Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №4(44)•

МАТЕМАТИКА

УДК 517.982.27

КРИТЕРИЙ СЕПАРАБЕЛЬНОСТИ ЭКСТРАПОЛЯЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА1

© 2006 К.В.Лыков2

В работе [1] предложен новый подход к определению экстраполяционного пространства. Там же рассмотрена задача описания таких пространств, а также приложения. В настоящей работе исследуются вопросы о сепарабельности и максимальности экстраполяционного пространства. Приведены необходимые и достаточные условия в терминах параметра, определяющего пространство.

1. Введение, предварительные замечания и вспомогательные леммы

Расмотрим идеальные пространства функций на отрезке [0,1], норма в которых определяется Ьр-нормами в следующем смысле.

Определение 1.1. Пространство Е измеримых функций на отрезке [0,1] будем называть экстраполяционным с параметром Р и писать

Е = £е ,

если

с|НЕ < \\W-WpWf < С\\ ■ 1Е, С > с > 0.

Здесь || ■ \\Р — обычная Ьр-норма, а || ■ ||Р — норма функции ^(р) = р) = || ■ \\Р в банаховом идеальном пространстве Р функций на [1, ^).

В работах [1-3] показано, что Хр — банахово пространство, исследован вопрос о совпадении экстраполяционных пространств с известными идеальными пространствами (пространствами Орлича, Лоренца, Марцинкевича), рассмотрены приложения к теории сходимости ортогональных рядов.

Если ^ Р, то Хр состоит лишь из нуля. Поэтому всюду в дальнейшем мы предполагаем, что с Р .В этом случае все пространства Хр будут симметричными (перестановочно-инвариантными) пространствами. Это означает, что равноизмеримые функции одновременно принадлежат или не принадлежат пространству,

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором С.В. Асташкиным.

2Лыков Константин Владимирович (alkv@list.ru), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

и, в первом случае, имеют равные нормы. Под равноизмеримостью двух функций х = х(0 и у = у(0 подразумевается совпадение их функций распределения:

для всех т > 0. Здесь ц — обычная мера Лебега. С теорией и основными фактами симметричных пространств можно ознакомиться по монографиям [4-5]. Примерами симметричных пространств могут служить пространства Lp, пространства Лоренца Lpq, пространства Орлича. Основные факты о идеальных пространствах (решетках) изложены в [6].

В случае, когда параметр экстраполяции F есть пространство Ltt с весом, экстраполяционные пространства рассматривались также Е.И. Островским в работах [7-8]. В работе [8] такие пространства названы моментными (moment spaces). Там же рассмотрены приложения к рядам и преобразованию Фурье, сингулярным интегральным операторам и теории мартингалов. В связи с этими приложениями в [8] приведена характеризация сепарабельной части моментного пространства. В настоящей работе мы рассмотрим вопрос о характеризации всех сепарабельных экстраполяционных пространств в терминах свойств параметра F, а также аналогичный вопрос о характеризации всех максимальных экстраполяционных пространств. Под максимальностью симметричного пространства E мы подразумеваем совпадение (изоморфизм) E с вторым ассоциированным пространством E". Напомним, что ассоциированное пространство E' состоит из всех измеримых функций y = y(t), для которых

Вообще, под вложением одного банахова пространства в другое всюду далее подразумевается непрерывное вложение, а под совпадением двух пространств мы будем иметь ввиду изоморфизм. Для произвольного симметричного пространства Е на отрезке [0, 1] имеют место вложения

Здесь и далее через ха обозначается характеристическая функция (индикатор) множества А.

Доказательство. Пусть х € Е\Ьто. Тогда

^{t: |x(t)| > т} = ^{t: |y(t)| > т},

IlylE = sup{ x(t)y(t)dt: x € E, ||x||e < H <

0

Ьто с Е с Ь1.

Для экстраполяционных пространств, кроме этого,

Ьто с ХР с Ьр, для всех р < то.

Далее нам понадобятся следующие леммы.

Лемма 1.1. Если Е = Хр + Ьто, то

lim ||X[w,^)HF = 0

то при р — то.

Поэтому для любого п € N найдется рп, для которого

l|x||p„ > n.

Тогда справедливы оценки:

Лемма 1.2. Если Lf = Lm, то

lim I IX[N,w) IF > 0. N^та

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций из Ltt:

Xk = Xk (t) = X[0,2-t ](t).

Тогда

IxkIІта = і и ||xkIp = 2-k/p.

Поэтому находим, что

І = llxk I Іта < C||||xk||p||F < С (||2 k/p/[!,N)\\F + 11X [-N,^0)||F) ,

откуда, устремляя k к бесконечности, получим

||X[n,~)||f > 1/C, для всех N > 1.

2. О сепарабельной части экстраполяционного пространства

Под сепарабельной частью пространства Е будем подразумевать наибольшее сепарабельное подпространство Е0 пространства Е. Для симметричного пространства Е ф Ьто сепарабельная часть совпадает с замыканием в Е пространства Ьто всех ограниченных функций. Если же Е = Ьто, то Е0 = {0}, этот случай тривиален.

Теорема 2.1. Если Е = Хр, то сепарабельная часть

Замечание 2.1. Пространство Ро — полное. Это легко следует из полноты Р и определения р0.

Доказательство теоремы. Как это следует из леммы 1.2, при Е = Ьто

в этом случае заключение теоремы тривиально. Пусть Е ф Ьто. Тогда, в силу леммы 1.1,

и для доказательства теоремы достаточно установить сепарабельность Хр0 . Существует удобный критерий сепарабельности идеального пространства X на отрезке [0,1] — условие порядковой непрерывности нормы [6, гл. IV, § 3, теорема 3]:

E0 = LF0,

где F0 — подпространство F:

LF0 = {0},

Lto С LF0.

Откуда, замыкая LTO в E, получаем вложения:

E0 с Lf0 с Lf = E,

(2.І)

(A)

Далее, так как в Ь^ условие (А) выполнено, и

1|Хп||р < НхпНдго при р < N0, то найдется П0 € N такое, что

8

\Ы\р < ХТ]-----[Г- ПРИ р ^ и п>п0- (2.2)

Р 2||х[1,ад11р

Из (2.1) и (2.2) получаем при п ^ п0 = п0(8)

Нхп1Ь0 < ЦЫр • Х[1Л,)||Р() + |||хпНр • Х№,то)||Р0 <

8 II II II II 8 8

^ 2|1Х[1,ад11^Х[1’ад1^ + 11"Х1|1р ' <2 + 2=С-

В силу произвольности 8, заключаем, что в Хр0 выполнено условие (А). Следовательно, Хр0 сепарабельно, и теорема доказана.

Следствие 2.1. Если симметричное пространство Е экстраполяционно, то его сепарабельная часть Е0 также будет экстраполяционным пространством.

Следствие 2.2. Экстраполяционное пространство Е сепарабельно тогда и только тогда, когда

Е = Хр ,

где Р удовлетворяет условию

/ € р ^ 11т ||/ • хтто^ = 0. (Ато)

N—то 11 1и

Доказательство. Сепарабельность пространства Е равносильна условию или, в силу теоремы 2.1, условию

E = E0,

E = Lf0 ,

где F0 — пространство из формулировки теоремы, которое, очевидно, условию (Ато) удовлетворяет.

Замечание 2.2. Для сепарабельного пространства возможно равенство

E = Lf

с параметром F, не удовлетворяющим условию (Ато). Следствие 2.2 говорит о том, что параметр экстраполяции можно поменять на другой (не изменяя само экстраполяционное пространство E), который уже будет удовлетворять условию (Ато).

3. Критерий максимальности экстраполяционного пространства

В этом параграфе мы исследуем вопрос о максимальности экстраполяционного пространства. Известно, что равенство

E = E"

(т.е. собственно максимальность) для идеального пространства E имеет место тогда и только тогда, когда в E выполнено условие монотонной полноты нормы [6, гл. VI, § 1, теорема 7]:

0 < xn € E, xn t x и sup ||xn||E < то ^ x € E. (B)

n

Мы будем рассматривать близкое условие на параметр экстраполяции Г:

/ • Х[1М є Г и вир ||/ • Х[ім\\р < “ ^ / є Г• (Вте)

N

Запись Е є (В) будет означать, что норма в Е монотонно полна. Аналогично, будем писать Г є (Вто), если Г удовлетворяет условию (Вто).

Лемма 3.1. Если Г є (Вто), то Е = ХГ є (В).

Доказательство. Пусть

0 ^ xn t и sup ||xn||E < C < то.

n

Так как

E С Lp,

то для каждого 1 ^ p < то

sup llxnllp < то.

n

В силу порядковой непрерывности и монотонной полноты нормы в Lp, найдется функция x = x(t) такая, что

xn t x и ||x - xn\\p ^ 0 для всех p.

Рассмотрим последовательность функций

| xn | p

ф» = Ф»СР) =

Последовательность фп сходится к тождественной единице на [1, то), причем на каждом отрезке [1, N равномерно (по признаку Дини). Следовательно, найдется п0 = п0^), для которого

фпо(Р) > \ Для всех р € [1,Щ.

Поэтому

Wllxllp ' X[1,N] WF < W2Ixno 11 p ' X[1,N] WF < 2C

откуда, так как по условию F € (Вто),

| = Кp) = ||x||p € F,

или, что равносильно, x €Lf.

Лемма 3.2. Пусть E = Lf € (В) и E ф LTO. Если измеримая функция x = x(t) такова, что

^N = ^N(p) = llxllp • X[1,N] € F

для всех N € [1, то), и

sup II^nIIf < то,

N

то x € E.

Доказательство. Рассмотрим срезки функции x:

^ = xM(t) = |x(t)| • X{s:|x(s)|<M}(t).

Тогда

||HxM||p||F < ||||x||p • X[1,N]||F + .

Устремляя N к бесконечности и пользуясь леммой 1.1, будем иметь

\xM|Ilf < sup II^NIf < то.

N

Откуда, так как Xм ||х| и Е є (В), заключаем, что х є Е.

Замечание 3.1. Утверждение леммы 3.2 остается справедливым и в случае Е = Ьто. Но нам это не понадобится.

Лемма 3.3. Пусть Г — банахово идеальное пространство на [1, то). Тогда множество

Г1 = |/ = /(Р) : вир ||/ • Х[1Д]||Г < то|

с нормой

II/ІІГ1 = вир ||/ • Х[1М\\Г

N

также является банаховым идеальным пространством на [1, то). Кроме того, Г1 є

(Вто).

Доказательство. Линейность Г1 и свойства нормы очевидны. Докажем полноту. Воспользуемся критерием Абрамовича [6, с. 151]. Пусть /п ^ 0, носители /п попарно дизъюнктны и

то

X ШІГ1 < С < то.

п=1

Тогда

то

X \\-fn • Х[1М\\Г < С <

п=1

В силу полноты Г существует /1^, для которой

то

Ґ = £ /п • Х[1^ и II//у|ІГ < С < то.

п=1

Тогда для функции

то

/ = /п

п=1

будем иметь

\\/ • Х[1М ІГ = /1г < С < то.

Согласно определению Г1, функция / є Г1. По упомянутому выше критерию этого достаточно для полноты. Выполнение условия (Вто) очевидно.

Замечание 3.2. Для пространства Г1 из леммы 3.3 будет выполняться также следующий аналог свойства порядковой полунепрерывности нормы:

/ є Г1 ^ \\/ • Х[1^|Г1 ^ Нг1 (Сто)

Теорема 3.1. Экстраполяционное пространство Е максимально тогда и только тогда, когда

Е = £г

для некоторого Г є (Вто).

Доказательство. В одну сторону утверждение немедленно следует из леммы 3.1. Пусть теперь Е є (В). Если Е = Ьто, то достаточно положить Г = Ьто. Если же Е = £г + Ьто, то рассмотрим пространство Г1 из леммы 3.3. Очевидно Г с Г1. Поэтому

Е с Хг1 •

Покажем, что на самом деле

Е = Хг1 •

Если x € Lf1 , то для функции

^N = ^N(p) = llxllp • X[1,N]

имеем

sup II^NIf < ||llx||p|L < то.

N F1

Поэтому для x выполнены условия леммы 3.2, и, следовательно, x € E. Теперь

достаточно заменить параметр F на F1, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Литература

[1] Асташкин, С.В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Мар-цинкевича, близких к Li^ / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Сиб. матем. ж. (в печати).

[2] Асташкин, С.В. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным методом интерполяции / С.В. Асташкин // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. № 2. C. 264-289.

[3] Лыков, К.В. Экстраполяция в шкале Lp-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича / К.В. Лыков // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2006. №2 (42). C. 28-43.

[4] Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин,

Е.М. Семенов. М.: Наука, 1978. 400 с.

[5] Lindenstrauss, J. Classical Banach spaces 2, Function spaces / J. Lindenstrauss,

L. Tzafriri. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1979. 244 p.

[6] Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. С.-Пб.: Невский диалект, 2004. 816 с.

[7] Ostrovsky, E. Exponential Orlicz Spaces: new Norms and Applications /

E. Ostrovsky // Electronic Publ., arXiv/FA/0406534, v. 1, 25.06.2004

[8] Ostrovsky, E. Some new moment rearrangement invariant spaces; theory

and applications / E. Ostrovsky //Electronic Publ., arXiv/FA/0605732, v. 1, 29.05.2006

Поступила в редакцию 19/V/2006;

в окончательном варианте — 19/V/2006.

A CRITERION OF SEPARABILITY OF THE EXTRAPOLATION SPACE3

© 2006 K.V. Lykov4

A new approach to definition of the extrapolation space was presented in [1]. The problem of the description of such spaces was stated there. The problems of separability and maximality of extrapolation spaces are studied in the present work. The necessary and sufficient conditions in terms of the parameter which defines the space are obtained.

Paper received 19/V/2006. Paper accepted 19/V/2006.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. S.V. Astashkin.

4 Lykov Konstantin Vladimirovich (alkvSlist.ru), Dept. of Functional Analysis and Theory of Functions, Samara State University, Samara, 443011, Russia.