CC BY
48
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2255-2257
2255
УДК 532.5:539.3
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СТЕНОК ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ
© 2011 г. Д-В. Кондратов1, Т.В. Быкова2
'Поволжская академия государственной службы им. П. А. Столыпина, Саратов 2Саратовский государственный технический университет
Поступила в редакцию 24.08.2011
Поставлена и решена связанная задача упругогидродинамики, состоящая из уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости и уравнений динамики внутренней и внешней упругих цилиндрических оболочек конечной длины, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява, с соответствующими граничными условиями при гармоническом изменении давления на входе и выходе упругой трубы кольцевого сечения. Найдены параметры течения и упругие перемещения оболочек. Определены их амплитудные и фазовые частотные характеристики и резонансные частоты. Рассмотрены случаи свободного опирания и жесткого защемления оболочек по торцам и влияния типа закрепления и свойств жидкости на резонансные частоты и амплитудные частотные характеристики оболочек.
Ключевые слова: вязкая жидкость, труба кольцевого сечения, упругие соосные оболочки, перепад давления.
1. Рассматривается ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе кольцевого сечения, образованного поверхностями упругих соосных цилиндрических оболочек. Внутренний R1 и срединной поверхности R(1) радиусы внешней оболочки, а также внешний радиус R2 и радиус срединной поверхности R(2) внутренней оболочки значительно больше ширины 5 = R1 — R2 цилиндрической щели кольцевого сечения. Толщины внешней Пр = 2^(1) — Rl) и внутренней П)2) = 2( R2 — R(2)) оболочек значительно меньше радиусов их срединных поверхностей
R(1)
и R(2). Длины оболочек l одинаковы, а упругие перемещения значительно меньше ширины 5 цилиндрической щели. Течение происходит под действием переменного по времени перепада давления.
2. Течение жидкости между оболочками осесимметричное и описывается уравнениями На-вье—Стокса и неразрывности, которые можно записать в виде:
дЦс „ ЪУк дVk
—- + V—-+vy—-
дt дг у ду
1 дp
р дk
+ v
(д2Ук дг 2
+ L +д V
1 д¥.
г дг
Уг
-х-2
д¥ V д¥у
+ ^ + ^ = 0. Эг г ду
Здесь k = г или у; % = 1 при k = г, % = 0 при k = у;
Vy, Vг — компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат (пг , 7), начало O которой находится в центре внутренней оболочки; р — давление жидкости; р — плотность жидкости; V — кинематический коэффициент вязкости; у — координата вдоль оси симметрии Оу; г — расстояние от оси Оу; t — время.
Граничные условия для системы (1) представляют условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия для давления на концах механической системы:
Vr = ди33) / дt, Vy = -ды^ / дt при г = г(1); р = р + при у = I /2,
р = р при у = -1 /2,
(2)
где 1 = 1 для внешней оболочки, 1 = 2 для внутренней оболочки, и3$) — прогибы оболочек, положительные в сторону, противоположную центру кривизны; ы(г) — продольные перемещения оболочек, положительные в сторону, противоположную оси
(1) , г(2)
— R2 + и
(2)
Оу, г() = R2 + 5 + и
Уравнения динамики упругих цилиндрических оболочек описываются уравнениями теории Кирхгофа—Лява и имеют вид:
д2ы1г) ^ ) ды3г)
(1)
ду 2 1—(^0г))2
R(г) ду
д2ы (г) р(0п(0 д ы1 п0)
р0 п0 л 2 —
дt
4 (г)
ди(г) , и3') , ()К(г) ) Э
- +^+ (0 л ^Э/
(- (^0г))2
— р0г) *0Р
Э 2и() Эг2
- (-()Ч
гЛг)
(3)
где Е1 — модули Юнга материала оболочек, ^) — коэффициенты Пуассона материала оболочек, р0) — плотности материала оболочек, п — единичный вектор нормали к срединной поверхности верхней и нижней оболочек; S = — 7 — единичный вектор в продольном направлении в срединных поверхностях оболочек, противоположный вектору 7 ; пг, ] — единичные векторы полярной системы координат;
аР = д/ (П0°)2/(12^(1))2),
Я() =-[Ргу С08(г)(п, Пг ) + Руу С08° )(п, 7 )] =
<?« ) = —Р ^(0 (-, «г ) + ^(0 (-, 7')]
РГу = Ру
(д¥у дУГ
+Г
дг ду
, Ркк = — Р + 2РУ
дУь
к
к = Г или у, С08(«, пг) = _, ч ,
Г \И (г)\
(г)(- -) Г(г) ди33)
С0э()(п, 7) = ——-----------------—;
\ N(г) \ ду
(Г(г))2 (+ ( диР | 2
_ ду V Л
(/2
д2и3г) /ду2 = 0 при у = ±1 /2,
и((г ) = 0, и3‘} = 0
( )
^г = , Уу = (н,(т® / У)
лочек (3), а также в граничные условия (4) и (5). Подставляя решение в виде асимптотического разложения по степеням малых параметров у и А,(1) и оставляя главные члены разложения, получим уравнения динамики жидкости в нулевом приближении по у и ^(1). Полагая гармоническую зависимость от времени давления в жидкости, компонент скорости жидкости и упругих перемещений оболочек, находим компоненты скорости жидкости и безразмерное редуцированное давление.
При решении уравнений динамики упругих оболочек (3) формы упругих перемещений выбираются в следующем виде:
— для граничных условий (4)
=1
к=(
=1
к=(
и((г) = и(рир = и« 8Ш———(+ и(1 С08кпС,
((
2
и3'() С08
(г) = и(г')и(г) =
3 иш '~у3 2к -(
(7)
2
+ и 3'-? БІП кя^
дк — или соответственно для граничных условий (5)
^ = и^ри}0 = и«С(( — С 2) + и{2)(( — С2)2,
г3г)=и{т>и 3°=и3ї)((—с2)+и32) с((—с2)2.
\ N(г) \=
Граничные условия для перемещений оболочки состоят либо в условиях свободного опирания, либо жесткого защемления по торцам:
ды^ ) /ду = 0, ы2г) = 0, ы() = 0,
(4)
— (8)
*3 ~ “т ^ 3 _“3(^ ^ ) 1 “32 Ъ^1 Ц > ■
Решая уравнения динамики оболочек (3) с граничными условиями (4) или (5) в предположениях (7) или (8), получим выражения для прогибов внутренней и внешней оболочек, а затем и для их амплитудных и фазовых частотных характеристик, которые имеют вид:
4Г<Ю> = —^о2(^2+Н 2).
42*»=к2( х2 + х|),
А3((])(ю) = х
3( 2 \ В \
дир /ду = 0 при у = ±1 /2. (5)
3. Для решения задачи (1)—(5) перейдем к безразмерным переменным [1, 2]:
Е = (г -Л2)/8, С = 2у/1, т = ю?,
х
2
Н
О
(
Л2 / о ^2
Н2 — Н(
+
V
У
V
О
У
( С
А3(2)(ю) =------------х
32 2 \ її \
ы1г) = ы^ ), ир = М>т>и3{\ Х(1) = ^р/ 5,
ст = 1(2Я2), р = р0 + рvw(P® 2Р /(Ц12 Яе),
^ = 5/ Я2 << 1, Яе =52ю / V. (6)
Подставим безразмерные переменные (6) в уравнения динамики жидкости (1), в условия прилипания жидкости (2), в уравнения динамики обо-
х
К
+
у
Х2 — К( Х(
2 К
2
Н( О2Н
т = arctg--------, 0 = arctg
2(
Н2
ОН2 — О(Н(
х( тт К2х,
Ф = arct^—1L, Н = arctg
2(
КХ2 — К(Х(’
г=Г (/)
где В, С, В, її, О, О(, О2, Н„ Н2, Х(, х2, К„ К2, К — коэффициенты, зависящие от частоты пульсации, размеров трубы и параметров жидкости.
4. Проведено численное моделирование поведения амплитудных и частотных характеристик внутренней и внешней оболочек и давления в слое жидкости. Показано, что изменением размеров и типа закрепления оболочек можно сместить резонансные частоты внутренней и внешней оболочек цилиндрической трубы кольцевого профиля в необходимый диапазон частот, а также увеличить или уменьшить величины прогибов на резонансных частотах.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-00177-а.
Список литературы
(. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Мзгилевич Л.И. Пульсирующее ламинарное течение жидкости по упругой цилиндрической трубе кольцевого сечения // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2009. №4. С. 59—7(.
2. Кондратов Д.В., КондратоваЮ.Н., Могилевич Л.И. Исследование амплитудных частотных характеристик колебаний упругих стенок трубы кольцевого профиля при пульсирующем движении вязкой жидкости в условиях жесткого защемления по торцам // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. №3. С. (5—2(.
OSCILLATIONS OF ELASTIC WALLS OF A PIPE OF A RING CROSS-SECTION WITH A PULSING LAMINAR LIQUID FLOW
D. V Kondratov, T. V Bykova
A coupled problem of hydroelasticity consisting of dynamic equations of a viscous incompressible liquid and dynamic equations of interior and external elastic cylindrical shells of final length, based on hypotheses of the Kirchhoff - Love, with the corresponding boundary conditions is formulated and solved for a harmonic modification of the inlet and outlet pressure of an elastic pipe of the ring cross-section. From the solution of this problem, parameters of the flow and elastic displacements of the shells are determined. Their amplitude and phase frequency characteristics and resonance frequencies are found. Cases of simply supported and rigidly clamped at the ends shells are analyzed, as well as the effect of the type of fixing and of the properties of the fluid on resonance frequencies and amplitude frequency characteristics of the shells.
Keywords: viscous fluid, pipe of ring cut, elastic coaxial envelopes, pressure difference.
