Альтернативные характеристики пространств Лоренца, близких к l^∞ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

С. Ф. Лукомский

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВ ЛОРЕНЦА, БЛИЗКИХ К

Пусть пространство с конечной мерой ц и пусть для оп-

ределенности цС = 1. Для функции / е ¿(0) положим

Х/(у) = феС: \№\>у) (^>0). (1)

и

f \t) = inf{у >0 : Л ,{y)Zt} (0<f<l). (2)

Функция / (/) является равноизмеримой перестановкой для |/(х)|.

Пусть ф(/) > 0 возрастающая, непрерывная на [0,1], функция. Рассмотрим пространства Лоренца

Лч,,р(О) = |/еДО):||/||>((1р=|}(ч/(0/*(0)/,7} 11 Л1^<+°°} (/7~1}

для случая, когда = \\ia(t) = (l + log Г1(ос Si). Эти пространства

Лоренца расположены между Lp и L°°, и для них мы хотим предложить две новые характеристики

ТЕОРЕМА. Пусть р > 1, а > 1, ф(0 = (l + log2 Г1}"'1. Тогда n=iv п )

2)/бЛ„1Я(0)о/б и fVV(l/l)).

Ч>еФугз1

где Ф - это семейство непрерывных, положительных, строго возрастающих на (0,оо) функций ф таких, что

J

ф (0

' /

dt < +оо (ф 1 - обратная к ф)

и ¿(у1/1) - классы Орлича, т. е

< +оо >.

Доказательство 1. Так как / и /* равноизмеримы, то / 11л=11/* IU' поэтому, учитывая монотонность /*, получаем

81

||/*и:=£ 1 тк) >/*(2-")г-2-я

*=02-*-1 /г=0

Отсюда ||/*||п>/*(2"п}}4. Поэтому

¡1 / 11$.,= }к • Ы ~ = £ '/к' /40) ^ £ /'

о ' Лг=02-* 1 ' *=0

х ■/»)'- /•

' *=о и

* + 1 ~,к +1

2к+1_!_<

(,к + \)ар

II/ II

* \\Р

«/и-

*Т0(1+*)<4' „=,1 л

И/И.

(3)

Ч'.У

/ \\ 1 I 1 /

Таким образом, если £ „ < « , то /6 Лу ^ с \|/ = (1 + 1о£Г1 ] ".

Покажем обратное неравенство. Будем считать, что как в противном случае включение очевидно. Обозначим [ДО, если 1/(01^1/21/11^, [1/211/11^, если \Я0\<\/2\\/\\^р. Учитывая, что || /||ш,н ~ норма, нетрудно проверить неравенства

11/11^11*11,, \!2\\/\\^\х\\^рй\\\/\\^р, (А. = 1 + (ар-1)~1'я/2) (5) Очевидно, что | х |> /Н^ р всюду в О . Для нормы || д:Ц^ имеем

> 0, так

И)

¡1^=1(^(0/(0^= £/ коЛоУт* £

' к=0

кЛр

(к + 2)"

(6)

Учитывая (5) и неравенство | 1/21| /Ну, л, получаем

1 00 2 * 00 Г*(*)~^\П 00 о ¿=о,-*-1 2

* (2 )

дс*(2~*)"

I 2^ 00

* (2"*)' ||/||^*Т,

.Чир 4 А. ■ • каР < к 2

2Р+\Ъ*Р I^CL . . кч> < SP3<4> .2supx (2 *)" . lc°P. (7)

И/11$., * 2 / 2

Обозначим через kn то значение к, при котором достигается sup в правой

части неравенства (7) Тогда

Р _*» К

|| х ||„< 2(8 • За)" х*(2~к") • к„п ■ 2 " < 2(8 • Ъа)р х* {2~к" )кп" -2 "

и

00 ЛIxll У 2 00 х'(2~к" )р —

£ НЫ < 2^(8 • За)р X 1 v } К" '2 ».

л =IV И У л=1 п

Обозначим K{s) = . s < — < s + l|. Учитывая (6), получим

n = lV n J i=lneAT(j) n -O-P

2 "

x£ Z =c(a,p)- Z~~ Z x

,-!«£(.> «ap 2'V .tTl2ip леОД (™Г

x(5 + l) • л « ¿с,(a./>)Z* ' I s

i=l ^ Л—1

I (я)"

что и доказывает с учетом (5) неравенство, обратное к (3), а значит и утверждение 1) теоремы.

2. Ранее в работе автора [1] было доказано, что условие

/ е У ПЦУф(1/!)) равносильно условию ^^Г] <оо, т.е. условие 2)

<рс-Фу>1 V па )

теоремы тоже верно

Отметим, что условие 2) доказанной теоремы дает новые необходимые и достаточные условия, при которых коэффициенты суммы ряда Ра-демахера

/=£<** (О к=0

принадлежат пространству 1Р (1 < р < 2) [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 .Чуковский С.Ф О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к Л°° // Мат заметки 2001 Т. 10, № 6. С. 861 - 868

2 Rodin VA., Semenov ЕМ. Radcmacher series in symmetric spaces // Analysis Mathematica 1975 Vol. 1 P. 207-222

УДК 518:517.944

А. Д. Луньков

ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ CO СЛУЧАЙНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

Рассмотрим задачу расчета нестационарных температурных полей в двумерных составных областях, возникающую в случае, когда тепловой поток проходит через однородное тело (то есть коэффициент теплопроводности не зависит от координат).

Стандартная детерминированная задача такого вида выглядит следующим образом: в многосвязной области D в прямоугольной системе координат (х,у) задано нестационарное уравнение теплопроводности

1 дО

—г— = Д0 + q(x,y,t), А - двумерный оператор Лапласа. (1)

a dt

Даны начальные условия в(х,у,0) = Ио(х,у) и граничные условия

дО

(предполагаем, что они 3-го рода) X -+ аб = а0ж.

дп

Внесем некоторые изменения в уравнения и, следовательно, в постановку задачи. Предположим, что функция q, называемая функцией тепловыделения, зависит от геометрических и временных координат, а также и от случайных факторов, а именно: пусть q - случайный процесс вида

<7 =?o+9i/(0- (2)

Здесь / и q0 - детерминированные (неслучайные) функции времени, - случайная величина. Тогда и температура 0 - случайный процесс. В общем случае даже при нулевом значении математического ожидания <7, процесс qxf не будет стационарным в широком смысле.

Рассмотрим метод сведения стохастической задачи к детерминированной. Будем искать решение в виде

Q(x,y,t) == Q0(x,y,t) + «7,0 ,(*,>,/). (3)

Тогда уравнение теплопроводности принимает вид

84