CC BY
9Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 15.2012
УДК 513.88
О МОДУЛЯРАХ МАЦИНКЕВИЧА НА [0,1] И НА [0, ос)
А. А. Меклер
Случай пространств Марцинкевича (Лоренца, Орлнча) функций, заданных на [0, оо), и случай этих же пространств функций, заданных на [0,1], можно свести один к другому. Рассмотрена экстремальная постановка задачи о р-выпуклости пространств Марцинкевича.
Библиогр. 6 назв.
Ключевые слова: симметрические модуляры Марцинкевича, эк-вивогнутые псевдостепенные функции.
§1. Введение
В литературе, посвящённой изучению банаховых пространств измеримых функций, в частности, пространств Лоренца, Марцинкевича и Орлича, каждое из них определяется с помощью вещественной нормирующей функции, которая может быть задана на отрезке [0,1], где имеет одну особенность - в 0, а иногда, будучи задана на [0, ос), может иметь их две - в 0 и на ос, ср., например, [3] и [1]. Под действием оператора сжатия/растяжения, т.е. оператора умножения аргумента функций из пространства на положительный скаляр, в пространстве может измениться геометрия единичной сферы, но не меняется состав элементов и тем самым - топология этого пространства. Динамика этой инвариантности в зависимости от задающего сжатие/растяжение скаляра является критичной для ряда важных свойств изучаемого пространства, например, определяемых его индексами Бойда (см., например, [3]), а также и иных. При её изучении целесообразно факторизовать нормирующие функции, считая мультипликативно (коротко, ™)эквивалентными такие две функции, подходящие сжатия/растяжения которых вдоль каждой из осей взаимно мажорируют друг друга. Классы ^эквивалентности называются модулярамщ [5]- [6] (см. также [2]); в частности, индексы
(с) Меклер А. А., 2012.
Бойда внутри модуляры не меняются.
В [5]- [6] показано, что при таком подходе к изучению указанных выше трёх видов пространств достаточно ограничиться пространствами Марцинкевича и, стало быть, модулярами Марцинкевича (коротко, М-модулярами). Под ними мы понимаем модуляры, содержащие в своём составе хотя бы одну М-функцию, т.е. вогнутую нормирурующую функцию, которая иногда рассматривается заданной на [0, ос), а иногда - на [0,1]; при этом функции из М-модуляр мы называем экви-вогнутыми. Нас интересует прежде всего вопрос о том, как разнятся в этих двух случаях М-инварианты, - топологические инварианты соответствующих пространств Марцинкевича. Оказывается возможным второй случай пиогрузитьпв первый, выделив подслучай симметрических функций, т.е. эквивогнутых функций, заданных на [0, оо), но полностью определённых своими значениями на отрезке [0,1]. Любая эквивогнутая функция на [0, ос) может быть представлена как пара симметрических (мы называем её симметрическими скобками данной функции): левая скобка соответствует ветви исходной функции на [0,1], а правая - на [1, оо). Таким образом любому М-инварианту пространства Марцинкевича М(0, ос) можно сопоставить пару М-инвариантов пространства М(0,1), и наоборот. Для симметрических М-модуляр инварианты в этой паре совпадают.
Второй интересующий нас вопрос связан с проблематикой р-выпук-лости банаховых пространств измеримых функций. Пусть (р - заданная на [0, ос) эквивогнутая нормирующая функция, ф - её левая симметрическая скобка, а 5ф верхний индекс сжатия/растяжения. Известно, [3], что для 1 < р ф -ц пространство Марцинкевича М^([0,1]) является р-выпуклым (и, стало быть, пространство Лоренца Л^([0,1]) является ^-вогнутым, \/р + \/д — 1), тогда и только тогда, когда р < т~-
уф
Это равносильно утверждению (см. Лемму 5.1), что для эквивогнутой функции ф и для 1 < р ф т~ степень фр является эквивогнутой, тогда
и только тогда, когда р < В доказанных здесь Теоремах 5.7 и 5.9 характеризуется М-инвариант, заключающийся в том, что предельная степень -ц тоже оставляет ф эквивогнутой. Мы называем такие эквиво-гнутые функции псевдостепенными (в [5], [6] они назывались экстремальными). В Теореме 5.9 доказано, что выполнение этого инварианта для симметрической функции ф равносильно тому, что супремальная и верхнепредельная функции сжатия/растяжения, вычисленные для ф,
обе ^эквивалентны на бесконечности степенной функции .
В работах [4]- [6], см. также [2], с. 480 - 482, была использована прозрачная интерпретация параллелизма, существующего между инвариантами функциональных пространств двух различных типов, - Орлича и Марцинкевича (а с последним и Лоренца), - в терминах так называемых натуральных баз. Она оказалась удобной и в этой работе, как в общей схеме задания эквивогнутых функций на полуоси и на отрезке, так и для формулировки прозрачных критериев свойства этих функций быть псевдостепенными.
Настоящая работа состоит из пяти параграфов, включая введение. Для удобства чтения приведены некоторые определения и основные свойства объектов из работ автора [4]- [6] и отмечены редкие случаи модификации ’’рабочей" терминологии и обозначений этих статей. Доказательства во многом опираются на определения и результаты § 1, гл. п, |1|; простые утверждения приводятся без доказательств.
§2. Натуральные базы
Определение 2.1. 1. ф(М) обозначает множество всех подмножеств натурального ряда N. Множество К Е ф(М) будем называть би-инфинитным, если и оно само, и его дополнение суть бесконечные подмножества N
(в [6] такое подмножество называлось нетривиальным).
2. Любую строго возрастающую последовательность целых неотрицательных чисел вида Ь = {&/с}о</с<оо, где Ь0 = 0, будем называть (натуральной) базой, если {&/с}1</с<оо биинфинитное подмножество в N. Обозначим через Ь множество всех баз. Для базы Ь = {Ь^}к>о подмножество
{Ъь}к> 1 := {&*г}г>1 натурального ряда, занумерованное в строго возрастающую последовательность и дополненное начальным нулём, мы называем двойственной с Ь базой и обозначаем &*, 6* = {&*г}о<г<оо-Очевидно, что двойственность есть инволюция в классе Ь.
3. По заданной базе Ь определим два отображения N —^ М: количественную последовательность
Чь{п) := (Ьп - 6„_!) >0, п е N.
(2.1)
и плейс-последовательность (в [6]- сюръективная последовательность)
п—1
Рь{п) = ^Хь(г), пеП, (2.2)
г=0
где Хь обозначает индикаторную функцию подмножества Ь С N и {0}. Ясно, что
Рь( 1) = 1, Рь(п) < Рь(п + 1) < рь(п) + 1, п > 1; Ит рь{п) = ос. (2.3)
п—оо
Замечание 2.1. Каждый из трёх объектов - база, её количественная и её плейс-последовательность, - очевидным образом определён любым из них, в том смысле, что, исходя из него, формулами (2.1) - (2.3) однозначно восстанавливаются остальные два.
Определение 2.2. Суперпозицией Ъ\ о Ъ2 назовём базу, восстановленную по плейс-последовательности р^ о рЪ2 := рь1(рь2 0'))? 3 > 1-
Определение 2.3. 1. Для двух последовательностей вещественных
(1) Г (1)1 (2) Г (2Ь ^ (1) а (2)\
чисел 4 — {\п> 1 и ^ ; |п>1 будем писать ^ ; ^ ^ и назы-
вать их £эквивалентными (т.е. аддитивно эквивалентными), если най-
7 (1) ^ + ^ (2) ^ + (1) \ -|
дется такое натуральное а, что 2^=1 $ < 2^г=1 $ < 2^г=1 Щ > п > 1-
2. Базу М1) будем называть ^эквивалентной базе Ь^2) (пишем б1 г^ Ь2)
7 7(1) / 7(2) . 7(1) 7 ^ -/
если найдется натуральное а, такое что ок < ^
Совокупность всех ^эквивалентных между собой баз будем называть ^модулярой.
3. Пусть каждая из двух натуральных последовательностей =
{Рп^}п> 1 и р(2) = {р12^}п>1 удовлетворяют условиям (2.3). Последовательности р^ и р(2) называются ^эквивалентными (обозначение: р(Х) ^ р(2)), если найдётся натуральное й, такое что рп ^ + (I <
Рп) + 2й, гг > 1.
Для двойственной базы 6* обозначим через {%*} и {рь*}, соответственно, количественную и плейс-последовательности для 6*. Отметим очевидную формулу рь*(п) = п — рь(п) + 1, гг > 1. Столь же очевидной являтся и
Лемма 2.2. Для любых двух баз и
5(2)
все приведенные ниже
^эквивалентности попарно равносильны:
6(1> Д&М; Ь<‘> ~6<2); </ьш ~«ьт; п,ц> рьш ~рьт.
(2.4)
Определение 2.4. 1. Отображение и : Ь —^ мы называем
^инвариантным, если на ^эквивалентных базах о; имеет ^эквивалентные значения.
2. Пусть Ь — {&/с}о</с<оо - база, введём для неё супремальную после-
п-\-т
дователъностъ 8ь(т) := зир0<п<оо ^ ХьО), т > 0, и верхнепределъ-
j=n+l
п-\-т
ную последовательность Ьь(т) := Итвир^^ ^ ХьО’)? т — 0- Ясно,
,7=п+1
ЧТО
^ь(т) < 5ь(т) < т, т > 1. (2.5)
Замечание 2.3. Очевидно, что {£&(т)} удовлетворяет соотношениям (2.3), а {1/б(т)} - первому из них. По Замечанию 2.1 значения {£&(т)} восстанавливают базу 6^; по Лемме 2.2 отображение Ь Ъзь ^инвариантно. Аналогично, если монотонная последовательность {Ьь(т)} неогранпчена, то её значения восстанавливают базу 6^, причём Ь —^ Ььь ^инвариантное отображение.
Лемма 2.4. Пусть Ь натуральная база, Ь ~ Ь. Предположим, что найдётся строго возрастающая натуральная подпоследовательность {гп}, такая что Нт^оо <^(гп) = /л < ос. Тогда Ьь(т) неогранпчена.
Доказательство. Из определений следует, что ^эквивалентные базы имеют ^эквивалентные верхнепредельные последовательности, так что свойство неограниченности последних ^инвариантно. В силу конечности натурального //, начиная с некоторого места, скажем с М, выполняется: ^(гп) = Ь^ — &гп-1 = /л > 1, п > М. Поэтому, если взять любое ТУ Е М, то на промежутке [Ьгм-ь^ум] натурального ряда содержится не менее ТУ • 11 элементов базы 6, откуда следует, что
Итлг-юо Ц{Ьгкм ~ 6гм-х) > Шпдг-юо N ■ Ц = ОО. □
Лемма 2.4 может быть сформулирована как
Теорема 2.5. Верхнепредельная последовательность Ьь(т) ограничена по т, тогда и только тогда, когда найдётся натуральная база 6^6,
для которой
lim qt(n) = оо. (2.6)
п—>оо
Определение 2.5. Нижним (соответственно, верхним) индексом базы b = {bk}k>о будем называть числа
71 + 771
Е хьИ)
% := lim^oo inf -----;
0<n<oo 171 /9
тг+7тг 1 Z . I )
. Е хьУ)
:= ИШт-юо sup -----.
0<П<ОО
Ясно, что эти числа существуют, что 0 < < 1 и что для двух
^эквивалентных баз их соответственные индексы попарно совпадают. Легко видеть также, что справедливы равенства 5ь = 1—7&*; 7& = 1 — 8^.
§3. Нормирующие функции и модуляры Марцинкевича
В дальнейшем приняты обычные обозначения jj := 0 • ос := 0; ^:=
ос.
Определение 3.1. Две вещественные функции /i и /2, определённые на [0, ос), называются мультипликативно эквивалентными (обозначение: /1 ™ /2), если для подходящей константы С > 1 выполняются неравенства
C~lF2(C . i) < Fi(i) < С • ^(СГ1 • t), t G [0, ос). (3.1)
Определение 3.2. 1. Вещественную функцию, заданную на [0, ос), непрерывную и равную нулю (или доопределённую нулём) в нуле, а вне нуля - положительную, неубывающую и стремящуюся к бесконечности на бесконечности, мы называем нормирующей.
т
т
2. Класс ^эквивалентности нормирующих функций мы называем модулярощ ^модуляру 8 функции е(£) = £, 0 < t < оо мы называем несобственной, прочие же - собственными, и рассматриваем ниже только их.
3. ™модуляру, содержащую какую-либо вогнутую нормирующую функцию ф, удовлетворяющую равенству *0(1) = 1, мы называем моду-лярой Марцинкевича или М-модулярощ а саму ф - М-функцией; функции из М-модуляры называются эквивогнутыми. Если ф М-функция,
то функция /0*(£) := ^у, 0 < t < ос, является нормирующей функцией, вообще говоря, не вогнутой, но эквивогнутой. Её наименьшую вогнутую мажоранту, [1], мы, не опасаясь путаницы, обозначаем также через ф* и называем функцию ф* и её модуляру двойственными к ф и её моду-ляре, соответственно.
Ясно, что в классе М-модуляр двойственность, как и отображение Ф) Ф{1) := —тут, * £ (0, оо),
^(т)
есть инволюция.
Предположим, ЧТО £1 И £2 ДВС эквивогнутые функции, причём ^1(1) = £2(1) — 1- Рассмотрим на [0, ос) их склейку, т.е. такую функцию <р, обозначаемую (р := £11[од] ® £2|[1,оо)> сужения которой на [0,1] и на [1,оо) совпадают там с £1 и £2, соответственно. Из критерия Теоремы 1.1, [1], вытекает
Лемма 3.1. Склейка является эквивогнутой функцией.
Па полуоси для заданной нормирующей функции £ определены три вида супремалъных функций сжатия/растяжения, ср. [1], а также соответственные - нижний 7 и верхний 5 индексы сжатия/растяжения:
/а ( \ £<>•£) ^ Г 10§2 &ф(з) г- 1с^2©£(>)
6€(в) := 8ир*е[0>оо) 0 < 8 < оо; := 1ппв_>о 1о^а ; ^ := 11т^°о 1о^а ,
/аО/ \ €0»-*) ^ О г 0 1оё2е°0)
6“(в) :=8ир4е[од]:в.4е[од] 0 < 5 < оо; 7^ := 1ипа-ю 1о ^ := Ит.^оо 1о^а ;
£(*■*) п/„.--.00—1^ - 1о§2©^ (*). еоо 1оё2©|°(Ю
{в) — 8ир*>1? а^>1 , и <. 8 < оо, 7^ — пт^^о Ъ^~з ’ ч — пт^°о ’
(3.2)
Для £ определены также две верхнепредельные функции:
£2(5) := Итйир ~~ру~г~•> 0 < з < оо ; £2°(з) := Итйир ^ ^ , 0 < 8 < ос.
*-►0 £(£) г^оо £(£)
(3.3)
Лемма 3.2, см. также [1] (где обозначается как М^з)). Для М-функцпи ф(з), 0 < 8 < ос, и для любого а Е (0,1] на полуоси выполняются равенства
вф.(я) = »'б*(-); в'г(я) = (6*)“(8); ££(«) = (£5?(з))“(«); 6№г, = а-6№,
(3.4)
и аналогично для 6^ (в), 6^(в), £^(з), 5°, 5°°.
Следствие 3.3. Для эквивогнутой функции £ функции в левых частях равенств (3.2)-(3.4) также эквивогнуты. Действительно, они неубывают и стремятся к бесконечности на бесконечности, а с дру-
0 / \ 00 ^ 0ОО ^
гой стороны функции у , —^;— и —^— не возрастают и неогра-ничены в нуле. Поэтому эквивогнутость этих функций на полуоси [0, ос) вытекает из теоремы 1.1, [1]. Более того, эти функции, как легко видеть, m-инвариантны, то есть, будучи вычисленными для каждой из двух ^эквивалентных М-функций они оказываются попарно
т /
^эквивалентными, а их индексы сжатия/растяжения - попарно равными.
Замечание 3.4. Справедливы формулы (см. также [1])
6ц, = 1—7*., 7* = 1-<**.;7?, = 1—<5°,., 5* = 1“75.;7" = !-<*£, <5“ = 1-7^-(3.5)
Определение 3.3. Эквивогнутую функцию ip мы называем сим-
Ъ, ТП
метрической, если выполняется ^ эквивалентность
cp(t) ~ <p(t), t G [0, оо). (3.6)
При этом М-модуляра Ф Э <р тоже называется симметрической.
Для М-функции £ положим
Г f°(£) = если t е [0,1], £°(t) = i(t), если t е [1, оо); , .
I €°°(t) = i(t), если t е (0,1], = Ф), если t е [1, оо).
По лемме 3.1 обе эти функции являются симметрическими. Мы называем £° левой, а £°° правой симметрическими скобками для £. С помо-
т -
гцью ^эквивалентности эти понятия переносятся на любые эквивогну-тые функции.
§4. Базы и эквивогнутые функции
Определение 4.1. Зафиксируем две произвольные натуральные базы b° = {n°k}k=од,... и Ь°° — {га£°}*=0,1,.... Возьмём любое целое неотрицательное число j и найдём два числа ko(j) и fcoo(i), такие что
< пш + ^ ^ •?' < ”£.0-)+ L
Построим две функции - (р° на [0,1) и (р°° на [1, ос), - как двоичноизмеримые функции, т.е. измеримые относительно разбиения промежутка [0,1) точками вида 2~и и, соответственно, разбиения промежутка
[1, оо) точками вида 2", где v = 0,1, 2,... . Если 2 i < t < 2 J+1, j > 1, то полагаем — 2 ^оО), а если 2i < t < 2J+1, j > 0, то полагаем
y>°°(t) = 2n“-(i).
Пусть <^(t) = <^°(t) при t € [0,1) и v?(t) = <p°°(t) при t € [l,oo). Легко проверить, что для двоично-измеримой функции (мы обозначаем её также ф), построенной процедурой склейки, выполняются все условия Леммы 3.1, согласно которой является эквивогнутой функцией; мы называем (р порождённой парой натуральных баз (b0,b°°), причём Ь° (Ь°°) называем левой (соответственно, правой) базой для <р.
Покажем, что верно и обратное: любая М-функция ф (и, следо-вателоно, любая эквивогнутая функция) однозначно с точностью до
т -
^эквивалентности порождается парой натуральных баз с помощью описанной выше конструкции.
Определение 4.2.1. Пусть М-функция -0, задана на полуоси [0, оо). Для натуральных п обозначим через D~ диадический полусегмент [2_n, 2_n+1), через D+ диадический полусегмент [2n,2n+1), а для всех целых j точки вида, Гф(2г) будем называть ^—точками. Введём две функции р^р и р™, называемые плейс-последователъностями М-функции ф в нуле и на бесконечности, соответственно, (в [5] - сюръективные последовательности) сопоставляя каждой ^-точке номер дпадического полусегмента D, её содержащего:
Р%(J) = [— loS2 ^(2“J)], p$(j) = [log2 ip(23)\, j > 0, (4.1)
где [г] обозначает целую часть действительного числа г. Ясно, что для М-функции ф обе функции Рф : N N и р™ : N 4 N суть сюръективные отображения, каждое из которых удовлетворяет соотношениям (2.3); тем самым они определяют базы ^ и !)“, плейс-последовательностями которых являются. Эти базы, как легко убедиться, соответствуют левой и правой базам некоторой эквивогнутой функции, ^эквивалентной ф. Количественные последовательности этих баз мы обозначаем, соответственно, q^(n) и q™{n).
Замечание 4.1. Очевидно, что соответственные базы двух М-функций попарно ^эквивалентны, тогда и только тогда, когда сами эти функции ^эквивалентны. Поэтому мы можем определить левую и правую базы эквивогнутой функции с точностью до ^эквивалентности,
как соответственные базы любой М-функции из её М-модуляры. Иными словами можно считать, что ^модуляры эквивогнутых функций и пары ^модуляр баз поставлены во взаимно-однозначное соответствие, которое можно записать как Ь~ Ь, (рь™ (р (понимая под Ь пару баз). Ясно, что это соответствие сохраняет двойственность в классах
т а
модул яр и пар ^модуляр.
Лемма 4.2. Эквивогнутая функция (р симметрическая, тогда и только тогда, когда её левая и правая базы ^ эквивалентны: ~ Ь^.
Замечание 4.3. Для симметрической эквивогнутой функции (р двойственная ей эквивогнутая функция (р* тоже симметрическая.
Лемма 4.4. Пусть р° - плейс-последовательность левой базы b° М-
функции ф. Пусть определена на полуоси формулами (3.2) и пусть
Р% о и p^о обозначают плейс-последовательности левой Ь®0 и правой Ь°?0 ф ф ф ф
баз, соответственно, для М-функции 0°. Тогда
[ PqO (™) ~ supn>0 (р° (п + т)~ р^(п)) ~ supn>0 ( Y^jtn+i Хь°. О)) = V (т);
I Ф Г / “ Ф ч т > 0. (4.2)
| PgO М ~inf„>0 (р^,(и + т) ~ infn>0 (Е"=Гн1 *6° (•?'))•
Доказательство.
!о§2б?,(2т)~ sup (pj(n)-pj(n-m)) = sup (р0ф{к+т)-р°ф{к)У
n>0, n>m ' ' /с+т>0, /c>0 ' '
Для вычисленной по формулам (4.1) правой плейс-последовательности р%;{о М-функции &ф это влечёт соотношения
ф
{0 при т < 0; supfc>0 ($p(k + т)~ plikj'j при т > 0, ^4'3^
а для её левой плейс-последовательности - соотношения
{0 при т > 0;
inffe>0 (рф(к) - Рф(к + т)) при т < 0.
что равносильно (4.2). □
Лемма 4.5. Пусть ф обозначает М-функцию, Щ, (Ь™) - её левую (соответственнно, правую) базу. Допустим, что каждая из функций Ььо(т) и Ьь<х>(т) неограничена по т (см. Теорему 2.5). Тогда
для плейс-последовательности р°^0 (т) левой базы 6® 0 и для плейс-последовательности р%о (т) правой базы Ь%о выполняются эквивалент-
ф ф
ности
п-\-т п-\-т
Р&г (т) ~ Ит 8иЕ Хь* 0’) = ЬьФ (ш) 5 ~ Ит 0'), гп > 0.
ф ОО. ,, ^ Ф ф ^ ф
,7 =ггЧ-1 ^=п+1
(4.5)
Доказательство первой эквивалентности в (4.5) аналогично (4.2):
р%о(т) = [limsup(log2^(2^W))] = [limsuplog2 ф{2т+п) — log2 ф{2п)\
У п—Уоо Y\^ ) п—Уоо
“ lim sup([log2('0(2m+n)] - [log2 ф(2п)]) = limsup(p™(m + n) -p™(n)) =
n—^oo
n+m
= lim sup ^2 Хьт(Л = m> 0.
j=n+1
Вторая эквивалентность в (4.5) доказывается также аналогично (4.2). □
Лемма 4.6. Пусть <p(s), 0 < s < оо, обозначает симметрическую М-функцпю, 6°, Ь™ - её левую и правую баззы, 6° 6~, а функции
©<p(s), ©°(s) и &™(s) определены на полуоси [0, ос) формулами (3.2). Справедливо
©,(*)-©0^)~©~(s), ^>0. (4.6)
Доказательство. Вторая эквивалентность вытекает из эквивалентности её левой и правой частей. Докажем первую. Обозначим через (р° и ср°° сужения (р на [0,1] и [1, оо), соответственно, и пусть Ь^о := {п^}. Вычислим ©^(2-m), т > 0. Для симметрической у?, согласно (3.2), имеем:
6,(2-») Я sup ^ = supmVsupm =
* -oo<u<oo v{2P) v<m <p(2v) v>m ¥>(2")
tp( 2u~m) (p( 2p-m) <p( 2v~m)
= fi ~WT v о 2L v S£ =
= sup ^ V sup ^°(2"-m)/(2-") Vsup-^2J1 (4.7)
„<0 V9 (2") 0<^<m ; V ' ^>m (p (2m~l/) V '
Из формул (4.1) следуют три возможности:
1. Пусть и < 0 и при этом v — т £ [—щ+г, —щ), v £ [~Щ+1, —щ), к =
0(2" —т) _ 2~пк ip°(2t/) ~ 2~пг
k{u), i = i{u), к > г Тогда = 2 (пк
2. Пусть 0 < v < т и при этом т — и £ [щ, щ+1), и £ [щ, щ+\), к = k(v), i = i{v). Тогда (р°(2и~т)(р°(2~и) = 2~nk2~ni = 2~^+ni\
3. Пусть v > т и при этом v — т £ [пк,щ+1), v £ [n^nj+i), к
У°(2~") 2Г
ip°(2m~v) 2“
к(и), г = i(u), к <i. Тогда ^т-1, = = 2 {Пк щ).
Поскольку здесь числа п& и щ должны удовлетворять соотношениям пп. 1 - 3, а в остальном могут быть произвольными элементами базы bv0, из (4.7) и неравенств sup0<I/<m (pQ{2v-m)ipQ{2~v) < sup„<0 =
suP^>m вытекает, что
6V(2-’») Й sup У ' 1 = 65(2-”), m > 0. (4.8)
г/<0 )
Применяя полученные равенства и Лемму 3.2 к выводим
6^(2m) S 2Ш6^(2-Ш) = 2т&1р~т) = &1(2т)у т > (L. (4.9)
Объединяя (4.8) и (4.9), приходим к первой эквивалентности в (4.6).
Вторая эквивалентность для симметрической (р вытекает из равенств
&$(s) = sup = (w := -Ц, 0 < w, s • w < l)
t>l, s-t>l \ S-t )
<p(s-w) _ о
= sup ———— = ej!(s), 0 < s < oo. □
0<W<1, S-W< 1 (p\W J
Замечание 4.7. Из (4.6) и (2.7) для симметрической М-функции ср следуют равенства
(4.10)
Лемма 4.8. Пусть Ь“ обозначает правую базу М-функции ф, а бй?(з) и (в) определены для ф формулами (3.2) и (3.3), соответ-
ф ф
ственно. Следующие три условия равносильны.
1). 8Ъ°° = 1;
2). Зъ™(т) = Ьь^(т) = т, т > 1;
3). &ф(в) ™ £$(з) ~ в, 1 < з < оо.
Доказательство. Известно, см., например, [4], что верхний индекс некоторой базы равен 1, тогда и только тогда, когда неограничены длины блоков идущих подряд единичных значений количественной последовательности этой базы. Но это в точности равносильно 2). Остаётся применить Леммы 4.4 и 4.5 (см. также [1], Лемма 1.3 §1 гл. II). □
§ 5. Приложение: псевдостепенные функции.
Определение 5.1. 1. Для любого а Е (ОД) базу Ь#* := =
{^к^}о<к<оо сужения на [0,1] степенной симметрической функции £ е [0, ос), мы называем степенной базой с показателем а.
2. Базу Ь = {Ьк}о<к<оо> 0 < 7& < < 1, будем называть псевдо-
степенной, если она ^эквивалентна суперпозиции баз &М 0 Ь^ как суперпозиции подмножеств натурального ряда, где &М — {Ь^}о<А;<оо есть некоторая база, такая что ёЬ[ 1] = 1, а Ь^ - степенная база с показателем
56-
Лемма 5.1. Предположим, что ф эквивогнутая функция, 0 < 7^ < 5ф < 1, и пусть 0 < р ф Функция фр является эквивогнутой, тогда и
только тогда, когда р <
Доказательство. Если р < то 5фР = р • 5ф < 1, [1]. Значит найдётся а: > 0, такое что 5фР + г < 1. Из [1] вытекает, что при з > з£ > 1 справедливо: ©^р(з) < з6^р+£ < в. Снова из [1] получаем, что функция фр является эквивогнутой.
Обратно, пусть функция фр ™ у?, где (р - М-функция. Предположим, что р > -ц. Поскольку бф — 5фРу то 5^ = р-5ф > 1, что невозможно, [1]. □
Замечание 5.2. Пусть ф° обозначает сужение на [0,1] М-функции ф. Известно, [3], что при р : 0 < р ф т~ пространство Марцинкевича
М^о[0,1] является р-выпуклым (и, стало быть, пространство Лоренца А^о[0,1] является д-вогнутым, 1/р + 1/д = 1), тогда и только тогда, когда р < т~. Это равносильно утверждению, что при таких же р сим-
Оф
метрическая функция фр является эквивогнутой, тогда и только тогда, когда 0 < р < 1/5ф.
Определение 5.2. Будем говорить, что эквивогнутая функция ф псев до степенная, если найдётся эквивогнутая функция (р, 5^ — 1, такая что ф ™ . Будем называть ф псевдостепенной слева (псевдосте-
пенной справа), если левая (соответственно, правая) симметрическая скобка для ф является псевдостепенной.
Замечание 5.3. 1. Ясно, что симметрическая функция является псевдостепенной, тогда и только тогда, когда её база (любая из двух ^эквивалентных) является псевдостепенной.
2. Так как функция е(<§) = <§, 5 Е [0, оо), несобственная, то вогнутая степенная функция псевдостепенной не является.
3. Существуют как псевдостепенные , так и не псевдостепенные М-функции.
Пример 5.4. 1. На [0,1] и на [1,оо) рассмотрим функции р° и р°° , соответственно: <р°(0) := 0; <р°(£) := —£ • к^2 |, £ Е (0,1]; <р°°(£) := ^ ^ [1?°°). Если (р := (р° 0 (р°°у то 5(р — 1 и, следовательно, <р2 псевдостепенная функция.
2. Определим функцию <£°°(£) := Ъ 21, £ Е [1, ос). Ясно, что (р°° есть выпуклая функция на [1,оо), между тем как функция ((р°°) 2 вогнута на [1,ос), а функция Ф°(£) := -—вогнУта на [0,1]. Склейка
Ф = Ф° 0 (ср°°)^7 как и обе её скобки, по определению не будут псевдо-степенными функциями.
Лемма 5.5. Допустим, что ф°, ф1 - левая и правая симметрические скобки эквивогнутой функции ф, соответственно. Справедливо равенство
8ф 8^0 V 5^1, *уф 7^° ^ Т^1 (^'^)
Доказательство. В силу равенств 7^ = 1 — = 1 — 5^0 V 5^1 =
(1-^о)А(1-^1) = 7^0 А 7^1 достаточно доказать первое равенство в
(5.2). Неравенство > 8фо V 5^1 следует из формул (3.2), (4.6) и (4.10).
Предположим, что для некоторой эквивогнутой функции ф на полуоси справедливо строгое неравенство 8ф > 8фо V 5^1. Выберем г > 0,
так чтобы выполнялись неравенства 4- < а = -Л- Л ------------г. Имеем:
^ 6Ф 6ф0 <^1
фа = (-0° ф фгу = (^°)а ф (ф1)а, - по Леммам 3.1 и 5.1 правая часть есть
эквивогнутая на полуоси функция, что для левой части противоречит лемме 5.1. □
Следствие 5.6. Предположим, что для эквивогнутой функции ф выполненяется равенство 7^0 А 7^1 = 7^0 = 0. Тогда 5^ = 1 — 7^0 = 1 = 8Ъо , откуда по лемме 4.8 £ьо (т) = Ььо (т) = т, т > 1.
Теорема 5.7. Пусть для эквивогнутой функции (р симметрические функции у?0 и ^°° суть её левая и правая скобки. Тогда, если 8^о > 8^ и при этом (р° псевдостепенная, то (р псевдостепенная. Этот же вывод можно сделать, если 8^о = 8^00 и обе функции (р° и р°° псевдостепен-ные. Обратно, если (р псевдостепенная, то из двух её симметрических скобок та из них, чей верхний индекс сжатия/растяжения больше верхнего индекса другой, является псевдостепенной. При равенстве верхних индексов псевдостепенными являются обе скобки.
Доказательство. Так как по лемме 5.5 8^ — 8^о V 8^<», то 8^ — 8^о.
В силу неравенства 8^о > 8^оо, а также леммы 5.1 и предположения
1 1
ТОГО, ЧТО (р° псевдостепенная, обе функции ((р°)6(Р0 И ((рявляются эквивогнутыми. Обозначим через (р° и (р°° следы функций (р° и ср°° на [0,1] и [1, оо), соответственно, и пусть (р := (р° 0 (р°°). Тогда
— п — п 7Г~ 7Г~ —
(р*<р — 0 (р°°у<? — (^°) 0 (ср°°) ? откуда по лемме 3.1 (р6* экви-
вогнута на [0, ос). Аналогично доказывается и второе утверждение. □
Следствие 5.8. Для того, чтобы эквивогнутая функция £ была псевдостепенной, необходимо и достаточно, чтобы из двух баз в определяемой £ паре симметрических функций база с наибольшим верхним индексом была псевдостепенной, или, если верхние индексы баз равны, - чтобы обе базы были псевдостепенными.
Пользуясь Теоремой 5.7 и её следствием, вопрос о критериях свойства эквивогнутой функции быть псевдостепенной можно свести к поиску этих критериев для её симметрических скобок. Это позволяет в нижеследующей Теореме 5.9 считать функцию £ совпадающей со своей правой симметрической скобкой; при этом, благодаря Леммам 4.4. - 4.6,
можно применять к функции 0|° теоремы и формулы §1 гл. II монографии [1].
Теорема 5.9. Пусть £ симметрическая функция, 0 < 7^ < <
1, £ ф £, и пусть 6^° обозначает правую базу £. Следующие условия равносильны:
1). £ псевдостепенная;
2). 6“(s) ~ s5^, 1 < s < 00;
3). 6£(s) ~ s7«*, 0 < s < 1;
4). 6|°(s) ~ £|°(s) ~ 1 < s < 00;
5). (A:) ~ Lfj-x, (k) ~ k • 5ь°°, A; > 1. Доказательство. Докажем 1) =4> 2). Поскольку £(t) псевдостепенная функция, то (^W) ^эквивалентна М-функции <p(t), где 8V = 1. Пользуясь Леммой 4.8 и формулами (3.4), получаем: ©|°(s) ~ &°° s (s) =
(©“(s)) ^ ™ S5?, s > 1.
Покажем импликацию 2)=>1). Предположим, что ©^°(s) ™ s > 1, и
покажем, что £ - псевдостепенная функция. Положим </?(£) = ^£(£)^%
где М-функция £ ™ эквивалентна £, нужно показать, что р эквивогну-
та. Ясно, что р не убывает. Кроме того, по (3.4), &™(s) = ^©|°(s) j ™ s, s > 1. Значит для подходящей константы С > 0 справедливо: suPi>0 ‘£i$ < С ' s, s > 1, откуда < С • s > 1, t > 0. По теореме 1.1, [1] р ^эквивалентна положительной вогнутой функции,
т.е. эквивогнута. Но, поскольку £ ™ £, то р — ~ (?) *', т.е. £
псевдостепенная функция.
Эквивалентность 2) и 3) следует из формул (3.4). Например, для 2)=^>3) при 0 < и < 1 имеем: &^{и) — и • ©£°(^) ™ , и в точности также
показывается обратная импликация.
Импликация 1)=>4) следует из Леммы 4.8, формул (3.4) и формул (1.19) §1 гл. П, [1], а импликация 4) =>2) тривиальна.
Равносильность 4) и 5) вытекает из Лемм 4.4. - 4.6. □
Замечание 5.10. Для функции (р условие регулярности её изменения на [0,1] с показателем 5^, [4], не достаточно, для того чтобы <р была псевдостепенной; тем более не является достаточным для этого выполнение условия (3.2) Теоремы 3.11, [6]. Это видно на Примере 5.4.2, функция которого псевдостепенной не является.
Литература
1. Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М., Наука, 1978, 400 с.
2. Одинец В.П., Шлензак В.А., Основы выпуклого анализа. Москва 0 Ижевск, РХД, 2011, 520 с.
3. Новиков С.И., Котип и тип функциональных пространств Лоренца. Матем. Заметки, 32(1982)2, с. 213 - 221. ,
4. Меклер А.А., О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых модуляр. Вестник Сыктывкарского университета, Сер. 1, Вып. 8. 2008, с. 27 - 38, Сыктывкар: Изд-во СГУ.
5. Меклер А.А., Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича-1. Вестник Сыктывкарского университета, Сер. 1, Вып. Ц- 2011, с. 33 - 48, Сыктывкар: Изд-во СГУ.
6. Меклер А.А., Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича-П. Вестник Сыктывкарского университета, Сер. 1, Вып. 14■ 2011, с. 49 - 56, Сыктывкар: Изд-во СГУ.
Summary
Mekler A. A. On Marcinkiewicz modulars on [0,1] and [0, oo)
It is presented a reduction to one-another of two cases: the case of Marcinkiewicz (Lorenz, Orlicz) functional spaces on the unit interval and the case of the same spaces on the positive semiaxis. In this connection p-convexity of these spaces is discussed.
Keywords: symmetrical Marcinkiewicz modulars, equiconcave pseudopower functions.
Bremen University
Поступила 30.04-2012
