CC BY
13Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып.Л.4.2011
УДК 513.88
ЗАМЕЧАНИЯ О СООТВЕТСТВИИ МЕЖДУ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ ПРОСТРАНСТВ МАРЦИНКЕВИЧА И ОРЛИЧА, I
А. А. Меклер
Даётся описание взаимных соответствий между некоторыми топологическими инвариантами функциональных пространств Орлпча и Марцпнкевпча и, в частности, совпадения этих пространств по запасу элементов.
Ключевые слова: пространство Орлпча, пространство Марцпнкевпча, инвариант, функция, модуляра.
Обсуждаемые здесь свойства норм банаховых порядково идеальных пространств измеримых функций, в литературе иногда называемых BFS (=Banach Function Spaces), представляют собой топологические инварианты. Они сохраняются при эквивалентной монотонной перенормировке пространства и потому являются свойствами, присущими всему классу эквивалентности тех нормирующих функций, которыми нормы определены, т.е. свойствами корпуса пространства - состава его элементов. Если же речь идёт об изометрическом инварианте Р BFS-пространства X, т.е. о некотором свойстве единичной сферы X, то оно при переходе к эквивалентной норме, вообще говоря, пространством теряется. Тем не менее и такое свойство может быть рассмотрено как топологический инвариант Р, индуцированный Р, если считать, что BFS-пространство Y обладает V в случае, когда хотя бы для одной эквивалентной перенормировки Y выполняется Р.
Под нормирующей здесь понимается заданная на полуоси [0, ос) вещественная непрерывная функция, равная нулю (или доопределённая нулём) в нуле, а вне нуля - положительная, строго возрастающая и стремящаяся к бесконечности на бесконечности. Мы говорим, что нормирующая функция F\ (мультипликативно) подчинена нормирующей
© Меклер А. А., 2011.
функции i<2, если для подходящей константы С > 1 при всех t е [0, ос) выполняются неравенства
Fi(t)<C-F2(C~1-t),
т т
обозначение: F\ F2. Если одновременно справедливо F\ F2 и
т т
F2 ^ Fi, то мы пишем F\ ~ F2 и говорим, что функции F\ и F2 ™ эквивалентны ^мультипликативно эквивалентны j . Класс ^эквивалентности нормирующих функций мы называем модулярощ множество всех модуляр обозначается Если соотношения ^эквивалентности выполняются только в окрестности нуля или бесконечности, то мы говорим об ^эквивалентности функций именно в этих областях.
Каждая нормирующая функция характеризует геометрию единичной сферы задаваемого ею BFS, тогда как состав его элементов (т.е. его топология) является одним и тем же для всех функций из модуляры. Таким образом модулярные свойства, представляют собой топологические инварианты BFS. Ниже рассматриваются некоторые свойства М-модуляр, задающих пространства Марцинкевича, [1], и N-модуляр, задающих пространства Орлича, [2]. На множестве всех N- и М-модуляр определены естественные инволюции: переход от TV-модуляры к дополнительной TV-модуляре, переход от TV-модуляры к обратной к ней М-модуляре и наоборот, и переход от М-модуляры к двойственной с ней М-модуляре. Мы выписываем формулы, связывающие эти инволюции.
Известное свойство Харди-Литтлвуда, [3], даёт пример модулярного свойства, которое в случае пространства Марцинкевича на [0,1] соответствует регулярности М-модуляры, задающей это пространство - свойству, изучавшемуся, в частности, автором в статьях [4] и [5]. Мы указываем на то, что регулярные М-модуляры являются, взаимосопо-ставленными (см. определение 3 ниже) с TV-модулярамп, удовлетворяющими А2-условию, [2], т.е. задающими сепарабельные пространства Орлича TV-модулярами.
В [5], а также в [12] изучалось и другое модулярное свойство - регулярной варьируемости (в нуле) нормирующей функции (о ранних работах на эту тему см. литературу в монографии [6]). В настоящей работе с ним сравнивается свойство субмультипликативности, которое оказывается более сильным. Отмечается, что для так называемых быстро варьируемых в нуле М-модуляр оба свойства равносильны, откуда следует важный вывод о субмультипликативности нормы пространства Марцинкевича, имеющего нетривиальную компоненту симметричных функционалов, [9]. Отсюда же следует, что М-модуляра, двойствен-
ная с такой, которая задаёт пространство Марцинкевича, совпадающее по запасу элементов с некоторым пространством Орлича, [7], является быстро варьируемой в нуле. Стоит отметить ещё, что субмультипликативная М-модуляра Ф является взаимосопоставленной с TV-модулярой Ф, удовлетворяющей известному Д'-условию, [2].
Важнейшие инвариантные свойства нормирующих функций характеризуют предельное поведение оператора растяжения-сжатия полуоси в нуле, или на бесконечности. Показав, как для взаимосопоставленных М- и TV-модуляр случай точки бесконечность сводится к точке нуль, мы после этого занимаемся только модулярными свойствами вогнутых мо-дуляр в нуле (а пространства Марцинкевича рассматриваем на отрезке [0,1].)
Во второй части настоящей статьи, [13], вводится понятие (натуральной) базы, посредством которого каждой паре взаимосопоставленных (TV, М)-модуляр соответствует класс (аддитивно) эквивалентных между собой последовательностей натуральных чисел, и наоборот. Такая интерпретация служит прозрачности доказательств и построению контрпримеров. Она является также источником новых модулярных инвариантов. Кроме того, модулярные инварианты допускают типизацию в терминах этой интерпретации, например, можно выделить класс инвариантов, описываемых предельным поведением плотности в натуральном ряде натуральной последовательности, представляющей данный инвариант.
Мы придерживаемся устоявшейся терминологии всюду, где она имеется, и не даём определений тех понятий, которые содержатся в хорошо известных монографиях [1], [2], [6], [14]. Взаимные свойства выпуклых/вогнутых модуляр мы описываем с помощью приводимых без доказательств весьма простых замечаний и лемм и отсылок к известным фактам.
Тезисы этой статьи и статьи [13] готовятся для публикации в Proceedings of American Institution of Mathematical Sciences.
1. Взаимосопоставленные модуляры Марцинкевича и Орлича.
Отметим, что множество $ замкнуто относительно перехода к обратной функции: если F - нормирующая функция, то такова же и обратная функция F~l. Модуляра, содержащая F-1, называется обратной к мо-дуляре Т Э F, и обозначается Отображение Т JF-1 есть
инволюция на = Т.
Определение 1. Подмножество V нормирующих функций назовём
модулярным свойством в нуле (или, на бесконечности), если вместе с каждой функцией Г Е V все нормирующие функции, ^эквивалентные Г в какой-нибудь окрестности нуля (соответственно, - бесконечности), также принадлежат V.
Определение 2. Модулярой Марцинкевича (коротко, М-^ Ф мы называем модуляру, которой принадлежит хотя бы одна вогнутая нормирующая функция ф (такую ф мы называем М-функцией). Заменяя здесь вогнутость на выпуклость, приходим к определению моду ляры Орлича (коротко, И-модуляры) и N-функции. Функции из М-модуляр (из УУ-модуляр) мы называем эквивогнутыми (соответственно, эквивыпуклыми). Класс всех М-модуляр обозначается через а класс всех УУ-модуляр - через УХ. Для М-модуляры Ф (для УУ-модуляры Ф) через Мф (через 1_ф ) мы обозначаем пространство Марцинкевича, [1], (соответственно, пространство Орлича, [2]), определённое какой-нибудь, - любой, - М-функцией ф Е Ф (соответственно, УУ-функцией (р Е Ф). Мы не придём в последующем к недоразумениям, если в обозначениях пространства Марцинкевича и Орлича будем также использовать содержащиеся в М-модулярах (соответственно, УУ-модулярах) М-функции (соответственно, УУ-функции).
Модуляру, задающую степенное пространство Марцинкевича Ма = М^ (соответственно, степенное пространство Лебега = Цр, 0 < £ < ос, 0 < а < 1, Р = мы называем степенной.
При изложении понятий, связанных с действием оператора сжатия/растяжения мы опираемся на утверждения и формулы §1 гл. II монографии [1]. Пусть ^ нормирующая функция. Определим для любого 8 > О
1). Оператор а3 : (сгв.Р)(£) =
2). Функцию сжатия/растяжения Мр(з) := 8ир0<^<оо ;
3). Нижний индекс 7^ = Ит^0
4). Верхний индекс 8Р = Ит^^
Для М-функции ф (для УУ-функции ф) справедливы неравенства
0 < < ^ < 1, (и)
- соответственно,
1 < 7< ^ < ос. (Ь)
Поскольку для ^эквивалентных нормирующих функций их функции растяжения также эквивалентны, то соответственные индексы ™эквивалентных нормирующих функций равны; их общее значение естественно приписать содержащей эти функции модуляре. Таким образом (1^) справедливо и для эквивогнутой ^а (1^) справедливо и для
эквивыпуклой^ функции.
Полагая, как обычно, Ц = ^ = 0- оо = 0, ^ = оо, для эквивогнутой функции ф обозначим через наименьшую вогнутую мажоранту эквивогнутой функции ^у, 0 < £ < ос, а через Ф* - модуляру, содержащую Как известно, [1], ф*^) ™ т.е. Ф* - М-модуляра. ф* (Ф*) называется двойственной для ф эквивогнутой функцией (модулярой). Очевидно, что при всех 0 < < ос, справедливы формулы, [1],
(1.2)
из которых вытекают равенства
(6** = 1-у> (1.з)
[ ъ* = 1 - V
Ясно, что функция растяжения любой нормирующей функции неубывает. Из (1.2) видно, что неубывает и функция = ттттт, то есть,
т<ф*\8) Мф(-)
функция М^ является квази-, [1], и, следовательно, эквивогнутой. Тем самым функция растяжения всякой эквивогнутой функции является эквивогнутой.
Лемма 1.1. Для эквивогнутой функции ф справедлива пара экви-валентностей:
/ — 0 тогда и только тогда, когда = 1, 0 < < 1; г-\ л\
\ 5ф = 1 тогда и только тогда, когда = <§,<§> 1.
Доказательство. Пусть 7^ = 0. По формуле (1.19), [1], имеем М^з) > 1, Е (0,1]. С другой стороны для всех 8 Е (0,1] по монотонности ф имеем: Мф(з) < 1, значит Мф(з) = 1, 8 Е (0,1]. Обратное следует из равенства 7^ := Ит^0 ^^^ -
Пусть 5ф = 1. Тогда 7^ = 0, что по первому утверждению равносильно = 1, 0 < 5 < 1. Но, согласно (1.2), = 0 < 8 < ос,
откуда имеем: М^Дз) = 1, 0 < 8 < 1, значит Мф(^) = 0 < 8 < 1, а
М^О) = 8, 5 > 1. □
Каждое отображение / : $ —>> $ будем считать продолженным на модуляры функций из Зададим Д : —>> ЯЯ, полагая ф :=
Из формулы (1.7), гл. II, [1], следует, что 1\ является инволюцией на Ш.
Для М-модуляр очевидно следующее утверждение.
Лемма 1.2. Пусть ф М-функция из М-модуляры Ф. Для того, чтобы нормирующая функция £ содержалась в Ф*, необходимо и достаточно, чтобы нашлась константа С > 1, такая что выполняются неравенства
С'1 - V < ф(у) • ф) < С - V, 0 < V < ос.
Пусть УУ-модуляра Ф содержит выпуклую функцию (р и пусть 12(р Е обозначает УУ-функцию, дополнительную к [2], а /3<р Е обозначает М-функцию, обратную к (р. Содержащие эти функции модуляры мы называем дополнительной к Ф УУ-модулярой /2Ф (соответственно, обратной к Ф М-модулярой /3Ф). Для модуляр обратимость отображений /2 и /3 очевидна, причём /2 является инволюцией в классе 9Т. Из леммы 1.2 и из формулы (2.10), [2], вытекает, что справедлива
Лемма 1.3. Для любой УУ-функции (р имеет место эвивалентность М—функций /3/2^ ^ которую для модуляр мы записываем в виде равенства:_
ПЕРВАЯ ИНВОЛЮЦИОННАЯ ФОРМУЛА: 1312Ф = /1/3Ф.
Определим операцию инверсии /4 : $ —>> £ формулой:
/4с(*)=*сф, ^ € [0, ос).
Взятием первой и второй производных элементарно проверяется, что верна
Лемма 1.4. Если £ вогнутая функция, то вогнута и её инверсная функция /4^.
Поскольку инверсия эквивогнутых функций сохраняет ^эквивалентность, для М-функции ф Е Ф можно говорить об инверсной М-модуляре /4Ф; ясно, что инверсное отображение /4 : ь-действует
как инволюция: /4/4Ф = Ф.
Замечание 1.5. 1. Очевидно, что для любой М-функции ф справедливо равенство
/4/1 т = щг1)}-1, г > о. (1.5)
2. Предположим, что ф\ и ф2 ~ М-функции. Очевидно, что Дисфункцией будет и их композиция ф\оф2. причём оф2) =
3. Класс всех степенных модуляр очевидным образом замкнут относительно инволюций 1\ — /4.
Замечание 1.6. В силу первой инволюционной формулы для любой УУ-функции (р справедлива эквивалентность /4/3/2^ ^ /4/1/3^, так что эта формула переписывается как равенство Л/-модул яр из : ВТОРАЯ ИНВОЛЮЦИОННАЯ ФОРМУЛА: /4/3/2Ф = /4Д/3Ф
Определение 3. Зафиксируем некоторую эквивыпуклую функцию (р Е Эквпвогнутую функцию /4/1/3^ Е 3 будем называть сопоставленной к (р и обозначать (р^. Название переносится на М-модуляру Ф^, содержащую (р^. Любая М-модуляра Ф является сопоставленной для УУ-модуляры Ф" := (/з^ДДФ. В самом деле, (Ф"")^ = /4/1 /3(/3)1\/4Ф = Ф (и аналогично (Ф^)^ = Ф), ибо Д и /4 - инволюции, а /3 - обратимый оператор. Это даёт основание к введению понятия взаимосопоставленности, как для функций, так и для модуляр.
Замечание 1.7. 1. Вторая инволюционная формула по сути дела означает справедливость утверждения: М-модуляра Ф и N-модуляра Ф взаимосопоставлены, тогда и только тогда, когда взаимосопостав-лены двойственная для Ф М-модуляра Ф* и дополнительная для Ф N-модуляра Ф*. Аналогично первая инволюционная формула означает, что если М-модуляра Ф и N-модуляра Ф взаимосопоставлены, то сопоставленная к N-модуляре Ф* М-модуляра (Ф*)^ = Ф* может быть записана как Ф* = Д/зФ-
2. Для степенных модуляр взаимосопоставленными являются пары р = 0 < а < ос, степенных пространств Марцинкевича
и Лебега.
2. Некоторые инвариантные свойства модуляр Марцинкевича и Орлича.
Одна из наших целей - свести некоторые модулярные свойства на бесконечности взаимосопоставленных пар Марцинкевича-Орлича к свойствам в нуле модуляр Марцинкевича. С учётом формулы (1.5) с этой целью иногда удобно приписывать функции значение
понимая под £ либо М-функцию ф, либо /4/1
Ниже все инварианты связаны с мультипликативным сжатием-растяжением полуоси:
для случев, когда этот оператор действует на классе эквивыпуклых /эк-вивогнутых нормирующих функций. Перечислим рассматриваемые здесь инварианты.
I. Д2-условие TV-модуляры в соответствии с регулярностью сопоставленной М-модуляры;
II. Регулярность изменения М-и TV-модуляр;
III. Суб/супермультипликативность М-модуляры в соответствии с А7-условием сопоставленной TV-модуляры;
IV. Эквимультипликативность М-модуляр;
V. Экстремальность М-модуляр;
VI. Совпадение по запасу элементов пространств Орлича и Марцинкевича.
I. Д2-условие TV-модуляры и регулярность сопоставленной М-модуляры.
Определение 4. Говорят, что TV-функция Lp удовлетворяет А2 —условию, если (р ^эквивалентна на бесконечности функции а2(р (ср. [2]). Мы говорим, что N-модуляра Ф удовлетворяет Д2 — условию, если она содержит TV-функцию, удовлетворяющую Д2—условию. В этом и только в этом случае пространство Орлича LJ сепарабельно, [2].
Мы будем называть М-модуляру Ф регулярной, если М-функция ф, ф е Ф, является регулярной, т.е. для неё выполнено условие
M{(s) = sup
C(s-t) sup "777Г
o<i<i Цг]
, 0 < s < 00,
(2.1)
: $ ->• $ : asF(t) = F(s ■ t), t > 0; s > 0
Легко проверяется, что регулярность - модулярное свойство в нуле. Оно, как известно, [3], равносильно свойству Харди-Литтлвуда пространства Марцинкевича Мф[0,1], порождённому модулярой Ф. В [13] мы покажем, как из второй инволюционной формулы вытекает, что для взаимосопоставленных модуляр (и только для них), содержащих, соответственно, УУ-функциию (р и М-функцппю регулярность (р^ равносильна выполнению Д2-условия для (р. Иными словами, если Ф и Ф взаимосопоставленные модуляры, то сепарабельность пространства Орлича /_ф равносильна выполнению свойства Харди-Литтлвуда в пространстве Марцинкевича Отсюда сразу же вытекает первая часть теоремы 3 [5]: суперпозиция о ф2 двух М-функций регулярна, тогда и только тогда, когда каждая из этих функций регулярна.
II. Регулярность изменения.
Определение 5. Нормирующую функцию F будем называть функцией регулярного изменения на бесконечности (в нуле) с показателем а, 0 < а < ос, если в соответственных областях выполняется эквивалентность
т г - «г г - ^
y-Q, : hmsup — ^ s (соответственно, hmsup ^ s).
t—у ос F(t) о F(t)
Модуляры, содержащие функции регулярного изменения, мы называем модулярами регулярного изменения (с соответствующим показателем). Очевидно, что для М-модуляр регулярного изменения (всё равно, - в нуле или на бесконечности) их показатель а содержится на промежутке [0,1], тогда как для TV-модуляр а > 1. Для случая а = 1 М-модуляру называют быстро, а TV-модуляру - медленно изменяющейся (или варьируемойi), а в случаях а = 0 (соответственно а = ос) - наоборот, [6]. 1
Рассмотрим пример топологического инварианта, индуцированного изометрией - регулярно варьируемые М-функции, [6]. Напомним, что М-функция ф называется регулярно варьируемой с показателем а, 0 < а < 1, если
Ра : lim ' = о < s < ос. о
Свойство Ра единичной сферы пространства Марцинкевича М^ может быть потеряно при эквивалентной перенормировке. Доказано, [12], что
^ы не станем уточнять очевидного значения символа ™ для случаев а = 0 и
оно индуцирует топологический инвариант Va М-модуляры - быть регулярного изменения. Отметим очевидные свойства этого инварианта.
Лемма 2.1. Следующие утверждения равносильны.
1). Эквивогнутая функция ф есть функция регулярного изменения на бесконечности (в нуле) с показателем а, 0 < а < 1;
2). Инверсная с ф эквивогнутая функция 1±ф есть функция регулярного изменения в нуле (на бесконечности) с показателем 1 — а.
3). Двойственная с ф функция 1\ф — ф* есть функция регулярного изменения на бесконечности (в нуле) с показателем 1 — а, 0 < а < 1;
4). Обратная к ф эквивыпуклая функция (р есть функция регулярного изменения на бесконечности с показателем -, 0 < а < 1.
а1 — —
Замечание 2.2. 1. Взаимосопоставленные функции могут быть регулярного изменения (и при этом принадлежещими взаимно обратным показателям а и а > 0) только одновременно.
2. Из леммы 2.1 следует, что для М-функции ф условие (4.2) работы [9]: Итд^оо Пт^оо < ос, которое означает, что ф - медленно меняющаяся на бесконечности вогнутая функция, влечёт, что 1±ф есть быстро меняющаяся М-функция. Но тогда в силу [12] (см. также [10] и [11] вместе с содержащейся там библиографией) найдётся М-функция £ ™ Цф, такая что lim^0 = s, s G [0, ос). Тем самым для
инверсной М-функции /4^, ^эквивалентной ф, выплняются равенства lim^oo — 1? A G [0, ос). Существование такой М-функции весьма
непросто доказывается в опорной лемме 4.2, [9].
III. Суб/супермультипликативность и Д'-условие сопоставленной TV-модуляры.
Определение 6. Функцию F — F(t) G а вместе с ней - её модуля-ру, - будем называть субмулътипликативной на бесконечности (или в нуле), если найдётся константа С > 1, такая что при любом неотрицательном s в окрестности бесконечности (соответственно, нуля) выполняются неравенства
F(t-s) < С • F(t) • F(s).
В литературе субмультипликативная на бесконечности УУ-функция называется иногда удовлетворяющей Д'-условию, [2]. Там же отмечается,
что Д'-условие силнее, чем Д2-условие.
Супермультипликативной называется нормирующая функция (моду-ляра), для которой условие аналогичное Д'-условию выполнется с неравенствами противоположного смысла.
Очевидно, что оба свойства суб- и супермультипликативности модулярные. Более того - для М-, а также для УУ-модуляр они ещё и взаимно двойственные. Действительно, например, эквивогнутая функция ф субмультипликативна (супермультипликативна), тогда и только тогда, когда дуальная к ней эквивогнутая функция 1\ф супермультипликативна (соответственно, субмультипликативна), а из инволюционных формул вытекает, что для УУ-модуляр в этом утверждении вместо двойственной следует брать дополнительную УУ-модуляру, т.е. вместо отображения 1\ отображение
Ясно также, что для любой субмультипликативной на бесконечности УУ-модуляры обратная к ней является супермультипликативной на бесконечности М-модулярой, и наоборот.
Напротив того, инверсия сохраняет эти свойства: очевидно, что если эквивогнутая функция ф субмультипликативна (супермультипликативна), - в нуле или на бесконечности, - то её инверсная эквивогнутая функция тоже субмультипликативна (соответственно, супермультипликативна) .
Замечание 2.3. Эквивогнутая функция (р субмультипликативна, тогда и только тогда, когда (р ™ М^. Действительно, посколь-
^ т
ку суомультипликативность инвариантна относительно ^эквивалент-
! „ т
ности эквивогнутых функции, а ^эквивалентность последних влечет ™эквивалентность их функций растяжения, то для субмультипликативной М-функции ф имеем: ф(з) = ^(1) • ^^ < ^(1) • 8ир0<Коо =
<0(1) • Мф(з) < С • 8ПРо<,<00 Щ^1 = С • з > 0.
Из инволюционных формул вытекает, что переход от УУ-модуляры к сопоставленной М-модуляре сохраняет суб- а также супермультипликативность. Поэтому УУ-модуляра Ф пространства Орлича Ь% удовлетворяет А'-условию, тогда и только тогда, когда сопоставленная М-модуляра Ф^ является субмультипликативной в нуле.
Отметим здесь доказанные в [13] факты.
Замечание 2.4. 1). Каждая субмультипликативная М-модуляра Ф обладает свойством Та для подходящего а, 0 < а < 1.
2). Для случая а = 1 верно и обратное: быстро меняющаяся М-
модуляра, полумультипликативна. Как отмечалось выше (см. [10], [11], позднее - в [9]) в этом случае найдётся быстро меняющаяся М-функция ф из класса ™эквивалентности Ф, для которой выполнены равенства Pi. Доказано, [9], что существование быстро меняющегося представителя ф М-модуляры Ф равносильно ещё и существованию непрерывного симметричного функционала над пространством Марцинкевича М^.
IV. Эквимультипликативность.
Определение 7. Модуляра, являющаяся одновременно суб- и супермультипликативной, называется эквимулътипликативной.
Замечание 2.5. Эквивогнутые функции ф и Мф могут быть эк-вимультипликативными только одновременно, и в этом случае они ^эквивалентны друг другу. В этом и только в этом случае обе они ™эквивалентны степенной М-функции sa, где число а, 0 < а < 1, равно общему значению верхнего и нижнего индексов функций ф и М^.
Доказательство. Уже отмечалось, что эквивогнутая функция может быть эквимультипликативна только вместе со своей двойственной. Поэтому, если ф эквимультипликативна, то по формуле (1.2) и по Замечанию 2.3 такова же и М^, Остальное вытекает, например, из Замечания 2.4. Обратное утверждение очевидно. □
V. Экстремальность модуляр.
Лемма 2.6. Предположим, что ф эквивогнутая функция, пусть 0 < Р / Функция фр является эквивогнутой, тогда и только то-
Оф
гда, когда р < -к
Доказательство. Пусть р < В силу стр.79, [1], 5фР = р • 5ф < 1. Значит найдётся е > 0, такое что 5фР + е < 1. В силу (1.20), стр. 76, [1], при s > s£ > 1 справедливо: M^P(s) < s6^p+£ < s.
Тем самым мы оказываемся в условиях Следствия 1 стр.78, [1], согласно которому функция фр эквивогнута, будучи ^эквивалентной своей наименьшей вогнутой мажоранте.
Обратно, пусть функция фр ™ (р, где (р - М-функция. Предположим. что р > -ц. Как отмечалось, = 5фР, откуда по стр. 79, [1], — Р ' дф > 1. Но, согласно формуле (1.24), [1], для М-функции ср это
неравенство невозможно. □
Замечание 2.7. Известно, [15], что при 1 < р ф 1/8^ пространство Марцпнкевпча М^[0,1] является р-выпуклым, [14], (и, стало быть, пространство Лоренца А^[0,1] является ^-выпуклым, 1/р+1/д = 1), тогда и только тогда, когда 1 < р < 1/5ф.
Определение 8. Будем говорить, что М-функция ф экстремальна, 1
^—
если функция ф является эквивогнутой.
Опираясь на [1], приходим к результату: Теорема 2.8. Следующие условия равносильны.
1). ф экстремальна;
2). Существуют такая эквивогнутая функция ( с ^ = 1 и такое число а, 1 < а < 1, что при М-функция ф представима в виде
т = (т)а, (2.2)
В этом представлении а совпадает с
3). Мф(з) ™ з6^ на бесконечности;
4). Мф^(з) ™ в нуле.
Доказательство. Если имеет место представление (2.2), то по формулам стр. 79, [1], 5ф = а и ^ф^ 6ф эквивогнутая функция. Обратно, если
м'
ф эквивогнутая функция, то = -ц • 5ф = 1, откуда следует представление (2.1), в котором а = бгф.
Эквивалентность 3) и 4) следует из формулы (1.2). Покажем, например, 3) =>4). При 0 < s < 1 имеем: M^(s) = = = s= s7^*,
и в точности также в другую сторону.
2) 3). Пусть ip{t) экстремальная эквивогнутая функция, т.е. 6ф
™эквивалентна М-функции (p{t). В силу ™эквивалентности и 2) 5<р = 1. Опять используя ^эквивалентность, лемму 1.1 и формулы стр. 79, [1],
получаем: M^(s) ™ M^s^(s) = Ф ™ s6^. Обратно, предпо-
лагая, что Мгф(з) ™ s > 1, и покажем, что ф - экстремальная
1
/■— \ 6-г
эквивогнутая функция. Положим ip{t) = ф , где М-функция ф
эквивалентна ф, и покажем, что ср эквивогнута. Ясно, что ср не убывает. Кроме того М<р(з) = ^М^з)^^ ™ з, 5 > 1. Значит для подходящей константы С > 0 справедливо: вир^о ^¿у^ < С • з, 5 > 1, откуда
^ £ ф 5 > 1, £ > 0. С учётом неубывания (р мы оказываемся в условиях теоремы 1.1 стр. 69 [1], согласно которой (р эквивалентна положительной вогнутой функции и, следовательно, эквивогнута. Но,
поскольку ф ™ ф , то (р = ^ф^ ™ ^ф^ 5ф , значит ф экстремальная. □
Нетрудно видеть, что при р = 1/6^ пространство Марцинкевича М^[0,1] является р-выпуклым, тогда и только тогда, когда М-функция ф экстремальна, т. е. когда выполняется условие 4) Теоремы 2.8. Из замечания 2.5 и теоремы 2.8 вытекает
Следствие 2.9. Если ф{1:) экстремальная субмультипликативная функция, то она ^эквивалентна степенной № на бесконечности, а её двойственная ф*{Ь) ^эквивалентна степенной в нуле.
VI. Совпадение по запасу элементов пространств Орлича и Марцинкевича.
В статье [16] изучался вопрос о совпадении по составу элементов пространств Марцинкевича М^(0,1) и пространства Орлича 1_*, (это совпадение, разумеется, представляет собой, топологический инвариант каждого из этих пространств). Полученный позднее в работе [7] критерий приводится здесь в следующем виде.
Теорема С ([7]). Пусть ф - М-функция на [0,1]. Пространство Марцинкевича М^(0,1) совпадает по составу элементов с пространством Орлича 1_*, тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия.
1). (р(и) ~ —ту—т- на бесконечности;
У 4 У (и-*-) 7
2). ф регулярна;
3)- Х!п>1 ^'""Ф*1^ ' Ф*(2~п)) < 00 Для подходящего е > 0. Поскольку рассматриваемый М-инвариант путём перехода к обратным, инверсным, дополнительным и двойственным модулярам можно свести к инвариантности М-модуляр в нуле, то, как и ко всем предыдущим пяти М-инвариантам, в [13] язык и техника натуральных баз, развитые в [4] и [8], в [13] применяются также и к этому.
Литература
1. Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М., Наука, 1978.
2. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., Г.И.Ф-M.JI., 1958.
3. Shimogaki Т. Hardy-Littlewood Majorants in Function Spaces// J. Mathem. Soc. Japan, 17(1965),365-373.
4. Mekler A. A. On Regularity and Weak Regularity of Functions Generating Marcinkiewicz Spaces// Proc. Intern. Conf. "FUNCTION SPACES, V."- Poznan, Poland, July 2000, ed. by H. Hudzik and L. Skrzypczak. Marcel Dekker, Led. Not. Pur. Appl. Math. Ser., 213; pp. 379-387.
5. Меклер А. А. О полугруппе модулярных функций с операцией инволюции// Записки научных семинаров ПОМИ, т. 315, 2004, с-121 - 131.
6. Bingham N. Н., Goldie С. М., Teugels J. L. Regular Variations. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
7. Седаев А. А., Смуров В. А. О нахождении одной числовой характеристики для пространств Марцинкевича// В сб. "Методы решения операторных уравнений/1В ГУ, Воронеж, 1978, с. 135-Ц2.
8. Меклер А. А. О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых модуляр// Вестник Сыктывкарского УниверситетаСер.1, вып. 8, 2008, с. 27 - 38.
9. Доддс П. Г., де Пагтер Б., Седаев А. А., Семёнов Е. М., Су-кочев Ф. А. Сингулярные симметричные функционалы// Записки научных семинаров ПО МИ, т. 290, 2002, с. 4.2 - 71.
10. Меклер А. А. О существовании lim^0 ^^ Для вогнутой функции ф// "Тезисы Х-й Всесоюзной Школы по теории операторов в функциональных пространствах. "Челябинск, 1986, т. 2, с. 117-118.
11. Drasin D., Seneta Е. A generalization of slowly varying function// Proc. Amer. Math. Soc. 96 (1986) pp. 470-472.
12. Abakumov Е. V., Mekler A. A. A Concave Regularly Varying Leader for Equi-concave Functions// J. Math. Anal. Appl. 187(1994)3, c. 943-951.
13. Меклер А. А. Замечания о соответствии между топологическими инвариантами пространств Марцинкевича и Орлича, II.// Вестник Сыктывкарского Университета, Сер.1, вып. , 2011, с. 49-66.
14. Lindenstrauss J. and Tzafriri L., Classical Banach Spaces II, Springer, Berlin, 1979.
15. Новиков С. И. Котип и тип функциональных пространств Лоренца// Матем. заметки, 32(1982)2, р. 213-221. (in Russian)
16. Рутицкий Я. Б. О некоторых классах измеримых функций// УМЕ 20(1965)4, с. 205- 208.
Summary
Mekler A. A. Remarks on the correspondence between the topological invariants of spaces, Marcinkiewicz and Orlicz, I
In this paper is presented a parallel approach to treating of some invariants of two kinds of classical Banach Function Spaces namely Marcinkiewicz and Orlicz spaces which are denoted M^ and L*, respectively. The exposition has the goal to state that there is such a way of mutually associating into couples (M^, L^) (as well as (M^-, L*)) that isomorphic properties of one of counterpart transfer into they of another one. Moreover by the way the isomorphic properties at 00 allow to be reduced to ones at 0.
Keywords: Banach Function Spaces, Marcinkiewicz Space, Orlicz Space, function, invariant.
Universities of Sankt Petersburg/Bremen
Поступила 01.10.2010
