О дополняемости подпространств симметричного пространства, порожденных сжатиями и трансляциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.27

О ДОПОЛНЯЕМОСТИ ПОДПРОСТРАНСТВ СИММЕТРИЧНОГО ПРОСТРАНСТВА, ПОРОЖДЕННЫХ СЖАТИЯМИ И ТРАНСЛЯЦИЯМИ1

© 2006 К.В. Лыков2

В работе рассмотрены бесконечномерные подпространства симметричного пространства, которые порождаются сжатиями и трансляциями одной функции. Изучается вопрос о дополняемости таких подпространств, показана связь с пространством мультипликаторов. Также приведена характеризация пространств Ьр в классе всех симметричных пространств. Работа дополняет результаты статьи [1], в которой разобран конечномерный случай.

Введение

Пусть Е — симметричное пространство на [0,1], а е Е. Обозначим через ап,к(0 функцию, определенную на

д -(к~1 к

п'к ~ \ 2й '2"

и равноизмеримую с функцией <32-па(1) (от — оператор растяжения). Для каждого п = 0,1,2,... рассмотрим линейную оболочку функций {апк}2= 1, которую обозначим Qa,n.

В статье [1] рассмотрена связь между равномерной дополняемостью пространств Qa,n и пространством мультипликаторов М(Е) (см. §2). В частности, доказано, что если а е М(Е), то подпространства Qa,n равномерно дополняемы. В сепарабельном пространстве верно и обратное утверждение. Кроме того, в [1] дается характеризация пространств Ьр в классе всех симметричных пространств на [0,1].

В настоящей работе исследуется дополняемость пространства Qa, являющегося замыканием линейной оболочки функций

Представлена доктором физико-математических наук, профессором С.В. Асташ-

киным.

2

Лыков Константин Владимирович ([email protected]), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

, ч , а(2кг - 1), если г е Ак = (2-к, 2-к+1],

ак(г) = \ п

1 0, иначе.

Рассматривается связь с пространством мультипликаторов. Показано, что если а е М(Е), то пространство Qa дополняемо. Дана новая характери-зация пространств Ьр. В последней части работы сформулированы некоторые вопросы и возможные ответы на них.

1. Предварительные сведения

Мы будем рассматривать вещественные функции, заданные на отрезке I = [0,1] или на квадрате IXI о обычной мерой Лебега, измеримые и почти всюду конечные. Мы будем также отождествлять функции, равные почти всюду.

Функцией распределения функции х(г), г е I или IXI, называется функция

пх(т) = ^{г: |х(г)| > т}, т > 0.

Таким образом, независимо от области задания функции х(г) функция распределения определена на полуоси (0,

Две функции х(г) и у(г) называются равноизмеримыми, если их функции распределения совпадают.

Перестановкой функции х(г) называется неотрицательная функция х*(г), определенная на [0,1], равноизмеримая с х(г), убывающая и непрерывная слева. Перестановка всегда существует, единственна и ее можно определить по формуле ([2, С. 83]):

х*(г) = inf{т : пх(т) < г}.

Напомним, что два пространства Пх и П2 с мерами и ^ соответственно называются изоморфными, если после отбрасывания из них подмножеств меры нуль можно установить взаимно однозначное соответствие между оставшимися частями, сохраняющее классы измеримых множеств и меру множеств. Известно (см. [3]), что любое измеримое множество А с Кп с мерой Лебега, ^А < то, изоморфно отрезку [0, ^А] с мерой Лебега. Как следствие получаем, что между I = [0,1] и I X I существует изоморфизм. Этот изоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями на отрезке и функциями на квадрате, сохраняющее функции распределения и, следовательно, перестановки.

В пространстве S [0,1] всех измеримых вещественных почти всюду конечных функций на I можно ввести метрику по формуле

1

Г т-т &

^ J 1 + \х(г)-у(1)\ 0

Сходимость в этой метрике эквивалентна сходимости по мере. Пространство S [0,1] не нормируемо.

Напомним также, что банахово пространство Е функций из S [0,1] называется симметричным, если

1) из того, что у е Е и |х(г)| ^ |у(г)| почти всюду следует, что х е Е и 1МЕ ^ 1м1е (т. е. Е является идеальной структурой);

2) из того, что у е Е и х(г) равноизмерима с у(г), вытекает, что х е Е

и 11х11е = 11у11е .

Условия 1 и 2 эквивалентны одному:

1') если у е Е и х*(г) ^ у*(г), то х е Е и ||х||Е ^ ||у||Е.

Аналогичные определения имеют место и для пространств, заданных на I X I. Основные сведения о симметричных пространствах можно найти

в [2].

Примерами симметричных пространств могут служить пространства Ьр, р е [1, то], пространства Лоренца Лф и Марцинкевича Мф, построенные по неотрицательной возрастающей вогнутой функции ф(г).

Для любого симметричного пространства Е на [0,1] справедливы вложения

Ьто с Е с Ь\.

Изоморфизм между I и IXI устанавливает взаимно однозначное соответствие между симметричными пространствами на I и I X I, что позволяет рассматривать пространства только на I. Соответствующие пространства мы будем обозначать Е = Е(I) и Е(I X I).

Говорят, что идеальная структура обладает свойством Фату, если из того, что последовательность функций хп(г) е Е сходится почти всюду к функции х(г) и ограничена в Е (||хп||е ^ С), следует, что х е Е и

||х||е ^ ПшМ ||хпце.

п^то

Норма в идеальной структуре Е называется абсолютно непрерывной, если для функции х е Е и любой убывающей последовательности измеримых множеств еп с пустым пересечением

НХе. ' х||Е ^ 0 при п ^ТО.

Как обычно, хе обозначает характеристическую функцию множества е. Структура с абсолютно непрерывной нормой называется правильной. Оказывается, что идеальная структура Е сепарабельна тогда и только тогда, когда норма в Е абсолютно непрерывна.

Ассоциированным пространством Е' к пространству Е на [0,1] называется множество всех функций х е S [0,1] таких, что

1 ^ J |х(г)у(г)| Л : ||у||Е < 1 , 0 ; Ассоциированное пространство к симметричному пространству Е само является симметричным. Оно содержится в сопряженном пространстве Е*. Равенство Е' = Е* имеет место тогда и только тогда, когда Е сепарабельно.

||х||Е' = зир

< то.

В пространстве Я [0,1] действуют операторы растяжения от, определяемые формулой (т > 0) :

х(т-1г), г е [0,шт{т, 1}],

0тх(г) 1 0, г е [0,1] \ [0,шт{т, 1}].

Операторы от ограниченно действуют в любом симметричном пространстве Е. Функция ||от||е—е полумультипликативна и квазивогнута, причем имеет место неравенство ([2. С. 132]):

11От|Е—»Е ^ шах{1, т}.

Фундаментальной функцией пространства Е называется функция

ф(г) = 11Х[0,г] 1е .

Любое симметричное пространство Е, сепарабельное или со свойством Фату, является интерполяционным между Ь\ и Ьто. Это означает, что существует константа С = С(Е) такая, что из ограниченности линейного оператора Т из Ь\ в Ь\ и из Ьто в Ьто следует ограниченность Т из Е в Е и справедливо неравенство

||Т||е—е < С (шах{||ТЦ^—Ьто, ||Т—11}).

Замкнутое подпространство У называется дополняемым в банаховом пространстве X, если существует проектор из X на У (проектором называется линейный ограниченный оператор Р из X на У, оставляющий элементы У на месте, т. е. Р(у) = у для любого у е У).

Семейство замкнутых подпространств {Уа}аеА называется равномерно дополняемым, если существует семейство проекторов {Ра}аеА,

Ра : Х —

такое, что

ЦРаЦх—Уа < С,

где С не зависит от а е А.

2. Тензорное произведение и пространство мультипликаторов

Для двух измеримых функций х = х(г) и у = у(г), х,у е Я [0,1], можно определить тензорное произведение <8> :

(х <8> у)(5, г) = х(5)у(г), 5, г е I = [0,1].

Пусть Е — симметричное пространство на I.

Определение 2.1. Пространством мультипликаторов М(Е) пространства Е называется множество функций х е Я [0,1], для которых конечен функционал (норма в пространстве М(Е)):

ЦхЦМ(Е) = 8ир{Цх <8> уЦЕ(/х/) : ЦуЦЕ ^ 1}.

Так как Ух|Цб ^ ф 1(1)Уx<8>Х[0,1]У = ф 1(1)Ух||б, где ф(0 — фундаментальная функция пространства Б, то всегда М(Б) с Б. Пространство М(Б) является симметричным пространством на I. Различные свойства пространства мультипликаторов (общие и для конкретных пространств) можно посмотреть в [4]. В частности, там доказано следующее утверждение.

Теорема 2.1 ([4, теорема 1.14]). Пусть Б — симметричное пространство на I, сепарабельное или со свойством Фату. Оператор

В : Б X Б ^ Б(1 X I), В(х, у)(5,Г) = х <8> у

ограничен тогда и только тогда, когда существует константа С > 0 такая, что для любых т е М, а = (а,-)™! е Кт

кт(а) < С

2 аа(к

,-=1

где

Кт(а) = 8иР

,-=1

а супремум берется по всем у ^ 0, у е Б, ||у||б = 1 и всем наборам функций у, с дизъюнктными носителями,

«у;0) = — ИуО), 5 > 0

* т

(Пу(й) — функция распределения функции y(t)).

Далее нам понадобится следующий аналог приведенной теоремы. Теорема 2.2. Пусть Б — произвольное симметричное пространство на I. Тогда у е М(Б) тогда и только тогда, когда существует константа С > 0 такая, что для произвольного набора действительных чисел а = (а^С справедливо неравенство:

2 а-у; ;=1

^ С

2 а'ХЛ ,-=1

(2.1)

где ХЛ; — характеристическая функция множества

Л = (2-, 2-+1],

у, =

у(2 11 - 1), если t е Лг, 0, иначе.

Если х £ Б, полагаем ||х||б = с.

Доказательство. В силу симметричности пространств Б и М(Б) можно считать, что у = у* (у*(0 — перестановка функции у(ф.

сс

Пусть у е М(Б), х = £ а.

=1

Тогда функция

у <8> х = y(t) • ^ а ,хл, (5)

Б

Б

Б

Б

а

равноизмерима с функцией £ ау.

>=1

Поэтому

2

>=1

ау-

у(г) ■ ^ а,-хд; (5)

>-=1

<

\\У\\М(Е) ■

ЕхЕ

^ аХд >-=1

и (2.1) выполнено с С = \\у\\М(Е).

Пусть теперь у е Е и выполнено (2.1). Нетрудно видеть, что для любого х е Е функции у<8>х и у<8>х* равноизмеримы. Поэтому сразу можно считать, что х = х*. В этом случае справедливы неравенства:

то то

х1(0 = 2 х(2—+1)хд;(г) < х(г) ^^ х(2-')хд;(г) = 02х^),

>=1

>=1

где от — оператор растяжения. Поэтому

\\У ® х\\ЕхЕ ^ \у ® 02х1 \\ЕхЕ =

>=1

)у> < С ^ х(2-)хд-

=1

= С\\02х1\Е < С\02\Е^Е • \\х1 \\е < 2С\\х\\е (так как \\от\\е^е ^ тах{1,т}).

Т. е. \\у <8> х\\ехе ^ 2С\х\е, поэтому у е М(Е) и \у\м(Е) ^ 2С. Доказательство закончено. Следствие 2.1. Оператор

В : Е X Е ^ Е(1 X I), В(х, у)(5, г) = х <8> у

ограничен тогда и только тогда, когда существует С > 0 такое, что для всех у е Е, \\у\\е = 1, и любого набора вещественных чисел а = (аОТО1 справедливо неравенство

а у

=1

^ С

=1

(2.2)

Д - и у - означают тоже, что и в теореме 2.2.

Доказательство. Ограниченность оператора В равносильна условию М(Е) = Е (с эквивалентностью норм в силу теоремы Банаха об обратном операторе). Если выполнено (2.2), то, очевидно, выполнено и (2.1) для любого у е Е, \\у\\Е ^ 1. По теореме 2.2 у е М(Е).

Обратно, если у е М(Е) = Е, то выполнено (2.1). При этом, как следует из доказательства теоремы 2.2, в (2.1) в качестве С можно положить константу вложения Е в М(Е).

Е

Е

Е

Е

Е

Е

3. Подпространства, порожденные сжатиями и трансляциями

Пусть Е — симметричное пространство, X с Е. Через V(X) мы будем обозначать множество

V(X) = {х е X : х = х* Ф 0}.

Для произвольного а е V(Е) и двоичных интервалов 'к- 1 к

Л„.к =

2п ' 2«

, к = 1,2,...,2п, п = 0,1,2,...,

ап,к (0 =

рассмотрим функции, полученные сжатием и трансляциями функции а:

а(2пг - к + 1), если г е Лп,к, 0, иначе.

Таким образом, получаем 8ирр ап,к с Лп,к и папк(т) = 2-п ■ па(т). Через Qa,n обозначим линейную оболочку функций аП:к, Qa,n = 8раи[{ап,к}2= 1].

Пространства Qa,n конечномерны и, следовательно, дополняемы. В [1] вводится множество ^(Е), состоящее из всех функций а е V(E), для которых подпространства Qa,n равномерно дополняемы в Е. Там же доказана следующая теорема.

Теорема 3.1 ([1, теорема 2]). Пусть Е — симметричное пространство, сепарабельное или обладающее свойством Фату, Е0 — замыкание в Е. Тогда

1) V(M(E)) с ЩЕ);

2) ЩЕ°) с V(M(E)).

Так как для сепарабельного пространства справедливо равенство Е0 = = Е, то из теоремы получаем

Следствие 3.1 ([1, следствие 2]. Для сепарабельного симметричного пространства Е справедливо равенство

V(M(E)) = ЩЕ).

В [1] также приведена характеризация пространств Ьр в классе симметричных пространств.

Теорема 3.2 ([1, теорема 7]. Пусть Е — симметричное пространство на [0,1], сепарабельное или со свойством Фату. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) V(Е) = ЩЕ), V(Е') = ЩЕ').

2) Существует С > 0 такое, что

(3.1)

для произвольного а е V(Е) с ||а||Е = 1 и всех наборов сп,к е К, к = 1,2,...,2п п = 0,1,2,....

С-1 2п 2 Сп,к%Лп,к 2п ^ ] сп,кап,к < С 2п 2 Сп,кХЛп,к

к=1 Е к=1 Е к=1

Е

3) Для произвольных a е V(E), f е V(E'), удовлетворяющих

^ f (0а(^ dt = 1, о

(3.2)

операторы

2п

Pnx(t) = Рп^ fx(t) = 2

к=1

an,k(t), п = 0,1,2,...,

(3.3)

2п ^ Л,к ds

, Дп,к

равномерно ограничены в Е.

4) Оператор

В(х, у)(^ s) = х(0у(s)

ограниченно действует из Е X Е в Е(1 X I) и из Е' X Е' в Е'(I X I).

5) Е = Ьр для некоторого р е [1, то].

Здесь мы рассмотрим бесконечномерный случай.

Для произвольного а е V(E) и двоичных интервалов Дк = (2-к, 2-к+1], к = 1,2,..., рассмотрим функции, полученные сжатиями и трансляциями функции а:

a(2kt - 1), если t е Дк,

ал (t) =

0,

иначе.

Таким образом получаем 8ирр ал с Дк и пак(т) = 2-к ■ па(т). Через ()а обозначим замкнутое линейное подпространство, порожденное функциями ак, Qa = 8рап[(ак1^=1 ]. Через ^(Е) обозначим множество функций а е V(Е), для которых пространство Qa дополняемо в Е. Пусть а е V(E), f е V(E') и выполнено (3.2). Введем в рассмотрение оператор

ра^х(г) = £

к=1

24 fk(s)х( s) ds

Дк

ак (О,

(3.4)

где

fk (0 =

Д2^ - 1), если t е Дк, 0, иначе.

Через Л^(Е) будем обозначать множество таких а е V(Е), для которых существует функция f е V(E') такая, что оператор Ра^ ограничен. Очевидно, что Ы1(Е) с ЩЕ).

Лемма 3.1. Пусть в(() = 1. Если пространство Е интерполяционно между Ь\ и и а е М(Е), то оператор

Р1а,еХ(0 = £

к=1

2^ x(s) ds

Дк

ак (t)

ограниченно действует в пространстве Е.

Доказательство. Рассмотрим оператор

Р.

Л^ = 2

к=1

2к ^ х( s) ds

. Ак

ХАк (0.

Легко видеть, что

\\Ре 11^! = \\Ре = 1-

Поэтому, в силу интерполяционности пространства Е, имеем

\\Ре\\Е^Е < С1-Если а е М(Е), то, в силу теоремы 2.2, получаем

1КеХ(0|| =

ТО / \

к=1 2к/х( 5) Ак ак(?)

<

ТО / \

< С2 к=1 Ак ХАк (0

^ С2\РеУЕ^Е ' \\х\ ^ С1С2УХУ = С\\х\\.

Лемма доказана.

Следствие 3.2. Для симметричного пространства Е, интерполяционного между ¿1 и ¿То, имеет место включение:

V(М(Е)) с ЩЕ).

(3.5)

Лемма 3.2. Пусть Е сепарабельно, а е ^(Е). Тогда существует последовательность /(1),/(2),/(3),... функций из V(E') такая, что

1

^ /®(Ф(я) ds

=1

(3.6)

для любого г е N и оператор

Р1 х(г) = £

к=1

^ (/(к))к(5)х(5) ds

Ак

ак (?)

(3.7)

ограничен из Е в Qa. Здесь

(р ^ /-л / /(к)(2к? - 1), если ? е Ак, (/(к)¥0 = | 0, иначе.

Доказательство. Так как Е сепарабельно, то Е' = Е*. Поэтому, если а е ^(Е), то существует последовательность функций g(k)(s) е Е' такая, что

1 1

^g(k)(5)ак(5)ds = 1, ^Я(к)(^)ау(5) ds = 0 , ; ф к,

2

и проектор

t 1

Px(t) = ^ I g(k)(s)x(s) ds k=11 о

ak (t)

ограничен, ||Р||е^е ^ С.

Пусть — система функций Радемахера на отрезке [0,1]:

Г (г) = 81дп(8т(2( лф.

Можно считать, что \г()\ = 1. Из симметричности пространства Е следует, что для почти всех и е [0,1] норма оператора

Jg(k)(s)x(s) ds A;

PuX(t) = ^ Tk(u) ^ r;(u) k=i ;=1

равна норме оператора P. Рассмотрим оператор 1

Sx(t) = J" Pux(t) du = о

1

ak (t)

I

rk(u) ri(u) k=1 ;=1

J g(k)(s)x(s) ds

ak(t)

du =

Z

i=1

J g(i)(s)x(s) ds Ai

ai(t).

Тогда

||5 We^e < sup ||Pu|| = ||P|| < C.

ue[0,1]

Поэтому сразу можно считать, что supp g(;) С A;. Положим теперь

ч-1

/о = 2

j h(;) (s)

h(i)(s)a;(s) ds

где й(¡) убывает на Д(, неотрицательная и равноизмеримая с (). Тогда функции

/(О(0 = /(1)(2-((г + 1))

удовлетворяют всем требованиям леммы. Доказательство завершено.

Лемма 3.3. Пусть а е У(Е). Предположим, что существует последовательность функций /да е У(Е'), к е М, для которой выполнено (3.6), оператор Р1, определенный в (3.7), ограничен и

к = inf

k

L1

> о.

(3.8)

Тогда а е М(Е). Доказательство. Если

х(5) = ^ СкХАк(5), Ск е К.

к=1

то

Р1 х(?) = 2

к=1

^ (/(к))к(5)ск ds

Ак

ак(?) = 2 Ск\\/(к)П^1 ак(?).

к=1

Поэтому

Р х\Е ^ ^

X

к=1

Скак

С другой стороны, в силу ограниченности оператора Р1,

\\Р1 х\Е < С\Х\\е = С

Е

к=1

СкХАк

Из двух последних неравенств получаем, что для любого набора {ск 1^=1 вещественных чисел справедливо соотношение:

Е

к=1

Скак

^ Ск~

Е

к=1

СкХАк

откуда, в силу теоремы 2.2, а е М(Е). Лемма доказана.

Из леммы 3.3 и следствия 3.2 вытекает

Теорема 3.3. Если Е — симметричное пространство, интерполяционное между ¿1 и ¿То, то V(М(Е)) = ЩЕ).

Перейдем теперь к заключительной цели нашей работы — характери-зации пространств Ьр. Предварительно докажем несколько лемм.

Лемма 3.4. Пусть а е Е и для любого набора {ск 1^=1, Ск е К, выполнено

С"

^]ск ХАк < ^

к=1

Скак

к=1

< С

X

к=1

СкХАк

(3.9)

Тогда для любого п = 0,1,2,... и любого набора {сп,к)2= 1 справедливы неравенства:

С

-1

X

к=1

сп,кХАп,

<

2п

^ ] сп,кап,к к=1

< С1

X

к=1

сп,к ХАп,

(3.10)

где С1 = 2С (мы считаем, что \\х\\е = если х £ Е).

Доказательство. Очевидно, что в неравенствах (3.10) можно считать последовательность {сп,к}2= 1 неотрицательной и убывающей. В этом случае положим

х(?) = 2 сп,кХАп,к(?) = х*(г).

к=1

2

Е

Е

1

Е

Е

1

Далее,

то то

*1(0 = 2 х(2-к+1)ХДк(г) < х(г) ^ х(2-к)хд(г) = 02ХХ(г), к=1 к=1 где от — оператор растяжения.

В дальнейших рассуждениях <8> означает, как и ранее, тензорное произведение. Имеем:

||х ® а|| < |02Х1 ® а|| < С|02Х11 < СЦ02Ц ■ ||Х11 < 2С||х||,

< С1

т. е.

^ ] сп,кап,к к=1

^Сп,к ХД к=1

С другой стороны,

||Х|| < У02Х1У < 11021 ■ ||Х1| < СУ02У ■ ||Х1 ® а|| < 2С||х ® а||,

откуда

С

-1

к=1

сп,к ХДп.

<

2п

^ ] сп,кап,к к=1

Утверждение доказано.

Лемма 3.5. Пусть Е сепарабельно или со свойством Фату. Если для а е Е выполнено (3.10) с произвольным набором {сп,к}2= 1 и для всех п = = 0,1,2,..., то для любой последовательности {ск выполняется (3.9) (с той же константой).

Доказательство. Функции

п 2п

Ха = ^ С(а( и Уа = ^ сп<капк, =1 к=2

где сп,к = С( при Дп,к с Д(, равноизмеримы. То же верно и для функций

п 2п

Хе = ^ с ;ХД; и Уе = ^ Сп,кХДп,к.

=1

к=2

Поэтому

п

я

с а

=1

^ ] сп,кап,к к=2

< С

сп,кХД

п,к

к=2

=С

с ХД

=1

< С

с ХД

=1

Аналогично

с ХД

=1

< С

=1

^ с ;а; ^ С ^

с а

=1

Если в Е есть свойство Фату, то, переходя в этих неравенствах к пределу при п —> то, получаем (3.9).

Пусть теперь Е сепарабельно. Если сгХАг е Е, то, в силу абсолютной

г=1 '

непрерывности нормы, для любого т е N существует Ит е N такое, что

Е

к=Мт + 1

ск ХАк

^ 2-

Поэтому

и, следовательно,

Е

т= 1

Мт

скХАк

к=Ит-1 +1

< то (N0 = 0),

Е

т=1

Мт

Е

скак

к=Мт- 1 +1

<.

В силу полноты пространства, из последнего неравенства следует, что

ТО

с'а' е Е, а тогда, в силу абсолютной непрерывности нормы,

'=1

Е

'=1

с'а'

^ С

с'ХА'

'=1

Аналогично доказывается второе неравенство в (3.9). Доказательство закончено.

Лемма 3.6. Пусть Е = Ьр, р е [1, то]. Тогда для нормы оператора, определенного формулой (3.4), справедливо равенство

\\Ра, /\\

Ьр^Ьр = И^р • \К,

^р^^Р

где 1/д = 1 - 1/р.

Доказательство. Пусть сначала р е (1, то). Тогда

р

\Ра,/х\1 р =

Е

к=1

2к ^ /к(8)х(8) ds

Ак

ак (?)

(3.11)

1 1

Е

к=1

2к ^ /к(8)х(8) ds

Ак

ак (?)

dt =

2рк

к=1

^ /к(5)х(5) ds

Ак

^ арк(г) dt =

Ак

= \ а\ рр

2(р-

1)к

к=1

^ /к(5)х(5) ds

Ак

т

р

р

р

р

Ввиду неравенства Гельдера

то

||Ра,/Х||рр < ||а||2(р-1)к

k=1

f (fk(s))qds

VAk

plq

f

Ak

|x(s)|p ds =

= а

ip • IIf II pp

œ n

=

k=x Ak

|x(s)|p ds

= NIPp ■ Ilf Ipp ■ II^Mpp.

Возведя обе части неравенства в степень 1/р, получим

||Ра,/|| < ||а|р • ||/У9.

00 /

С другой стороны, полагая Х(г) = 2 /к р(г), убеждаемся, что на самом

деле имеет место равенство. Пусть теперь р = то.

k=i

II^fWIIoo =

k=1

2k f fk( s)x( s) ds

Ak

= IaIœ sup k

ak(t)

2k J fk( s)x( s) ds

Ak

^ liai

œ ■ I II1 ■ и»'

Подставляя вместо Х(г) константу, видим, что справедливо (3.11) Пусть, наконец, р = 1.

IPa, fXIIi =

z

k=1

2k f fk(s)x(s) ds

. Ak

ak(t)

œ n

Z2kf

k=1 Г

2k J ak (t) dt ■

Ak

^ llall

^ /к( 5)Х( 5)

Дк

то

21 ХХДк ¡1 к=1

Пусть теперь у е ¿1 таково, что ||у11 = 1 и 1

J /(5)у(5) d5 > ||/|ТО - 6, Б > 0.

<

= I IaI 1 ■

IIXI1.

Тогда

f

Ak

fk(s)yk(s) ds > 2-k(I f Ц«,- E)

Поэтому для x(t) =2 yk(t) выполнено k=1

со

сю

\\Ра

эа,/х\\1 — ^ 2к ак(г) йг ■ /к(я)ук(я) йя > \\a\i ■ (\\Z\L - е).

к—1 ^ ^

к=1 Ак Ак

В силу произвольности е > 0, получаем (3.11).

Доказательство закончено.

Теорема 3.4. Если Е — симметричное пространство на [0,1], сепара-бельное или со свойством Фату, то следующие условия эквивалентны: 1) Существует С > 0 такое, что

С-1 то 2 ск ХАк то 2Скак < С то 2 ск ХАк

к=1 Е к—1 Е к—1

для произвольного а е У(Е) с \\а\\Е — 1 и всех наборов С}£—1, Ск е К.

2) Для произвольных а е У(Е) и / е У(Е'), удовлетворяющих (3.2), оператор Ра,f, определенный в (3.4), ограничен.

3) Е — Ьр для некоторого р е [1, то].

Доказательство. Равносильность условий 1 и 3 следует непосредственно из леммы 3.4, леммы 3.5 и равносильности условий 2 и 5 теоремы 3.2. Условие 2 следует из 3 в силу леммы 3.6. Остается доказать импликацию 2^3.

Пусть выполнено 2. В этом случае Л^Е) — У(Е), откуда, в силу теоремы 3.3, следует У(М(Е)) — У(Е). Поэтому, так как пространства Е и М(Е) симметричны, М(Е) — Е (с эквивалентностью норм, в силу теоремы Банаха об обратном операторе и всегда имеющего место вложения М(Е) с Е).

Далее, для любого х е Е и у е Е' имеем

J Ра,/х(г)у(г) йг — 2к ^ /к(х( я) йя ■ ^ ак(г)у(г) йг —

0 к—1 Ак Ак

1

— ^ Р/,аУ(я)х(я) йя.

0

Из этого равенства и ограниченности оператора Ра^ следует ограниченность оператора Ру,а : Е' ^ Е'. Поэтому, в силу теоремы 3.3, М(Е') — Е', и 3 снова следует из теоремы 3.2 (точнее, из равносильности условий 4 и 5 этой теоремы).

Е

4. Заключительные замечания

В связи с приведенными результатами выглядит естественным следующее предположение.

Гипотеза. Пусть Е — сепарабельное симметричное пространство, а е У(Е) и пространство Qa дополняемо. Тогда существует функция / е У(Е') такая, что выполнено (3.2), и оператор, определенный в (3.4), ограничен.

Другими словами, гипотеза утверждает, что в сепарабельном пространстве справедливо равенство

ЩЕ) = Ni(E). (4.1)

В силу теоремы 3.3, для справедливости (4.1) необходимо и достаточно выполнение равенства

V (M(E)) = Ni(E).

Так как, очевидно, Ni(E) с Ni(E), то достаточно доказать, что из a е N1(E) следует a е M(E).

Если последовательность {, определенная в лемме 3.2, удовлетворяет условию (3.8), то гипотеза немедленно вытекает из леммы 3.3. В связи с этим возникает вопрос: возможна ли ограниченность оператора (3.7), если условие (3.8) не выполняется; и, если возможна, можно ли заменить последовательность {/да}^ на другую, для которой (3.8) уже выполняется, а оператор (3.7) остается ограниченным.

Если гипотеза верна, то на бесконечномерный случай переносятся многие результаты статьи [1].

Литература

[1] Astashkin, S.V. Multiplicator Space and Complemented Subspaces of rearrangement invariant space / S.V. Astashkin, L. Maligranda E.M. Semenov // Journal of Functional Analysis. - 2003. - V. 202. -P. 247-276.

[2] Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

[3] Рохлин, В.А. Об основных понятиях теории меры / В.А.Рохлин // Математический сборник. - 1949. - Т. 25. - № 1. - С. 107-150.

[4] Astashkin, S.V. Tensor Product in Symmetric Function Spaces / S.V. Astashkin // Collect. Math. - 1997. - V. 48. - P. 375-391.

Поступила в редакцию 3/VT7/2006; в окончательном варианте — 3/V///2006.

ON COMPLEMENTABILITY OF SUBSPACES GENERATED BY COMPRESSIONS AND TRANSLATIONS IN A SYMMETRIC SPACE3

© 2006 K.V.Lykov4

In the paper properties of symmetric space infinite dimensional subspaces generated by compressions and translations of a function are presented. Relation to multiplicator space is considered. Also we give a characterization of Lp-spaces among all symmetric spaces.

Paper received 3/V7T/2006. Paper accepted 3/VII/2006.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.), Prof. S.V. Astashkin.

4Lykov Konstantin Vladimirovich ([email protected]), Dept. of Functional Analysis and Theory of Functions, Samara State University, Samara, 443011, Russia.