Экстраполяция в шкале Lp-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича Текст научной статьи по специальности «Математика»

28 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №2(42).

УДК 517.982.27

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ В ШКАЛЕ ^-ПРОСТРАНСТВ И СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ В ПРОСТРАНСТВАХ МАРЦИНКЕВИЧА1

© 2006 К.В. Лыков2

Работа является продолжением исследований, начатых в [1-4], и посвящена теории экстраполяции в шкале Ьр-пространств. Доказаны некоторые новые соотношения между нормами в классе симметричных пространств. Рассмотрены приложения к вопросу сходимости ортогональных рядов.

Введение

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть (Ае) и (Во) — два семейства банаховых пространств (0 е 0 — параметр), а Т — линейный оператор такой, что

Т : Ае ^ Во, ||ТН^Ве < Се.

Возникает вопрос, для каких пространств А и В можно сделать заключение

Т : А ^ В.

Одним из первых результатов, относящихся к этой проблематике, является следующее, ставшее классическим, утверждение.

Теорема (Яно, см. [5] или [6, гл. 12]). Пусть Т — линейный оператор, определенный на некотором подмножестве Ьх[0,1].

1. Если Т действует в пространствах Ьр[0,1] при р е (1, ро] и

||ТНьр^ьр = О ((р - 1)-а) при р ^ 1 и некотором а > 0,

то Т можно доопределить до оператора на пространстве Лоренца Ь(1од Ь)а, действующего ограниченно в Ь1:

1

1|Тх||ь1 ^ С Нх||1ао§Ь)а , где Н*1Ь(1овЬ)а := /1” а(е/г)х*(г)Л,

о

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором С.В. Асташкиным.

2Лыков Константин Владимирович (alkv@list.ru), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

где x*(t) — невозрастающая перестановка функции \x(t)\.

2. Если T действует в пространствах Lp[0,1] при р е [ро, то) и

||T||lp^lp = O(pa) при р ^то и некотором а > 0, то T действует из LTO в пространство Орлича ExpL1/a:

\\Tx\\ExpL1/a ^ C ||x\\La3, где IIxllExpLl/a := sup ln-a(e/t)x*(t).

0<t^1

В конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века началась разработка общих подходов теории экстраполяции, связанная прежде всего с именами Яверса и Мильмана [7-9]. В частности, используя введенные ими функторы пересечения Д и суммы Е, они получили экстраполяционное описание пространств, фигурирующих в теореме Яно (см., например, [9, с. 22-23]):

Дро<р<то (p“aLp) = Exp L1/a и Ii<p<po ((р - 1)-aLp) = L(log L)a.

Рассмотрим подробнее функтор пересечения Д. Если {Ае}ее© — семейство банаховых пространств, непрерывно вложенных в одно и то же банахово пространство А, то

Х11р

ра

Lto^o^)

Дее© (Ае) = ^ а еА : ||а||д = sup ||а||Ае < то

ее©

т.е.

1|а||д = ||||а||Ае\\Т , (*)

I I ^ I 1£_,то

где LTO — пространство ограниченных функций на ©. Согласно описанию Мильмана и Яверса

IMlExp L1/a = откуда, с учетом простого соотношения

IWLra |\l x|p\Lто(po,то) ’

вторая часть теоремы Яно следует тривиальным образом. Еще больше возможностей для получения утверждений экстраполяционного типа возникает, если в (*) заменить LTO произвольным банаховым пространством. Конструкции такого вида были предложены С.В. Асташкиным [3-4]. Настоящая работа посвящена описанию с помощью подобных конструкций некоторых классов симметричных пространств. В последнем параграфе продемонстрированы возможности приложений теории экстраполяции к классическим вопросам анализа.

1. Предварительные сведения

Всюду далее вложение одного банахова пространства в другое понимается как непрерывное, т.е. Х1 с Хо означает, что из х е Х1 следует: х е Хо и Нх|х0 ^ С Нх|х1 для некоторого С > 0. Под равенством Х1 = Хо для банаховых пространств будем подразумевать их совпадение с эквивалентностью

норм. Выражение вида Fl х F2 означает, что cFl ^ F2 ^ СFl для некоторых с > 0 и С > 0, причем эти константы не зависят от всех или части аргументов Fl и F2.

В работе речь будет идти о симметричных (перестановочно инвариантных) функциональных пространствах, подробное изложение теории которых можно найти в монографиях [10, 11]. Напомним, что банахово пространство Х измеримых функций, определенных на [0,1], называется симметричным, если выполнены следующие условия:

а) из того, что у = у(г) е Х и |х(г)| ^ |у(?)|, следует, что х = х(г) е Х и

б) если у = у(0 е Х и х*(?) = у*(г), то х е Х и ||х|| = ||у|| (через х*(г) обозначена перестановка функции |х(г)|, т.е. равноизмеримая с |х(г)| невозрастающая функция).

Важным и наиболее простым примером симметричных пространств являются Ьр -пространства (1 ^ р ^ то) с обычной нормой:

При этом при р > ц имеет место вложение (с константой 1) Ьр с Ьц. Кроме того, Ьет является самым узким из всех симметричных пространств на [0,1], а Ьі — самым широким [11, с. 124].

Другие примеры симметричных пространств — пространства Лоренца и Марцинкевича. Пусть ф(г) — квазивогнутая функция на [0,1] (т.е. положительная непрерывная функция на (0,1] такая, что ф(г) и г/ф(г) возрастают). Кроме того, будем считать, что ф(0) = 0 и 1ітг^о ф(0 = 0. Пространство Марцинкевича М(ф) состоит из всех измеримых на [0,1] функций х(г), для которых конечна норма

о

Если, кроме прочего, ф(г) вогнута, то можно определить пространство Лоренца Лр(ф) (1 ^ р < то) с нормой

Важной характеристикой симметричного пространства Е является его фундаментальная функция Фе(?) = НХ(0,г) Не , где через Х(0,г) обозначена характеристическая функция (индикатор) интервала (0, г). В частности, фм(ф)(?) =

= ф(0> флр(ф)(0 = (ф(0)^- Кроме того, пространство Л(ф) := Л^ф) — самое узкое, а пространство М(ф) — самое широкое из всех симметричных пространств с фундаментальной функцией ф(г) [11, с. 160, 162].

5

0

Функция растяжения положительной функции ф(г), г е (0,1], определяется соотношением

.

ф^)

ЛіфО) = sup ——, 0 < s <

0<t^min(l,l|s) ф(0

При этом числа

ln M*(s) ln Мф (s)

Уф = lim —--------- и Оф = lim —---------------

s^0+ ln S s^M ln S

называются нижним и верхним показателями растяжения функции ф(0.

Важную роль в теории симметричных пространств играют операторы растяжения [11, с. 131]

Отx(t) = x(t^) ■ X(0,min(l,l|T})(t), т > 0.

Эти операторы действуют ограниченно в любом симметричном пространстве. Числа

r ln ЦОтЦ^ ln ЦОтЦе

а£ = lim —--------- и В /. = lim —-------------

т^0+ ln т т^то ln т

называются нижним и верхним индексами Бойда пространства E. Всегда

0 ^ аЕ ^ УфЕ ^ бфЕ ^ |Зе ^ 1.

Если F — банахово идеальное пространство функций на некотором множестве П, а и — положительная функция (вес) на П, то через F(и) будем обозначать банахово пространство с нормой

Цx||f(u) = Цx ■ UF .

Пусть A = (Ao,Al) — банахова пара, т.е. пара банаховых пространств, вложенных в одно и то же линейное топологическое отделимое пространство. K-функционалом элемента а є Ao + Al называется следующее семейство норм:

K(t, a, A) = inf (||aolU0 + t||al||Al}, t > 0.

a=ao+al

Если F — банахова решетка функций на (0, то) такая, что

F э Lто П Lто(1|t),

то отображение

A ^ (Ao> Al)F >

где (Ао, — банахово пространство с нормой

НйН(Ло,Л1)^ = ||К(г, а А)|^ < ТО

определяет точный интерполяционный функтор на множестве всех банаховых пар [12].

2. Пространства XF и их свойства

В этом параграфе мы опишем некоторую общую конструкцию, позволяющую получать целые серии симметричных пространств с экстраполяционными свойствами по отношению к шкале Ьр-пространств.

Пусть F — идеальное банахово пространство функций, определенных на [1, +то) (банахова решетка), Lто с F. Рассмотрим множество ^ функций x(t) на [0,1] таких, что ^ = ^(р) := ||х||р е F. Как обычно, функции, совпадающие почти всюду, будем отождествлять.

Теорема 2.1. ^ — симметричное пространство с нормой

Ух|^ := 11Ш .

Доказательство. Линейность ^ и свойства нормы проверяются элементарно. Докажем полноту.

Пусть {хп}ТО=1 — фундаментальная последовательность в ^. Тогда для любого г ^ 1

IIxn - xmllXF = ||НХп - xm\\р|^ ^ |||1Хп — xm\\p ' Х[г,г+1](р)|^ ^

^ ||||Хп - xm\|r ' Х[г,г+1](р)|^ = НХп - xm\|r ' ||Х[г,г+1](р)|^

и, следовательно,

||хп - xm||г ^ 0 для всех г е [1, +то).

Так как пространства Lr полны и Lrl с Lr2 при п > Г2, то существует функция x = x(t) такая, что

xn ^ x в Lr для всех г е [1, +то).

Выберем из последовательности {х^^ подпоследовательность {хпк}|=1 такую, что

IIx — x II < 2 к

||лПк+1 лпк|^ .

Достаточно доказать, что

1|хПк - хЦ^ ^ 0 при к ^ю.

Для каждого е > 0 и p е [1, то) существует ]о = лСр) такое, что при ] ^ ]о

Уx„. - x|| < е.

II щ \\p

Для каждого натурального к положим т = т(р) = шах(]о(р), к). Тогда

т—1

^ (Хщ - Хщ^) + (Хпт - X)

1\ХПк ХУ£р

\ХПк - ХНр

1=к

т-1

(Хщ - Хп;+1) + а, )Х - 1 (Х

1=к Р F

т-1

2 I

1=к

+

F

F

Хп; Хп;+1

Ь'

Е1

(хщ - Хи;+1)ур

1=к

' " +

+

^ \\||(хщ - *щ+1)||р + еС1 ^ 2~‘ + еС1 = 2-к+1 + еС = Б1,

^ .....................

Р

1=к 1=к

где Е1 может быть сделано сколь угодно малыми за счет выбора к и е. Поэтому хпк ^ х в Хр, и, следовательно, хп ^ х в Хр.

Так как Ьт с Р, то Р Ф 0 (у = Х[0,1](0 е Р). Симметричность Хр очевидна.

Замечание 2.1. Вместо решетки Р на [1, +м) можно рассматривать решетку р1 на [ро, +“), определяя норму в Хр аналогично. Более того,

если нормы в Р и р1 связаны следующим образом:

II$ 11р1 = \|$ ' Х[ро,+ет)\р >

то пространства Хр и Хр1 совпадают, и нормы в них эквивалентны (т.е. имеет место изоморфизм банаховых пространств). Это следует из того, что тождественный оператор

I : Хр ^ Хр, 1х = х

ограничен и биективен. Поэтому он обратим по теореме Банаха об обратном операторе.

Определение 2.1. Будем говорить, что симметричное пространство Е экстраполяционно и писать Е ев, если

Е = Хр

для некоторой решетки Р э Ьх. При этом Р будем называть параметром экстраполяции (или просто параметром).

Лемма 2.1. Если симметричное пространство Е ев, то верхний индекс Бойда пространства Е

Ре = °-

Доказательство. Для изоморфных пространств индексы Бойда равны. Поэтому, согласно замечанию 2.1, Ре = Ре1 , где Е1 определяется нормой

11х11е1 = |||1х11р ■ Х[ро,+ет)||_Р •

Пусть от — оператор растяжения. Так как ||отх||р ^ т1/р||х|р, то при т ^ 1

Нотх|е1 ^ т1/р0 Iх|е1 .

Поэтому

НотНЕ1 ^Е1 < т1/ро

и, следовательно,

Ре = Ре1 ^ 1/ Ро-

Доказательство леммы завершается устремлением ро к бесконечности.

Рассмотрим теперь следующую конструкцию. Пусть Е — произвольное симметричное пространство на [о, 1], х* — перестановка функции х е Е. Положим для произвольного р е [1, +то]

П(Р) = ||х*Х[в-р+1,в-р+2]\|р - (2.1)

р

Тогда

х*(е~р+2) < вц(р) < ех*(е-р+1). (2.2)

Рассмотрим теперь банахово идеальное пространство Е функций Др) на [1, +то) с нормой

Н / Не = Н / (1п е/г)НЕ -

Имеет место эквивалентность

НхНе - ||л\^, (2.3)

где функция п = П(р) определена в (2.1). Действительно,

1ЫЬ = ||п(1п е/г)\\Е,

и, учитывая (2.2), имеем

\|х*(е0||Е ^ е \\п\\Ё < е \|х*(г)||Е - (2.4)

Так как оператор растяжения ое ограничен в любом симметричном про-

странстве, и оех*(вг) = х*(г), то

IIх*(0||Е ^ НоеНЕ^Е • \\х*(е^)\Е -

Из последнего неравенства и (2.4) получаем (2.3).

Замечание 2.2. Если положить

п(р) = \х* • Х[Лс-р,Бс-р]\\р

с произвольными Б > А > о, с > 1, то и в этом случае (2.3) будет выпол-

няться.

Конструкция, участвующая в правой части соотношения (2.3), напоминает конструкцию пространств Хр. Очевидно, что всегда имеет место вложение

Xё с Е.

Естественно возникает вопрос, когда

Хё = Е- (2.5)

Определение 2.2. Если для симметричного пространства выполняет-

ся соотношение (2.5), то будем говорить, что — сильно экстраполяционно, и писать Е е в.

Определение 2.3. Пусть ф(г) — фундаментальная функция симметричного пространства Е. Будем говорить, что ф удовлетворяет Д2-условию (ф е Д2), если для некоторого а выполняется неравенство

ф(г) ^ аф(г2), о ^ г ^ 1. (2.6)

Теорема 2.2. Если Е — пространство Марцинкевича М(ф) или Е — пространство Лоренца Лг(ф), то соотношение (2.5) имеет место тогда и только тогда, когда ф е Д2.

Доказательство. Пусть Е = М(ф). В случае (2.5), равно как и в случае (2.6), верхний индекс Бойда Ре = о (если выполнено (2.6), то верхний показатель растяжения функции ф(г) 6ф = о, но для пространств Марцинкевича

6ф = Pe [11, с.138]). Поэтому для нормы в пространстве М(ф) справедливо соотношение [11, с.156]:

Следовательно,

УХЦф) - sup ф(г)x*(t). 0<t<1

lli? х sup ф(0f(ln е/t) х sup ф(е р)/(р),

0<t^1 1^р<то

и утверждение доказываемой теоремы следует из теоремы 2 работы [4]. Случай пространств Лоренца следует из теоремы 3 той же работы. Замечание 2.3. Из теорем 2 и 3 работы [4] следует, в частности, что если ф е Д2, то

М(ф) = ХРф, Лу(ф) = Хсг,ф, (2.7)

где

Рф = Ьте(ф(е-р)), СГф = Ьу(е-р/уф'(е~р)х/г).

Покажем, что Д2-условие является общим свойством фундаментальных функций сильно экстраполяционных пространств.

Лемма 2.2. Пусть Е — симметричное пространство, для которого справедливо (2.5). Тогда для фундаментальной функции ф(г) пространства Е выполняется соотношение (2.6).

Доказательство. Достаточно доказать (2.6) для г = е~к, к е N. Если выполнено (2.5), то

ф(е-2к)

Ч0,е-2*]||р

и, так как при р ^ к выполняется е~2к/р ^ е-2, то

ф(е_2к) ^ с ||x[k,+^)|i? x |Х[0,е-к]|£ = ф(е-к),

откуда

Ф(е-к) ^ а ■ ф(е-2к), к е N.

Возникает вопрос: верно ли обратное заключение, т.е. следует ли из Д2-условия равенство (2.5)? Покажем, что для довольно широкого класса пространств это справедливо. Через (A, B)^ будем обозначать пространство, полученное K-методом с параметром F, примененным к паре (A, B). Лемма 2.3. Пусть

El с Lai, E2 с La2, E = (El,E2)K, A = (Аь А2Ж.

Тогда

E cLa.

Доказательство. Рассмотрим следующий (нелинейный) оператор:

T : x = x(t) ^ Ц = Ц(р) = ||х||р.

По условию

ЦТхЦА; < C |xlE , i = 1,2,

и нужно показать, что

НТхНа < С1 НхНе .

Можно считать, что х = х(г) ^ о. Оценим

К (г, Тх, А1, А2) = М (Н«1 На1 + ?Н«2На2 }.

Тх=й-1 +«2

Так как при х = х1 + х2, хь х2 ^ о,

Тх(р) = НхНр = Х(х1, х2, р) • (Нх1 Нр + Нх2Нр),

где Х(х1, х2, р) — непрерывная функция по р и такая, что Х(хь х2, р) ^ 1, то

К (г, Тх, А1, А2) ^ М (ЦЛТхЦ^ + ?Н^Тх2На2 } ^

х = х1 + х2 ,

*1, х2 ^ о

< С М (Нх1 НЕ1 + гНх2НЕ2} = СК(г, х, Е1, Ег).

х = х1 + х2 ,

х1, х2 ^ о

Поэтому

НТхНа = НК (г, Тх, А1, А2)Нр < С ||К (г, х, Еь Е2)Нр = СН хНе .

Лемма доказана.

Очевидно, что если Е = (Е1, Е2)Р, то Е = (ЕЬ Е?2)р. Поэтому, если

Е1 = ХЕ1, Е2 = Хе?2 ,

то по лемме 2.3

Е сХе .

Так как противоположное неравенство справедливо всегда, то в этом случае выполняется (2.5). В частности, справедлива следующая

Теорема 2.3. Пусть функция ф(г) удовлетворяет Д2-условию, Е = = (Л(ф),М(ф))К или Е = (Ьте,М(ф))К. Тогда Е ев.

Пусть Мо(ф) — сепарабельная часть пространства Марцинкевича М(ф), т.е. замыкание в М(ф) множества ограниченных функций. Из теоремы 2.3 и леммы 2.2 получаем

Следствие 2.1. Мо(ф) сильно экстраполяционно тогда и только тогда, когда ф е Д2.

Как будет видно из результатов следующего параграфа, пространство Е может оказаться экстраполяционным и при нарушении (2.5). В этом случае

Е = Хр

с Р Ф Е. Т.е. условие сильной экстраполяционности действительно более сильное, чем условие экстраполяционности, и терминология оправдана.

3. Экстраполяционное описание пространств Марцинкевича

Теорема 3.1. Пусть М(ф) — пространство Марцинкевича, Мо(ф) — его сепарабельная часть. Следующие условия эквивалентны:

1) М(ф) ев;

2) М(ф) = Хрф , где Рф = Рте(||1/ф||-1);

3) Мо(ф) ев;

4) Мо(ф) = Хрф, где рф — подпространство Рф функций /(р), для которых

/(р) ^ о при р ^то;

5) существует С такое, что

ф(г) ^ C • sup

fi/p

1^р<то Н1/фНр

Доказательство. Равносильность условий 1), 2) и 5) — следствие теоремы 1 работы [4], неравенства ф'(г) ^ 1/ф(г), где ф(г) = г/ф(г), и леммы 2.1 (в [4] вместо величины Н1 /фНр пунктов 2) и 5) фигурирует величина ||ф'||р). Докажем импликации 2) ^4) ^3)^4) ^5).

Вложение Lpv в Хрф изометрично. Более того, Lf

сепарабельная

часть Хрф . Действительно, Хрф — замкнутое подпространство Хрф , и, если х е Хрф, то верхние срезки

хя(г) = х(г) • Х(г: ткт плотны в Хрф. Для доказательства заметим, что если х е Хрф, то существуют ро и N такие, что

max < sup

||х||р ||х - Xму

ро

ро ^111/фН р Ц1/Ф111

Следовательно,

- XмII

IX - Xмур г = sup ----------—-------

^ф 1^р<те у1/фур

< е.

- xNII,

1 - > SUP 1 -

1^р^ро 111/ф11р ро^р<ет 111/ф|1

Поэтому, если М(ф) = £,рф , то М0(ф) = £рф , т.е. 2)^4).

Импликация 4)^3) очевидна.

Далее, всегда М(ф) с Хрф [4]. Поэтому

М0(ф) с £рф .

Г0

Покажем, что если М0(ф) е E, т.е. если М0(ф) = Lf для некоторого F, то справедливо и обратное включение. Пусть Ц = Ц(р) е Fф. Тогда существуют последовательности {N^}?=0 и {рk}f=0 такие, что р0 = 1, рк и

< е.

Ц(р) < 2-k+1

Так как верхние срезки

Г"

ф

|^ф

0

к=0

-)

ф

Nk

/if /1 \

и ы ы <

ф М0(ф) ф М(ф)

ф

X

р

Ц

р

0

(если М0(ф) ев, то 1/ф е M(ф) согласно лемме 2.1), то

е F и \\щ||F ^ Ci. p

Поэтому

||Ч • W+ilIF < 2-k+1Cl Н^ф ,

откуда, так как F — банахово пространство,

Ч е F и II^IIf ^ 4Ci ШУф .

Итак, Fф с F. Следовательно,

с Lf = M0(ф), г0

и импликация 3)^4) доказана.

Если же M0(ф) = LFф, то, сравнивая фундаментальные функции этих пространств, получаем 5). Теорема доказана.

В качестве примеров экстраполяционных пространств, не являющихся сильно экстраполяционными, можно привести пространства Марцинкевича, построенные по функциям [4, пример 1]:

ф! (О X exp И Ф2<Х> X exp (- In0 e/t) , 0 € (0, 1).

nN = nN (p) =

N

4. Сходимость рядов в экстраполяционных пространствах

С терминологией и основными фактами теории ортогональных рядов можно познакомиться по книге [13].

Пусть Т — линейный оператор такой, что при р ^ ро ^ 1

Т : Ьр ^ Ьр и ||ТИьр^Ьр = УТ||р < у(р).

Доопределим у на [1, ро) единицей. Из конструкции пространств Хр и замечания 2.1 следует, что для любого параметра экстраполяции р

T : LF ^ LF(1/Y) и llT\\Lf^Lf(1/y) ^ C,

(4.1)

где С зависит от у и F, но не зависит от оператора Т.

В приводимых ниже теоремах будем предполагать, что ро ^ 1 и у(р) = 1 при р є [1, ро).

Теорема 4.1. Пусть E = Lf, а система {xn}

n}n=i

минимальна и полна

в E. Тогда, если для всех х є E и натуральных N N

^ X*n (X)Xn

n= i

^ Y(p) ■ \x\p при p ^ po,

где {х*| — система, сопряженная к {хп}, то для любого х є Е ряд

ТО

^ хП(х)Хп

п=1

сходится к х в пространстве Е1 = Хр(1/у).

Доказательство. Согласно (4.1), операторы частных сумм

N

$мх = ^ х*п(х)хп

п=1

действуют из Е в Е1, и

|^х||е1 < СУхУе.

Пусть е > 0 и для Р = ^П=1 апхп выполняется

11Р - хуЕ ^ е.

Тогда, если N ^ М,

SNP = Р

и

1^х - хУе1 ^ |^х - РУе1 + УР - хУе1 ^

< УSN(Р - х)УЕ1 + УР - хУе < (С + 1) УР - хУе < (С + 1)е.

Поэтому

S N(х) ^ х в Е\ .

Пусть Е — симметричное пространство, к = к(г) — измеримая положительная функция на [0,1]. Через Ек будем обозначать симметричное пространство с нормой

1|х||ек = Ух** ■ кУе,

где

и

г

*

х (s)ds.

о

Пространства такого вида возникают в теории интерполяции операторов слабого типа (см., например [11, гл. II, § 6]).

Теорема 4.2. Пусть пространство Е сильно экстраполяционно. Тогда, в условиях теоремы 4.1, для любого х е Е ряд

ТО

^ хп(х)хп

п=1

сходится к х в пространстве Ек, где к(г) = 1/у(1п е/г).

Доказательство. В силу теоремы 4.1 достаточно показать, что

ХЕ1 с Ек,

где Е1 = Е(1/у). Применяя неравенство Гельдера, получим:

Є *

х**(є-р+1) ^ х**(є-р) = єр ^ х*(s)ds ^ є

’Р ||Х1р = е ||х1|р '

х =

Поэтому справедливо неравенство

УхУЕк = IIх”(е-р+1) ■ к(е-р+1)||Е < е ||УхУр ■ 1/у(р)||Е = е ухУХЕ1 .

Лемма 4.1. Пусть ф = ф(г) — квазивогнутая функция на [0,1] и ф е Д2. Тогда существует вогнутая функция ф1 = ф1 (г) такая, что

„их Ж.

1п е/г

Доказательство. Положим

гл Ф® фо(0 = ;—т-1п е/г

Очевидно, что фо(г) возрастает. Поэтому для доказательства леммы достаточно установить неравенство

фо(*2) ^ ^ фоОО п , . , . /л ол

------ ^ К ------- при 0 < < ?2 (4.2)

г2 г1

с некоторой константой К > 0 [11, с. 69].

Из Д2-условия для функции ф следует, что

ф0(г) ^ Сф0(г2), 0 < г ^ 1.

Пусть ?2 < 1/С. Тогда, если ^1 е [(^)2к, (?2)2* ] , к е М, то

фо(*г) < ^Ф°((г2)2 ) < Н Ск фо(гО < г*-1-! с*Фо(*0 <

?2 ^2 ?2 ?1 ?1

< ск+\-2к-1 фоОО < СФ0(?1)

^ Н ^ ?1 ’

и неравенство (4.2) выполнено для всех 0 < ^ < ^2 < 1/С. Легко видеть, что

этого достаточно для выполнения (4.2) для всех 0 < ^ < ^2 с

ф0(г> Сф0(1)

К = вир --------------+

1/С^г,^1 ф0( ф0(1/С)

Следствие 4.1. Пусть ф е Д2, (^1^=1 — ортонормированная система и для всех х е М0(ф) и натуральных N

N

^ ^ сп(х)¥п

п=1

^ Ср ■ УхУр при р ^ р0,

р р

где сп(х) — коэффициенты Фурье функции х. Если система (уп| полна в М0(ф), то для любого х е М0(ф) ряд

^ ^ сп(х)¥п

п=1

сходится к х в пространстве М0(ф1), где ф1 (г) х ф(г)1п-1 е/г.

Доказательство. Согласно следствию 2.1, пространство М0(ф) сильно экстраполяционно. При этом, если к(г) = 1п-1 е/г, то

(М0(ф)) к = М0(ф1)

(в силу леммы 4.1 пространство М0(ф1) определено корректно). Доказательство завершается использованием теоремы 4.2.

Условию следствия удовлетворяют, в частности, тригонометрическая система и система Уолша.

Следствие 4.2. Пусть (^п}^=1 — ортонормированная система, состоящая из ограниченных функций, и для любых х е Ь и т > 0

т ■ : |5N(х, г)| > т} ^ С ■ ||ху1,

где С не зависит от х, N и т, а через SN(х) обозначена частная сумма Фурье функции х. Тогда, если система {уп} полна в М0(ф) и ф е Д2, то для всех х е М0(ф)

Бк(х) х в М°(фО, ф!(0 х

1п е/г

Доказательство. В условиях следствия оператор частной суммы

S N действует из пространства Ь в пространство (так называемое "слабое" Ь1). Поэтому к нему применима интерполяционная теорема Мар-цинкевича [10, с. 18], используя которую получаем:

1-2).

Используя самосопряженность оператора SN, получаем:

11^N(х)Ур ^ С2рУхУр для всех 3 ^ р < га,

и доказательство завершается использованием предыдущего следствия. Близкие результаты для пространств Лоренца доказаны в работе [14].

Литература

[1] Асташкин, С.В. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Ьр-

—пространств / С.В. Асташкин // Функцион. анализ и его прил. 2003. Т. 37. №3. С. 73-77.

[2] Асташкин, С.В. Об экстраполяционных свойствах шкалы ^-прост-

ранств / С.В. Асташкин // Матем. сб. 2003. Т. 194. №6. С. 23-42.

[3] Асташкин, С.В. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным методом интерполяции / С.В. Асташкин //

Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. №2. С. 264-289.

[4] Асташкин, С.В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, близких к Ьга / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Сиб. матем. ж. (в печати).

[5] Yano, S. An Extrapolation Theorem / S.Yano // J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3. P. 296-305.

[6] Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. Т. 2. М.: Мир, 1965.

[7] Jawerth, B. Extrapolation Spaces with Applications / B.Jawerth, M. Milman // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1991. V. 89, №44.

[8] Jawerth, B. New Results and Applications of Extrapolation Theory / B.Jawerth, M. Milman // Israel Math. Conference Proc. 1992. V. 5. P. 81-105.

[9] Milman, M. Extrapolation and Optimal Decompositions with Applications to Analysis / M. Milman // Lecture Notes in Math. Springer-Verlag. 1994. V. 1580.

[10] Берг, Й. Интерполяционные пространства. Введение. / Й. Берг, Й.Лефстрем. М.: Мир, 1980.

[11] Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М. Семенов. М.: Наука, 1978.

[12] Brudnyi, Yu.A. Interpolation Functors and Interpolation Spaces / Yu.A. Brudnyi, N.Ya. Krugliak. North Holland Publish., 1991.

[13] Кашин, Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.А. Саакян. М.: АФЦ, 1999.

[14] Lukomskii, S.F. Convergence of Fourier Series in Lorentz Spaces / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9. №2. P. 229-238.

Поступила в редакцию 17/Л/2006; в окончательном варианте — 17/Ц/2006.

EXTRAPOLATION IN THE Lp SCALE AND CONVERGENCE OF ORTHOGONAL SERIES IN THE MARCINKEWICH SPACES3

© 2006 K.V. Lyckov4

In the paper the extrapolation in the Lp scale is considered. Some new relations between norms in the class of symmetric (rearrangement invariant) spaces are presented. Applications to convergence of orthogonal series are given.

Paper received 17/77/2006. Paper accepted 17/77/2006.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. S.V. Astashkin.

4Lyckov Konstantin Vladimirovich (alkv@list.ru), Dept. of Functional Analysis and Theory of Functions, Samara State University, Samara, 443011, Russia.