Научная статья на тему 'Мультипликативность модуляр Марцинкевича. Базовые таблицы'

Мультипликативность модуляр Марцинкевича. Базовые таблицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
69
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
РОСТРАНСТВА МАРЦИНКЕВИЧА И ИХ БАЗЫ / СУБ- / СУПЕР- / ЭКВИМУЛЬТИПЛИКАТИВНОСТЬ И АДДИТИВНОСТЬ / БАЗОВЫЕ ТАБЛИЦЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Меклер Александр Александрович

Устанавлены топологические инварианты суб-, супери экви­мультипликативности пространств Марцинкевича, заданных как на [0, 1], так и на [0, ж ). Дано единообразное описание этих и ранее изученных инвариантов, выраженное в форме предельных соотношений базовых таблиц.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Мультипликативность модуляр Марцинкевича. Базовые таблицы»

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер.1. Вып. 17.2013

УДК 513.88

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОСТЬ МОДУЛЯР МАРПИНКЕВИЧА. БАЗОВЫЕ ТАБЛИЦЫ

А. Меклер

Установлены топологические инварианты суб-, супер- и экви-мультипликативности пространств Марнинкевича, заданных как на [0,1], так и на [0,оо). Дано единообразное описание этих и ранее изученных инвариантов, выраженное в форме предельных соотношений базовых таблиц.

Ключевые слова: пространства Марцинкевича и их базы, суб-. супер-, экви- мультипликативность и аддитивность, базовые таблицы.

В продолжение статьи [5]. где были рассмотрены односторонние (слева и справа) суб- и супермультипликативные модуляры Марцинкевича на [0, оо), в §1 настоящей работы устанавливается. Теорема б, связь этих понятий с двусторонней суб- и супермультипликативностью модуляр. В §2 получены критерии эквимультипликативности модуляр, т.е. их одновременной суб- и супермультипликативности, Согласно теореме 11. на [0,1] это бывает, тогда и только тогда, когда модуляра эквивалентна некоторой степенной вогнутой функции; в случае же полуоси [0, оо) по Теореме 12 эквимулыипликативные модуляры представимы двумя степенными функциями, вообще говоря, с различными показателями степеней, - одной на [0,1], другой на [1,оо).

В опубликованных в Вестнике СГУ. 1, работах автора [1] - [5] топологические инварианты пространства Марцинкевича Мф(0,1) интерпретировались как инварианты натуральной базы этого пространства, выраженные в форме предельных свойств соответствующей базовой таблицы,. §3 представляет собой обзор в этих терминах всех инвариантов, рассмотренных в настоящей работе и в работах [1] - [5 .

Настоящую статью можно читать независимо от работ [1 - [5]. результаты которых мы не приводим полностью, ограничиваясь краткими

© Меклер А. А., 2013.

пояснениями и ссылками. Терминология та же (иногда - с небольшими изменениями), что и в этих работах, см, также [10]. Для удобства чтения определения некоторых основных понятий сформулированы ниже.

§1. Суб-супераддитивность и суб-супермультипликативность

Как обычно N обозначает множество всех натуральных чисел. Z -множество всех целых чисел, причём := {г £ Ъ\ г < 0}; := {г Е

Ъ\ г > 0}.

Напомним определения натуральной базы и связанных с ней объектов.

Определение 1. см. [3], Определения 1) и 2). 1. Подмножество К С N называется биинфиншпным. если как оно само, так и его дополнение N \ К суть бесконечные подмножества в N.

2. Натуральной базой называется любая строго возрастающую последовательность целых неотрицательных чисел вида Ь — {Ьа;}о</ь<оо, где Ьо = 0, а {Ьк}к> 1 образует биинфинитное подмножество в N. Его дополнение дополненное нулём и занумерованное в строго возрастающую последовательность, обозначается Ь* := {Ь*ь}о<*;<оо, К0 := 0, и называется базой Ь* двойственной с Ь. Двойственность есть инволюция в классе всех натуральных баз.

3. По натуральной базе Ь определяется её количественная последовательность

Яъ{п) :=Ьп-Ьп-и пеМ, (1.1)

а также плейс-последовательность натуральной базы 1

п-1

Рь(п) :=^Хь(г), пеИ, (1.2)

¿=о

для которых при любых т, п Е N имеют место тождества

(1.3)

Каждый из трёх объектов - натуральная база, её количественная и её плейс-последовательность, - очевидным образом определён любым из них. в том смысле, что. исходя из него, формулами (1,1) - (1,3) однозначно восстанавливаются остальные два.

[3] - сюргективная последовательность

Натуральная база, количественная последовательность которой ограничена. называется равномерной. Равномерность базы Ь равносильна положительности нижнего индекса [3]. Натуральная база Ь^ называется ~эквивалентной базе Ь^ (обозначение: Ь1 ~ Ь2), если найдётся натуральное й, такое что Ь^ < < к > 1. Если любая из двух

баз равномерна, то эти неравенства равносильны существованию такого натурального что Ь^ < Ь^ + в, < Ь^ + 2й, к > 1. Плейс- и количественные последовательности ^эквивалентных баз тоже называются ~эквивалентными (обозначение аналогичное).

Определение суб- (супер)аддитивной базы см. [3]. Определение 6. Поскольку всякая субаддитивная база равномерна. [3], а свойства с.уб-и супераддитивности двойственны, суб- (супер) аддитивность базы Ь = (|Ьп) означает существование натурального такого что выполняются неравенства

Ьп+ш < Ьп + Ьт + с1 ^соответственно. Ъп+т + (1 > Ьп + Ьтп, т > 0, (1.4)

Аналогичными неравенствами, определяется и су б- (супер) аддитивность плейс-последовательности {рь(п)}п>1 базы Ь.

Лемма 1. Натуральная база Ь субаддитивна (супераддитивна), тогда и только тогда, когда её плейс-последовательностьрь супераддитивна (соответственно, субаддитивна.}.

Доказательство. Если ръ супераддитивна, то выполняется первое неравенство в (1.4). Действительно, иначе нашлись бы натуральные последовательности пк 1" оо и/или тк 1" оо, такие что

т^+к п^+к пк+тк

]Г qъ{г) + £ дь(1) < ^ Чъ{г), к = 1,2,... (1.5)

г=1 г=1 г=1

Согласно(1,3), справедливы равенства пк + к — тк +

к = Ръ ( ЕТ=1к ; ■+ тк = РЪ ( Е^Г" ®(0). к = 1,2,... . Исполь-

зуя (1,3), (1.5). монотонность плейс-последовательностирь и её супераддитивность. получаем противоречие:

п к+тк тк+к Пк+к

Пк + тк=рь(^ ®>(0) >Рь( &(*)+&(*)) >пк + тк + 2к + (1.

г=1 г=1 г=1

Докажем супераддитивность ръ, предполагая, что выполняется первое из неравенств (1.4). Возьмём любые натуральные 2 и к и предположим, что Ът < 2 < Ьт+и Ьп < к < Ьп+1, откуда Ьт + Ъп < 2 + к <

Ьт+1 + Ьп+1, где в силу равномерности Ьт+1 + Ьп+1 - (Ьт + Ъп) < 26,. Тогда рь{з) = т1 Рь(к) = п и по монотонности рь в силу (1.4) получаем: РьО + к) + (1>рь(Ьт + Ьп) + (1>рь(Ьт+п) = т + п = рьи)+ръ(к), з,к > 1.

Аналогичными рассуждениями доказывается равносильность супераддитивности Ь и субаддитивности рь. □

Введём следующие обозначения. Дня натуральных баз Ь = (Ьп), Ь^ = (Ьп^) и любого то е N положим

Жто) := зирп>0 ЕГ=п+1 Хь(г), Ьь(т) = Нт8ирп^ос ЕГ=г^1 Хь(*); 8ь(то) := 8ирп>0(Ьп+т - Ьп), (то) = Итзирп^00(Ьи+т - Ьп):

ь(1) п+т

(5'Ь(1))ь(то) := 8ирп>оЕ."!а) Хь(0> (Ььм)ъ(т) = Нтвир Е Хь(*)-

г-°п+1 П->00 ,(1)

г—°п+1

(1.6)

Из формулы (1.3) вытекает

Следствие 2. Для любого то 6 N справедливы равенства

§ь(то) = то + (¿>ь,)ь(то), Ьь(то) = то + (£ь„)ь(то). (1.7)

Поскольку всякая натуральная база представляет собой мажорирующее (в смысле естественного упорядочения) подмножество в N. имеет место Лемма 3. Для любых двух баз Ь = (Ъп) и = выполняется

~эквивалентность по то

5ьМ ~ (5ь(1))ь(то). (1.8)

Доказательство. Из определения видно, что (¿>Ь(1 >)ь(то) < ¿?ь(то), то > 1. Зафиксируем любое то > 1 и для любого г > 1 обозначим через г^) ближайший к г элемент базы меньший г. а через г^ ближайший к г элемент

больший г. Тогда при любых г, то > 1 справедливо ЕД+1 ХьСО < Е^=Й(>) ХьСЛ- Если теперь обозначить ¿«) := < (г + т)^ := то очевидно неравенство 0 < д < то + 1. Отсюда

вытекает что Хь(0 < Е »Ш < Е-^Г »0')- Значит

Зь(т) < (Бьт)ь(т + 1), то > 1, то есть <9ь(то) ~ (5ь(1)(то))ь. □

Замечание 4. Аналогично для любой базы Ь = (Ьп) доказывается эквивалентность

Ьъ{т) ~ (ЬЬ(1))ь(т), то > 1. (1.9)

Следствие 5. Для любой натуральной базы Ь справедливы эквивалентности

вь ~ (£6„}г>, Ьь(то) Л (Ьь.)ь{т), то > 1. (1.10)

Определение 2. Рассмотрим две произвольные натуральные базы 6° := (Ь^) и b°° := Упорядоченная пара b := (b0,b°°), называется целей базой. Её плсйс- и количественной последовательностями мы называем, соответственно, пары плейс- и количественных последовательностей (рь"(т),ръ^(п)) и (дьо(т), qb°°{n)), определенные для баз b° и Ь°° формулами (1.1) и (1.2). Двойственной целой базой к целой базе b = (b0,b°°) называется целая база Ь* := Целые базы Ь« := ((Ь0)« (Ь°°)«) и Ь™ := ((b0)®, b(b°°)W) называются ^эквивалентными (обозначение: b^ ~ если одновременно (Ь°)М ~ (Ь°)(2) и ~ (Ь°°У2\ Аналогично определяется ^эквивалентность для плейс- и количественных последовательностей целых баз,

Напомним понятия ^эквивалентности / эквивогнутости функции и её суб- и супермультипликативности, см, Определение 3. [4], и Определение б, [2].

Две вещественные неотрицательные функции / и д, обе заданные на [0,1] или на [1,оо), или на всей полуоси [0, оо) называются ~эквивалентными , если для некоторого С > 1 выполняются неравенства С~хд{а) < /(£) < Сд{С~Н), - там. где они имеют смысл. Непрерывная неубывающая функция (р, </?(0) = 0, ip( 1) = 1, lim^oo ip(t) = оо, заданная на подходящей этим требованиям одной из трёх областей и ^эквивалентная там некоторой вогнутой функции называется эквиво-гнутой.

Эквивогнутая функция <р. заданная на полуоси [0, оо), или на [0,1],

или на [1, оо) называется субмультипликативной (супермультипликативной), если для подходящего С > 1, неравенство

ip{s-t) < С• tp(s)• (p(t) (соответственно, ip(s-t) > С-1 -(p(s)(smp)

выполняется там, где оно имеет смысл, Для эквивогнутой функции ф и двойственной к ней эквивогнутой функции ф+, ф*(£) ™ t > 0, суб-и супермультипликативность суть двойственные понятия.

С точностью до ^эквивалентности соотношения (smp) равносильны тому, что неравенство

(р(2т+п) < D-<p(2m)-(p(2n) (соответственно, <р(2т+п) > D"1^(2m)^(2n)).

(,smp2)

справедливо при некотором D для всех подходящих целых т, п. Прологарифмируем как обе части неравенства (smpí)., так и аргументы (р в нём по основанию 2. затем перейдём к целым частям, Тогда условие

(smpi) будет означать, что при некотором d для любых подходящих целых т, п справедливы неравенства суб- и, соответственно, супераддитивности:

p¥(m+n)<pv,(TO)+p¡p(n)+d (соответственно, р<Дто+п)>р¥,(т)+р¥,(п)-(/у

(sad)

Займёмся случаем эквивогнутых функций на [0, оо). Как показано в [4], Определения 4.1 и 4.2, таким функциям (р взаимно однознач-

т а * ^

но с точностью до ~<->-~эквивалентностеи соответствуют целые базы

= (6°, б^3), где натуральные базы и Ь^3 определены, соответственно, плейс-последовательностями \р~(к)\ и здесь = [log2</?(2~fe)], = [log2 <^(2fe)], к > 0, и [г] обозначает целую часть вешественного числа г. Перепишем первое из неравенств (sad/, применяя функцию <г(,г) для обозначения знака целого числа z : s(z) — ^ — ■щ, z ф 0; с(0) = 0. Тогда получим, что субмультипликативность <р равносильна сушестванию такого натурального d, для которого при всех целых т,п выполняются неравенства

р«т+п\т + п)< р$т\т) + р«п\п) + d. (1.11)

Покажем, что выполнение (1.11) равносильно одновременной субаддитивности базы и супераддитивности базы Ь™.

Поскольку для т, п < 0 неравенства (1.11) означают, что последовательность р~ (к) является субаддитивной, то плейс-последовательность (рг,о(|А;|) = супераддитивна, откуда по Лемме 1 база яв-

ляется субаддитивной. Аналогично для т,п > 0 в силу (1.11) последовательность Рр(к) субаддитивна, значит и плейс-последовательность {Ръ$>(к) = Рр(к)} субаддитивна, откуда по Лемме 1 база b™ супераддитивна,

Итак, субаддитивность Щ, и одновременная супераддитивность Ъ™ суть необходимые условия для того, чтобы эквивогнутая функция соответствующая целой базе bv = (Щ,, Ь^3) и ^эквивалентная ip: [4]. была субмультипликативной.

Покажем, что эти условия и достаточны, т. е. при их выполнении неравенства (1.11) выполняются, Это очевидно, когда тип одинакового знака, Значит достаточно рассмотреть случаи разных знаков чисел т и п. Ввиду их равноправия в (sadj можно считать, что т < 0 > п. При этом, когда т + п > 0 неравенства (1,11) выполняться не могут, ибо в этом случае |m + n| — т + п, \т\ — —т и выполнение неравенства (1,11) означало бы. что ръ°°(т + п) < — Рьо(|то|) + ръ°°{п) + d, откуда

Рь^(т + п) +рьо(т) < Ръ<$>{п) + чего быть не может по монотонности и неограниченности плейс-последовательности.

Если же т + п < 0, то неравенства (1.11) выполненяются всегда. Действительно, они означают, что р~(т + п) < р~{т) + р^(п) + <1, или, равносильно. —рьо{\т + п\) < —рь°,(+ Ръ™{п) + (I, и остаётся вновь воспользоваться монотонностью плейс-последовательности натуральной базы Ь°.

С учётом двойственности получена

Теорема 6. Эквивогнутая функция р. заданная на полуоси [0, оо), субмультипликативна (соответственно, супермультипликативна), тогда и только тогда, когда, одновременно выполнены два условия:

1. Левая база субаддитивна (соответственно, супераддитивна).

2. Правая база Ь^ супераддитивна (соответственно, субаддитивна). □

§2. Эквимультипликативные функции и эквиаддитивные базы

Определение 3. Эквивогнутую функцию, заданную на [0, оо) (или на [0,1], или на [1,оо)) будем называть эквимулътиплиштивной. если в области своего задания она одновременно суб- и супермультипликативна,

Замечание 7. Из Теоремы б вытекает, что эквивогнутая функция на [0, оо) является эквимультипликативной, тогда и только тогда, когда она эквимультипликативна как на [0,1], так и на [1, оо).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Определение 4. Одновременно суб- и супераддитивную целую (натуральную) базу будем называть эквиаддитивной целой (соответственно, натуральной) базой.

Замечание 8. 1. Всякая целая (натуральная) база является эквиаддитивной, тогда и только тогда, когда такой же является двойственная ей база. Поэтому для индексов, [3], любой эквиаддитивной натуральной базы Ь выполняются неравенства 0 < < 5ь < 1; 0 < < ¿¡>» < 1. 2. Целая база является эквиаддитивной, тогда и только тогда, когда обе её натуральные базы,- левая и правая. - являются эквиаддитивными,

Рассмотрим ближе оба неравенства (1.4), определяющие (суб-) супераддитивную натуральную базу. Увеличение (1 в них может их только усилить, поэтому можно считать, что в определении эквиаддитивной базы одно и то же натуральное <1 обслуживает и суб-, и супераддитивность. Иными словами для того, чтобы база Ь была эквиаддитивной, необходимо и достаточно, чтобы нашлось натуральное й, такое что Ъп+т-а <ЬП + Ьт< Ьп+т+(1\ п + т> Ф, т,п> 1. В силу равномерности

субаддитивпой. а значит и эквиаддитивной базы, это условие равносильно существованию натурального d, такого что для всех элементов базы b справедливо неравенство

bn+m -d<bn + bm< Ьп+7п + d | [Ъп+т ~ bn) ~ Ът | < d, п,т> 1. (2.1)

Применяя к (2.1) неравенство треугольника, получим, что при всех натуральных п\ k, т выполняются соотношения

\(Ьк+т - ьк) - {Ьп+т - Ьп)\ < D, (2.2)

где D = 2d. Учитывая (1.3). при любых п,к,т> 1 из (2.2) получаем

Ък+ т Ьп+т

\(Ьк+т-Ък)-{Ьп+т-Ьп)\ = \ Е Xb.(i)~ Е XbM<D. (2.3)

i=bk+1 i=b„+1

Обозначим на время Ь* := (6*). В определении эквиаддитивно-сти двойственные базы равноправны, поэтому для любых натуральных п, к, т имеем аналогичные неравенства

Ь* h*

к+т п+т

I Е »(о- Е xb(i)\<Q

для подходящей натуральной константы Q. Иными словами

Ь* h*

к+rn п+т

sup I Е Хь(г)~ Е Xb(i)\ = Q<oo. (2.4)

п,к,т> 1 i=b*+1 г=Ь*+1

Лемма 9. Для эквиаддитивной базы b справедлива эквивалентность

(SbMm) ~ (ЬьМт). (2.5)

Доказательство. Очевидно, что {Ьья)ь(т) < {Sbt)b(m), т > 1. Поэтому, если Лемма 9 неверна, то найдутся натуральные последовательности {щ} и {тг} такие что Xb{v)~limsup,,^ ХьП >

п^ + 1 тг 1

ji t oo- Подставляя сюда последовательность {кг}, такую что

ь* ь*

Ншп^оо Е„=ьГ+1 Xb{v) = lim supn^oc Xb{v), мы при ji > Q най-

дём для каждого rrii такое кг, на котором неравенство (2.4) нарушается. □

Отсюда и из Следствия 5 вытекает

Следствие 10. Для эквиаддитивной базы Ь справедлива эквивалентность

5ь(га) ~ Ьь(тп).

Тем самым для эквиаддитивной базы Ь выполнено условие 5') Теоремы 5. [5]. согласно которой для симметрической эквивогнутой фукнии (ръ, порождённой Ъ как базой. [3]. выполняются условия 2) и 3) Теоремы 5.9 работы [4]. в обозначениях которой эти условия представляют собой эквивалентности

' 6~(в) ¿8* 1 < й < оо;

©£„»-5^, вб[0,1]. ^

В силу Замечания 8.1 эквивалентности (2.6) справедливы и для Ь* :

1 < 5 < оо;

в» А в* 8б [0,1], 1 " ;

гДе <Рь. обозначает симметрическую эквивогнутую функцию, порождённую натуральной базой Ь*. Для симметрической функции (рь Лемма 4.6. [4]. вместе с (2.6) и (2.7) влекут

(в) 1 < я < оо; . ,

По Теореме 6 и по Замечанию 8.2 симметрическая эквивогнутая фукция щ. имея эквиаддитивные (совпадающие) левую и правую базы, является субмультипликативной на полуоси [0, оо), тем самым по Замечанию 2.3, [2], она ^эквивалентна своей супремальной функции ©^(й) : (ръ ~ ©^(й). Таким образом

{

ipb(s) ~ А 1 < а < оо; . ,

<Ръ{8)Я8-*, ее [0,1]. 1 " ;

Отсюда, пользуясь формулой (4.10}. [4], выводим утверждение: Теорема 11 (см, также Теорему 3.8, [3). Заданная на [0,1] (соответственно, на [1, оо)) эквивогнутая функция ip, 0 < < 5V < 1,

т

эквимультипликативна. тогда и только тогда, когда она ^эквивалентна степенной, а именно (p(t) ™ t1*, 0 < t < 1 (соответственно, <p(t) ~ 1 < t < оо.)

Пусть теперь <р произвольная, вообше говоря, не симметрическая эквимультипликативная фунцния на [0, оо) с левой и правой и базами

и Ь™, соответственно. По Теореме б и по Замечанию 8 каждая из этих баз эквиаддитивна. Подставляя их в верхнюю и, соответственно, в нижнюю строчку (2.6) и (2.7) и вновь пользуясь формулой (4,10), [4], окончательно получаем:

Теорема 12. Заданная на полуоси [0, оо) эквивогнутая функция <р, 0 < < öv < 1, эквимулыипликативна, тогда и только тогда, когда (p(s) ™ tp(s), 0 < s < оо, где

*M=i (2.10)

rv ) | 1 < s < оо. v '

§3. Базовые таблицы и топологические инварианты МД0,1).

Обзор

Определение 4. Нижней таблицей натуральной базы b — (Ъп) (или таблицей базового сжатия) называется бесконечная по строкам и столбцам таблица натуральных чисел Хь(гг,т) := п,т>

0. Верхней таблицей базы b (или таблицей базового растяжения) называется таблица натуральных чисел %ъ{п,т) bn+m — Ьп, п,т> 0.

Цель этого параграфа - дать единобразное представление в виде предельных соотношений для верхней таблицы базы bф полученным выше, а также изучаемым в [1 - [5] весьма различным по типу ^инвариантам пространств Марнинкевича МД0,1). В силу результатов §1 и §2. а также работ [4]- [5] для целых баз отсюда будут вытекать представления ^инвариантов пространств Марнинкевича Мф(0, оо) в форме предельных соотношений для верхних таблиц левой и правой базы функции ф.

Предложение В1. (Свойство Харди-Литтлвуоа пространства Марцинкевича МДО, 1) и сепарабельность сопоставленного ему пространства Орлича L*(0,1). [2]).

Для эквивогнутой функции ф на [0,1] неравенство 7^ > 0 равносильно неравеству

lim sup %ь* (п, 1) < оо. ({НЬР)Ф <£> (Д2)„)

n>0 V '

Предложение В2. (а-регулярное изменение, [1], [5]). «-регулярность (0 < а < 1) изменения эквивогнутой функции ф на [0,1] имеет место, тогда и только тогда, когда для повторного предела выполняется равенство

ТП

lim lim —г—-.-г = а. (aRegVar)

п^-оо т->оо (п, т)

Предложение ВЗ. Дня того, чтобы эквивогнутая функция ф на [0,1] была субмультипликативна, необходимо и достаточно, чтобы

sup (%bo (0, m) - (n, mj) < оо. (Submult)

тп,п> 1 ^ '

Критерий супермультипликативности имеет двойственный вид. □

Эквивогнутую функция ф(£), t 6 [0,1], 5ф > 0, мы называем псев-

1

достеленной2. если функция ф^)6^ является эквивогнутой. Известно, [8]. [2], что это свойство равносильно инварианту пространства Марциикевича Мф(0,1), называемому р-выпуклостью при р = -ц. Выразим

этот инвариант в терминах верхней таблицы %ь*(п,т) базы 6* = Ьф,. Пользуясь характеризацией свойства функции быть псевдостепенной -условием 5'). [5], Теорема 5. и применяя (1.3). лемму 3 и Замечание 4, приходим к следующему критерию ^--выпуклости:

Оф

Предложение В4. Для J^-выпуклости пространства Марпннкеви-

Оф

ча Мф(0,1), > 0, необходимо и достаточно, чтобы верхняя таблица %ъ*(п,т) натуральной базы Ьф удовлетворяла условию

sup%b*(n,m) ~ limsup(п,т). (^-conv)

n>0 п—Юо ^

Предложение В5. ( [3, Теорема 3.7.2): [5], Замечание 11^. Для

пространства Марциикевича Мф(0,1), 8ф > 0, справедливы импликации

(-—conv) =>• (IRegVar) =>- (Submult). Оф

Импликация (Submult) =>• (^-conv), вообше говоря, неверна, [4], Пример 5.4,2. □

Из Теоремы 11, §2, для базы Ьф функции ф на [0,1] выводится условие эквимультипликативности ф в терминах таблиц:

Предложение Вб. (Критерий того, что Мф(0,1) - степенное пространство Марциикевича).

Эквивогнутая на [0,1] функция ф, 0 < < 5ф < 1, эквимультиплика-тивна, тогда и только тогда, когда

sup |Ть*>(к,т) - п,т)\ < оо. (Мф(0,1) = 0,1))

п; к, т

2в [2], [3] - экстремальная эквивогнутая функция

Последнее бывает в том и только в том случае, когда ф ^эквивалентна

степенной функции: □

Предложение В7. ( [3]. Замечание 5.2.) Пространство Марнинке-вича Мф(0,1) совпадает по составу элементов с пространством Орлича Цр{0,1), тогда и только тогда, когда ф и р взаимосопоставлены, [2], и для базы Ьф„ двойственной к ф функции ф* выполняется неравенство

оо

£ 2"^*< ОО. (Мф(0,1) = ^(0,1))

п=0

Будем говорить, что пространство Марцинкевича МД0,1) обладает свойством V*, если невозрастающая функция ^^ суммируема на отрезке [0,1]. Ясно, что свойство V* есть топологический инвариант пространства Марцинкевича; найдём для него выражение через базовую таблицу .

Как обычно, обозначим невозрастаюшую производную вогнутой функции ф{1) через /*(£) : /*(*) = ф'Ц)- /**(*) (0,1].

Замечание (V*). Условие /** 6 Ь\0,1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

для эквивогнутой функции ф на (0,1] равносильно тому что /*(£) е Ь(0,1), [7]. Из того, что

пространство Ьк^+Ь(0,1), будучи пространством Орлича. интерполяционно между Ь1{0,1) и Ь°°(0,1), следует, что свойство V* для МД0,1) равносильно включению МД0,1) С Ыog+ Ь(0,1).

Лемма (V*). Для того, чтобы пространство Марцинкевича Мф{0,1) обладало свойством V*. необходима и достаточна суммируемость ряда

Е ®>»-2~п>

п>1

где дьф (п) - количественная последовательность базы Ьф вогнутой функции ф.

Доказательство. Положим Дь := (2~к, 2~к+1], к > 1; := к !вкП^)Хвк, /(2) Очевидно, что

г е ь\о, 1) (/(2>)" е ь\о, 1)(/(2))** е ь\о, 1). (3.5) Обозначим Сп := Ф{2~п) = /02~ /(2)(«)^,

п > 0. По определению и в

силу невозрастания /* имеем

Е<*>»• 2~п = :оевп}• 2-"<Е Е а =

п>1 п>1 п>1 С к£Е>п т>0

<ЕЕ 2_П+1 = 2 • Eü : О G ' 2"n = 2 ■ Е ■ 2~n. (3.6)

Ck£Dn п>1 п>1

С другой стороны (fWy*(2~n) = f**(2~n) = (n ■ 2n, n> 0, значит в силу (3.5) и (3.6)

г е ь1(о, i) ^ (f^r е L\о, 1) ^ [(/<*> Л w е L\о, 1)

^Е/(2)**(2~п+1)-2~п<о°

П>1

ЕС«-1 • 2й"1 • 2-" Е^п < оо ^ E^W • 2 " < 00.

П>1 П>1 П>1

Последнюю Лемму можно переписать как

Предложение В8. Пространство Марцинкевича МД0,1) обладает свойством V*, тогда и только тогда, когда для верхней таблицы натуральной базы Ьф выполняется условие

Е^(^1)'2""<оо. (Мф(0,1) cLlog+L(0,l))

П>1

Литература

1. Меклер А. А. О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых модуляр // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 2008. Вып. 8. с. 21 — 38.

2. Меклер А. А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, I // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 2011. Вып. Ц.

с. 33 - 48.

3. Меклер А. А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, II // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 2011. Вып. Ц. с. 49 - 66.

4. Меклер А. А. О модулярах пространства Марцинкевича на [0,1] и на [0, оо), // Вестник, Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех.. Инф. 2012. Вып. 15. с. 95 - 112.

5. Меклер А. А. О модулярах пространства Марцинкевича на [0,1] и на [0, оо), II // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Мат., Мех.. Инф. 2012. Вып. 16. с. 104 ~ Ш-

6. Одинец В. П., Шлензак В. А. Основы выпуклого анализа. /Авторизованный перевод с польск. В.П.Одинпа при участии М.Я.Якубсона/ Под ред. В.Н.Исакова. - М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований. РХД. 2011, - 520 с.

7. Bennett С. . Sharpley R. Interpolation of Operators. Academic Press. Pure and applied mathematics, v. 129, New York - London, 1988.

8. Новиков С. И. Котин и тип функциональных пространств Лоренца // Матем. Заметки, 32(1982)2, с. 213- 221.

Summary

Mekler A. A. Multiplicativity of Marcinkiewicz Modulars. Tables of Bases

The previous study of equi-concave, sub-(super)multiplicative and equi-multiplicative modulars is continued. Topological invariants of Marcinkiewicz spaces are characterized by some relations for tables of natural bases. Keywords: equi-concave, sub-(super)multiplicative and eqm-multiplicative Marcinkiewicz modulars. their bases and tables of bases. MSC-1991: 46E30

Бременский Университет,

Поступила 18.12.2012

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.