Равенство Парсеваля для интеграла Хенстока Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Ф. Лукомский

УДК 517.51

РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ ДЛЯ ИНТЕГРАЛА ХЕНСТОКА"

1. Постановка задачи к основные результаты. Если f,g -

1 1

2 л -периодические, / е Ь (0,2 л), g е I, (0,2л), p>l,q>\,— + — = 1, то

Р Ч

=«о(/)«о(а) + (/к + Ьк (т (в), (1)

я о 2 *=1

где (/), Ьд. (/) - коэффициенты Фурье функции /. Мы рассмотрим случай, когда / интегрируема в смысле Хенстока и попытаемся выяснить, какой должна быть функция чтобы равенство (1) выполнялось и в каком смысле надо понимать интеграл в левой части (1). Ответ сформулируем в виде следующей теоремы. ТЕОРЕМА 1. Пусть

( 2л V"

(р(дг) = |1 + 1(^—I (0 <х < 2л,а > 1),/е /?*(0,2л) и 2л-периодична.

Пусть также ^(х) абсолютно непрерывна, 2л-периодична, g\x) принадлежит пространству Марцинкевича М^. Тогда справедливо равенство (1), где интеграл слева есть интеграл Хенстока.

Это утверждение есть непосредственное следствие следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Если <р(х), /, g такие же, как в теореме 1, то

11т(Л,)%(х)(/(х)-5п(/,л:))^ = 0, (2)

«->« 0

а интеграл в (2) понимается в смысле Хенстока.

2. Основные понятия и вспомогательные утверждения. Напомним, что интегралом Хенстока функции / на отрезке \а,Ь] называется число /(/) такое, что для любого е > О найдётся функция 8(х) > 0 на \а,Ь]

такая, что для любого отмеченного разбиения Х = со-

стоящего из отрезков и точек Е,к и такого, что

| хк !<§(£*)> выполняется неравенство

*=1

<Е.

' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 03-01-00390) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).

61

Интеграл Хенстока будем обозначать символом (R )ff, а совокуп-

а

ность всех функций, интегрируемых в смысле Хенстока, через R(a,b). Вели Ь-а = 2л, то функции f с R (а,Ь) будем считать 2тс-периодическими. Еели / е R'(a,b), g е АС(а,Ь), то известно [1, с. 187], что fg е R (а,Ь) и справедливо равенство

(R')]fg = 8(*)П4а ~ (L)\gXx)F(x)dx, (3)

а а

х

где F(x) = (R )\f{t)dt - неопределенный интеграл Хенстока функции / о

Пусть далее - положительная убывающая на (0,2л) функция

2тг ^

такая, что f-<со, ф(дс) - возрастающая вогнутая на [0,2л) функция,

о МО

ф(0) = 0. Через Av обозначим пространство Лоренца

и через Л/ф - пространство Марцинкевича

= (/ :|| / II«, =sup-^-J/*(i)rfi <+«}. [ v 5>0 ф(5) о J

( 2л V

Если \|/(i) = Ii + log— I (а > 1), то справедлива следующая теорема, доказанная в [2] для системы Уолша, но справедливая и для тригонометрической системы

ТЕОРЕМА 3. Если Fe Av, то

lim ||F -S„(F)||5; = 0, где / 2л ^l™*1

где ф(/) = 11 + log—I , a S„(F) - частичная сумма ряда Фурье функции F.

3. Доказательство основных результатов. Вначале докажем теорему 2. Так как /е/? (a,b), g sAC(a,b), то

(R')\g{f -S„(/)) = S<1 ~(L)]gY, где V(x) = (R)](f(t)-Sn(f,t))dt.

О 0 0

Не ограничивая общности, можно считать, что а0(/) = 0. В этом случае

■*„(/)= Z ak(f)coskx + bk(f)sinkx.

jt =1

Из определения V(x)h условия a0(/) = 0 следует, что V{x) непрерывна, V(0) = 0, V(2it) = 0. Поэтому

(/?')%(/-5n(/)) = -(L)J5V. (4)

о о

Непосредственные вычисления показывают, что

X „ X X

V(x)= jf(t)dt-Y^ak(f)\cosktdt + bk(f) ¡sinktdt = F(x)-0 *=i о 0

_ tc _ Milcosfccj + Cn,

где c„ —= const при фиксированном п. Так как g абсолютно к=\ к

X

непрерывна и g' конечна почти всюду, то для интеграла Jg' справедлива

а

формула Ньютона-Лейбница. Учитывая этот факт, находим

(/.)2jVV =(i.)2jy(V(x) - sin кх - ^p-cosкх

п '

<1х.

Но

к к

(5)

(6)

Соединяя (4)-(6), получаем равенство

о о

Но интеграл справа [3, с. 152] есть линейный функционал в пространстве Л,^. Оценивая его, получаем

2ж

2п

(L) \g\F-Sn(F)) о

3MU -\\F-S,(7)

dt

где функции ф и (¡/ связаны соотношением -= d^p(t).

¿¡/(Г)

Так как ^ непрерывна, то ^еЛ,,, при любой функции VI/, удовлетворяющей условию

27 1 & --<00,

» ЧЧО <

Г 2л 1

в частности, при »¡/(i) = 11 + log—J (сх>1). Но no теореме 3

(

lim К F -£„(/•) Ил- =0, для ф(/)= 1 + log— . Поэтому из (7) и следует

Л-ЮО v \ I J

утверждение теоремы 2, так как ф(х) = (1 + log —

V *

Доказательство теоремы 1. Обозначим

(«*)%(/ -5л(/)) = а„->0.

о

Тогда

(*')* «f = (R')\Ssn(f) + ая -flQ(g): а°(п * 0 0 г

+ tMf)<4c(g) + bk(f)bk(g))-HLn. *= 1

Так как а„ —> 0, то теорема 2 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Gordon RA. The Integrals of Lcbesgue, Denjoy, Perron and Henstoek. AMS. Providence, 1994.

2. Лукомский С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к I * И Мат. заметки. 2001. Т. 70, выи. 6. С. 882 - 889.

3. Кскim С И., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

УДК 518:517.944

А. Д. Луньков

МНОГОМЕРНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СО СЛУЧАЙНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

В работе [1] была рассмотрена задача расчёта нестационарных температурных полей со случайным тепловыделением в двумерных многосвязных областях. Было задано уравнение теплопроводности 1 56

—г-— = А0 + ц. А - двумерный оператор Лапласа. (1)

а д1

Были заданы начальные значения температуры и граничные условия 3-го рода, функция тепловыделения ц - случайный процесс вида

<7 =Яо + 41 ПО- (2)