Оптимальность решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Луньков А.Д. Плоские нестационарные задачи теплопроводности в составных областях // Математика Механика: Сб. науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып. 3. С. 163 - 166.

2 Федик И И , Колесов В С., Михайлов ВН. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах М.: Энергоатомиздат, 1985.

УДК 519.6

М. А. Ляшко

ОПТИМАЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В статье рассматривается система п линейных алгебраических уравнений с п переменными

х = Ах + Ь, АеЯпкп, х,ЬеЯп, (1)

про которую известно, что её коэффициенты могут независимо изменяться в некоторых заданных промежутках: а^ е[ау,ау], а,., а у е Я, ауйау,

/>( е], Ь,,Ь, е Я, Ь;<Ь1, /,у = 1 ,п. Согласно принятой терминологии [1], замкнутые промежутки действительной оси называются интервалами и обозначаются а, Ь, с,.... Арифметические операции над интервалами а = [а;сг] и Ь = [6,Л] определяются следующим образом:

а * Ь = {а * Ь | ае а,6 6 Ь}, где * е {+,-,х,-т-}. (2)

Достаточно очевидно, что в результате любой операции получается интервал (деление возможно, если делитель не содержит нуля), причем

а*Ь =[тт{а*Ь,а*Ь,а*Ь,а*Ь};тгк{а*^,а*Ь,а*Ь,а*Ь}\. (3)

Такое определение арифметических операций над величинами, которые могут принимать значения из некоторого промежутка, имеет преимущества перед определением результата операций над приближенными числами в классической теории погрешностей. Например, если интерпретировать интервал а = [1;3] как приближенное число а = 2 ± 1, а интервал Ь = [2;4] как Ь = 3 ± 1, то в результате их перемножения получим число а -Ь = 6± 5, которое можно интерпретировать как интервал [1;11], в то время как формула (2) или (3), учитывающая все значения сомножителей и не приобретающая лишних даёт интервал [2;12].

Обозначим множество действительных интервалов 1Я, множество л-мерных векторов с интервальными компонентами - 1Я", множество квадратных матриц пхп с интервальными коэффициентами - /Я"*". Меняя значения коэффициентов системы (1) в указанных числовых проме-

87

жутках, получаем множество систем, которые можно объединить одной формальной записью

х = Ах + Ь, А е/Г", Ь,хе№". (4)

Система (4) называется интервальной системой линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) Интервальный вектор х* называется решением системы (4), если подстановка этого вектора в данную систему и выполнение всех операций по правилам интервальной арифметики приводит к верному равенству. Таким образом, х* является неподвижной точкой отображения Ах+Ь: /Л"—♦ /Л". Одной из самых важных задач в теории решения таких систем является нахождение объединенного множества решений (ОМР)

£ = {.х|(ЭЛе А)(36 е Ь)(х = Ах + 6)}, (5)

т е множества, состоящего из решений всех точечных систем (1), входящих в интервальную (4) Множество (5) является объединением выпуклых в каждом гипероктанте множеств, имеющих совпадающие грани на координатных плоскостях, и в общем случае невыпукло, а ири условии невырожденности всех точечных матриц ¡-А, где А е А , множество (5) является ограниченным, и актуальной становится задача отыскания или ограничения минимального по ширине интервального вектора, содержащего ОМР (5), так называемой интервальной оболочки

( н н Г." 7я1

1*1 ,—) X/ =

и —н

х, = тт{лг, I хе Е}, х, = тах{х,1 х е I}.

Эта задача намного легче, чем задача отыскания ОМР. Например, при условии, что матрица |А|, составленная из модулей наиболее удаленных от нуля концов А, имеет спектральный радиус меньше 1, решение системы (4) х* содержит X", а в некоторых случаях и совпадает с ней: Xя с х*. Ниже на рис. 1 и рис. 2 приведены две системы, для каждой из которых указано ОМР X, интервальная оболочка Хн и решение х*

В случае совпадения Xя = х* интервальная оболочка X" может быть найдена с любой степенью точности итерационными методами, которые просты в реализации. Таким образом, необходимо выделить класс систем (4), на которых такое совпадение достигается, и решение, полученное итерационным методом, дает оптимальную (неулучшаемую) оценку разброса значений каждой переменной. Имеется доказательство [1] совпадения Xя =х" для случая неотрицательных коэффициентов матрицы А: Ойау&ау, /,7 = 1,2,...,п (рис. 1). Автором [2] были получены достаточные условия совпадения Xя =х*для систем (4) с матрицами, состоящими

из коэффициентов, не содержащих нуля внутри (знакопостоянных) или чисто нулевых: 0 <ау или а,у <а,] <0, /,7 = 1,2,...,и.

ТЕОРЕМА 1 Для того чтобы выполнялось равенство Xй = х*, достаточно, а при условии, что ни один внедиагональный коэффициент А не вырождается в 0 и ни одна интервальная компонента Xй не вырождается в точку, то и необходимо, чтобы главная диагональ А состояла из неотрицательных интервалов, а знаки коэффициентов ау при Щ совпадали с произведением знаков а,, и а у.

[0.6;0 8] [0;0.2] [0;0 1] [0.6;0 8]

х +

[-0.2;0.2]4 [-0.2;0.2];

[0 6;0 8] [-0.1,0.2] [-0.12;0.1] [0.6;0.8]

х +

[-0.2,0.2] [-0.2;0.2]

При проверке достаточных условий нулевому коэффициенту можно приписать любой знак. Система на рис.1 удовлетворяет достаточному условию совпадения Xя = х*. Матрица системы на рис.2 содержит коэффициенты с 0 внутри

Полученный результат удалось распространить и на системы с матрицами, коэффициенты которых содержат 0 внутри. Рамки этой статьи не позволяют в полной мере изложить теорию, лежащую в основе доказательства. Она опирается на одно интересное свойство интервального умножения Например, [-1;3]х[-1;1]=[-3,3], и в то же время [-3;3]=[0;3]х[-1 ;1]= =[3;3]х[-1;1] и т.д., то есть коэффициент [-1,3] при умножении на [-1,1] может быть заменен на неотрицательный (знакопостоянный) интервал [0;3] и даже на число [3;3] без изменения результата Возможность такой замены в общем случае легко алгоритмизируется

ТЕОРЕМА 2. Пусть в системе (4) магрица А и решение х* таковы,

— • —•

что все коэффициенты а,у, где а,у < 0 < а,у и х_1 д;/, могут быть заменены на ау, так что а,у = [ац ,0] или а,у -[0,а(у] и а,у х х* =а,у хх". Для того чтобы выполнялось равенство Хл =х*, достаточно, а если ни один вне-диагональный коэффициент А не вырождается в 0 и ни одна интерваль-

89

компонента Xй не вырождается в точку, то и необходимо, чтобы главная диагональ А состояла из неотрицательных интервалов, а знаки коэффициентов ау при совпад.али с произведением знаков а1( и

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Алефельд Г, Херцбергер Ю Введение в интервальные вычисления М : Мир,

1987.

2. Ляшко М А О совпадении интервальной оболочки объединенного множества решений ИСЛАУ с итерационным решением Балашов, 1996 16 с. Деп. В ВИНИТИ 08 02.96, № 429 - В96.

УДК 519.21

А. Ю. Митрофанов

КОЭФФИЦИЕНТ ЭРГОДИЧНОСТИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

Применению коэффициентов эргодичности для оценивания устойчивости стационарных распределений конечных однородных цепей Маркова посвящены работы [1, 2] (см. также [3] и обзор [4]). В работе [1] получена оценка устойчивости стационарного распределения цепи Маркова, выраженная через коэффициент эргодичности т,(Р) матрицы вероятностей переходов Р. При этом предполагается, что т1(/>)< 1. В настоящей статье для апериодических цепей Маркова, у которых существует единственное стационарное распределение, получено обобщение этой оценки

Пусть X = {X п, п = 0,1,...} и X = {Хп, п = 0,1,...} - цепи Маркова с пространством состояний 5 = {1,..., А/}, матрицами вероятностей переходов соответственно Р и Р и единственными стационарными распределениями я = (7г,) и 7Ё = (л/). Определим коэффициент эргодичности Т](#) вещественной тхп -матрицы В = (Ь()):

т,(В) Лпшх (1)

Знаком || | обозначим -норму (сумму модулей компонент) для векторов и да-норму (максимальную строчную сумму модулей элементов) для матриц. Величина ||л - я| равна расстоянию по вариации между распределениями я, л: л| = 2зир4=5 | й(/1)-л(Л)|, где п(А) = ^кел • = = ^ кк . Векторы будем считать вектор-строками.