Мультипликативность модуляр Марцинкевича. Базовые таблицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер.1. Вып. 17.2013

УДК 513.88

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОСТЬ МОДУЛЯР МАРПИНКЕВИЧА. БАЗОВЫЕ ТАБЛИЦЫ

А. Меклер

Установлены топологические инварианты суб-, супер- и экви-мультипликативности пространств Марнинкевича, заданных как на [0,1], так и на [0,оо). Дано единообразное описание этих и ранее изученных инвариантов, выраженное в форме предельных соотношений базовых таблиц.

Ключевые слова: пространства Марцинкевича и их базы, суб-. супер-, экви- мультипликативность и аддитивность, базовые таблицы.

В продолжение статьи [5]. где были рассмотрены односторонние (слева и справа) суб- и супермультипликативные модуляры Марцинкевича на [0, оо), в §1 настоящей работы устанавливается. Теорема б, связь этих понятий с двусторонней суб- и супермультипликативностью модуляр. В §2 получены критерии эквимультипликативности модуляр, т.е. их одновременной суб- и супермультипликативности, Согласно теореме 11. на [0,1] это бывает, тогда и только тогда, когда модуляра эквивалентна некоторой степенной вогнутой функции; в случае же полуоси [0, оо) по Теореме 12 эквимулыипликативные модуляры представимы двумя степенными функциями, вообще говоря, с различными показателями степеней, - одной на [0,1], другой на [1,оо).

В опубликованных в Вестнике СГУ. 1, работах автора [1] - [5] топологические инварианты пространства Марцинкевича Мф(0,1) интерпретировались как инварианты натуральной базы этого пространства, выраженные в форме предельных свойств соответствующей базовой таблицы,. §3 представляет собой обзор в этих терминах всех инвариантов, рассмотренных в настоящей работе и в работах [1] - [5 .

Настоящую статью можно читать независимо от работ [1 - [5]. результаты которых мы не приводим полностью, ограничиваясь краткими

© Меклер А. А., 2013.

пояснениями и ссылками. Терминология та же (иногда - с небольшими изменениями), что и в этих работах, см, также [10]. Для удобства чтения определения некоторых основных понятий сформулированы ниже.

§1. Суб-супераддитивность и суб-супермультипликативность

Как обычно N обозначает множество всех натуральных чисел. Z -множество всех целых чисел, причём := {г £ Ъ\ г < 0}; := {г Е

Ъ\ г > 0}.

Напомним определения натуральной базы и связанных с ней объектов.

Определение 1. см. [3], Определения 1) и 2). 1. Подмножество К С N называется биинфиншпным. если как оно само, так и его дополнение N \ К суть бесконечные подмножества в N.

2. Натуральной базой называется любая строго возрастающую последовательность целых неотрицательных чисел вида Ь — {Ьа;}о</ь<оо, где Ьо = 0, а {Ьк}к> 1 образует биинфинитное подмножество в N. Его дополнение дополненное нулём и занумерованное в строго возрастающую последовательность, обозначается Ь* := {Ь*ь}о<*;<оо, К0 := 0, и называется базой Ь* двойственной с Ь. Двойственность есть инволюция в классе всех натуральных баз.

3. По натуральной базе Ь определяется её количественная последовательность

Яъ{п) :=Ьп-Ьп-и пеМ, (1.1)

а также плейс-последовательность натуральной базы 1

п-1

Рь(п) :=^Хь(г), пеИ, (1.2)

¿=о

для которых при любых т, п Е N имеют место тождества

(1.3)

Каждый из трёх объектов - натуральная база, её количественная и её плейс-последовательность, - очевидным образом определён любым из них. в том смысле, что. исходя из него, формулами (1,1) - (1,3) однозначно восстанавливаются остальные два.

[3] - сюргективная последовательность

Натуральная база, количественная последовательность которой ограничена. называется равномерной. Равномерность базы Ь равносильна положительности нижнего индекса [3]. Натуральная база Ь^ называется ~эквивалентной базе Ь^ (обозначение: Ь1 ~ Ь2), если найдётся натуральное й, такое что Ь^ < < к > 1. Если любая из двух

баз равномерна, то эти неравенства равносильны существованию такого натурального что Ь^ < Ь^ + в, < Ь^ + 2й, к > 1. Плейс- и количественные последовательности ^эквивалентных баз тоже называются ~эквивалентными (обозначение аналогичное).

Определение суб- (супер)аддитивной базы см. [3]. Определение 6. Поскольку всякая субаддитивная база равномерна. [3], а свойства с.уб-и супераддитивности двойственны, суб- (супер) аддитивность базы Ь = (|Ьп) означает существование натурального такого что выполняются неравенства

Ьп+ш < Ьп + Ьт + с1 ^соответственно. Ъп+т + (1 > Ьп + Ьтп, т > 0, (1.4)

Аналогичными неравенствами, определяется и су б- (супер) аддитивность плейс-последовательности {рь(п)}п>1 базы Ь.

Лемма 1. Натуральная база Ь субаддитивна (супераддитивна), тогда и только тогда, когда её плейс-последовательностьрь супераддитивна (соответственно, субаддитивна.}.

Доказательство. Если ръ супераддитивна, то выполняется первое неравенство в (1.4). Действительно, иначе нашлись бы натуральные последовательности пк 1" оо и/или тк 1" оо, такие что

т^+к п^+к пк+тк

]Г qъ{г) + £ дь(1) < ^ Чъ{г), к = 1,2,... (1.5)

г=1 г=1 г=1

Согласно(1,3), справедливы равенства пк + к — тк +

к = Ръ ( ЕТ=1к ; ■+ тк = РЪ ( Е^Г" ®(0). к = 1,2,... . Исполь-

зуя (1,3), (1.5). монотонность плейс-последовательностирь и её супераддитивность. получаем противоречие:

п к+тк тк+к Пк+к

Пк + тк=рь(^ ®>(0) >Рь( &(*)+&(*)) >пк + тк + 2к + (1.

г=1 г=1 г=1

Докажем супераддитивность ръ, предполагая, что выполняется первое из неравенств (1.4). Возьмём любые натуральные 2 и к и предположим, что Ът < 2 < Ьт+и Ьп < к < Ьп+1, откуда Ьт + Ъп < 2 + к <

Ьт+1 + Ьп+1, где в силу равномерности Ьт+1 + Ьп+1 - (Ьт + Ъп) < 26,. Тогда рь{з) = т1 Рь(к) = п и по монотонности рь в силу (1.4) получаем: РьО + к) + (1>рь(Ьт + Ьп) + (1>рь(Ьт+п) = т + п = рьи)+ръ(к), з,к > 1.

Аналогичными рассуждениями доказывается равносильность супераддитивности Ь и субаддитивности рь. □

Введём следующие обозначения. Дня натуральных баз Ь = (Ьп), Ь^ = (Ьп^) и любого то е N положим

Жто) := зирп>0 ЕГ=п+1 Хь(г), Ьь(т) = Нт8ирп^ос ЕГ=г^1 Хь(*); 8ь(то) := 8ирп>0(Ьп+т - Ьп), (то) = Итзирп^00(Ьи+т - Ьп):

ь(1) п+т

(5'Ь(1))ь(то) := 8ирп>оЕ."!а) Хь(0> (Ььм)ъ(т) = Нтвир Е Хь(*)-

г-°п+1 П->00 ,(1)

г—°п+1

(1.6)

Из формулы (1.3) вытекает

Следствие 2. Для любого то 6 N справедливы равенства

§ь(то) = то + (¿>ь,)ь(то), Ьь(то) = то + (£ь„)ь(то). (1.7)

Поскольку всякая натуральная база представляет собой мажорирующее (в смысле естественного упорядочения) подмножество в N. имеет место Лемма 3. Для любых двух баз Ь = (Ъп) и = выполняется

~эквивалентность по то

5ьМ ~ (5ь(1))ь(то). (1.8)

Доказательство. Из определения видно, что (¿>Ь(1 >)ь(то) < ¿?ь(то), то > 1. Зафиксируем любое то > 1 и для любого г > 1 обозначим через г^) ближайший к г элемент базы меньший г. а через г^ ближайший к г элемент

больший г. Тогда при любых г, то > 1 справедливо ЕД+1 ХьСО < Е^=Й(>) ХьСЛ- Если теперь обозначить ¿«) := < (г + т)^ := то очевидно неравенство 0 < д < то + 1. Отсюда

вытекает что Хь(0 < Е »Ш < Е-^Г »0')- Значит

Зь(т) < (Бьт)ь(т + 1), то > 1, то есть <9ь(то) ~ (5ь(1)(то))ь. □

Замечание 4. Аналогично для любой базы Ь = (Ьп) доказывается эквивалентность

Ьъ{т) ~ (ЬЬ(1))ь(т), то > 1. (1.9)

Следствие 5. Для любой натуральной базы Ь справедливы эквивалентности

вь ~ (£6„}г>, Ьь(то) Л (Ьь.)ь{т), то > 1. (1.10)

Определение 2. Рассмотрим две произвольные натуральные базы 6° := (Ь^) и b°° := Упорядоченная пара b := (b0,b°°), называется целей базой. Её плсйс- и количественной последовательностями мы называем, соответственно, пары плейс- и количественных последовательностей (рь"(т),ръ^(п)) и (дьо(т), qb°°{n)), определенные для баз b° и Ь°° формулами (1.1) и (1.2). Двойственной целой базой к целой базе b = (b0,b°°) называется целая база Ь* := Целые базы Ь« := ((Ь0)« (Ь°°)«) и Ь™ := ((b0)®, b(b°°)W) называются ^эквивалентными (обозначение: b^ ~ если одновременно (Ь°)М ~ (Ь°)(2) и ~ (Ь°°У2\ Аналогично определяется ^эквивалентность для плейс- и количественных последовательностей целых баз,

Напомним понятия ^эквивалентности / эквивогнутости функции и её суб- и супермультипликативности, см, Определение 3. [4], и Определение б, [2].

Две вещественные неотрицательные функции / и д, обе заданные на [0,1] или на [1,оо), или на всей полуоси [0, оо) называются ~эквивалентными , если для некоторого С > 1 выполняются неравенства С~хд{а) < /(£) < Сд{С~Н), - там. где они имеют смысл. Непрерывная неубывающая функция (р, </?(0) = 0, ip( 1) = 1, lim^oo ip(t) = оо, заданная на подходящей этим требованиям одной из трёх областей и ^эквивалентная там некоторой вогнутой функции называется эквиво-гнутой.

Эквивогнутая функция <р. заданная на полуоси [0, оо), или на [0,1],

или на [1, оо) называется субмультипликативной (супермультипликативной), если для подходящего С > 1, неравенство

ip{s-t) < С• tp(s)• (p(t) (соответственно, ip(s-t) > С-1 -(p(s)(smp)

выполняется там, где оно имеет смысл, Для эквивогнутой функции ф и двойственной к ней эквивогнутой функции ф+, ф*(£) ™ t > 0, суб-и супермультипликативность суть двойственные понятия.

С точностью до ^эквивалентности соотношения (smp) равносильны тому, что неравенство

(р(2т+п) < D-<p(2m)-(p(2n) (соответственно, <р(2т+п) > D"1^(2m)^(2n)).

(,smp2)

справедливо при некотором D для всех подходящих целых т, п. Прологарифмируем как обе части неравенства (smpí)., так и аргументы (р в нём по основанию 2. затем перейдём к целым частям, Тогда условие

(smpi) будет означать, что при некотором d для любых подходящих целых т, п справедливы неравенства суб- и, соответственно, супераддитивности:

p¥(m+n)<pv,(TO)+p¡p(n)+d (соответственно, р<Дто+п)>р¥,(т)+р¥,(п)-(/у

(sad)

Займёмся случаем эквивогнутых функций на [0, оо). Как показано в [4], Определения 4.1 и 4.2, таким функциям (р взаимно однознач-

т а * ^

но с точностью до ~<->-~эквивалентностеи соответствуют целые базы

= (6°, б^3), где натуральные базы и Ь^3 определены, соответственно, плейс-последовательностями \р~(к)\ и здесь = [log2</?(2~fe)], = [log2 <^(2fe)], к > 0, и [г] обозначает целую часть вешественного числа г. Перепишем первое из неравенств (sad/, применяя функцию <г(,г) для обозначения знака целого числа z : s(z) — ^ — ■щ, z ф 0; с(0) = 0. Тогда получим, что субмультипликативность <р равносильна сушестванию такого натурального d, для которого при всех целых т,п выполняются неравенства

р«т+п\т + п)< р$т\т) + р«п\п) + d. (1.11)

Покажем, что выполнение (1.11) равносильно одновременной субаддитивности базы и супераддитивности базы Ь™.

Поскольку для т, п < 0 неравенства (1.11) означают, что последовательность р~ (к) является субаддитивной, то плейс-последовательность (рг,о(|А;|) = супераддитивна, откуда по Лемме 1 база яв-

ляется субаддитивной. Аналогично для т,п > 0 в силу (1.11) последовательность Рр(к) субаддитивна, значит и плейс-последовательность {Ръ$>(к) = Рр(к)} субаддитивна, откуда по Лемме 1 база b™ супераддитивна,

Итак, субаддитивность Щ, и одновременная супераддитивность Ъ™ суть необходимые условия для того, чтобы эквивогнутая функция соответствующая целой базе bv = (Щ,, Ь^3) и ^эквивалентная ip: [4]. была субмультипликативной.

Покажем, что эти условия и достаточны, т. е. при их выполнении неравенства (1.11) выполняются, Это очевидно, когда тип одинакового знака, Значит достаточно рассмотреть случаи разных знаков чисел т и п. Ввиду их равноправия в (sadj можно считать, что т < 0 > п. При этом, когда т + п > 0 неравенства (1,11) выполняться не могут, ибо в этом случае |m + n| — т + п, \т\ — —т и выполнение неравенства (1,11) означало бы. что ръ°°(т + п) < — Рьо(|то|) + ръ°°{п) + d, откуда

Рь^(т + п) +рьо(т) < Ръ<$>{п) + чего быть не может по монотонности и неограниченности плейс-последовательности.

Если же т + п < 0, то неравенства (1.11) выполненяются всегда. Действительно, они означают, что р~(т + п) < р~{т) + р^(п) + <1, или, равносильно. —рьо{\т + п\) < —рь°,(+ Ръ™{п) + (I, и остаётся вновь воспользоваться монотонностью плейс-последовательности натуральной базы Ь°.

С учётом двойственности получена

Теорема 6. Эквивогнутая функция р. заданная на полуоси [0, оо), субмультипликативна (соответственно, супермультипликативна), тогда и только тогда, когда, одновременно выполнены два условия:

1. Левая база субаддитивна (соответственно, супераддитивна).

2. Правая база Ь^ супераддитивна (соответственно, субаддитивна). □

§2. Эквимультипликативные функции и эквиаддитивные базы

Определение 3. Эквивогнутую функцию, заданную на [0, оо) (или на [0,1], или на [1,оо)) будем называть эквимулътиплиштивной. если в области своего задания она одновременно суб- и супермультипликативна,

Замечание 7. Из Теоремы б вытекает, что эквивогнутая функция на [0, оо) является эквимультипликативной, тогда и только тогда, когда она эквимультипликативна как на [0,1], так и на [1, оо).

Определение 4. Одновременно суб- и супераддитивную целую (натуральную) базу будем называть эквиаддитивной целой (соответственно, натуральной) базой.

Замечание 8. 1. Всякая целая (натуральная) база является эквиаддитивной, тогда и только тогда, когда такой же является двойственная ей база. Поэтому для индексов, [3], любой эквиаддитивной натуральной базы Ь выполняются неравенства 0 < < 5ь < 1; 0 < < ¿¡>» < 1. 2. Целая база является эквиаддитивной, тогда и только тогда, когда обе её натуральные базы,- левая и правая. - являются эквиаддитивными,

Рассмотрим ближе оба неравенства (1.4), определяющие (суб-) супераддитивную натуральную базу. Увеличение (1 в них может их только усилить, поэтому можно считать, что в определении эквиаддитивной базы одно и то же натуральное <1 обслуживает и суб-, и супераддитивность. Иными словами для того, чтобы база Ь была эквиаддитивной, необходимо и достаточно, чтобы нашлось натуральное й, такое что Ъп+т-а <ЬП + Ьт< Ьп+т+(1\ п + т> Ф, т,п> 1. В силу равномерности

субаддитивпой. а значит и эквиаддитивной базы, это условие равносильно существованию натурального d, такого что для всех элементов базы b справедливо неравенство

bn+m -d<bn + bm< Ьп+7п + d | [Ъп+т ~ bn) ~ Ът | < d, п,т> 1. (2.1)

Применяя к (2.1) неравенство треугольника, получим, что при всех натуральных п\ k, т выполняются соотношения

\(Ьк+т - ьк) - {Ьп+т - Ьп)\ < D, (2.2)

где D = 2d. Учитывая (1.3). при любых п,к,т> 1 из (2.2) получаем

Ък+ т Ьп+т

\(Ьк+т-Ък)-{Ьп+т-Ьп)\ = \ Е Xb.(i)~ Е XbM<D. (2.3)

i=bk+1 i=b„+1

Обозначим на время Ь* := (6*). В определении эквиаддитивно-сти двойственные базы равноправны, поэтому для любых натуральных п, к, т имеем аналогичные неравенства

Ь* h*

к+т п+т

I Е »(о- Е xb(i)\<Q

для подходящей натуральной константы Q. Иными словами

Ь* h*

к+rn п+т

sup I Е Хь(г)~ Е Xb(i)\ = Q<oo. (2.4)

п,к,т> 1 i=b*+1 г=Ь*+1

Лемма 9. Для эквиаддитивной базы b справедлива эквивалентность

(SbMm) ~ (ЬьМт). (2.5)

Доказательство. Очевидно, что {Ьья)ь(т) < {Sbt)b(m), т > 1. Поэтому, если Лемма 9 неверна, то найдутся натуральные последовательности {щ} и {тг} такие что Xb{v)~limsup,,^ ХьП >

п^ + 1 тг 1

ji t oo- Подставляя сюда последовательность {кг}, такую что

ь* ь*

Ншп^оо Е„=ьГ+1 Xb{v) = lim supn^oc Xb{v), мы при ji > Q най-

дём для каждого rrii такое кг, на котором неравенство (2.4) нарушается. □

Отсюда и из Следствия 5 вытекает

Следствие 10. Для эквиаддитивной базы Ь справедлива эквивалентность

5ь(га) ~ Ьь(тп).

Тем самым для эквиаддитивной базы Ь выполнено условие 5') Теоремы 5. [5]. согласно которой для симметрической эквивогнутой фукнии (ръ, порождённой Ъ как базой. [3]. выполняются условия 2) и 3) Теоремы 5.9 работы [4]. в обозначениях которой эти условия представляют собой эквивалентности

' 6~(в) ¿8* 1 < й < оо;

©£„»-5^, вб[0,1]. ^

В силу Замечания 8.1 эквивалентности (2.6) справедливы и для Ь* :

1 < 5 < оо;

в» А в* 8б [0,1], 1 " ;

гДе <Рь. обозначает симметрическую эквивогнутую функцию, порождённую натуральной базой Ь*. Для симметрической функции (рь Лемма 4.6. [4]. вместе с (2.6) и (2.7) влекут

(в) 1 < я < оо; . ,

По Теореме 6 и по Замечанию 8.2 симметрическая эквивогнутая фукция щ. имея эквиаддитивные (совпадающие) левую и правую базы, является субмультипликативной на полуоси [0, оо), тем самым по Замечанию 2.3, [2], она ^эквивалентна своей супремальной функции ©^(й) : (ръ ~ ©^(й). Таким образом

{

ipb(s) ~ А 1 < а < оо; . ,

<Ръ{8)Я8-*, ее [0,1]. 1 " ;

Отсюда, пользуясь формулой (4.10}. [4], выводим утверждение: Теорема 11 (см, также Теорему 3.8, [3). Заданная на [0,1] (соответственно, на [1, оо)) эквивогнутая функция ip, 0 < < 5V < 1,

т

эквимультипликативна. тогда и только тогда, когда она ^эквивалентна степенной, а именно (p(t) ™ t1*, 0 < t < 1 (соответственно, <p(t) ~ 1 < t < оо.)

Пусть теперь <р произвольная, вообше говоря, не симметрическая эквимультипликативная фунцния на [0, оо) с левой и правой и базами

и Ь™, соответственно. По Теореме б и по Замечанию 8 каждая из этих баз эквиаддитивна. Подставляя их в верхнюю и, соответственно, в нижнюю строчку (2.6) и (2.7) и вновь пользуясь формулой (4,10), [4], окончательно получаем:

Теорема 12. Заданная на полуоси [0, оо) эквивогнутая функция <р, 0 < < öv < 1, эквимулыипликативна, тогда и только тогда, когда (p(s) ™ tp(s), 0 < s < оо, где

*M=i (2.10)

rv ) | 1 < s < оо. v '

§3. Базовые таблицы и топологические инварианты МД0,1).

Обзор

Определение 4. Нижней таблицей натуральной базы b — (Ъп) (или таблицей базового сжатия) называется бесконечная по строкам и столбцам таблица натуральных чисел Хь(гг,т) := п,т>

0. Верхней таблицей базы b (или таблицей базового растяжения) называется таблица натуральных чисел %ъ{п,т) bn+m — Ьп, п,т> 0.

Цель этого параграфа - дать единобразное представление в виде предельных соотношений для верхней таблицы базы bф полученным выше, а также изучаемым в [1 - [5] весьма различным по типу ^инвариантам пространств Марнинкевича МД0,1). В силу результатов §1 и §2. а также работ [4]- [5] для целых баз отсюда будут вытекать представления ^инвариантов пространств Марнинкевича Мф(0, оо) в форме предельных соотношений для верхних таблиц левой и правой базы функции ф.

Предложение В1. (Свойство Харди-Литтлвуоа пространства Марцинкевича МДО, 1) и сепарабельность сопоставленного ему пространства Орлича L*(0,1). [2]).

Для эквивогнутой функции ф на [0,1] неравенство 7^ > 0 равносильно неравеству

lim sup %ь* (п, 1) < оо. ({НЬР)Ф <£> (Д2)„)

n>0 V '

□

Предложение В2. (а-регулярное изменение, [1], [5]). «-регулярность (0 < а < 1) изменения эквивогнутой функции ф на [0,1] имеет место, тогда и только тогда, когда для повторного предела выполняется равенство

ТП

lim lim —г—-.-г = а. (aRegVar)

п^-оо т->оо (п, т)

Предложение ВЗ. Дня того, чтобы эквивогнутая функция ф на [0,1] была субмультипликативна, необходимо и достаточно, чтобы

sup (%bo (0, m) - (n, mj) < оо. (Submult)

тп,п> 1 ^ '

Критерий супермультипликативности имеет двойственный вид. □

Эквивогнутую функция ф(£), t 6 [0,1], 5ф > 0, мы называем псев-

1

достеленной2. если функция ф^)6^ является эквивогнутой. Известно, [8]. [2], что это свойство равносильно инварианту пространства Марциикевича Мф(0,1), называемому р-выпуклостью при р = -ц. Выразим

этот инвариант в терминах верхней таблицы %ь*(п,т) базы 6* = Ьф,. Пользуясь характеризацией свойства функции быть псевдостепенной -условием 5'). [5], Теорема 5. и применяя (1.3). лемму 3 и Замечание 4, приходим к следующему критерию ^--выпуклости:

Оф

Предложение В4. Для J^-выпуклости пространства Марпннкеви-

Оф

ча Мф(0,1), > 0, необходимо и достаточно, чтобы верхняя таблица %ъ*(п,т) натуральной базы Ьф удовлетворяла условию

sup%b*(n,m) ~ limsup(п,т). (^-conv)

n>0 п—Юо ^

□

Предложение В5. ( [3, Теорема 3.7.2): [5], Замечание 11^. Для

пространства Марциикевича Мф(0,1), 8ф > 0, справедливы импликации

(-—conv) =>• (IRegVar) =>- (Submult). Оф

Импликация (Submult) =>• (^-conv), вообше говоря, неверна, [4], Пример 5.4,2. □

Из Теоремы 11, §2, для базы Ьф функции ф на [0,1] выводится условие эквимультипликативности ф в терминах таблиц:

Предложение Вб. (Критерий того, что Мф(0,1) - степенное пространство Марциикевича).

Эквивогнутая на [0,1] функция ф, 0 < < 5ф < 1, эквимультиплика-тивна, тогда и только тогда, когда

sup |Ть*>(к,т) - п,т)\ < оо. (Мф(0,1) = 0,1))

п; к, т

2в [2], [3] - экстремальная эквивогнутая функция

Последнее бывает в том и только в том случае, когда ф ^эквивалентна

степенной функции: □

Предложение В7. ( [3]. Замечание 5.2.) Пространство Марнинке-вича Мф(0,1) совпадает по составу элементов с пространством Орлича Цр{0,1), тогда и только тогда, когда ф и р взаимосопоставлены, [2], и для базы Ьф„ двойственной к ф функции ф* выполняется неравенство

оо

£ 2"^*< ОО. (Мф(0,1) = ^(0,1))

п=0

□

Будем говорить, что пространство Марцинкевича МД0,1) обладает свойством V*, если невозрастающая функция ^^ суммируема на отрезке [0,1]. Ясно, что свойство V* есть топологический инвариант пространства Марцинкевича; найдём для него выражение через базовую таблицу .

Как обычно, обозначим невозрастаюшую производную вогнутой функции ф{1) через /*(£) : /*(*) = ф'Ц)- /**(*) (0,1].

Замечание (V*). Условие /** 6 Ь\0,1)

для эквивогнутой функции ф на (0,1] равносильно тому что /*(£) е Ь(0,1), [7]. Из того, что

пространство Ьк^+Ь(0,1), будучи пространством Орлича. интерполяционно между Ь1{0,1) и Ь°°(0,1), следует, что свойство V* для МД0,1) равносильно включению МД0,1) С Ыog+ Ь(0,1).

Лемма (V*). Для того, чтобы пространство Марцинкевича Мф{0,1) обладало свойством V*. необходима и достаточна суммируемость ряда

Е ®>»-2~п>

п>1

где дьф (п) - количественная последовательность базы Ьф вогнутой функции ф.

Доказательство. Положим Дь := (2~к, 2~к+1], к > 1; := к !вкП^)Хвк, /(2) Очевидно, что

г е ь\о, 1) (/(2>)" е ь\о, 1)(/(2))** е ь\о, 1). (3.5) Обозначим Сп := Ф{2~п) = /02~ /(2)(«)^,

п > 0. По определению и в

силу невозрастания /* имеем

Е<*>»• 2~п = :оевп}• 2-"<Е Е а =

п>1 п>1 п>1 С к£Е>п т>0

<ЕЕ 2_П+1 = 2 • Eü : О G ' 2"n = 2 ■ Е ■ 2~n. (3.6)

Ck£Dn п>1 п>1

С другой стороны (fWy*(2~n) = f**(2~n) = (n ■ 2n, n> 0, значит в силу (3.5) и (3.6)

г е ь1(о, i) ^ (f^r е L\о, 1) ^ [(/<*> Л w е L\о, 1)

^Е/(2)**(2~п+1)-2~п<о°

П>1

ЕС«-1 • 2й"1 • 2-" Е^п < оо ^ E^W • 2 " < 00.

П>1 П>1 П>1

Последнюю Лемму можно переписать как

Предложение В8. Пространство Марцинкевича МД0,1) обладает свойством V*, тогда и только тогда, когда для верхней таблицы натуральной базы Ьф выполняется условие

Е^(^1)'2""<оо. (Мф(0,1) cLlog+L(0,l))

П>1

Литература

1. Меклер А. А. О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых модуляр // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 2008. Вып. 8. с. 21 — 38.

2. Меклер А. А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, I // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 2011. Вып. Ц.

с. 33 - 48.

3. Меклер А. А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, II // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 2011. Вып. Ц. с. 49 - 66.

4. Меклер А. А. О модулярах пространства Марцинкевича на [0,1] и на [0, оо), // Вестник, Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех.. Инф. 2012. Вып. 15. с. 95 - 112.

5. Меклер А. А. О модулярах пространства Марцинкевича на [0,1] и на [0, оо), II // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех.. Инф. 2012. Вып. 16. с. 104 ~ Ш-

6. Одинец В. П., Шлензак В. А. Основы выпуклого анализа. /Авторизованный перевод с польск. В.П.Одинпа при участии М.Я.Якубсона/ Под ред. В.Н.Исакова. - М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований. РХД. 2011, - 520 с.

7. Bennett С. . Sharpley R. Interpolation of Operators. Academic Press. Pure and applied mathematics, v. 129, New York - London, 1988.

8. Новиков С. И. Котин и тип функциональных пространств Лоренца // Матем. Заметки, 32(1982)2, с. 213- 221.

Summary

Mekler A. A. Multiplicativity of Marcinkiewicz Modulars. Tables of Bases

The previous study of equi-concave, sub-(super)multiplicative and equi-multiplicative modulars is continued. Topological invariants of Marcinkiewicz spaces are characterized by some relations for tables of natural bases. Keywords: equi-concave, sub-(super)multiplicative and eqm-multiplicative Marcinkiewicz modulars. their bases and tables of bases. MSC-1991: 46E30

Бременский Университет,

Поступила 18.12.2012