О полугруппе модуляр Марцинкевича Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 17.2013

УДК 513.88

О ПОЛУГРУППЕ МОДУЛЯР МАРЦИНКЕВИЧА

А. А. Меклер

Продолжается изучение инвариантных свойсте М-функиий и их баз по отношению к полугрупповой операции суперпозиции. Установлено, что степенное, а также и псевдсстепенное свойство М-функний Еыделяют две замкнутые и коммутативные подполугруппы.

Ключевые слова: композиция М-модуляр, суперпозиция баз. подполугруппы. идеалы.

Настоящая статья примыкает к серии предыдущих работ [1] - [8]. в большинстве опубликованных в этом же журнале и посвяшённых изучению топологических инвариантов пространства Марцинкевича. т.е. таких его свойств, которые определены только составом элементов пространства, Предметом статьи, как и в [7]. является полугруппа по композиции так называемых М-модуляр - классов ^эквивалентности функций, нормирующих пространства Марцинкевича. Именно М-модуляры несут всю информацию о топологических инвариантах пространства Марцинкевича. а вместе с ним пространств Лоренца и Орлнча. Совокупности М-модуляр. отвечающих рассмотренным ниже инвариантам, образуют алгебраические подструктуры в упомянутой полугруппе. -подполугруппы и идеалы. - иногда наделённые ещё и дополнительными свойствами,

Мы ограничиваемся случаем пространств Марцинкевича, состоящих из функций на отрезке [0,1] и отсылаем к [2] - [4]. а также к монографии [10] за основными определениями и фактами: здесь же приводим лишь некоторые из них. относящиеся к функциям Марцинкевича (М-функциям), их модулярам и базам.

© Меклер А, А., 2013.

1. Вспомогательные сведения.

Полугруппы: подполугруппы и идеалы

Рассмотрим полугруппу 2П, операция которой (вообше говоря, некоммутативная) обозначается Подмножество V этой полугруппы будем называеть:

• Подполугруппой, если г>1, ь2 £ V 0 у2 Е V.

• Замкнутой подполугруппой, если 6 У^и^^б V.

• Право-замкнутой подполугруппой, если

Г г>ь у2 Е V =>• V! ® у2 Е V;

\ VI ® у2 Е V =>- У2 Е V.

• Двусторонним идеалом, если (г;1 Е V или/и у2 Е V) ®у2 Е V.

• Двусторонний идеал V называется замкнутым, если

VI ® у2 Е V -ФФ- (г>1 6 V или/и 6 У).

Предложение. 1. Дополнение Vе := 2П\У замкнутой подполугруппы V есть замкнутый идеал.

2. Дополнение V любого замкнутого идеала Vе есть замкнутая подполугруппа.

Доказательство. 1. Включение у\®у2еМ для случаев, когда хотя бы один из сомножителей входит в Vе выполняться не может в силу замкнутости подполугруппы V. Значит Vе двусторонний идеал. Включение Уг®ь2 € Vе в случае, когда оба сомножителя входят в V. выполняться не может, поскольку V подполугруппа, Это означает замкнутость Vе. 2. По определению замкнутости идеала Vе из включения у± ® у2 Е Vе вытекало бы. что (г>1 Е Vе или/и у2 Е Vе), откуда следует, что V есть подполугруппа. Если теперь допустить, что (г>1 е Vе или/и у2 Е Vе). то по определению идеала у± ® у2 Е Vе, откуда следует замкнутость подполугруппы V. □

М-Функции. Полугруппа М-модуляр.

М.1. Две неубывающие функции ф± и ф2. определённые на [0, оо), называются мультипликативно эквивалентными (обозначение: ф\ ™ ф2) ■ если для подходящей константы С > 1 выполняются неравенства

C-V2(C-1 ■ t) < ^i(i) < С ■ ф2{С -t),t€ [0, оо). (1.1)

М.2. Вещественную функцию, заданную на [0,оо). непрерывную, вогнутую и равную нулю (или доопределённую нулём) в нуле, а вне нуля - положительную, неубывающую и стремящуюся к бесконечности на бесконечности, мы называем функцией Марцинкевича, или М-функцией.

М.З. Класс всех функций на [0, оо), ^эквивалентных некоторой М-функции ф мы называем М-модулярой и обозначаем Ф. Совокупность всех М-модуляр обозначается Ш1. Всякая функция на [0, оо). содержащаяся в Ф называется эквивогнутой.

М.4. Суперпозицией двух эквивогнутых функций ф\ и ф2 называется эквивогнутая фу нкция ф\ о ф2 := ф\ (ф2(^, t > 0. М-модуляр а суперпозиции ф\ о ф2 называется композицией М-модуляр Фх и Ф2 и обозначается Ф1 о Ф2.

М.5. ~инвариантом называется всякое свойство эквивогнутой функции, которому удовлетворяют все эквивогнутые функции её М-модуляры.

М.6. Эквивогнутая функция ф (а также и её М-модуляра Ф) называется симметрической, если ф ™ ф. где эквивогнутая функция

т := ( > 0.

Путём расширения по этой формуле с [0,1] на [0, оо) или. наоборот, сужения с [0, оо) на [0,1] множество всех симметрических функций отождествимо с множеством всех эквивогнутых функций на отрезке

[0,1]. Для симметрической М-функции ф число := Нт^о-ь^' ^

будем называть верхним индексом,

Класс всех симметрических М-модуляр обозначается

М.7. М-функцию ф, ас ней и её модуляру Ф, мы называем регулярной (обозначение: Ф Е Vr), если lim^o limsup^g ^щ- < 1, и корегу-

лярной (обозначение: ^ eVr), если lims_».o limsup^0 ф^ < 1-

М.8. М-функния ф, а с ней и её модуляра Ф называется субмультипликативной (супермультипликативной), если найдётся константа с > 0, такая что выполняются неравенства

ф(в -t) < с ■ ф(в) ■ ф(£) (соответственно, ф(в • t) >с-ф(з)-ф(г)), s,t> 0.

Лемма 1. (ср. [2 ), Пусть £ эквивогнутая симметрическая функция, субмультипликативная на [0,1]. Положим 6°(s) := suPte[o,i],s-ie[o,i] ^ — s < оо. Тогда для s е [0,1] выполняется эквивалентность

М.9. М-функня на [0, оо). являюгцаюся одновременно суб- и супермультипликативной. как и модуляра этой функции, называется эквимулъ-типли кативной.

М.10. Симметрическая М-функния ф называется функцией регулярного изменения в нуле с показателем а, 0 < а < 1 (запись: ф е ДО, если limsup^o ff Я s«.

М. 11. Эквивогнутая функция ф, как и её М-модуляра Ф. называется псевдостепенной, если выполняется эквивалентность по s

^(si) т ^(st) lim sup—— ~ sup ——. i^o ф(ь) t6(0,i] y{t)

Базы. Полугруппа Б-модул яр

В.1. Подмножество К натурального ряда N будем называть биин-финитным. если оно. как и его дополнение N \ К, суть бесконечные подмножества N.

Любую строго возрастающую последовательность целых неотрицательных чисел вида Ь — (Ь^)о<^<00, где Ьо — 0, будем называть (■натуральной/ базой, если (Ьк)1<к<оо биинфинитное подмножество в N. Ь обозначает множество всех баз. Для базы Ь = (Ьк)к>о подмножество

N \ (pk)k>i '■— {b*i)i>i натурального ряда, занумерованное в строго возрастающую последовательность и дополненное начальным нулём, мы называем двойственной с Ъ базой и обозначаем 6*. Очевидно, что двойственность есть инволюция в классе Ь.

В.2. По заданной базе b определим два отображения N —>■ N: количественную последовательность

Qb{n) := (Ьп - fen-i) > 0, п е N, (1.2)

и плейс-последовательность (в [5]- сюръективная последовательность)

п-1

= "SN, (1.3)

i=о

гДе Хь обозначает индикаторную функцию подмножества b С N U {0}. Ясно, что

рь{ 1) = 1, Рь(п) < Рь(п + 1) < рь{п) + 1, п > 1; lim рь(п) = оо. (1.4)

п—э-оо

Замечание. Каждый из трёх объектов - база, её количественная и её плейс-последовательность. - очевидным образом определён любым из них. в том смысле, что, исходя из него, формулами (1,2) - (1.4) однозначно восстанавливаются остальные два.

В.З. Базу bW будем называть аддитивно эквивалентной базе (пишем b1 ~ Ь2). если найдётся натуральное d, такое что b^ < b^d < к > 1. Совокупность всех баз, ^эквивалентных базе Ь, будем называть ß-модулярой и обозначать В, 93 обозначает множество всех Б-модуляр. ~инвариантом называется всякое свойство базы, которому удовлетворяют все базы её В-модуляры.

В.4. Базу b = (bk)k>о назовём (/-равномерной, если при подходящем натуралльном d справедливы неравенства b^+i — bj. < d, п > 1.

Лемма 2. Для d-равномерной базы b = (пь) при любых j,m > 1 справедливо неравенство < YÜ=^+iXb{i) < ЕГ=п™1 Хь(*)-

Введём следующие обозначения. Для натуральных баз b = (bn), b^ = (b(n]) и любого т е N положим

Sb(m) := supn>0£Г=п+1 Хь(г), Ьь(т) = limsup^«, EKü-i Хъ{г);

b(D b(i)

<fi«i,>b(m) := supn>0E.:;(T) Хь, (Lba))b(m) = limsup^ Хь-

Лемма 3, [5]. Для любых двух баз Ъ — (Ьп) и Ь^ — выполня-

ются ^эквивалентности по т

Бь{т) ~ (5,Ь(1)}ь(г?г); Ьь(т) ~ (Ььа))ь(т), т> 1.

В.5. Базу Ь = (Ьп) назовём псевдостепенной, если Бь ~ Эта эквивалентность равносильна тому, что Ъ является уплотняющейся базой, т.е. существует натуральное <1, для которого при любых натуральных т, п найдётся число п', п' — п'(т) > п, такое что

п+т п'+т+с1

Е хь(0 < Е хь(0- (1-5)

г=п+1 г=п'+1

Лемма 4. База Ь — (Ьп) является уплотняющейся, тогда и только тогда, когда найдётся натуральное б?, обладающее тем свойством, что для любой пары (га, п) натуральных чисел существует число п' = п'(т, п) > п, такое что для всякого к > п' справедливо неравенство

п+т к+т+й к+т+й

Е хь(») ^ Е где I Е хъ{г) - т • 6Ь\ < <1. (1.6)

г=п+1 i=k+l г=к+1

Лемма 5. База Ь^ — (г>м) не является уплотняющейся, тогда и только тогда, когда для любого С > 1 найдутся монотонно возрастающие к +оо последовательности натуральных чисел {%},{?%},{й^}, такие что для любых j > 1 и п' > щ

Е > Е ь1-5)

¿=п3+1 г=п'+1

В.6. Суперпозицией Ь\ о Ь2 баз Ь\ и Ь2 назовём базу, определяемую плейс-последовательностью ръ1{ръ2С?)) Рьг ° Ръ2, 3 > 1- Вг ° В2 обозначает В-модуляру суперпозиции Ь\ о Ь2 и называется композицией В-модуляр В\ и В2.

Лемма б. [б]. Суперпозиция баз Ьг — и Ь2 — (г>м)^=од,...

вычисляется как база Ь\ о Ь2 = (щ ))ц=од,.... Поэтому для любых натуральных дис справедливо неравенство

Е ХьДг) > Е

1=1) 1 = 11-0^

n-j-m

Е хьС?)

В.7. Число 5ь := lim™-^ sup J=n+^-называется верхним индек-

0<п<оо

сом базы Ь = (6fe)fc>o- Ясно, что это число является ^инвариантом.

О соответствии между М-функциями и базами.

Как показано в §4 работы [4] (см, также [10]}, путём логарифмирования значений функций в двоичных точках между М-функниями на [0,1] и базами можно установить взаимно-однозначное соответствие фъ ** Ьф, которое в свою очередь порождает взаимно-однозначное соответствие -н- между М-модулярами симметрических М-функний и В-модулярами. Это соответствие инволютивно. поскольку фъ —> Ьф, влечёт фьф —> ф\ Ьфь — Ь. Отметим ещё, что композиции М-модуляр ФоФ соответствует композиция В-модуляр Вф о Bv. Подчеркнём, что

т а

указанное соответствие распространяется на все ~ и ~инварианты. в частности 5ф = 5Ьф, [4].

Лемма 7. 1. [1]. Симметрическая функция £ является регулярной, тогда и только тогда, когда количественная последовательность её базы ограничена.

2. [5]. Следующие условия равносильны, I}. Эквивогнутая функция ip на [0,1] является псевдостепенной:

II), База btp является псевдостепенной;

III). База Ъф является уплотняющейся.

2. Результаты.

Прежде всего проверим корректность определения бинарной операции о на множестве 05 всех I?-модуляр (и тем самым на множестве SDts всех симметрических М-модуляр),

Допустим, что bi = {ml) ~ Ь2 = ("г|); с\ = (г4) ~ с2 = (те|). Иными словами найдётся натуральное d, такое что выполняются неравенства ml < m\+d < ml+2d; < n\+d < nl+2d. Тогда имеем т1, < тК <

к к-\-а

т?п2 +d < , ибо n1+d + d < n\+2d. В точности также доказывается

обратное.

Всюду в дальнейшем за базами двух эквивогнутых функций (риф закреплены обозначения b^ — (vß) и Ьф — (и„), соответственно. Тем самым Ъф01р = (uVll), [6 .

Теорема 1. Верхний индекс суперпозиции двух эквивогнутых на [0,1] функций не превосходят произведения верхних индексов сомножителей.

Доказательство. Достаточно доказать, что для базы суперпозиции Ь-фор '■= (и^) о (уц) = (uVfi) "выполняется неравенство

- К ' (2>1)

Зафиксируем любое число е > 0 и найдём для каждой из трёх баз своё натуральное число М®, М^, М^ое, такое что при любом т > М®, соответственно, т > М^, т > М^0£ справедливы неравенства

т ■ (8bv -е)< supn>0 Y^tn+i Xbv (j)<m ■ (8bip + e); m ■ (6Ьф -e)< supn>0 E;=r+i Xb*(J) < m ■ (6Ьф + e). (2.2) . ™ ■ (Sbi>otp -e)< sup„>0 Хьф01р(з) < m ■ (5Ьф01р + e).

Обозначим M£ := max M^, и будем считать т >

max ^М£, ^ • Для некоторых из таких т супремум по п в средних

частях (Зд) достигается на подходящем числе (не обязательно большем Ме). для остальных - как верхний предел по п. В обоих случаях найдутся такие натуральные числа n® (т) и. соответственно. Пф(т) и (т), для которых выполняются неравенства

т ■ (К ~ <0 < ESiliT ХьЛЛ < т ■ « + г);

т ■ (5Ьф ~е)< Е55+Г ХЬф{З) < ™ • (8Ьф + е). (2.3) т ' - е) < Хьф^(з) < т ■ {6Ьф^ + е),

Будем, как обычно, обозначать через [г] целую часть вещественного

числа г. Зафиксируем т > max > и возьмём любое целое п.

Поскольку т • (6ьv + е) > М£, то неравенства (2,3) вместе с леммой б влекут

n+[m-{6bv+£)\ n+[m-{Sbip+£)\ пгф(т)+[т-{6Ь1р+е)]

j=n+l j=n+1 ¿=n=(m)+1

< [т ■ (5b„ + е)] • (6Ьф + е) = {т + 1) • [5Ьф ■ 5Ьч> + (5Ьф + • е + е2].

Перейдём в левой части на основании третьей из формул (2.2) ^в которой роль т играет [га ■ (Sbv + е)]) к супремуму по п. Поскольку [т • + £)] > М£, то для всех т > max ('ме, получим

n+[m-(Sbv+£)]

sup Е Xb*oVU) < (m + 1) • [6Ъф ■ + + 5ь„)-£ + £%

j=n+1

откуда

ЧИП ^"-П-'Ч^-г-л / .Л

lim ^^^-í +(* +*).е + е2

v ^ m—teo Til

Ввиду произвольной малости е имеет место доказываемое неравенство. □

Теорем 2, [7]. Io. Каждый из ~инвариантов (HCV)m и mRVобразует замкнутую подполугруппу;

2°. ™инвариант (HCV)a• образует идеал, а ^инвариант тВУ® - замкнутый идеал.

Теорема 3. Каждый из ^инвариантов су б- и супермультипликативности образует подполугруппу.

Доказательство элментарно вытекает из монотонности М-функций.

Теорема 4. Множество Uo<w<i ^К? образует подполугруппу. Более того, [ф £ RV°, (р £ RV°, 0<а,р<1)^фосре RV°ß.

Доказательство. Пусть М-функния ф £ mRV^. а М-функция (р £ mRV®: докажем, что ф о ср £ mRV°.ß.

Поскольку речь идёт о модулярах, применима теорема 5, [9]. согласно которой, не умаляя общности, можно считать, что

Зафиксируем s > 0. Функция ф на промежутке [0,1] непрерывна, следовательно и равномерно непрерывна. Из (2,4) следует, что для любого фиксированного е > 0 существует такое 5е > 0, что |tf — t"\ < S£ \ф(1/) — ф{Ь") | < е для всех t',t" 6 [0,1]. В силу же непрерывности <p(t) в нуле и в силу (2.5] найдётся такое í¿e : 0 < £¿e < 1, что при всех 0 < t < tse выполняются два неравенства: 0 < ip(t) < (5е)з и — < так что для всех этих t имеем: |y(sí) — < 5Е,

откуда по предыдущему ty(tp(st)) — ф((р^)з^))\ < е. Но в силу (2.4) для всех 0 < t < ts£ < и для всех s > 0, в том числе при ip(t) < tgE и для из соотношения lim^o ~ — sCl^

вытекает , что

Теорема 5. Множество всех симметрических псевдостепенных М-модуляр образует правозамкнутую коммутативную подполугруппу в полугруппе (9Jís,o), причём для псевдостепенных эквивогнутых функций ф и </? выполняеся равенство 8ф01р = 6ф ■ Sv.

Доказательство. 1. Докажем, что если ф и <р псевдостепенные функции, то такова же и их суперпозиция ф о р.

Поскольку обе М-функции ф и ц> являются псевдостепенными на [0,1], то каждая из них там субмультипликативна, [5]. Следовательно, [1]. можно с точностью до ^эквивалентности считать их такими функциями регулярного изменения: ф 6 /2^(0,1), ip 6 RVsv(0,1). что для обеих имеют место равенста (2.4) и (2.5). в которых а — ß — Sч>.

V>U(s-t)J

откуда по теореме 4 lim^o /—\ — lim sup^Q —К—Л = С дру-

гой стороны, поскольку для субмультипликативных на [0,1] функций,

iM *>(»•*)) iM *>(«*))

а именно: limsupt_j.0 —Ч—= sóip'd^ и supíe[01] —у—= s ^ иер-

^Mt)J ' v U(í) J

вая не превосходит вторую, то справедливо неравенство. ■ 5ф < б^ф. Обратное неравенство доказано в теореме 1. Остаётся воспользоваться теоремой 5. [5].

2. Докажем, что если ф о ip псевдостепенная, то будет псевдостепенной и (р. Уже упоминалось, что псевдостепенная функция на [0,1]

субмультипликативна. [5]. и. следовательно, регулярна. [2], Поэтому, если ф о (р псевдостепенная, то по Теореме 3, [7], обе функции ф и ц> регулярны; не умаляя общности, можно считать обе базы Ьф и Ь^ с1-равномерными.

Допустим, что Ь<р не уплотняющаяся база. В лемме 5. применённой к Ьр, выберем возрастающие к бесконечности натуральные последовательности {%}, {щ}, {4?}- Для п' > П] получим:

Е хь+оуМ в= Е ХьМ ^ Е ХьМ > Е ХьМ ^

+т3 +Л3 л2 +т3 +Ч уп> +т3 + %

Е ^ Е XV,» =6 Е ХъМ, 3>1.

"=иуп,+1 Ц=Уп,+1

Таким образом для последовательности т^ t супремум на натуральных сегментах длины т^ количества точек базы Ъф0(р не менее, чем на число у превосходит верхний предел этого количества на сегментах той же длины. Но ^ t сю, и тем самым для базы Ьф01р супремум и верхний предел не могут быть ~ эквивалентны по т, а это по определению противоречит тому, что Ьф01р является псевдостепенной базой.

3. Покажем, наконец, что на подполугруппе псевдостепенных М-модуляр на [0,1] композиция коммутативна,

Обозначим: Ъ^ = (е,) = Ьф0[р = (Д) = (гц,); как доказано

выше, обе базы псевдостепенные. Зафиксируем натуральное п. и пользуясь леммой 4, для базы Ь^0ф найдём п' — п'(п,т), удовлетворяющее (1.6). т.е. такое, что для всякого к>п' справедливо неравенство

п+т к+т к+т

Е Х(*о(0 - Е Х(*о(0> где| Е Хы(г)-т-5ь^-6ьф\ < й. (2.6)

¿=п+1 г=к+1 г=к+1

Аналогично, пользуясь (1.6). для базы Ьф01р выберем п" > п', удовлетворяющее т.е. такое, что для всякого к > п" справедливо неравенство

п+т к+т к+т

¿=п+1 г=fc+l г=к+1

Из (2.6), (2.7) и неравенства треугольника заключаем, что для лю-

бого т > 1 при к>п" — п"(п, т) > п' справедливо

к+гп к+т

I Е - Е Х(«.„)(01 < 2 • ± (2.8)

Таким образом для баз регулярных эквивогнутых функций фор и роф на натуральном ряде справедлива эквивалентность

Ч.„(го) (2.9)

Если теперь обозначить через ф о р и р о ф симметрические расширения на всю полуось функций фор и соответственно, то в обозначениях Леммы 4.5. [4]. и с учётом первого из её соотношений можно записать эквивалентность

£^00 "££¿00, (2.Ю)

откуда вытекает эквивалентность на [0,1]

"££,00. (2.11)

Далее, поскольку обе функции фор и роф являются псевдостепенными, по теоремам 5.7 - 5.9. [4]. псевдостепенными являются и обе функции фор ж роф. Воспользуемся теоремой 10, [5], из которой следует, что функции ф о (р и (р о ф субмультипликативны на [0,1], Тогда по лемме 2 на [0,1] выполняются ^эквивалентности ф о р ~ &ф01р, р оф ~ Применяя лемму 4.6, [4], получим, что на [0,1]

Ф о <р(8) ~ Я е^{8)

~ в£о*00 ~ б£*00, (2.12)

соответственно. Каждая из функций фор и роф, будучи псевдостепенной. удовлетворяет условию 4) теоремы 5.9, [4]:

6£е00 ~ ££¿8); б£*00 Я £¡£¿8), 8 е [0, оо). (2.13)

Окончательно из (2.9) - (2.13) выводим цепочку эквивалентностей:

Ф о Ф) ~ ~ Я ~ ~ ч> о t 6 [0,1].

Следующая теорема очевидна.

Теорема 6. В полугруппе (Ш18,о) множество всех степенных М-модуляр. т. е. М-модуляр. порождённых М-функциями Ь Е [0,1], 0 < а < 1, образует коммутативную подполугруппу.

Замечание. Ни подполугруппа псевдостепенных, ни подполугруппа степенных эквивогнутых функций замкнутыми не будут, В качестве примера приведём симметрические функции ф и (р, задавая их на бесконечности: ф(£) = (£ 1о§2£)^, <£>(£) = щц, t > 2. Как отмечено в [4]. ф не является псевдостепенной (ни тем более степенной) эквивогнутой функцией. хотя ф о (р на бесконечности есть степенная, т.е. ^эквивалентная

О двойственной базе для суперпозиции двух баз.

Пусть даны две базы, Ь = (Ьп) и с = (сп), и их суперпозиция Ь о с = (Ьсп)'1 нужно построить базу (Ьос)*, двойственную к этой суперпозиции. Очевидно, что справедливо теоретико-множественное равенство

где Ь* ибо с* дизъюнктные подмножества натурального ряда.

Формула (2.16) описывает (ЬфоЬр)* как подмножество натурального ряда, но не как его подпоследовательность. Для того, чтобы придать формуле (2.16) "базовый"смысл. построим базу (I := Ь V с - точную верхнюю грань баз Ь = (Ьп) и с = (сп), дизъюнктных друг другу как подмножества натурального ряда.

Считая, что ¿о :— Ьо — со = 0, предположим, что элемент 1 уже построен, п > 1. Положим с?п := тт{и Е Ьи с | и > (¿„-1}. По индукции база в, := Ь V с построена, причём очевидно равенство баз

£2 функция,

(бос)* = 6* и ЬОС:

(2.16)

(бос)* = 6* УЬос..

(2.17)

где базы Ь и Ь о Ь* не имеют общих элементов (кроме 0). Последнее означает, что

п+т

Е Х(Ьос).(0

г=п+1

тг+ттг тг+ш

= Е Хъ*(г)+ Е ХьосДг). п,т>0.

г~п+1 г=п+1

(2.18)

Таким образом, для любого т > 0 выполняются неравенства

п+т п+т п+т

S(boc)Xm) '■= Е Х(ЬоС)Лг) < SUP Е + SU;P Е ХьоС»(г),

(2.19)

П>0 . . П>0 . . п>0 , ,

— г=тг+1 — г=п+1 — г=п+1

откуда по теореме 1

5(Ьос), < 4» + hoc* < + • (2.20)

Отметим, что неравенства (2,20) справедливы также и для верхних индексов М-функиии. двойственной к суперпозиции двух М-функцнй.

Литература

1. Меклер А. А. О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых модуляр // Вестник Сыктывкарского университета, I, 8(2008') с. 27 - 38. Сыктывкар: Изд-во СГУ.

2. Меклер А. А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, I // Вестник Сыктывкарского университета, 1. 14(2011) с. 33-48, Сыктывкар: Изд-во СГУ.

3. Меклер А. А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, II // Вестник Сыктывкарского университета, 1, 14(2011) с. 49-66, Сыктывкар: Изд-во СГУ.

4. Меклер А. А. О модулярах пространства Марцинкевича на

[0,1] и на [0, сю) // Вестник Сыктывкарского университета,. 1, 15(2012) с. 95-112, Сыктывкар: Изд-во СГУ.

5. Меклер А. А. О модулярах пространства Марцинкевича на [0,1]

и на [0, оо), II // Вестник Сыктывкарского университета, 1, 16(2012) с. 101- 111, Сыктывкар: Изд-во СГУ.

6. Меклер А. А. Представление суперпозиции вогнутых модуляр на двоичной логарифмической шкале // Герценовские Чтения-2007, 16-21 апреля 2007, LX с. 121 - 128, СГПУ им. Герцена, СПб, 2007. (in Russian)

7. Меклер А. А. О полугруппе модулярных функций с операцией инволюции. Исследования по линейным операторам и теории функций. 32. Записки научных семинаров ПОМИ, т. 315, 2004, 121 - 131. (in Russian)

8. Меклер А. А. Мультипликативность модуляр Марнинкевича. Базовые таблицы // Вестник Сыктывкарского университета, 1, 17(2013), с. 67-86, Сыктывкар: Изд-во СГУ.

9. Abakumov Е. V.. Mekler A. A. Concave Regularly Varying Leader for Equiconcave Functions, J. Math. Anal AppL, 187(1994)3, pp. 943-951.

10. Одинец В. П., Шлензак В. А. Основы выпуклого анализа. /Авторизованный перевод с польск. В.П.Одинна при участии М.Я.Якубсона/ Под ред, В.Н.Исакова. - М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований. РХД, 2011, - 520 с.

Summary

Mekler A. A. On semigroup of Marcinkiewicz Modulars

The presented paper contains a study of semigroup of M-modulars with their composition as algebraic operation. It is stated that several classes of M-modulars corresponding to some important topological invariants of Marcinkiewicz space M(0,1) form sub-semigroups and ideals of this semigroup which sometimes may be closed e.g. for classes of power and pseudopower M-modulars.

Keywords: composition of M-modulars, superposition of bases, sub-semigroups, ideals.

MSC-1991: 46E30

Бременский Университет,

Поступила 27.06.2013