CC BY
28
Вычислительные технологии
Том 16, № 3, 2011
Об "испанской версии" формального подхода к внешнему оцениванию множеств решений интервальных линейных систем*
С. П. Шарый
Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия
e-mail: shary@ict.nsc.ru
Исследуется версия формальнсих) (алх'сбраичсскш'о) подхода к внешнему оцениванию множеств решений интервальных .линейных систем уравнений, в основу которой положена известная из математических) анализа теорема Миранды. Рассматриваются способы ее численной реализации, условия применимости и качество оценивания. Представлены результаты численных экспериментов и рекомендации но практическому использованию предлагаемой методики.
Ключевые слова: интервальные линейные уравнения, множество решений, внешняя оценка, теорема Миранды, формальный (алх'ебраический) подход.
1. Постановка задачи и вводные сведения
Предметом рассмотрения в работе являются интервальные системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) вида
anx i + aux2 + ... + ainxn = bi, tt2lXi + a22X2 + ... + a2nXn = b2,
< : : , : : W
anixi + an2X2 + ... + annXn = bn
с интервальными коэффициентами aij и интервальными правыми частями bi; = 1, 2,..., и, или, кратко,
Ax = b, (2)
где A = (aij) — интервальная и х и-матрица, b = (b^ — интервальный и-вектор. Системы (1)-(2) мы понимаем как семейства точечных линейных систем Ax = b той же структуры с матрицами A £ A и векторами b £ b.
Множеством решений интервальной линейной системы уравнений будем называть множество
^(A, b) = {x £ Rn | (3 A £ A)(3 b £ b)( Ax = b) }, (3)
образованное всевозможными решениями точечных систем Ax = b с A £ Ah cb £ b (см., например, |1-3|). Часто его называют также объединенным, множеством решений, поскольку дня интервальных уравнений существуют другие множества решений
* Работа выполнена при финансовой поддержке Президентской программы "Ведущие научные школы России" (грант № НШ-6068.2010.9).
|4-8|, более адекватные тем или иным конкретным практическим ситуациям, В данной работе они не рассматриваются, и поэтому мы называем (3) сокращенным термином "множество решений".
Известно, что множество решений Б (А, Ь) является многогранным (полиэдральным) множеством, в общем случае невьшуклым, но его пересечение с каждым из ортан-тов пространства Мга выпукло. Точное и полное описание множества решений практически невозможно в силу его огромной трудоемкости, а, с другой стороны, в большинство реальных постановок задач в этом пет необходимости. Чаще достаточно знать какие-то оценки множества решений либо его приближенное описание с помощью более простых множеств, имеющих меньшую конструктивную сложность.
Далее интервальная п х п-матрица А предполагается неособенной, т. е. содержащей только неособенные (невырожденные) точечные матрицы А с А = 0, в силу чего множество решений Б (А, Ь) системы (1)-(2) ограничено, В данной работе мы будем решать задачу его внешнего покоординатного оценивания, т. е, нахождения наиболее точных оценок для тт{ хи | х Е Б (А, Ь) } снизу и для тах{ хи | х Е Б (А, Ь) } сверху, V = 1, 2,..., п. Это равносильно отысканию для множества решений объемлющего прямоугольного параллелепипеда (так называемого бруса) со сторонами, параллельными координатным осям (рис, 1):
Подобная постановка задачи часто возникает при анализе чувствительности статических систем, описываемых линейными алгебраическими уравнениями (см, пример в разделе 2),
Наша система обозначений следует неформальному международному стандарту па обозначения в интервальном анализе |9|, В частности, множество всех замкнутых интервалов вещественной оси обозначено Ш, интервалы и интервальные величины выделены
Найти (по-возможности, меньший) брус в Мга со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий множество Б(А, Ь) Ах = Ь
(4)
Внешняя оценка множества решений
Множество рс
Рис. 1. Внешнее оценивание множества решений интервальным вектором-брусом
буквами жирного шрифта y, z, тогда как неинтервальные (точечные)
величины специально не выделяются.
Черта снизу х и сверху х означает нижний и верхний конец интервала х, а неравенство х > 0 (х < 0) эквивалентно ж>0иж>0(ж<0иж<0 соответственно). Кроме того, нам понадобятся
rad х = — (х — х) — радиус интервала,
\х\ = тах{ |ж|, |ж| } — абсолютное значение (модуль) интервала,
/ \ / 1Ж1'I—I }' если 0 ^ ж, мигнитуда интервала (наименьшее
1 0, иначе расстояние точек интервала до нуля).
Абсолютное значение и мигнитуда интервала являются, как видим, в некотором смысле антиподами.
Интервальный вектор определяется как вектор, столбец или строка с интервальными компонентами. Его геометрическим образом является прямоугольный параллелепипед в Rn со сторонами, параллельными координатным осям, который, как уже упоминалось, часто называют брусом. Дня интервалов, интервальных векторов и матриц естественно определено отношение теоретико-множественного включения "С". К интервальным векторам и матрицам операции взятия нижнего и верхнего концов, аб-
| A|
AA
рация (•) в применении к матрицам будет иметь в соответствии с традицией особый смысл.
Компарантом1 интервальной матрицы A = (aij) £ IRnxn мы называем точечную
(A)
(aij), если i = j, -1 aij |, если i = j.
В частности, дня точечной матрицы операция взятия комнарапта — это принудительное назначение "нужных" знаков дня элементов матрицы, положительных дня диагональных элементов и отрицательных дня внедиагональных.
Наконец, если S — непустое ограниченное множество в Rn, то его интервальной оболочкой □ S называется наименьший по включению интервальный вектор, содержа-S
ближающий извне (т. е. объемлющий) рассматриваемое множество. Кроме того, через IS будем обозначать множество всех интервальных векторов-брусов x £ IRn, содержа-S
IS = { x £ IRn | x С S }.
Посредством IR помимо множества вещественных интервалов будем обозначать также классическую интервальную арифметику — алгебраическую систему, образованную интервалами вещественной оси с операциями сложения, вычитания, умножения и деления, определенными "но представителям", т. е. в соответствии с фундаментальным принципом
x * У = {x*y | x £ x, y £ y } для * £ { + , — , • ,/ }.
1B англоязычной терминологии ''comparison matrix", см. [3. 10].
ij (A)
Иными словами, результирующий интервал любой операции есть множество, образованное всевозможными результатами этой операции между элементами интервалов-операндов. Развернутые формулы дня интервальных сложения, вычитания, умножения и деления выглядят следующим образом |1-3, 7, 111:
х + у = [х + у, х + у],
Х-у = [х-у, х-у],
Х -у = [тт{ху,ху,ху,ху}, т-ах{ху,ху,ху,ху}],
х/у = х ■ [1 /у, 1/у] для у ^ 0.
Дня интервальных векторов и матриц арифметические операции являются аналогами соответствующих операций дня точечного случая. В частности, сумма (разность) двух интервальных матриц одинакового размера есть интервальная матрица того же размера, образованная поэлементными суммами (разностями) операндов. Если X = (Xij) £ IRmx1 и Y = (yij) £ IR1xra, то произведение матриц X и Y есть матрица Z = (zij) £ IRmxra такая, что
i
zij := ^ ] xikykj■ k=l
Отметим, что при этом Z = □ {XY | X £ X,Y £ Y}, т. е. результат умножения
XY
XY X £ X Y £ Y
2. Практическая иллюстрация постановки
Задачи внешнего оценивания множеств решений интервальных систем уравнений естественно возникают в самых различных математических моделях, и многочисленные примеры па эту тему заинтересованный читатель может увидеть в тематических подборках статей на сайте "Интервальный анализ и его приложения" |12|, Рассмотрим более подробно в качестве практического примера, приводящего к пашей постановке, задачу расчета режимов электроэнергетических сетей. Одной из основных рабочих моделей подобных сетей являются системы линейных уравнений "узловых потенциалов" (см. |13|)
YU = J, (5)
где Y — квадратная матрица узловых проводимостей, J — вектор-столбец задающих U
Y
U
ветвях сети (необходимые, например, при выборе проводов и пр.) определяются согласно закону Ома дня участка цепи. Иногда при описании этого метода говорят также об "узловых напряжениях".
В реальных электрических сетях в результате изменения токов нагрузки и коммутационных переключений в электрической схеме коэффициенты системы (5) и элементы ее вектора правой части изменяются, в силу чего их нельзя больше считать имеющими
определенные вещественные значения. Эта ситуация достаточно адекватно описывается интервальной системой линейных алгебраических уравнений
У и = J, (6)
где У — интервальная матрица, J — интервальный вектор, образованные интервалами возможных значений узловых проводимостей и задающих токов соответственно |14|,
и
матрицы системы и компоненты правой части изменяются в продолах предписанных им интервалов. Таким образом, возникающая задача является задачей внешнего оценивания множества решений ИСЛАУ (6), причем требуются его внешние оценки именно вдоль координатных осей как имеющие ясный содержательный смысл границ изменений напряжения сети в конкретных узлах. Именно такова задача (4).
Строго говоря, коэффициенты исходной системы (5) — элементы матрицы У — связаны между собой и изменяются в пределах предписанных им интервалов из У не независимо друг от друга, а связанным образом. Это вносит дополнительную специфику в постановку задачи, уменьшая множество решений и делая его оценивание более трудным. Но в первом приближении, когда рассматривается простейшая модель, дня практики вполне достаточно получение оценок множества решений интервальной линейной системы (6) без учета каких-либо связей.
3. Теорема Миранды и основы интервальной техники
В математическом анализе хорошо известна теорема Больцано — Коши,
Теорема Больцано — Коши [15]. Если функция Г : М ^ М непрерывна на интервале X С М и на, его концах принимает значения, разных знаков, то внутри интервала, X существует нуль функции Г, т. е. точка, X € X, в которой Г(X) = 0.
Часто есмтзывают теоремой Больцано (см., например, |16|), так как именно он первым обнаружил сформулированное свойство непрерывных функций. Далее в работе используется многомерное обобщенно этого результата, опубликованное более чем столетием позже в заметке |17|,
Теорема Миранды. Пусть Г : Мп ^ МП Г(х) = (£\(х), Г2(х),..., Гп(х))Т функция, непрерывная на брусе X С Мп со сторонами, параллельными координатным осям,, и для, любого г = 1, 2,..., п имеет место либо
Fí{Xl, . . . , Хг_1,2L.il . . . , Х„) < 0 и . . . , Х^, ..., X > 0,
либо
Fí{Xl, . . . , Хг+1, . . . , Х„) > 0 и Рг[х 1, . . . , -Х"г_1, Х^, . . . , Х„) < 0,
т. е. области значений каждой компоненты функции Г(х) на, соответствующих противоположных гранях бруса X имеют разные знаки. Тогда на брусе X существует нуль функции Г, т. е. точка, X € X, в котор ой Г (X) = 0.
Характерной особенностью теоремы Миранды является специальная форма множества, па котором утверждается существование нуля функции: оно должно быть брусом со сторонами, параллельными координатным осям, т. е. интервальным вектором. Кроме того, дня конструктивного применения теоремы Миранды нужно уметь находить или как-то оценивать области значений функций па подобных множествах.
Удобное средство дня решения этой задачи предоставляют методы интервального анализа. Задача о вычислении области значений функции на брусах эквивалентна задаче оптимизации, но в интервальном анализе она принимает специфическую форму задачи о вычислении так называемого интервального расширения, функции |2, 3, 7, 111.
Определение. Пусть Б — непустое подмножество пространства Мп. Интервальная, функция f : 1Б — Жт называется, интервальным продолжением, вещественной функции / : Б — Мт, есл,и, f (х) = / (х) для, всех х Е Б. Интервальная функция, f : 1Б — Жт называется, интервальным расширением вещественной функции / : Б — если
1) f (ж) — интервальное продолжение для, /(х),
2) f (ж) монотонна по включению, т. е. ж' С ж'' f (ж') С f (ж'') на, 1Б.
Таким образом, если f (ж) — интервальное расширение функции /(х), то для области значений / на брусе X С Б получаем следующую внешнюю (с помощью объемлющего множества) оценку:
{ /(х) | х Е X } = { f (х) | х Е X } С f (X).
Эффективное построение интервальных расширений функций — важнейшая задача интервального анализа, поиски различных решений которой продолжаются и в настоящее время. Самым первым результатом в этом направлении является приведенная ниже теорема, которую часто называют основной теоремой интервальной арифметики.
Теорема [1-3, 7, 11], Если, для, рациональной функции /(х) = /(х1; х2,..., хп) на, брусе ж = (ж1, ж2,..., жп) Е Жп определен результат ж) подстановки вместо ее аргументов интервалов ж1, ж2, ..., жп и выполнения всех действий над ними, по правилам интервальной арифметики,, то
{ /(х) 1 х Е ж } С ^(ж),
т. е. ^(ж) содержит множество значений функции /(х) на, ж.
/(х)
^(ж), о которой идет речь в основной теореме интервальной арифметики, является интервальным расширением. Оно называется естествен/ным интервальным, расширением, и его вычисление не представляет никаких трудностей.
Использование естественного интервального расширения подчас дает слишком широкие внешние оценки областей значений функций, но оказывается, что если в выра-
/
нервой степени, то естественное интервальное расширение дает точную область значений функции |1-3, 7, 111. Это условие выполнено, в частности, дня линейных функций, когда /(х) = /(х1; х2,..., хп) = а1х1 + а2х2 + ■ ■ ■ + апхп с некоторыми постоянными коэффициентами а1; а2, ,,,, ап.
Если Б(х) = Ах — Ь для п х п-матрицы А = (а^) и п-вектора Ь = (ЬД то в качестве немедленного следствия теоремы Миранды и основной теоремы интервальной арифметики получаем следующее условие существования решения системы линейных уравнений Ах = Ь в интервальном брусе X Е Шп: если для каждого г = 1, 2,...,п справедливо
au2Li + ^2 avxj ~ h < 0 и ciuXi + ^ aijXj - h > 0 (7)
aaK.i + cliiXi ~ - 0 и aaxi + ^2 cliiXi ~ - (8)
j = i j=i
где все арифметические операции являются операциями интервальной арифметики, то брус X содержит решение системы линейных уравнений Ax = b.
Заметим, что выписанные нары соотношений (7) и (8) являются взаимнодоно.нни-тельными: неравенства (7) имеют место при ац > 0 а неравенства (8) — при ац < 0, Если же ац = 0 для какого-то г, то выполняется лишь одна пара неравенств, а другая ложна.
Дня дальнейшего преобразования выписанных соотношений (7) - (8) к более удобному виду имеет смысл выйти из классической интервальной арифметики IR в полную интервальную арифметику Kavxepa KR, более широкую алгебраическую систему, обладающую хорошими алгебраическим свойствами (см. оригинальную диссертацию |18| или изложение основ этой арифметики в |6-8, 19 — 211).
4. Полная интервальная арифметика Каухера
KR получается из интервальной арифметики IR с помощью алгебраического и порядкового пополнения. Элементами полной интервальной арифметики KR являются пары вещественных чисел [п, $], не обязательно связанные соотношением п < $-, так чт0 IR С KR. Обычные интервалы из IR называются при этом правильными, а интервалы [п, $], для которых п > $, _ неправильными. Если a = [п, $], то п _ левый конец интервала а, и он обозначается а или inf а, а i) — правый конец интервала а, и он обозначается a или sup a. Правильные и неправильные интервалы переходят друг в друга в результате операции дуализации
dual [ж, ж] := [ж, ж],
которая меняет местами концы интервала, "переворачивая" его. Хотя может показаться, что неправильные интервалы вроде [2,1] не имеют ясного содержательного смысла, ниже мы укажем одну из возможных интерпретаций таких интервалов и операций над ними (см. (15)). В общем случае любой элемент x £ KR можно мыслить как обычное множество точек из правильной проекции
x, x
pro x := ^
[ dual x, если x неправильный.
Правильность или неправильность интервала влияет при этом на способ его вступления в арифметические и прочие операции.
Теоретико-множественное упорядочение интервалов по включению на IR естественно распространяется и на KR. Именно, для интервалов x У £ KR полагают
жСц х>у и х<у. (9)
Например, [3,1] С [2, 2] = 2.
Сложение и умножение на число определяются в KM следующим образом:
х + у := [х + у,х + у] ,
![ Л ж, Лж 1, если Л > 0,
л — л " (Ю)
[Аж,Аж], иначе.
Всякий элемент x G KM имеет, следовательно, единственный противоположный, обозначаемый opp x, причем из соотношения x + opp x = 0 следует, что
opp ж = [—ж, —ж].
Таким образом, относительно операции сложения арифметика KM является коммутативной группой, изоморфной аддитивной группе стандартного линейного пространства M2,
Чтобы выписать явные формулы для умножения, выделим в KM следующие подмножества:
Р := { х G КМ | (ж > 0) & (ж > 0) } - неотрицательные интервалы,
Z := { ж G КМ | ж < 0 < ж } — нульсодержащие интервалы,
—P := { x G KM | —x G P } — неположительные интервалы,
dual Z := { x G KM | dual x G Z } — интервалы, содержащиеся в нуле,
В целом KM = P U Z U (-P) U (dualZ), и умножение в интервальной арифметике Ка-ухера может быть описано с помощью табл. 1 |18, 20|, Из нее, в частности, видно, что это умножение допускает нетривиальные делители нуля. Например, [ —1, 2] • [5, —3] = 0, Интервальное умножение в арифметике Каухера оказывается коммутативным и ассоциативным |18, 20|, как и в классической интервальной арифметике, но группу по умножению в КМ образуют лишь интервалы ж, удовлетворяющие условию ж ж > 0, т. е. не содержащие нуль и не содержащиеся в нуле интервалы.
Любой интервал x G KM, не содержащий нуля и не содержащийся в нем (т. е. такой, что хх > 0), имеет единственный алгебраически обратный, который обозначим inv ж. При этом из соотношения x • inv x = 1 следует
inv x
1 1 ж' ж
Таблица 1. Умножение в полной интервальной арифметике KM
• у еР y&Z У е -V y G dual Z
хеР [ху_,ху] [ху,ху] [ху_,ху] [xy,xy]
X £ Z [ху,ху] [min {ху,ху}, max {ху,ху} ] [ху,ху] 0
х G —V [ху,ху] [ху,ху] [ху,ху] [ху,ху]
х G dual Z [ху,ху] 0 [ху,ху] [max {жу, ж у}, min {ху,ху} ]
Взаимосвязь сложения и умножения в арифметике Каухера выражается следующими соотношениями:
если ж правильный, то х ■ (у + г) С х ■ у + х ■ 2 — субдистрибутивность, (11)
если х неправильный, то х ■ (у + г) 1Э х ■ у + х ■ г — супердистрибутивность, (12)
В пашей работе важную роль будут играть операции
х V у := вир с{ ж, у } = [тт{х, у}, тах{х, у} ] , (13)
ж А у := т£с{ж,г/}= [тах{х, у}, тт{х,у} ] — (14)
взятие соответственно верхней и нижней грани относительно порядка "С". КМ является решеткой относительно этих операций, тогда как 1М была неполна относительно
х
Vх>
х =
х€х
х
х = Д X .
х^иа1 х
В общем случае для результата любой арифметической операции * € { + , —, ■,/ }в имеет место представление
х * у = 1/1 х 1/Г (х*У), (15)
у
где
,х
х€х
, х ,
1;
х^иа1 х
так называемая условная операция взятия экстремума по включению, зависящая от
х
С
или неправилен х. При этом экстремум берется по всем х из правильной проекции х
результатом интервальной операции х * у и результатами точечных операций х * у для х € pгo х и у € pгo у. Формулу (15) можно даже взять за основу для определения арифметических операций в полной интервальной арифметике (см, |22|),
Операции взятия нижней и верхней граней но включению (13) - (14) обладают рядом полезных свойств, на которые мы будем опираться в дальнейшем в работе. Во-первых, несложными выкладками можно убедиться, что для любого скаляра А € М
А (х V у) = (Ах) V (Ау), (16)
А (х Л у) = (Ах) Л (Ау). (17)
Далее, справедливы следующие дистрибутивные свойства сложения но отношению к операциям взятия нижней и верхней граней (см. |18, 20|):
х + (у V г) = (х + у) V (х + г), (18)
х + (у Л г) = (х + у) Л (х + г). (19)
Дня умножения точные дистрибутивности в общем случае не имеют места, но, как показывается в |23|,
x • (y V z) = xy V xz, , „
У у
x • (y Л z) С xy Л xz,
x
x • (y V z) ^ xy V xz, , „
у - у
x • (y Л z) = xy Л xz,
x
тивпостей максимума и минимума по умножению, относящийся к операндам и результату этой интервальной арифметической операции:
x • у = ( V* • у = V(xy) _ если x правильный, (22)
x • У = ( /\ * • У = /\ (*y) _ есл и x неправильный, (23)
^ x:€dual ж ' x:€dual x
Обоснование этих равенств нетрудно получается из нредстав,:1епия (15) и соотношений (16), (17), Отличие равенств (22)-(23) от предшествующих включений (20)-(21) можно понять, приняв во внимание тот факт, что (22)-(23) получаются при взятии максимума или минимума по точечным представителям из целого интервала, т. е, при весьма специальных условиях па эти экстремумы.
Результаты композиции основных инволюций на множестве KR, т. е. id( •) — тождественного отображения, — (•) — умножения на (—1), орр( •) — взятия алгебраически противоположного элемента, dual( •) — дуализации, описаны в табл. 2, Ее анализ показывает, что множество инволюций арифметки KR образует относительно операции композиции так называемую четверную группу Клейна |24|, В частности, дня любого x е KR
—opp x = dual x. (24)
Нетрудно обосновывается также следующее важное соотношение:
inv (dual x) = 1/x, (25)
справедливое дня всех интервалов х G КМ, удовлетворяющих хх > 0, Наконец, отме-dual (x + y) = dual x + dual y, dual (xy) = dual x • dual y. (26)
Таблица 2. Композиция инволюций в арифметике KR
о id opp dual
id id opp dual
id dual opp
opp opp dual id
dual dual opp id
Интервальные матрнчпо-векторпые операции в полной интервальной арифметике Каухера определяются аналогично операциям над векторами и матрицами с элементами из Ж. Сумма (разность) двух интервальных матриц одинакового размера есть интервальная матрица того же размера, образованная поэлементными суммами (разностями) операндов. Если X = (X]) € КМтх1 и Y = (у^) € КМ1хга, то произведение матриц ^ и ^ ^^^^ матрица X = () € КМтхп такая, что
•= ^ у Х»кук] • к=1
Произведением скалярного интервала х € КМ на интервальную матрицу Y = (У]) € КМтхп назовем интервальную матрицу из КМтхга, обозначаемую xY и такую, что (xY)] = ху], Подобным же образом определяется и произведение интервальной матрицы па интервал-скаляр,
В работе будем пользоваться следующим терминологическим соглашением: интервальный вектор или матрица называются правильным,и, если их компонентами (элементами) являются только правильные интервалы, т. е. принадлежащие Ж,
На многомерных интервальных пространствах Жга и КМП топология может быть определена двумя способами. Стандартный способ — введение обычной метрики
(&8Ь(х,у) := тах{||ж - у\\, \\х - у\\}, ж,уеКМ'\ (27)
где || • || — некоторая векторная норма на Мга, Для пространства Жга эта метрика совпадает с хаусдорфовым расстоянием между интервальными векторами как брусами в Мга, порождаемым нормой || • ||, Но иногда бывает полезно работать с векторнозначным расстоянием — мультиметрикой, которая вводится на Жга и КМП как
(х, у)
( XI, у^) \
\ ^(х„, у„) )
€ М+. (28)
Те же конструкции очевидным образом переносятся па множества интервальных матриц Жтхга и КМтхга.
5. Оценки решений линейных систем
Продолжим преобразование соотношений (7)-(8), Пусть рассматриваемая система линейных алгебраических уравнений Ах = Ь с матрицей А = (а^) и правой частью Ь = (Ь^) такова, что ац > 0 для данного индекса г, и потому имеет место первая пара (7) из соотношений (7)-(8), Расписывая определение неотрицательности и неположительности интервалов, нетрудно вывести, что оно эквивалентна неравенствам
( ац2С.г + ) ~ ^ - 0 и ( + ) ~ ^ -
V Ш / V зфг /
/ \
которые, в свою очередь, означают, что
I ац ■ с1иа1 + ачХз 1 — < 0 и I , ^
V 3=г ' \ 3=г
ац ■ с!иа! Х; + а^Х^ — Ы > 0 (29)
в силу очевидных соотношении
Х - = dual Xi и Xi = dual Xj. (30)
С учетом знака ац и определения (10) справедливы равенства
ац ■ dual Х - = ац ■ dual X, и ац ■ dual Xj = ац ■ dual Xj,
поэтому неравенства (29) равносильны следующим:
(ац • dual Xj + ^^ a^Xj I — b < 0 и I a^ • dual Xj + ^^ a^Xj I — b > 0. (31)
j+i J \_j+i J
Рассмотрим теперь случай ajj < 0, при котором имеет место вторая пара (8) из соотношений (7)-(8), Их можно переписать в виде неравенств
ацХг + Y^ aijXj
V j=j '
diiXj I - bi > 0 и I auXi + ^ aijXj | - h < 0,
_j^i_/_ V j^i
или
(ац ■ dual Xj + ^^ aijXj I — 6j > 0 и j ац ■ dual Xi + ^^ aijXj I — 6j < 0, (32)
_j+j J \ j+i J
принимая во внимание те же очевидные соотношения (30), Поскольку ajj < 0, то в силу (10) справедливы равенства
ац ■ dual Xj = ац • dual Xj и ац ■ dualXj = ац ■ dual Xj,
следовательно, (32) равносильно
• dual X j + ^^ ajj X j I
j=j J
— bj > 0 и ( ajj • dual Xj + ^^ ajjXj | — bj < 0.
j=j / V j=j
Как видно, эти соотношения совпадают с (31), которые были получены для ац > 0, Поэтому в целом, вне зависимости от знака элемента ац, в полной интервальной арифметике КМ имеем следующее предложение.
Предложение 1. Если брус X = (X1; X2,..., Xп)т удовлетворяет, условиям
I ajj • dual Xj + ^ ajjX А — bj С 0,
V j=j /
- 0, г = 1,2,...,n, (33)
j=j
то он содержит решение системы линейных уравнений Ах = Ь с п х и-матрицей А = () м п-вектором правой части, Ь = (Ь).
Заметим, что необходимым условием существования телесного бруса X, т. е. такого, что rаd X з > 0 для ] = 1, 2,...,п, который удовлетворяет Предложению 1, является неравенство нулю всех диагональных элементов: ац = 0, я = 1, 2,..., п. Действительно,
если какое-то akk = 0, то в левой части соответствующего включения (33) будем иметь выражение
afcjX j - bfc,
j=fc
которое является правильным интервалом, или вещественным числом. Его включение в нулевой интервал, согласно определению (9), невозможно, если akj = 0 хотя бы для одного j = 1, 2,..., n, Указанному условию удовлетворяют, в частности, линейные системы Ax = b с неособенными матрицами A (такими, что det A = 0), в каждой строке которых должны находиться ненулевые элементы. С другой стороны, если в исходной
A
или же перенумерацией переменных (это сответствует перестановке строк и/или столб-A
6. Оценки для интервальных линейных систем
Перейдем далее к интервальной линейной системе уравнений Ax = b, Коль скоро она является семейством точечных систем Ax = b с A £ А и b £ b, а множество решений S(A, b) есть объединение решений всех точечных систем Ax = b, то, основываясь на Предложении 1, можно получить достаточный признак того, что брус X содержит множество решений интервальной линейной системы:
Предложение 2. Пусть А £ Жгахга — интервальная матрица, b £ и X £ — интервальные векторы. Если для, каждого i £ {1, 2,..., n} имеет место включение
I аи • dual Xi + ^ а^X А - bi С 0,
V j=i /
то брус X содержит множество решений S(A, b) интервальной линейной системы Ax = b
Доказательство. Для всякого фиксированного i £ {1, 2, ...,n} по определению интервальных арифметических операций в KR и в силу (18) и (22) имеем
aii • dual X i + ^ aij Xj - bi =
j=i
\J a^ I • dual X i + ^ \J a^- X j - I \J bi
Hi €aii aij € aij
\J (aii • dual Xi) + ^ \/ ( bi
j=i
V V V ( aii • dual X i + ^ aij Xj - bi I =
aii€ай «ijSaij bi€bi \ j=i /
j=i
V V I aii • dual X i + ^ aij Xj - bi I . ij €aij bi€bi \ j=i /
j=1,...,n
aijXj - bi ) . (34)
j=i
a
Следовательно, если
I аы • X г + ^ агз X 3 I - Ьг С 0
V /
то включение (33)
У^З Х 3 )
3=г '
агг • dua1 Xг + ^ аг3X 3 | — Ьг С 0
3=г
должно выполняться для всех агз- Е агз- и Ьг Е Ьг, г, ^ = 1, 2,..., и, т. е. для всех точечных линейных систем, содержащихся в Ах = Ь, В противном случае максимум по отноше-С
пуль. Как следствие, принимая во внимание результат Предложения 1, можно утверждать, что брус X действительно содержит все решения точечных систем Ах = Ь с А Е А и Ь Е Ь. ■
Напомним теперь следующее определение.
Определение. Формальное решение интервальной системы уравнений
а!,..., аг,ж1,...,ж„ ) = Ьь Р2( а1,..., аг, Х1,... ) = Ь2,
„ Рт( а1 > . . . > а1> х1> . . . > ) Ьт
(35)
с интервальными параметрами а1; ..., а1; Ь1; ..., Ьт — это интервальный вектор х = ( х1; х2,..., хп )Т, обращающий систему в равенство после подстановки в нее и выполнения всех операций по правилам интервальной арифметики и прочих операций, входящих в выражения для,
Таким образом, формальное решение интервальных систем — это объект, соответствующий обычному математическому понятию решения уравнения, по рассматриваемому в экзотической алгебраической системе — интервальной арифметике, в качестве которой могут выступать в зависимости от рассматриваемой задачи либо классическая интервальная арифметика Ш, либо полная интервальная арифметика Каухера КМ, либо какая-то другая интервальная алгебраическая система.
Отметим, что согласно традиции неизвестная переменная в интервальных уравнениях вида (35), как и в других встречающихся ниже уравнениях, специально пе выделяется, а тип решения подчеркивается дополнительными характеристиками. В частности, если все компоненты формального решения являются правильными интервалами, то будем называть его правильным, формальным решением интервальной системы уравнений.
Заменяя в формулах (33) включение па равенство и привлекая понятие формального решения, можно придать результату Предложения 2 следующий менее общий, по более удобный в вычислительном отношении вид (Предложение 3).
Предложение 3. Пусть интервальный оператор S : параметров А = (aij) и b = (bi), действует по правилу
— KRn, зависящий от
( а11 • dual x1 + ^ a1j Xj - b1 ^
x —
j=1
а22 • dual X2 + ^ a2jXj - b2
j=2
V
ann • dual Xn + ^ anjx j bn
j=n
т. е. задается, покомпонентно как
Si(A, b, x) = aii • dual xi + ^^ aijXj - bi, i =1, 2,..., n.
j=i
Правильное формальное решение интервальной системы уравнений
S(A, b, x) = 0
(36)
(37)
содержит множество решений Б (А, 6) интервальной линейной, системы уравнений, Ах = 6.
Например, дня интервальной линейной системы Хансена |25|
[2, 3] [0,1] [1, 2] [2, 3]
x
[0,120] \ [60, 240] )
(38)
множество решений которой изображено на рис, 2, соответствующая система уравнений (36) - (37) имеет вид
[2, 3] • dual x1 + [0,1] x2 - [0,120] =0, [1, 2] x1 + [2, 3] • dual x2 - [60, 240] = 0,
n
Рис. 2. Множество решений интервальной системы Хансена (38)
или, что равносильно,
[2, 3] ■ dual x1 + [0,1] x2 = [120, 0], [1, 2] x1 + [2, 3] ■ dualx2 = [240, 60].
Ее формальное решение есть интервальный вектор ([-120,90], [-60, 240])т, который является наименьшим но включению брусом, содержащим множество решений, т. е. оптимальной (наилучшей) внешней оценкой множества решений системы (38). В общем случае рассматриваемый подход дает, конечно, не столь точные оценки, и вопрос о качестве оценивания будет подробно рассмотрен ниже в раздело 9.
Итак, нахождение внешней оценки множества решений исходной ИСЛАУ свелось к нахождению формального решения специальной интервальной системы уравнений. Задача нахождения формального решения — это уже не задача оценивания или приближения, а, но существу, традиционная математическая задача решения некоторого уравнения, хотя и рассматриваемая в непривычной алгебраической системе KR. Соответствующий общий подход к задачам оценивания множеств решений, сводящий исходную постановку к задаче нахождения формального решения некоторой вспомогательной интервальной системы уравнений, называется, как известно, формальным подходом |7, 19, 26| (иногда его называют также "формалыю-алгебраичееким подходом", можно также встретить термин "алгебраический подход"). Это весьма общая методика, которая может реализовываться различными конкретными способами в зависимости от конструкции вспомогательной интервальной системы уравнений и численного метода поиска ее формального решения. Отличительной особенностью формального подхода является его универсальность: как общая теоретическая схема подхода, так и соответствующие численные методы с равным успехом применимы к задачам внутреннего и внешнего интервального оценивания даже более общих, чем объединенное, множеств решений (см. 15 8, 27, 281).
Дня решения рассматриваемой задачи (4) формальный подход применяется с середины 1990-х годов (см. 119, 21, 26|), и его традиционной основой служили следующие классические результаты, которые мы приводим в современной и несколько расширенной формулировке.
Лемма. Пусть Л — неособенная диагональная матрица. Множество решений интервальной линейной системы уравнений Ax = be A G IRraxra и b G совпадает с множеством решений интервальной системы
x = Gx + h, (39)
где G = I - ЛА, h = ЛЬ.
Теорема Апостолатоса — Кулиша [29-31]. Если матрица G G IRnxn такова, что спектральный радиус матрицы,, составленной из модулей ее элементов, меньше единицы, т. е. p(|G|) < 1, то интервальная линейная систем,а, уравнений, x = Gx + h имеет единственное правильное формальное решение в Жга. Оно может быть найдено с помощью итерационного процесса
x(fc+1) := Gx(k) + h, k = 0,1, 2,...
при любом начальном векторе x(0) и является внешней, интервальной оценкой множества решений { x G | (3G G G)(3h G h)( x = Gx + h) } рассматриваемой интервальной системы.
Аналитические выражения, которые составлены из символов переменных, констант, четырех арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и элементарных функций, будем называть элементарными функциональным,и выражениями. Обобщением теоремы Аиоетолатоса — Кулиша на системы нелинейных уравнений является теорема Алефельда — Херцбергера,
Теорема Алефельда — Херцбергера |1|, Пусть в интервальной системе уравнений
x = G(a,x) (40)
отображение G : IMn — IMn, действующее по правилу x — G(a, x), является, P-сжи-мающим, т. е.
Dist (G(a, x), G(a, y)) < P • Dist (x, y),
с такой неотрицательной матрицей P, что p(P) < 1, и выражения для, компонент, Gi(a, x) являются, элементарными, фпр национальными выражениями,, определенными для, рассматриваемых значений аргументов а и x. Тогда правильное формальное решение интервальной, системы уравнений, (40) существует, единственно и, является, внешней интервальной оценкой ее множества решений S(G, а) = {x £ Rn | (3a £ a)(x = G(a,x))}.
Результат Предложения 3 дает еще один, отличный от теоремы Аиоетолатоса — Кулиша, способ сведения внешней задачи (4) к нахождению формального решения некоторой специальной интервальной системы уравнений. Он не является абсолютно новым и ранее уже был получен в работе испанских математиков М.А. Сайнца, Э, Гарденьеса и Л, Джорбы |28|, но в несколько другой форме и с помощью длинных и малоочевидных рассуждений, использующих технику так называемого модального интервального анализа. Выше мы привели другой, прозрачный вывод этого факта. Будем называть впредь результат Предложения 3 испанской, версией, формального подхода к внешнему оцениванию множеств решений интервальных линейных систем.
A
b
дующую форму: если интервальный вектор x* является правильным формальным решением интервальной системы уравнений
an^1(x1) + a^fe) + ... + a1„^1(xn) = bb а21П2^) + a22^2(x2) + ... + a2nn2(xn) = b2,
21 2 1 22 2 2 2n 2 n 2
a«1n«(x1) + a„2njx2) + ... + araran2(xra) bra;
в которой отображения ni : KM — KM, i = 1, 2,..., n, таковы, что
- для каждого i значение ni(xj) равно xj для одного из j £ {1, 2,..., n} и dual xj
j
- для каждого индекса j £ {1, 2,..., n} равенство ni(xj) = xj выполняется в точ-
i
то x* D S(A, b), т. е. x* есть внешняя интервальная оценка множества решений си-Ax = b
фигурирует в работах |27, 281.
7. Вычисление формальных решений
На эффективность развиваемого здесь подхода основное влияние имеет способ нахождения формальных решений интервальных систем уравнений вида (36)-(37),
В работе |27|, где впервые была рассмотрена эта система уравнений, дня вычисления ее формального решения предлагается стационарный итерационный метод типа Якоби, основанный на выделении из матрицы ИСЛАУ диагональной компоненты. Недостаток этого метода — линейная сходимость (подобная сходимости геометрической прогрессии), которая дня некоторых интервальных линейных систем может быть весьма медленной. Фактически дня оценивания объединенного множества решений подобный способ ничем не лучше традиционных интервальных стационарных итерационных алгоритмов, не использующих выход в интервальную арифметику Каухера (см. |1, 3, 11, 32|), Таким, к примеру, является популярный метод Кравчика |3, 7|,
Кроме того, в |27| рассматривается возможность сведения задачи нахождения формального решения интервальных систем к оптимизационной задаче минимизации невязки. Этот путь весьма невыгоден, так как получающаяся целевая функция является негладкой, и ее глобальные свойства трудно поддаются исследованию. Соответственно, выбор оптимизационных методов в этой ситуации весьма узок, а их сходимость в общем случае проблематична.
Мы пойдем другим путем и воспользуемся техникой погружения интервального пространства в евклидово пространство двойной размерности |7, 8, 191. Ее назначение состоит в том, чтобы перейти из "нелинейного" интервального пространства КМга в линейное пространство, только в котором и применимы многие математические концепции, составляющие основу современных вычислительных методов (в частности, дифференцирование и выпуклость). Этот переход может быть осуществлен с помощью любого взаимно-однозначного отображения КМга — М2га — так называемого погружения, и его конкретный выбор обычно диктуется соображениями удобства и наиболее аккуратного сохранения свойств рассматриваемых объектов при переходе в повое пространство. В частности, имеет смысл задавать погружение КМга — М2га так, чтобы оно являлось изоморфизмом аддитивных групп пространств КМга и М2га, Отображение вИ : КМга — М2га, задаваемое правилом
( ( Ж1, а?2, • • • , Хп ) ) = ( — Ж1, — Ж2, ■ ■ ■ , ~Хп, X1, Х2, ■ ■ ■ , хп) ,
называют стандартным погружением, интервального пространства КМга в линейное пространство М2га [7, 19, 26], Оно особенно удобно потому, что частичный порядок по включению в КМга переводится им в покомпонентный порядок на линейном пространстве М2га, Иными словами,
ж С у в КМга о вИ (ж) < вИ (у) в М2га,
где для € М2га неравенство и < V понимается как щ < г = 1, 2,..., 2п. Легко также убедиться в том, что
вИ (рх + ^у) = р вИ (ж) + V вИ (у).
Интересующему нас отображению § : КМга — КМга стандартное погружение сопоставляет такое отображение в : М2га — М2га, что
в = вИ о § о вИ \
(42)
которое будем называть индуцированным. Наиболее важное практическое следствие погружения состоит в том, что нахождение формального решения уравнения (36) - (37) в KMn может быть заменено на решение индуцированного уравнения S(x) = 0 в привычном евклидовом пространстве M2n,
Индуцированное отображение S, очевидно, непрерывно по x и по параметрам A и
b
вальных арифметических операций сложения, вычитания и умножения в KM. Напомним следующее определение.
Определение [33-35]. Пусть евклидово пространство Mq упорядочено частичным, порядком, Отображение F : Mp — Mq называется, порядково выпуклым относительно если,
F(Ли + (1 - A)v) ^ AF(и) + (1 - A)F(v)
для, любых и, v £ Mp и Л £ [0,1].
Наиболее важное свойство индуцированного отображения S дает Предложение 4. Предложение 4. Если A £ IMraxra, то индуцированное отображение S : M2n —
M2ra, определенное посредством (42), является, порядково выпуклым в M2n относитель-
<
Доказательство. Пусть x', x'' £ KMn, Тогда для вся кого i = 1, 2,..., n и любого A £ [0,1] в силу (26) и субдистрибутивности умножения по сложению (11) справедлива следующая цепочка преобразований:
Si(Ax' + (1 - A)x") =
= aii dual (Axi + (1 - A)xf) + ^ aij (Axi + (1 - A)xf) - bi С
j = i
= A aii dual xi + (1 - A) аы dual xf + ^ (Aaijxi + (1 - A)aijxi') - bi =
j = i
= A Si(x') + (1 - A) Si(x'').
С KM
§г(Аж' + (1-А)ж") > A Sj(x') + (1 - A) g.Qr"), (43)
§i(Xx'+ (1 - X)x") < Х§г(х') + (1- \)§i(x"). (44)
Если векторы x',x'' £ M2n таковы, что
x' = sti (x') и x'' = sti (x''),
sti-1(x') = x' и sti -1(x'') = x'',
и поэтому
S(Ax' + (1 - A)xw) = sti (s(Ax' + (1 - A)x''^.
Привлекая определение стандартного погружения, с учетом (43)-(44) получим соотношения
ег(Лх' + (1 - \)х") = - §г(\х' + (1 - Х)х") < -А §г(х') - (1 - Л) §г(х") = = Л вДж') + (1 - Л) вДж") при 1 < г < п, вг(Ла/ + (1-Л)а;") = §» (Лаг' + (1 - Х)х") < А + (1 - Л) = = Л в*(ж') + (1 - Л) вДж") при п + 1 < г < 2п.
Это и требовалось доказать, ■
Порядковая выпуклость индуцированного отображения в влечет существование его субдифференциала дв всюду в М2га [33], Можно показать и большее: в является полиэдральным отображением, т. е, таким, что его график "склеен" из кусков гиперплоскостей. Следовательно, для нахождения решений индуцированного уравнения в (ж) = 0 в М2га имеет смысл применить субдифференциальный метод Ньютона, развитый ранее дня задач подобного сорта и успешно зарекомендовавший себя (см., в частности, |7, 19, 21, 36|):
Субдифференциальный метод Ньютона для решения уравнения (36) (37)
Выбираем некоторое начальное приближение х(0) € М2га.
Если (к — 1)-е приближение х(к-1) € М2га, к = 1, 2,... , уже найдено, то вычисляем какой-нибудь субградиент отображения в в точке
х(к-1) и полагаем
:= х(к-1) — т (^-1))-1 в(х(к-1)),
где т € ]0,1] — некоторая константа.
Нетривиальным моментом реализации субдиффрепциалыюго метода Ньютона является выбор начального приближения. Вычислительные эксперименты показывают, что оп сходится из любого начального приближения, по количество итераций до сходимости при этом возрастает. Эмпирическим путем было установлено |19, 21|, что дня алгоритма, вычисляющего формальное решение уравнения в рекуррентном виде (40), наиболее выгодный выбор начального приближения — это решение "средней" системы уравнений (mid A) x = mid b.
Реализация и численные эксперименты (см. раздел 10) показывают, что в рассматриваемом случае субдифферепцианьиый метод Ньютона работает хорошо, причем при т = 1 он в большинстве случаев находит формальные решения уравнения (36) - (37) за небольшое конечное число итераций. В частности, метод но своей эффективности качественно превосходит стационарные итерационные методы типа Якоби, предложенные дня решения аналогичной задачи в |27|, К примеру, дня системы Хаисепа (38) точное формальное решение уравнения (36) - (37) вычисляется субдифферепциальпым методом Ньютона всего за три итерации.
8. Условия существования правильного формального решения
К сожалению, даже когда множество решений ИСЛАУ непусто, формальное решение уравнения (36) - (37) часто не существует или не является правильным. В последнем случае оно не может быть проинтерпретировано согласно Предложению 3. Например, дня интервальной линейной системы
[1, 2] [2, 3] Ч ^ = / [60, 240] Ч
[2,3] [0,1]^ V [0,120] у ^
которая получена перестановкой местами уравнений в системе Хансена (38) и имеет то же самое множество решений (см. рис. 2), формальным решением вспомогательной системы (36)-(37) является неправильный интервальный вектор ([90,-120], [240, —60])т (субдифферепциальпый метод Ньютона успешно находит его за четыре итерации). Исследуем это затруднение более тщательно.
Прежде всего отметим, что если какой-нибудь из диагональных элементов матрицы A содержит нуль, то формальное решение уравнения (36)-(37) не может быть правильным, Покажем, что в этом случае соответствующие выражения (36) будут правильными интервалами, которые пе могут включаться в нуль.
Пусть x* — искомое формальное решение. Воспользуемся представлением (34):
аы • dual x* + ^ a, x* — = \J \J I аы • dual x* + ^ a, X , — Ь» I, j=» aijeaij h&i V /
j=1,...,n
i = 1, 2,..., n, Если какой-либо из ац является нульсодержащим интервалом, то соответствующее ему выражение в правой части выписанного равенства содержит
V V (
ij eaij biSbi \
0 • dual x* + 7 а»,-x* — ЬЛ = 7 а»,-x* —
аг] 0;Ь0; \ з=г / з=г
3=г
т. е. правильный интервал, который может быть равен нулю (имеющему нулевой радиус) в уравнении (37) лишь в исключительных случаях, когда равны нулю радиусы суммы ^ агз-х* и компоненты правой части 6г, Не будем выписывать строгую форму-3=г
лировку этих условий, так как они неизбежно должны носить апостериорный харак-
х*
по снижает их практическую ценность. Впредь условимся (пе вполне строго) считать, что отсутствие пульсодержащих диагональных элементов в матрице исходной системы (1)-(2) является необходимым условием существования правильных формальных решений системы (36)-(37).
Итак, феномен системы (45) получает следующее объяснение: в исходной интервальной системе Хансена (38) диагональные элементы пе содержат пулой, а система (45) этим свойством уже пе обладает.
Но отсутствие пульсодержащих элементов по диагонали матрицы ИСЛАУ пе является достаточным условием правильности формальных решений вспомогательных систем (36)-(37), и рассматриваемый вопрос требует дальнейшего исследования. Рассмотрим в качестве примера интервальную линейную систему
[1, 2] [2, 3] Ч х _ / [60, 240] Ч
[2,3] 1 ) V [0,120] у ' 1 ]
которая получена из (45) заменой нульсодержащего элемента [0,1] на 1 на месте (2, 2), Дня нее формальным решением вспомогательной системы (36) - (37) является тот же неправильный интервальный вектор ([90, -120], [240, —60])т,
Дня цепей дальнейшего анализа представим матрицу интервальной линейной системы уравнений Ax = b в виде суммы диагональной и внедиагональной частей, т. е.
A = C + D, (47)
где C = (cj) — матрица, в которой диагональ нулевая, Сц = 0, i = 1, 2,..., n, а вне-
A
Cj = aj- при всex i = j D = diag {di, d2, • • •, dn} — диагональная интервальная матри-
A
т. е. di = a^, i = 1, 2,..., n, Тогда введенный в Предложении 3 интервальный оператор S может быть записан как
S(x) = Cx + D ■ dual x — b,
а уравнение (36) - (37) примет вид
C x + D ■ dual x — b = 0.
В силу сказанного выше будем всюду далее предполагать, что D неособенна, т. е. 0 ^ di; i = 1, 2,..., n.
Пусть x* — формальное решение этой интервальной системы уравнений, так что
Cx* + D ■ dual x* — b = 0.
Добавим к обеим частям данного равенства по величине opp (D ■ dual x*), алгебраически противоположной к D ■ dual x* (что равносильно переносу этого члена "с противоположным знаком" в другую часть равенства), В результате получим
opp (D■ dual x*) = Cx* — b,
откуда, умножая обе части на —1 и учитывая, что —opp (■) = dual (•), будем иметь
dual (D■ dual x*) = b — Cx*. Наконец, опираясь па (26), приходим к соотношению
(dual D) ■ x* = b — Cx*. (48)
A (dual D)
существует алгебраически обратная матрица inv (dual D), т.е. такая, что ее произведение на dual D дает единичную матрицу. Коль скоро inv dual (■) = (-)-1, то эта алгебраически обратная матрица совпадает с обычной обратной интервальной матрицей D-1 = diag{1/d1,1/d2,..., 1/dn}, и потому, домножая на нее обе части равенства (48), приходим к следующей равносильной форме записи уравнения (36)-(37):
x = D-1(b — Cx). (49)
Системы уравнений подобного вида, в которых неизвестная переменная выделена в одной из частей "в чистом виде", называются системами уравнений в рекуррентном виде
(про операторные уравнения в аналогичной форме говорят, что они являются уравнениями второго рода). Именно такой вид имеют интервальные системы уравнений в теоремах Апостолатоса — Кулиша и Алефельда — Херцбергера, на которые опиралась традиционная версия формального подхода к внешнему оцениванию множеств решений, В случае, когда x* есть правильное формальное решение интервальной системы уравнений в рекуррентном виде (49), беря радиус от обеих частей равенства
x* = D-1( b - Cx*),
получим
rad x* = rad (Ъ-1( b - Cx*^.
Ho rad (UV) > |U| • rad V для любых правильных интервальных матриц ^У согласованных размеров, дня которых имеет смысл их произведение (см, |1, 3, 7|), Поэтому
rad (D-1(b - Cx*^ > |D-1| • rad (b - Cx*) = |D-1| • ( rad b + rad(Cx*)).
b
rad b > 0, то справедливо неравенство
rad x* > |D-1| • rad (Cx*) > |D-1| |C| • rad x*. (50)
rad x* > 0
rad b > 0
ным брусом в все компоненты которого имеют ненулевую ширину.
Напомним теперь следующий факт из теории неотрицательных матриц. Если A -неотрицательная n х n-матрица, р(А) — ее спектральный радиус и а — положительное вещественное число, то
р(А) < а ^^ (3v G Rn)(v > 0 & Av < av), p(A) > a ^^ (3v G Rn)(v > 0 & Av > av).
Доказательство может быть найдено, например, в книге Р. Хорпа и Ч. Джонсона |37| либо в англоязычных источниках |3, 10|, С другой стороны, неявным образом этот факт обосновывается в доказательство X, Виландта теоремы Перрона — Фробепиуса о неотрицательных матрицах, которое воспроизводится во многих пособиях но теории матриц, например, в классической работе Ф, Гантмахера |38|,
В рассматриваемом случае для положительного вектора y = rad x* и для неотрицательной матрицы |D-1| |C| имеет место |D-1| |C| y < y. Следовательно, в силу выше-отмеченных свойств неотрицательных матриц спектральный радиус матрицы |D-1| |C| должен быть строго меньше 1:
p(|D-1||C|) < 1. (51)
Это необходимое условие существования правильного формального решения систем (49) и (36) - (37) при rad b > 0 и не содержащих нуля диагональных элементах в A,
Отметим, что поскольку D диагональная матрица, то |D-1| |C| = |D-1C|, и выведенное условие равносильно р( |D-1C|) < 1,
Полученным результатам можно придать несколько другую форму, дня чего нам понадобятся следующие определения.
Определение [10, 39], Точечная п х и-матрица А называется, М-матрицей, если, она представим,а, в виде А _ 8/ — Р, где 8 € М, Р — неотрицательная матрица и, 8>р(Р).
Определение [3, 7], Интервальную п х п-матрицу А € Жгахга станем называть интервальной М-матрицей, если М-матрицами являются, все содержащиеся, в ней точечные ,матрицы,.
Определение [3, 7]. Матрица А € Мгахга называется, Н-матрицей, если, ее ком,па-рант является, М-матрицей. Матрица А € Жгахга называется, интервальной Н-м,а,т-
А€А
Яспо, что у М-матрицы впедиагопальпые элементы неположительны. Нетрудно также показать, что диагональные элементы М-матрицы обязаны быть положительными. Вообще М-матрицы — относительно просто описываемый подкласс всех положительно обратимых матриц, т.е. матриц, имеющих неотрицательную обратную матрицу |39|,
Н-матрицы — это специальный класс матриц, V которых диагональ доминирует над остальной, впедиагопалыюй, частью матрицы в спектральном смысле |3, 7, 10|". Класс Н-матриц включает в себя в качестве собственного подмножества все матрицы, удовлетворяющие традиционному условию диагонального преобладания, по по исчерпывается ими. Другой пример Н-матриц — неособенные треугольные матрицы, верхние или нижние 131. Для Н-матриц удается сохранить многие хорошие свойства М-матриц, в частности, оценку па обратную матрицу.
Для любого интервала х € 1М такого, что 0 € х, справедливо
в силу чего для диагональной матрицы Я имеет место соотношение
_ (Я)-1.
При rad Ь > 0 с учетом (50) это позволяет сделать выв од о том, что (Я)-1 |С | у < у для положительного вектора у _ radх* € Мга, В силу неотрицательности (Я)-1 обе части полученного неравенства можем домножить на эту матрицу, прийдя к (Я)у > |С| у, т. е.
«Л> —|С|) у > 0. (52)
В выражении (Я) — |С| нетрудно увидеть компарант матрицы А, поэтому (52) рав-
(А)у > 0 у > 0
Н-матриц (см, подробности, к примеру, в |3, 7|), Мы обосновали Предложение 5.
Предложение 5. Если, в интервальной линейной, си,стем,е Ах _ Ь диагональ-А
левую ширину, т. е. rad Ь > 0, то для, существования правильного формального ре-
А
Н-матрицей.
С другой стороны, справедливо Предложение 6.
Предложение 6. Для, существования правильного формального решения системы интервальных уравнений (36) - (37) достаточно, чтобы в интервальной линейной си,стем,е Ах _ Ь матрица А являлась Н-матрицей.
Доказательство. Действительно, для Н-матрицы А € 1Мгахга диагональ не содержит нулей, и потому в представлении (47) диагональная матрица Я неособенна. Тогда
равносильной формой записи системы (36)-(37) является рекуррентный вид (49), который можно представить как
x = G(A, b, x)
с отображением G : IRn — IRn, действующим по правилу x — D-1(b — Cx), где матрица A связана с C и D посредством соотношения (47), A
Dist (G(A, b,x), G(A, b, y)) = Dist (D-1(b — Cy), D-1(b — Cy)) < < |D-1| ■ Dist (b — Cx, b — Cy) < |D-1| |C| ■ Dist(x, y),
рассматриваемое отображение G является |D-1| |C|-сжимающим. Требуемое утверждение вытекает теперь из теоремы Алофольда — Херцбергера, формулировка которой приведена в разделе 6, ■ С учетом сказанного ситуация с правильностью/неправильностью формальных решений рассмотренных конкретных систем (38) и (45),(46) получает еще одно, наиболее глубокое, объяснение: матрица системы Хансена (38) является интервальной II-матрицей, тогда как в системах (45) и (46) матрицы таковыми уже не являются.
Как приводить ИСЛАУ общего вида к системам с Н-матрицами? Для этой цени служит процедура нредобуелавливания |3, 7| — домпожепие слова матрицы и правой части решаемой ИСЛАУ на специально подобранную точечную матрицу Л, в силу чего вместо системы Ax = b получается интервальная система ^A) x = Ль, Множество решений Б^A, ЛЬ) предобусловленной системы может сделаться при этом более широким, чем исходное множество решений Б (A, b), но матри ца ЛA новой системы будет
AA при Л = (mid A)-1, называемом предобуславливанием обрат ной средней, Л A является ff-матрицей |3, 7|.
9. Качество оценивания
Полученное представление уравнений (36) - (37) в рекуррентном виде (49) позволяет ответить па вопросы о соотношении результата Предложения 3 с другими версиями формального подхода к внешнему оцениванию множеств решений, а также о качество этого оценивания. Сравнивая уравнение в рекуррентном виде (49), равносильное системе (36)-(37), с уравнениями (39)-(40) из теорем Аносто.натоса — Кулиша и Алофольда—Херцбергера, можем видеть, что "испанская версия" формального подхода, представленная в Предложении 3, является, но существу, удачно скомпонованной вариацией известного ранее варианта формально-алгебраического подхода из |19, 21, 26|, в которую неявно встроена процедура приведения системы к рекуррентному виду.
Оценки близости формального решения интервальной линейной системы в рекуррентном виде x = Gx + h к оптимальной (точной) оценке ее множества решений были исследованы многими авторами, из которых отметим Д. Гея |32| и А. Ноймайера |3|, Пользуясь методикой, развитой в |3|, покажем, что дня формального решения интервальной системы (36) - (37) или равносильной ей системы (49) справедлив следующий результат.
Предложение 7. Пусть A G IRraxra — интервальная Н-матрица, D, C диагональная и внедиагональная части, A соответственно ub G Если, x* — формальное решение интервальной линейной системы (36) - (37)
S(A, b, x) = Cx + D • dual x — b = 0,
x*
□ Б (A, b) множества решений интервальной линейной, системы Ax = b:
Dist (□ Б, x*) < 2 (I — |D-1C|)-1 |D-1C^ rad (□ Б). (53)
Доказательство. Прежде всего из условия теоремы следует, что в представлении A = C + D матрица D неособенна и p(|D-1C|) < 1, Покажем, что справедливо включение
x* С □ Б + D-1C(□Б — x*).
В правой части этого включения второе слагаемое является произведением трех интервальных матриц (размером n х n, n х nan х 1), требующим, вообще говоря, расстановки скобок из-за пеассоциативпости интервального матричного умножения. Но так как первый из сомножителей — диагональная матрица D- , делать это необязательно.
Ясно, что x* = D-1 (b — Cx*) в силу уравнения (49). Зафиксируем индекс i G {1, 2,..., n} и возьмем какое-нибудь значение £ G x*. Поскольку результаты интервальных матричпо-векторпых операций являются интервальными оболочками множеств то-дечных результатов соответствующих операций, взятых "по представителям", то £ = (D-1(6 — Cx)) для некоторых C G C, D G D, x G x* и Ь G b. Преобразуем это выражение далее, учитывая, что в условиях теоремы из p(|D-1C|) < 1 следует обратимость матриц (I + D-1C) для люб ых C G C и D G D:
D-1(6 — C x) = (I + D-1C)-1D-1b — (I + D-1C)-1D-1b + D-1(6 — Cx) = = (I + D-1C )-1D-16 — (I + D-1C)-1D-1b + D-1b — D-1Cx = = (I + D-1C)-1D-1b — (I + D-1C)-1D-1b+ +(/ + D-1C)(i + D-1C)-1D-1b — D-1Cx = = (I + D-1C)-1D-16 + D-1C (I + D-1C )-1D-16 — D-1Cx = = (I + D-1C)-1D-1b + D-1C ((i + D-1C)-1D-16 — x).
Интервализуя полученное выражение no C G C, D G D, x G x*, Ь G b и учитывая принадлежность
А-1Ь = (C + D)-16 = (I + D-1C)-1D-1b g □ б
для любых A = C + D G Ah Ь G b, получим включение
D-1(b — Cx) G □ Б + D-1C(□ Б — x*).
Поэтому для любого индекса i = 1, 2,..., n и для любых £ G x* справедливо включение
£ G (□ Б + D-1C (□ Б — x*))., т. е. действительно x* С □ Б + D-1C(□ Б — x*).
Из полученного включения в силу свойств расстояния Б1в1 следует:
Б1в1 (□ Б, ж*) < (□ Б, □Б + ^-1С(□Б - ж*)) = = БМ (0, ^-1С(□ Б - ж*)) = |^-1С(□ Б - ж*)| < |^-1С| |ПБ - ж*|.
Но для любых интервальных векторов и, V из Жга имеет место оценка [3]
|и - VI < Б1в1 (и, v) + 2radи. ( ) ( )
Б1в1 (□ Б, ж*) < |^-1С |- (Б^в^Б, ж*) + 2rad(□ Б)), (54)
()
(I - |^-1С|) ■ БМ (□ Б, ж*) < 2 |^-1С|- rad(□Б). (55)
Матрица (I - |^-1С|) обратима, коль скоро р(|^-1С|) < 1, и, кроме того, обратная матрица (I - |^-1С|)-1 неотрицательна, в чем легко убедиться из ее разложения в матричный ряд Неймана
те
(I - |^-1С|)-1 = |^-1С|к, к=0
в котором все члены неотрицательны. Следовательно, можно домпожить обе части неравенства (55) слева на неотрицательную матрицу (I - |^-1С|)-1, получая доказываемое неравенство (53). ■ Следствие. Если в условиях Предложения 7 дня некоторой абсолютной матричной нормы || ■ || величина п := ||^-1С|| такова, что п < 1, то для согласованной абсолютной векторной нормы справедливо неравенство
||Ш1(ПБ,Ж*)|| < ^--Цгас1(П~)||. (56)
Действительно, при доказательство Предложения 7 мы установили оценку (54)
БМ (^Б, ж*) < |^-1С| (Б1в1 (□Б, ж*) + 2rad(□ Б)).
Беря норму от обеих частей этого неравенства между неотрицательными векторами и пользуясь условиями согласования векторных и матричных норм, получим
||Б181 (□ Б, ж*) || < ||^-1С|| ■ ||Б1в1 (□Б, ж*) + 2 rad (□ Б) || < < ||^-1С|| ■ ( уБ1в1 (□ Б, ж*)| +2 НгвЛСОБ)||),
откуда имеем
(1 - ||^-1С ||) ■ (□ Б, ж*)| < 2 ||^-1С || ■ ||rad (□ Б )||.
При ||^-1С|| = п < 1 это влечет оценку (56).
Оценка (56) означает, что точность "испанской версии" формального подхода совершенно такая же, как традиционной, т. е. имеет первый порядок в зависимости от размеров множества решений. Тот же первый порядок точности внешнего оценивания
множеств решений ИСЛАУ имеют, как известно, большинство "быстрых" (полиномиально сложных) методов внешнего оценивания множеств решений ИСЛАУ |3, 7|,
В заключение раздана приведем аналог известного результата об оптимальном (наилучшем) оценивании множеств решений ИСЛАУ с М-матрицами,
Предложение 8. Если А € Жгахга — интервальная М-матрица, то для, любого вектора Ь € Жга правильное формальное решение интервальной линейной, системы (36)-(37) существует и совпадает с интервальной оболочкой ПБ(А, Ь) множества решении интервальной линеинои системы Ах = Ь.
Доказательство. Оно основано па следующем свойстве умножения па неотрицательный правильный интервал: если а € Ж и а > 0, то
ах = ах, ах = ах (57)
для некоторых а, а € а. Действительно,
ах = [ах, ах] дня точечного а > 0.
а > 0
ах
V ^
ах\
а€а
1шп (ах), шах (ах)
а.£а а.£а
[ах, йж]
для каких-то значений а, а € а.
Переходя к доказательству основного результата Предложения 8, заметим, что существование правильного формального решения дня системы (36) - (37) вытекает из
А
диагональ О положительна, и формальное решение х* интервальной системы (36)-(37) удовлетворяет уравнению (49), те,
х* = О-1(Ь - Сх*) = О-1(Ь + (-С)х*).
Следовательно,
х* = О-1 (Ь + (-С)х*) = = Б-1( Ь + (—С)х*) в силу (57), поскольку О-1 > 0, = = Р~1(Ь+ (-С)х*) =
= Б~1(Ь + (~С)х*) снова в силу (57), так как (—С) > 0
дня каких-то /) € Г) и С £ С. Это означает, что вектор х* является решением точечной системы Ах = Ь с А = С + Г) € А и потому принадлежит множеству решений Б (А, Ь). Аналогичными рассуждениями можно показать, что вектор х* также леж ит в Б (А, Ь)
и поэтому х* = [х*,х*] С ПБ(А,Ь). Но, с другой стороны, х* 1Э Б(А,Ь) по Предложе-
х*
оценкой для множества решений Б (А, Ь), ■
10. Численные примеры
Данный раздел посвящен сравнению "испанской версии" формального подхода с другими методами внешнего оценивания множеств решений ИСЛАУ, При этом мы используем термин "испанская версия" расширительно, для обозначения вычислительной процедуры, основанной на Предложении 3 и использующей дня нахождения формального решения системы (36)-(37) еубдифференциальный метод Ньютона (чего испанские авторы в своих работах |27, 28|, конечно, не рассматривали).
Ее естественными конкурентами, областью применимости которых также служат интервальные линейные системы с ff-матрицам, являются:
- процедура Хансена —Блика —Рона [4, 40-43], имеющая трудоемкость 4n3 + O(n2);
- интервальный итерационный метод Гаусса — Зейделя |3, 7|, трудоемкость выполнения одного шага которого составляет O(n2);
- традиционная версия формального (алгебраического) подхода |19, 21, 26|, в которой каждый шаг субдифференциалыюго метода Ньютона требует решения точечной системы линейных уравнений и, следовательно, имеет трудоемкость O(n3), В этот список не включен интервальный метод Гаусса, также имеющий трудоемкость выполнения O(n3), но характеризующийся невысоким качеством внешних оценок.
Интервальный метод Гаусса — Зейделя является, па первый взгляд, самым быстрым из рассматриваемых, по в действительности количество шагов, которые он может выполнить до сходимости, в значительной степени зависит от свойств матрицы интервальной системы. Это число невелико для матриц с сильно выраженным диагональным преобладанием и становится большим или даже очень большим, когда преобладания почти пет. По этой причине полная трудоемкость интервального итерационного метода Гаусса — Зейделя является величиной очень непостоянной, В данном смысле процедура Хансена — Блика — Рона и еубдифференциальный метод Ньютона в формальном подходе (традиционной или "испанской" версии) демонстрируют гораздо более благоприятное поведение. Их трудоемкость почти не зависит (или слабо зависит) от свойств решаемой системы, что существенно дня многих алгоритмов, в которых задача оценивания множеств решений ИСЛАУ используется как вспомогательная.
Рассмотрим в качестве первого примера систему уравнений
множество решений которой показано па рис, 3. Оптимальная (точная) внешняя интервальная оценка ее множества решений есть брус ([-2,1.9662], [-1,4])т,
Матрица системы (58) является Н-матрицей, по она весьма близка к границе множества Н-матриц. Так, интервальная матрица
отличающаяся от матрицы в (58) на 0.1 в левой границе элемента на месте (1, 2), уже не является Н-матрицей, По этой причине пример (58), будучи "пессимистическим", весьма труден дня рассматриваемых методов внешнего оценивания множеств решений ИСЛАУ, Вместе с тем он хорошо демонстрирует трудности худшего случая, которые быстро нарастают при увеличении размерности задачи.
(58)
[2, 3] [-2,1] [1, 2] [2, 3]
Рис. 3. Множество решений системы уравнений (58) и мх) наилучшая внешняя интервальная оценка
Процедура Хансена — Блика — Рона в применении к (58) дает ответ
[-38,58] \ , ч
• 59
[-10,60] ) К 1
При использовании традиционной версии формального подхода согласно |19, 21, 26| задача сводится к нахождению формального решения системы
^еу diag А)х = (dev diag А — А)х + Ь, (60)
где diag А — диагональ матрицы А (обозначенная через О в представлении (47) и в последующих выкладках) и
Г х, если |ж| > |ж|, devж := < _
[ ж, иначе, —
отклонение интервала х, т. е. наиболее удаленная от нуля точка интервала х. Искомое формальное решение равно
[—23.3846, 25.1154] \
[—24.6154,25.3846] ) ^ )
и находится субдифферепциальпым методом Ньютона за одну итерацию. "Испанская версия" формального подхода дает тот же ответ за три итерации, по пе требует приведения исходной ИСЛАУ к виду (60).
Что касается интервального метода Гаусса — Зейделя, то он сходится к тому же интервальному вектору (61), но делает это существенно медленнее. Запущенный из начального бруса ([-40, 40], [-40, 40])т, он выдает за 40 итераций ответ
[-25.2629, 27.0925] [-26.5925, 27.2629]
На каждой итерации еубдифференциалыюго метода Ньютона нужно решать точечную систему линейных уравнений в М2га, и потому можно считать, что трудоемкость одной его итерации составляет 0(п3), Но этих итераций требуется немного. Как правило, их количество не превышает порядка решаемой интервальной системы уравнений, а в реальности является даже существенно меньшим. Трудоемкость одной итерации интервального метода Гаусса —Зейделя равна 0(п2), но в случае "плохой" матрицы НСЛАУ сходимость может потребовать значительного количества итераций. В подобных случаях полные трудозатраты интервального метода Гаусса — Зейделя превышают трудозатраты субдифференцианьного метода Ньютона.
Рассмотрим теперь работу перечисленных в начале раздана методов совместно с иредобуславливанием обратной средней матрицей. Это популярная модификация, которая рекомендуется многими специалистами дня постоянного применения, так как вкупе с традиционными методами внешнего оценивания множеств решений (интервальным методом Гаусса, итерационными методами и т. н.) она обеспечивает квадратичную точность внешнего оценивания относительно ширины решаемой интервальной системы |3, 44|, а не первый порядок, как в (53) и ей аналогичных оценках. Напомним, что пре-добуславливание обратной средней встроено в известный интервальный итерационный метод Кравчика |3, 7|,
После иредобуславливания исходной системы (58) обратной средней матрицей получаем систему
[0.7870,1.2130] [-0.5560, 0.5560] N _/ [0.0649, 0.9820] [-0.2889, 0.2889] [0.5054,1.4946] )Х ^ [-0.0723,1.4441]
применении к пей процедура Хансена — Блика — Рона дает ответ
' [-3.2462, 5.4770] ' [-1.4352, 5.9869]
который весьма близок к оптимальным внешним оценкам. Но предобуславливание обратной средней и результат о квадратичной сходимости внешних оценок работают хорошо в случае "не слишком широких" интервалов в системе уравнений. Если рассматривается ИСЛАУ с широкими и очень широкими интервальными данными в матрице, то в действие вступают нелинейные эффекты, предобуславливание обратной средней матрицей оказывается не лучшим, и ситуация качественно меняется |7|,
Дня иллюстрации этого утверждения рассмотрим в качестве примера систему уравнений
' [2, 300] [-1.9,1]
[1,2] [2,300] ' Х" ' г 1 - '' (62)
в которой сильно увеличены верхние границы диагональных элементов. Ее множество решений отличается от множества решений системы (58) весьма незначительно (лишь
нижней границей куска из первого квадранта), а оптимальные (точные) покоординатные оценки множества решений совершенно такие же:
[—2,1.9662] [—1, 4]
Но после иредобуславливания обратной средней процедура Хансена — Блика — Рона дает в применении к получившейся системе ответ
[—32.1299, 49.1483] [—8.5763, 50.9130]
очень широкий интервал, что несколько лучше ответа, получаемого с помощью формального (алгебраического) подхода
[—48.1424, 49.1483] [—48.4105, 50.9130]
который и традиционная, и "испанская" версии получают всего за три итерации, К тому же продолу сходится из "достаточно широкого" начального приближения интервальный итерационный метод Гаусса — Зейделя, по так же медленно, как и в случае исходной системы без предобуславливапия (58),
11. Некоторые итоги и выводы
"Испанская версия" формального (алгебраического) подхода к внешнему оцениванию множеств решений интервальных систем уравнений, сводящая исходную задачу к нахождению правильного формального решения системы уравнений (36)-(37) или (41), является равносильной версией подхода, развитого ранее в работах |19, 21, 26|, и имеет ту же сферу применимости — интервальные линейные системы с Н-матрицами,
Имея те же характеристики трудоемкости выполнения, "испанская версия" несколько более трудна дня реализации и использует в среднем немного больше итераций дня сходимости. Однако в отличие от традиционной она по требует специального приведения исходной интервальной системы с специальному рекуррентному виду.
Список литературы
[1] Алефелвд Г., Херцвергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.
[2] Калмыков С.А., Шокип Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервальжих) анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
[3] Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge Univ. Press, 1990.
[4| Задачи .линейной оптимизации с неточными данными / М. Фидлер, И. Недома, Я. Рамик, И. Рон, К. Циммерманн. М.; Ижевск: Изд-во РХД, 2008.
[5] SllARY S.P. Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance and control problems, or One more application of Kaucher arithmetic /7 Reliable Comput. 1996. Vol. 2, No. 1. P. 3 33.
[6] Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу .линейных статических систем с интервальной неопределенностью /7 Изв. АН. Теория и системы управления. 1997. № 3. С. 51 61.
[7] Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. Электронная книга, доступная на http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/SharyBook.pdf
[8] SllARY S.P. A new technique in systems analysis under interval uncertainty and ambiguity /7 Reliable Comput. 2002. Vol. 8, No. 5. P. 321 418 (электронная версия http://www.nsc.ru/interval/shary/Papers/ANewTech.pdf).
[91 Kearfott R.B., Nakao M., Neumaier A. et al. Standardized notation in interval analysis /7 Тр. XIII Байкальской междунар. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Т. 4. "Интервальный анализ". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. С. 107 113 (электроная версия http: //www.nsc.ru/interval/INotation.pdf).
[10] Bermax A., Plemmoxs R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York: Acad. Press, 1979.
[11] Moore R.E., Kearfott R.B., Cloud M.J. Introduction to Interval Analysis. Philadelphia: SIAM, 2009.
[12] Интервальный анализ и его приложения. Веб-сайт http://www.nsc.ru/interval
[13] Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Высшая школа, 1996.
[14] Мапусов В.З., Моисеев С.М., Перков С.Д. Интервальный анализ в линейных задачах электротехники /7 Информационно-оперативный материал (интервальный анализ). Красноярск, 1988. (Препр. ВЦ СО АН СССР. № 6. С. 29 31.)
[15] Фихтепгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1966.
[16] Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции однох'о нсрсмсннох'о. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1969.
[17] mlraxda С. Un' osservatione su un teorema di Brouwer /7 Bollct. Unione Mat. Ital. Serie II. 1940. Vol. 3. P. 5 7.
[18] KAL'CllER E. Uber metrische und algebraische Eigenschaften einiger beim numerischen Rechnen auftretender Räume. Dr. Naturwissen. Dissertation. Univ. Karlsruhe, 1973.
[19] Шарый С.П. Алгебраический подход во "внешней задаче" для интервальных линейных систем /7 Вычиел. технологии. 1998. Т. 3, № 2. С. 67 114.
[20] KAUCHER Е. Interval analysis in the extended interval space IR // Fundamentals of Numerical Computation (Computer-oriented numerical analysis) / Eds. G. Alefeld, R.D. Grigoricff. Comput. Suppl. 2. Wien: Springer, 1980. P. 33 49.
[21] SllARY S.P. Algebraic approach in the "outer problem" for interval linear equations /7 Reliable Comput. 1997. Vol. 3, No. 2. P. 103 135.
[22] Gardexes E., Trepat A. Fundamentals of SIGLA, an interval computing system over the completed set of intervals /7 Computing. 1980. Vol. 24. P. 161 179
[231 GardeXes E., Trepat A., Mielgo H. Present perspective of the SIGLA interval system /7 Freiburger Intervall-Berichte. 1982. No. 82/9. P. 1 65.
[24] Клейп Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989.
[25] Haxsex Е. On linear algebraic equations with interval coefficients /7 Topics in Interval Analysis / Ed. E. Hansen. Oxford: Clarendon Press, 1969. P. 35 46.
[26] Шарый С.П. Алгебраический подход во "внешней задаче" для интервальных линейных систем /7 Фундамент, и прикл. математика. 2002. Т. 8, № 2. С. 567 610 (электронная версия http://www.nsc.ru/interval/shary/Papers/FunPriMath.pdf).
[27] Salxz M.A., Gardexes E., Jorba L. Formal solution to systems of interval linear or nonlinear equations /7 Reliable Comput. 2002. Vol. 8. P. 189 211.
[28] Saixz M.A., Gardexes E., Jorba L. Interval estimations of solution sets to real-valued systems of linear or non-linear equations /7 Reliable Comput. 2002. Vol. 8. P. 283 305.
[29] Apostolatos N., Kl'LISCH U. Grundzüge einer Intervallrechnung für Matrizen und einige Anwendungen /7 Electron. Rechenanl. 1968. Bd 10. S. 73 83.
[30] Mayer O. Uber die in der Intervallrechnung auftretenden Räume und einige Anwendungen. PhD Dissertation. Univ. Karlsruhe, 1968.
[31] Шарый С.П. О сравнении теорем Аностолатоса Кулиша и Майера Варнке в интервальном анализе /7 Сиб. журн. вычисл. математики. 2009. Т. 12, № 3. С. 351 359.
[32] Gay D.M. Solving interval linear equations /7 SIAM J. Numer. Anal. 1982. Vol. 19, No. 4. P. 858 870.
[33] акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, 1978.
[34] Овэп Ж.-П. Нелинейный анализ и ei'o экономические приложения. М.: Мир, 1988.
[35] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
[36] Necmaier A. On Sharv's algebraic approach for linear interval equations /7 SIAM J. Matrix Analysis and Appl. 2000. Vol. 21. P. 1156 1162.
[37] Хори P., Джонсон Ч. Матричный анализ. M.: Мир, 1989.
[38] Гаптмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
[39] Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
[40] Bliek С. Computer Methods for Design Automation. PhD Thesis. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, MA, July 1992.
[411 Haxse E.R. Bounding the solution of interval linear equations /7 SIAM J. Numer. Anal. 1992. Vol. 29, No. 5. P. 1493 1503.
[42] Ronx J. Cheap and tight bounds: The recent result by E. Hansen can be made more efficient /7 Interval Comput. 1993. No. 4. P. 13 21.
[43] Neumaier A. A simple derivation of Hansen Bliek Röhn Ning Kearfott enclosure for linear interval equations /7 Reliable Comput. 1999. Vol. 5, No. 2. P. 131 136.
[441 Miller W. On an interval-arithmetic matrix method // BIT. 1972. Vol. 12. P. 213 219.
Поступила а редакцию 26 июля 2010 г., с доработки 29 ноября 2010 г.
