CC BY
2ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.946
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 39
ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ТРЕХМЕРНОЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Турсунов Фарход Рузикулович, д.фил.-по ф.-м.н., доцент
farhod. tursunov. 76@mail.ru Рузикулов Фаридун Фарходович, студент faridunruzikulov2211@gmaHi.com Норимов Азизжон Комилович, магистр aziznoimov46gmail. com
Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова
Самарканд, Узбекистан
Аннотация: В статье изучается задача продолжения решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в области G по ее известным значениям на гладкой части S границы dG , т. e. изучается задача Коши для решения линейных систем уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами. Рассматриваемая задача относится к некорректным задачам математической физики, т.к. отсутствует непрерывная зависимость решения от начальных данных. Предполагается, что решение задачи существует и непрерывно дифференцируемо в замкнутой области и данные Коши на части границы области заданы точны. Для данной некоректной задачи получена явная формула продолжения. Полученa оценка устойчивости решения задачи Коши в классическом смысле.
Ключевые слова: Задача Коши, некорректные задачи, функция Карлемана, регуляризованные решения, регуляризация, формулы продолжения.
CAUCHY PROBLEM FOR FIRST-ORDER LINEAR ELLIPTIC SYSTEMS WITH
CONSTANT COEFFICIENTS IN A THREE-DIMENSIONAL BOUNDED DOMAIN
Tursunov Farhod Ruzikulovich, PhD, assistant professor,
farhod. tursunov. 76@mail.ru Ruzikulov Faridun Farhodovich, student, faridunruzikulov2211@gmajl.com Norimov Azizjon Komilovich, master student aziznoimov46gmail. com Samarkand State University named after Sharof Rashidov
Samarkand, Uzbekistan
Abstract: The paper studies the problem of continuing the solution of linear systems of elliptic type of the first order with constant coefficients in a domain G by its known values on the smooth part S of the boundary dG , i.e. the Cauchy problem is studied for solving linear systems of equations of the elliptic type of the first order with constant coefficients. The problem under consideration belongs to the ill-posed problems of mathematical physics, since there is no continuous dependence of the solution on the initial data. It is assumed that a solution to the problem exists and is continuously differentiable in a closed domain, and the Cauchy data on a part of the boundary of the domain are given exact. For this ill-posed problem, an explicit continuation formula is obtained. An estimate of the stability of the solution of the Cauchy problem in the classical sense is obtained.
Keywords: Cauchy problem, ill-posed problems, Carleman function, regularized solutions, regularization, continuation formulas.
Введение. Пусть x — (x1,x2,x3) и у — (у1,У2,у3) точки трёхмерного Евклидового
пространства R3 и хг — (х, х2, х3 )T - транспонированный вектор X. Вводим следующие обозначения:
У ' — (У1, У2)' Х ' — (х1. Х2)'
— |у - х|, а — \у'- ха2 — s, м — ¡у/и2 + а2 + у3, и > 0
д_
дх
д д д
^ дхх дх2 йх3 J
д_
ду
д д д ,дУ/ ду/ дУз J и(х) — (и (х), и2 (х),..., и(х))г, и0 — (1,1, ...,1) е Я". Рассмотрим ограниченная односвязная область О в R3 с границей дО — £ ^ ^ , состоящей из компактной связной части Q плоскости у3 — 0 и гладкого куска поверхности Ляпунова £ , лежащей в полупространстве у3 > о . Положим О — О ^ дО .
Обозначим через Ахп (х) класс матриц Б(хТ), элементами которых являются линейные формы с комплексными коэффициентами таких, что выполняется равенство
Б*(хг)Б(хг) — Е(|х|2и0); здесь Б*(хТ) - сопряженная к Б(хТ) матрица, а Е(х) -
диагональная матрица размерности (п х I), п, I > 3 . Рассмотрим задачу Коши
Б
(1)
(2)
п > 3, здесь,
. и(х) — 0 , х е О , чдх
и (х)\ 8 — / (х),
относительно неизвестной функции и(х) — (и(х),и2(х),...,ии(х)) /(х) - непрерывная функция, заданная на части £ границы области О .
Система уравнений (1) представляет собой систему эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами. Такие системы охватывают широкий класс эллиптических систем; например, классическое уравнение Лапласа х) = 0 в двухмерном случи можно рассматривать как частный случай системы (1).
Задача Коши для системы Коши - Римана (для голоморфных функций в классической версии) является известной проблемой, находящей свое применение в физике, электродинамике, механике жидкости и газа и т. д. (см. [1], [2], [8]). На самом деле она является типичным примером некорректной задачи для более общего класса эллиптических систем (см. [4], [5], [8]) или даже эллиптических дифференциальных комплексов [10,11]. Как отмечалось в [8], метод регуляризации наиболее эффективен для изучения данной задачи. Литературы [2,6,7] дают достаточно полное описание условий разрешимости задачи, а также пути ее регуляризации.
Основные результаты. Если функция и (х) е С (О) П О (О) является решением системы (1), то верно следующее интегральное представление [7]:
и (х) — | М (х, у)и (у^у, (3)
где
М (х, у) —
4 яг
-и0 Б
д_
ду
Б(гт),
J J
I — () - единичная внешняя нормаль, проведенная в точке у границы дО .
г
Метод получения указанных результатов основан на конструкции в явном виде фундаментального решения уравнения Лапласа, зависящего от положительного параметра, исчезающего вместе со своими производными при стремлении параметра к бесконечности на Q, когда полюс фундаментального решения лежит в полуплоскости
У2 > 0. Следуя М.М. Лаврентьеву, фундаментальное решение с указанным свойством
назовем функцией Карлемана [3].
В работе [14,15] с помощью функции Карлемана получены оценки отклонения производных первого порядка приближённого решения от производных точного решения в зависимости от расстояния до плоской части границы в двумерных и трёхмерных областях для уравнения Лапласа а в работе [16] в двумерных областях специального вида для бигармонического уравнения.
Известно, что если функция Карлемана построена то используя формулу Грина можно написать регуляризованное решение в явном виде. Отсюда вытекает, что эффективность построения функции Карлемана эквивалентно построению регуляризованного решения задача Коши. В работе [9] при помощи функции Карлемана построена регуляризованные решение уравнения Лапласа в неограниченной области на плоскости.
Пусть < > 0 . Определим при а > 0 функцию Ф< (X, у) следующим равенством [12].
-2ж2 ехр(Сз2)Ф< (х, у) =| 1т
ехр(<^2)
w - X,
ёы
4,
2 2 ы +а
(4)
Отделяя мнимую часть функции Ф< (X, у), имеем
1
Ф< (• У) = ^ТТ ехР(-<(а + хз - Уз))
2Ж
I
ехр(-<ы 2)со8 2<у3л/ы2 +а2ёы
2 2 ы2 + г
-I-
ехр(-<ы2)(у3 - X) 2сту3>/ы2 +а2
ёы
2 2 ы + г
V
2 2
ы +а
(5)
Формула (3) верна, если вместе подставим функцию вида [12,13]:
Ал г
Фа (х, у) =
1
Алг
з
-GЛ. • у)
(6)
где О< (X, у) - гармоническая функция по у в Я3 включая у = X . Поэтому, для функция
и (х) еС'(О) п С (О) и любого х е О справедливо следующее интегральное представление:
и(х) = | Ыа (х, ууи(у)ёБу, х е О, (7)
где
Положим
N (х, у) =
Е(Ф< (х, у)ы0)В
к?у У
В ^ ).
иа (х) = = N (х, у)и(у)ёБу, х е О .
(8) (9)
0
0
0
Теорема 1. Пусть и (х) вектор- функция из класса С1 (О) п С (О), является решением системы (1) на £ удовлетворяющим начальному условию (2) и на части Q границы дО выполнено неравенство
\и(у)| < М, М > 0, у е Q. (10)
Тогда для любого х е О и < > 0 справедливо неравенство
и (х) - и< (х)| <щ (<, х3 )М ехр(-<х3), (11)
где
щ(о, Х3) =
5 3
1
Л
2ж л/жг Ayfrnx
(12)
з J
Следствие 1. При каждом x е G справедливо равенство
lim Ua (x) = U (x) •
Обозначим через Gs множество
Gz = |( x ■ x2, x3) e G, a > x3 > s, a = max h( x ■ x2 )■ 0 < s < a,
Легко заметить, что множество Gs ^ G является компактным. Следствие 2. Если х е GЕ, то семейство функций \ö0 (x)}
Ua(x) = и ix)
сходится равномерно при <J ^ ВД.
Отметить, что множества ns = G \ Gs служить пограничным слоем данной задачи, как в теории сингулярных возмущений, где нет равномерная сходимость.
Предположим теперь, что поверхность S задана уравнением У3 = h(у, y2), (У1, У2) е Q, где h однозначная функция такая, что поверхность S является поверхностью Ляпунова. Положим
и b = max . 1 + f dh л 2 f dh Л
— +
Q \ 1 dy1 j 1 dy2 J
Приведём оценку устойчивости решения задачи Коши для линейных эллиптических систем первого порядка.
Теорема 2. Пусть на части Q границы дО выполнено неравенство
U(y)| < M, y е Q, M > 0
а на S неравенство
\U (y) <S, y е S, 0 <J< Me-™2. (13)
Тогда для любого х е G и а > 0 справедливо неравенство
U(x)| < 2р(а, x )Mx2/a2Sx2'°2,
где
р(а, x) = max(^3 (а, x3), q(a, x3)), с = const,
q(a, x3) = с
4aby[a + 4a 2Ь\[ж& + Ь^л Ьж + b 13abna + 24ab^ + 4a2 ba + b
Л
4\[rn(a - x3) 4\[rn
2ж
Q
Обозначим
UaS (x) = J (x, yU(y)dSy, x e G . (14)
S
Теорема 3. Пусть вектор - функция U(x) являющееся решением системы (1) из класса С1 (G) n С(G), на части S границы DG удовлетворяет условие (2) и выполняется
неравенство (13). Также заданы приближения fS (x) класса С(S) с заданным уклонением S > 0 функции f (x) т.е.
max f ( x) " fs ( x) < S, 0 < S < Me^ . Тогда для любого xe G справедливо неравенство
U (x) - UaS (x) < ¥ъ(а, x^M^ S^ , (15)
где o-j-Lln M, §<M.
a2 S '
Следствие 3. При каждом x e G справедливо равенство
lim UaS (x) j U(x) .
Следствие 4. Если x e Gs, то семейство функций \UcS (x)}
UaS(x) ~ U(x)
сходиться равномерно при S ^ 0 .
Литература
1. Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения / Л. А. Айзенберг, - Новосибирск: Наука, 1990. - 246 с.
2. Carleman T. Les Functions quasi analytiques / Т. Carleman. - Paris: Gauthier - Villar, 1926. - 116 p.
3. Лаврентьев М.М. О Задача Коши для уравнения Лапласа / М.М. Лаврентьев. //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. -Том 20. № 6. - С. 819-842.
4. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка / М. М. Лаврентьев. // Докл. АН СССР. 1957. Т. 112. № 2. - С. 195-197.
5. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. - Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. - 92 с.
6. Polkovnikov A. N. Construction of Carleman formulasby using mixed problems with parameter-dependent boundary conditions / A. N. Polkovnikov, A. A. Shlapunov. // Siberian Mathematical Journal. 2017. Volume 58. № 4. P. 870-844. (in Russian).
7. Тарханов Н.Н. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных и некоторых его приложениях. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа / Н.Н.Тарханов. - Красноярск: -1980. C. 147- 160.
8. Tarkhanov, N. N. The Cauchy problem for solutions of elliptic equations. 1.ed / Nikolay N .Tarkhanov.-Berlin: Akademie Verlag, 1995. - 479 p.
9. Турсунов Ф.Р. Регуляризация решение задача Коши для уравнения Лапласа в неограниченной области / Ф.Р. Турсунов, Д.С. Шодиев, Х.Х. Тухтаева . // Научный вестник СамГУ, 2021. №1. C. 34-39.
10. Fedchenko D. P. On the Cauchy problem for the Dolbeault complex in spaces of distributions / D. P. Fedchenko , A. A. Shlapunov. // Complex Variables, Elliptic Equ. 2013. Vol. 58. № 11. P. 1591-1614.
11. Fedchenko D. P. On the Cauchy problem for the elliptic complexes in spaces of distributions / / D. P. Fedchenko , A. A. Shlapunov. // Complex Variables, Elliptic Equ. 2014. Vol. 59. № 5. P. 651-679.
12. Ярмухамедов Ш. Представление гармонической функции в виде потенциалов и задача Коши / Ш. Ярмухамедов. // Математические заметки, 2008. -Том 83, выпуск 5. С. 763-778.
13. Ярмухамедов Ш. О гармоническом продолжении дифференцируемых функций, заданных на куске границы / Ш. Ярмухамедов. // Сибирский математический журнал, 2002. Том 43. № 1. С. 228-239.
14. Хасанов А.Б. О задаче Коши для уравнения Лапласа / А.Б. Хасанов, Ф.Р. Турсунов // Уфимский математический журнал. 2019. -Том 11. №4. C. 92-106.
15. Хасанов А.Б. Задача Коши для трехмерного уравнения Лапласа / А.Б. Хасанов, Ф.Р. Турсунов // Известия высших учебных заведений. Математика, 2021. №2. C. 56-73.
16. Shodiyev D. On the Cauchy Problem for the Biharmonic Equation / D. Shodiyev // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2022. 15(2) C.199-213.
