О модулярах Марцинкевича на [0,1] и на [0, ∞)II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 16.2012

УДК 513.88

О МОДУЛЯРАХ МАРЦИНКЕВИЧА

НА [0,1] И НА [0, оо) - II

А. А. Меклер

В работе продолжается изучение связи между свойствами мо-дуляры быть субмультипликативной; псевдостепенной; иметь регулярное изменение. Основными результатами являются Теорема 5 и Теорема 10, характеризующие р-выпуклость пространств Марцинкевича/Лоренца на [0,1]. Библиогр. 7 н азв

Ключевые С-У^ 6 $ • ПСбВДОСТбПб ННЫб • суб- (супер) мультипликативные эквивогнутые функции.

Используемые здесь терминология и обозначения даны в приводимых по ходу изложения ссылках и содержатся частично в [2], но главным образом - в статье [7], продолжением которой является настоящая работа, а также в более ранних статьях автора [4] — [6], опубликованных, как и [7], в предыдущих выпусках Вестника Сыктывкарского Университета.

Работа состоит из двух параграфов. Теорема 3 в первом из них уточняет критерий регулярного изменения симметрической эквивогнутой функции на [0, оо), который для функций на [0,1] сформулирован в терминах базы в Теореме 5 из [4]. Теорема 5, главный результат §1, усиливает теорему 5-9 из [7], показывая, что среди пяти её равносильных условий четвёртое и пятое содержат лишнее требование. Этот факт позволяет дать прозрачную интерпретацию в терминах баз свойству симметрических эквивогнутых функций, [5] - [6], быть ПССВ^ОСТбПбННЫ"™ ми, [7]. А именно, для выполнения этого свойства база функции должна быть уплотняющейся, см. Определение 2, §1.

Теорема 10, основной результат §2, устанавливает субмультипликативность слева всякой заданной на полуоси псевдостепенной эквиво-гутой функции, см. Определение 4, §2.

(с) Меклер А. А., 2012.

§1. Эквивогнутые функции: симметрические, регулярного изменения и псевдостепенные

Определение 1. Отображение, определённое на множестве всех нормирующих функций формулой (3.6), [7]:

Ш ■•= * € (0,оо),

мы называем симметрией.

В [7] отмечалось, что симметрия есть инволюция на подмножестве всех эквивогнутых функций на [0, оо).

Следующие утверждения дополняют Лемму 4.5, [7]. Лемма 1,

1). £|°(s) = £°(s), 0 < £ < оо, 2). ef(s) = 6%(s), 0 < s < оо. Доказательство.

1). £|°(s) ;= lim supi_>.00 ^ = limsup^ Щ = (w = при 0 < s < оо имеем : t —У оо -Ф^ w —У — lim supw_^0 i— Аналогично

2). ©|°(s) ;= supt>1> =supt>1> ç^fry =

sup / 0<*<oo.n

Теперь, поскольку (sa) = sa, 0 < s < оо, то отсюда и из Леммы 4 - 5 у |7j у вытбк&бх

Следствие 2» Для эквивогнутой на полуоси [0, оо) функции £, и для: любого a : 0 < a < 1, равносильны эквивалентности

Тп+га У h (i)

limsup £oC(s) - £oo ™ sa ^ £0 (P°)

n-^oc ТП

liminf^E^r+1 XbAj) a

---5— ~ a, m >0, 0 < 6- < oo,

m

откуда логарифмированием условий, лежащих в определении свойств

т

Р® и регулярности изменения в нуле (соответственно, на бесконечности, [4], [5]) для симметрической функции i, при т > О имеем:

п-\-т га+то

Ехь50') lim sup

1- ■ г i=n+i в _ / пП\ _ / ппо\ п—ЮО j=n+l а

limmf--(Р") ^ £ С (Р™) о----~ а.

n^oo т гп

(1)

□

Напомним, что симметрической называется ^инвариантная по отношению к симметрии эквивогнутая функция, т.е. такая что £(i)

t > 0, см. Определение 3.3, [7]. По Лемме 4.2 эквивогнутая функция ц симметрическая, тогда и только тогда, когда её правая и левая базы ^эквивалентны: Ъ™ Таким образом верна

Теорема 3. При любом а? 0 < а < 1, для симметрической эквиво-гнутой функции £ на [0, оо) с базой ft® — Ь|° := b^ следующие условия равносильны*

1). В нуле и на бесконечности £ имеет регулярное изменение с показа-

TOJTOJVt Ö у

2). Существует двойной предел lim^^ Ит,^^ > Равнь™

Hmiiifn^ooEJ'-ii+iXb.Ü) а л

3). -^-т > 0;

4) .-^-— ~ а, т > 0.

Схема доказательства.

2) : Теорема 5, [4];

2) =>- 3) : 2) -ФФ- (Р°), [4]; 1) 2) и первая равносильность в (1);

3) 4) : вторая и третья равносильности в (1);

4) 1) : прологарифмированное условие £ <G (P«), [3]. □

Замечание 4. 1. Любое из условий 1) — 4) влечёт наличие базы

7 а 7 ~ Hnin^oo Yllln+I Xb(j) т , rp

о для которой существует -- ~ а (ср. с 1еоремои

5, [3]).

2, Из определений двойственной функции, двойственной базы и п.2) сразу вытекает, что эквивогнутая функция \ имеет регулярное изменение с показателем а7 тогда и только тогда, когда двойственная функция X* имеет регулярное изменение с показателем 1 — а.

Далее мы используем понятие (двусторонней) суб-(супер) мультипликативности, [5]: нормирующая функция £ на [0, оо) называется суб-(супер)мультипликативной, если найдётся константа с > 0, такая что

для любых 3 у ^ ^ 0 справедливо

£(5 ' 0 < • • £(£), соответственно, > с - £(з) •£(£).

Перейдём к нашей главной цели. Следующее утверждение сформулировано в [7] как Теорема 5.9.

Пусть ( симметрическая функция, 0 < < < 1, и пусть Ь|°, Ь® обозначают её правую и, соответственно, левую базы; £ Щ . Следующие условия равносильны:

1). £ псевдостепенная;

2). 1<£<ос;

3). 0 < 5* < 1;

4). 6|°(я) ™ £|°(я) ™ 1 < 5 < оо;

5). 5ь|о(А;) £ Ьь^(к) & к • к > 1.

Теорема В последних двух условиях от вторых ™ и, соответственно, ~эквивалентиостей можно освободиться. Иными словами условия 4) и 5) можно заменить, соответственно, условиями

4') ; 62° (в) ~ £°°(в), 1 < ^ < оо, и 5') ; 56«(А;) ~ Ььг(к), к> 1,

каждое из которых равносильно тому, что симметрическая функция ц является псевдостепенной (ср. с Теоремой 2.5, [7]).

Доказательство. Поскольку между собой условия 4') и 5') равносильны (см. Следствие 2.3, [6]), то достаточно доказать справедливость импликации 4') 2); обратная импликация содержится в импликации 1) 4) Теоремы 5.9.

По Теореме 5, [4], Лемме 1.10, [6] и Лемме 4.6, [7], обе субмульти-

ПЛИК8/ТИБНЫ6 Нс1 ВС611 ПОЛЛ ОСИ

функции г^т и ^ £® имеют регулярное изменение на [0,1] и, тем самым, по сформулированной выше Теореме 3 - на [1, оо). То есть найдутся числа и ао«,, такие что

ЭКБИБЕЛСНТНОСТИ Х^роо 3 ^ 3 ^ у X ^ $ ^ ОО у ВЫПОЛНИ-

ются на всей полуоси. Ясно, что в силу ^эквивалентности ™ £|° справедливо равенство ск@ = а^х.

По Лемме 2.3, [5], эквивалентность бе, ™ в/ имеет место для субмультипликативной функции б с па [1, оо), значит по определению верх-

него индекса = Ит^^ —^^— = нт., ,.ч, = По той же

причине для субмультипликативной функции £?° в силу эквивалентно

то т log2®£°o(s)

стей ~ £|° ~ справедливы равенства = lim, ,.v —— =

lim^^ — откуда из формул (4.3) и (4.5), [7], и из Следствия

2.3, [6], следуют равенства

— — — — óg.

оо

Для субмультипликативных и ^эквивалентных функций 6 с и £| снова пользуясь Теоремой 5, [4], Леммой 1.10, [6] и Теоремой 3, получаем _ /Т^ £ £Щ(з), а е [1,оо). Отсюда по Лемме 2.3, [5],

вт ЙГ т бе

Таким образом в силу доказанной импликации 4)=>1) Теоремы 5.9,

[7], а также формул на стр. 79, [1], применённых к эквивогнутой функ-

1

ции £^00(5), заключаем, что функция (£© ^(з) — -2°° 1 (з) является

1

эквивогнутой и для субмультипликативной функции Сг(з) := (©|(в))^ выполняются соотношения

™ еа{з) ~ 5, * > 1; 6а = 1. (2)

1

Так как функция (б^)3? субмультипликативна, то по формулам (3.4), [7],

Отсюда и из (2) ©^(з) ™ (©^(й))^ ™ в*5«, 5 > 1, что и доказывает

выполнение импликации 4') >- 2) для □

Определение 2, Базу Ъ = (Ъп) назовём уплотняющейся, если существует натуральное й, для которого при любых натуральных т, п найдётся число п', п' = п'(т) > п, такое что

п+т п'+т+й?

Ех.< £ (5")

г=п+1 г=п'+1

Это понятие позволяет переформулировать условие 5') Теоремы 5

Теорему 6. Симметрическая функция ( является псевдостепеннои, тогда и только тогда, когда имеет уплотняющуюся базу />«.

§2. Аналлагматические эквивогнутые функции. Односторонне суб- и супермультипликативные эквивогнутые функции

В [5] бвшо рассмотрено отображение инверсии /4 :

Шй 0<£<оо,

являющееся инволюцией как на множестве нормирующих, так и на множестве эквивогнутых функций.

Определение 3. Эквивогнутая функция £ на (0, сю) называется

т

апаллагматическощ если она ^инвариантна относителоно инверсии: 4 ~ <;-

Из этого определения и из формул (4.1), [7], вытекает Лемма 7, Эквивогнутая функция ц является аналлагматической, тогда и только тогда, когда £ .

Из конструкции определения 4.2, [7], следуют те же выводы для аналлагматических функций, что и для симметрических:

1) Любая эквивогнутая функция £ взимно однозначно определяется парой аналлагматических, левая и правая базы которых суть, соответственно, и Эти две аналлогматические функции мы назыаем аналлагматинескими скобками £ (по аналогии с симметриче-скими скобками [7]).

2)Аналогично симметрическим двойственные эквивогнутые функции могут быть аналлагматическими лишь одновременно.

Определение 4, Нормирующую функцию £ на [0, оо) будем называть суб-(супер) мультипликативной слева, если найдётся константа с > 0,

т&к&я "что для любых, ~Ь СЕ 1] справедливо

' 0 £ с • £(з) • £(£), соответственно, • £) > с • £(з) •£(£).

Аналогично определяется суб-(супер)мультипликативная справа, (т.е. для / > 1) эквивогнутая функция. Очевидно, что эквивогнутая функция субмультипликативна слева или справа, тогда и только тогда, когда двойственная к ней функция супермультипликативна там же.

Легко видеть, что оба вида односторонней суб- (супер)мультипликативности, - слева и справа, - эквивогнутой функции £ равносильны суб- (супер)аддитивности

вв бэЗЫ? СООТВвтетВвННО у В Нуле - Ьс II Нс1

бесконечности - Лемма 3,5, [6]. Из предидущего очевидным образом вытекают

Лемма 8. Симметрическая функция ( су б- (супер) мультипликативна слева (справа), тогда и только тогда, когда она супер-(суб)мультипликативна справа (соответственно, слева), что в свою очередь равносильно тому, что двойственная функция супер-(суб)мультипликативна слева (соответственно, справа).

Лемма 9. Аналлагматическая функция ( лишь одновременно, - слева и справа, - может быть суб- или супермультипликативна. В этом и только в этом случае двойственная к ней функция является супер-или субмультипликативной также одновременно слева и справа.

Теорема 10. Заданная на полуоси псевдостепенная функция субмультипликативна слева.

Доказательство. Пусть для псевдостепенной функции ср функции ср° и (р°° суть её левая и правая симметрические скобки, и пусть для определённости шах 7)". ] = <>". По теореме 5.7 это означает, что симметрическая функция (р° - псевдостепенная. В силу условия 4) Теоремы 5.9, [7], <р° есть функция регулярного изменения. Поэтому имеющая

единичный верхний индекс эквивогнутая функция := {(р0)'

^у очевидно у 1с1 К>^ЖкО функция регулярного изменения. Из Теоремы 3.7.2), [6], теперь следует, что £ является субмультипликативной СЛСВН* 31СВИВ0 гнутой функцией. Очевидно, что тогда такой же будет и =

В этом рассуждении мы меняем ролями и ср°°, если тах^, — □

Замечание 11.1, Для пространств Марцинкевича на [0,1] из доказанной теоремы следует, что их р-вогнутость, [7], влечёт субмультипликативность задающей эквивогнутой функции.

2, Всякая односторонне суб- или супермультипликативная эквивогнутая функция ( на полуоси имеет регулярное изменение. Действительно, для субмультипликативной функции это следует из [6] и Теоремы 3. Отсюда же, а также из [5] и Замечания 4.2) этот вывод следует и для супер-мультипликативной эквивогнутой функции.

3. Покажем, что субмультипликативная и справа, и слева эквивогнутая функция не

обяЗсПНс!' быТЬ ДВуСТО]ЭОТТН6 субмультипликативной. Возьмём любую субмультипликативную слева эквивогнутую функцию £ (по предидущей теореме таковая найдётся), такую что ф <5° и построим эквивогнутую функцию <р по её базам := Щ, Ь^ := Щ^, как это опи-Сс1НО В

[7]. Тогда по лемме 8 аналлагматическая функция (р является и слева, и справа субмультипликативной, но двусторонне субмульти-

пликативной быть не может. Действительно, по Теореме 3.7.1), [6], чр должна иметь регулярное изменение и в нуле, и на бесконечности, но показатели при этом оказываются различными, что противоречит Теореме 3.

Литература

1. Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М., Наука, 1978. - 400 с.

2. Одинец В, П., Шлензак В, А, Основы выпуклого анализа. /Авторизованный перевод с польск. В.П.Одинца при участии М.Я.Якубсона/ Под ред. В.Н.Исакова. - М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований. - 520 с.

3. Abakumov Е. V., Mekler A. A. Concave Regularly Varying Leader for Equiconcave Functions, J. Math. Anal. Appl., 187(1994)3, pp. 943-951.

4. Меклер А. А. О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых .модуля]> // Вестн. Сыктъшкарск. ун-та. Сер. 1. Вып. 8. 2008. с. 27- 38.

5. Меклер А, А, Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, I // Вестн. Сыктмвкарск. ун-та. Сер. 1. Вып. Ц. 2011. с. 32-46.

6. Меклер А» А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, II // Вестн. Сыктывкарск. ун-т,а. Сер. 1. Вып. Ц- 2011. с. 47-61.

7. Меклер А» А. О модулярах пространства Марцинкевича на [0,1] и на [0, оо) // Вестн. Сыктывкарск. ун-та. Сер. 1. Вып. 15. 2012. с. 95-112.

Summary

IV^cklcr ^V»■ ♦ On Marcmkiewicz modulärs on [Ö? 1J ■and ^ oo^

Some theorems on equi-concave, sub-multiplicative and pseudo-power modulars improve and add the corresponding results of the previous paper. Keywords: equi-concave7 sub-multiplicative and pseudo-power of Marcinkie-wicz modulars. MSC-1991: 46E30

Бремепский Университет Поступила 18-09-2012