1 и Я1'2'1. Длины оболочек 12 одинаковы, а упругие перемещения значительно меньше ширины 5 цилиндрической щели. На кольцевую трубу действует переносное виброускорение.
2. Математическая модель трубы кольцевого сечения при воздействии вибрации состоит из уравнений Навье — Стокса и неразрывности для описания динамики жидкости и уравнений динамики упругих внутренней и внешней оболочек, которые для тонкого слоя жидкости (у << 1) в безразмерных переменных [1, 2] имеют вид:
дР = 0,
дЕ,
Яе
д не дт
■ +
Я(1)
(
д Не
дЕ
-+ На
д Не "дё
+
+Н
Яе
д н^ дт
+
А,(1)
дС
( д и
д Р
+
д2 не
дё дЕ2
д и
дЕ
+Н
де
22
(2Я2 | д Р д нс днЕ дне днс
—2 --+-^ —^+—е+—-=0, (1)
V 12 )
+
дЕ дЕ де д^
(г(’))2п(’)Ь() Г д2П(г) 1—м(г) д2и(г)
(С ) р0 "0 I „(г)Н(г) д и1 , 1 М0 Н(г)д и1
(Я(г))2 Г т дС2
"+ 2 Нт де2
д2и2г)
1 + М0) х(г)у(г)и ^2 (г)х(г)„,(г)и^3 Г =
ди3г)'
-г у
2 д^де т д^
(г),(/) 2 (г) д2и(г) (с())2 р0г)А0')
=р0г)"0г)в2нт)-дТь (Я(0)20 х
Л 1 + М0) х(г)Н(г) д2и1 ) + 1 — м0г) (Х(г))2у(г) х
х{ 2 Х Нт д^де + 2 (Х ) т
д2и(г) п) дЦ) (г) ди3г)
д^2
-+у:
(г )и 2 + ^(г + (а (г))2у(г)
де2
де
+(«0г))2у(:) х
д 2и()
2(1 -м№') 2
(гК/Х(гК2 дЦ2°
х w
де
(г)
д^2
- («0г')2 х
(2 -м0г ))(х(г))2
дС2д0 де3
=р0г )"0г )®2 (^2^ е-^яп е+ут д-Щ V в ю дт
(С 10>2 р0°"0г| {-м (г)х(г) ит + у<„ _
(Я (г)) 2 1 М0 х Нт а; +Ут де
- («00)2 ут>
д3и( ) д3и( )
(2-м0г))(Х(г))2—+
д^2де де3
,
х
х
+ wm)u3г) + (а0г))2 w(m
д4и3(г) д 4и3(0'
(Хс0)4 + 2(Х<0)2 х
дц
д^2де2
Ж
,
де4
г)ю2
sin е +
уУ1Л е (г) д2и■(г)
+----^СОБ е + wm)--------4—
\
_ (-1)г ч.
ю
г „(0
Ч() =-[Ргу СОБ(г)(п,^) +
+ Реу СОБ0 )(П,Пе) + Руу СОБ(г)(П,])]
СОБ(г )(п, Пг ) = ГМ; /|^ |'
(а0г))2 = (й0г))2/(12( Я(г))2),
?0 ) = [Рг0 СОБ(г)(П, п ) + Рее СОБ(г)(П, п0 ) +
( )
+ Реу СОБ(г)(«, Л]
СОБ
,
УЕх (1)
w
fx-0< т)sin е
(2)
Граничные условия на непроницаемых поверхностях при у << 1 запишутся в виде:
Не = ди31)/дт, Не = 0; и^= 0 при е = Е(1) = 1+^(1)и31);
ю" дт
У
где Е(г ) — модули Юнга материала оболочек, ц0г) — коэффициенты Пуассона материала оболочек, р0г) — плотности материала оболочек, п — единичный вектор нормали к срединной поверхности верхней и нижней оболочек; £ = - Л — единичный вектор в продольном направлении в срединных поверхностях оболочек, противоположный вектору Л; пг, Л — единичные векторы полярной системы координат;
Е_(г - Я2)/5, е=е, т = ю^ ^_ 2 У /12, у, уе_(^у)не,
Уу _ (wm) ю/у)^; х(г) = 1г/(2Я(г)),
н(г)=нтмг), н2г)=ути2г), н3г) = wm)u3г), У = 5/Я2 << 1,
х(0 = wm)/ 5; Яе _52ю / V,
(с(г))2 = Е(г ) /[р0г)(1 - (ц0°)2)],
Не= wm2)/wml)дUз(2)/дt; Не = 0; н^ _ 0 при е = Е(2) = Ж2)и32)-
(3)
Граничные условия для оболочек при у << 1 представляют собой условия либо свободного опирания, либо жесткого защемления на торцах и записываются в виде
ди1(г)/дС = 0, и2г) = 0, и3г ) = 0,
д2и3(г)/д^2 = 0 при С = ±1,
и1( ) = 0, и2( ) = 0, и3( ) = 0,
(4)
(5)
ди3(г)/дС = 0 при С =±1-3. Полученная связанная задача гидроупругости решается методом возмущений малого параметра ^(1), характеризующего относительный прогиб внешней оболочки, при этом решение уравнений гидромеханики ищется в виде одночленного разложения ^(1). В результате решения уравнений динамики жидкости определены давление и компоненты вектора скорости жидкости.
Формы упругих перемещений для внутренней и внешней упругих оболочек для решения уравнений динамики оболочек выбираются в следующем виде:
— для граничных условий (4)
(п, пе) = -1/^|(г) дн3г)/де; т(1) = Я2 +5 +н3(1); чП) = [Ртт СОБ(г) (п, пт ) + Рте СОБ(г) (п, пе ) +
+ Рту СОБ(г)(п, 7)] т _т (г);
Ц1(0) _ XБтсл^иа^с СОБе + к _1
+ а((0)£ sin е) яп( т + фНг1)) + а((0)о },
ТО
Ц20) _ X СОБСЯ^а^ СОБ е +
к_1 (6)
+ а2г0)с sin е + о2г0)0 } бш( т + фН2),
СОБ
( )(п,пе) т( )/|^|( ) дн3 )/ду; т() Я2 +Н:( ), и30) _Хсоб сл^{(а30с собе + а3г0£ бш е) х
Ртт _ -р + fрvдУт/дт; Руу _ -р + fрvдУy /ду; Рту _ рv(дУy /дт + дУт /ду),
Рг0 _ рv(дУе /дт - Уе /т +1/т дУт /де);
Рее _ -Р + 2Pv( 1/тдУе /де + Ут /т);
Реу _рv(дУе/ду + 1/тдУу/де); |N|{г}_ {(т{г})2х х[1 + дн3г}/ду]2 + (дн3г}/С0)2}1/2; г _ 1,2,
к_1
х бш(т + фНг3)) + а:(0)0 }, с _ (2к - 1)/2, г _ 1,2, или соответственно для граничных усло-
вий (5)
Р _ Р0 + рЯ2
у Яе
Р - Яе
УЕуЛо( т)сОБ е +
w
Ц0 =с (1 -С2){(а1(0)с соб0 +
+ а((0)£ sinе) sin(т + фН^) + а^о}, и20) _ (1 -С2){а21 собе +
+ а2г0)с «п е + а200 }^п( т + ф Нг;)),
и30 _ (1 - С2)2{(а3г0)с СОБ е + а3г0)£ sinе) х
т_т( )
т_т( )
х 8ш(т + Фи з) + а 300 }, / = 1,2. (7)
В результате решения уравнений динамики внутренней и внешней оболочек получим прогибы каждой из оболочек и их амплитудные и фазовые частотные характеристики.
4. Проведено численное моделирование поведения амплитудных и частотных характеристик внутренней и внешней оболочек и давления в слое жидкости. Показано, что изменением размеров и типа закрепления оболочек можно сместить резонансные частоты внутренней и внешней оболочек цилиндрической трубы кольцевого профиля в необходимый диапазон частот, а также увеличить или уменьшить величины прогибов на
резонансных частотах.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-00177-а.
Список литературы
1. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом прибора на вибрирующем основании // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2005. №3. С. 11—21.
2. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при отсутствии торцевого истечения в условиях вибрации // Вестник Саратовского гос. технич. ун-та. 2007. №3(27). Вып. 2. С. 15—23.
OSCILLATIONS OF ELASTIC WALLS OF A PIPE OF A RING CROSS-SECTION INTERACTING WITH A LIQUID UNDER THE ACTION OF VIBRATION
L.I. Mogilevich, Ju.N. Kondratova
A coupled problem of hydroelasticity of a pipe of the ring cross-section, consisting of dynamic equations of aviscous incompressible liquid and the dynamic equations of internal and external elastic cylindrical shells of final length based on the hypotheses of Kirchhoff-Love, is formulated and solved with the corresponding boundary conditions of the vibration of a foundation to which the pipe is fastened. From the solution of this problem, parameters of the flow and elastic displacements of shells are determined. Their amplitude and phase frequency characteristics and resonance frequencies are obtained. The cases of simply supported and rigidly clamped at the ends shells are analyzed, as well as the effects of the type of fixing and the properties of a fluid on the resonance frequencies and amplitude frequency characteristics of the shells.
Keywords:viscous fluid, pipe of ring cut, elastic coaxial envelopes, vibration.
