CC BY
2ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.946
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 42
ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Шодиев Дилшод Сирожиддинович, старший преподаватель
dilshod.shodiyev. 76@mail.ru Хайруллаев Мухаммад Сайдулла угли,магистр xayrullayevmuhammad063@gmail.com Махмудов Шохмалик Таникул угли, магистр maxmudovshohmalik4@gmail. com Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова
Самарканд, Узбекистан
Аннотация: В данной работе изучается задача продолжения решения задача Коши для бигармонического уравнения в области G по ее известным значениям на гладкой части S границы dG . Рассматриваемая задача относится к задачам математической физики, в которых отсутствует непрерывная зависимость решений от начальных данных. Предполагается, что решение задачи существует и непрерывно дифференцируемо в замкнутой области с точно заданным данными Коши. Для этого случая при помощи функции Карлемана предлагается явная формула регуляризации. При этом
предполагается, что решение ограничено на части Т границы. Метод получения результатов основано на конструкции построения фундаментального решения уравнения Лапласа в явном виде, зависящего от положительного параметра, который стремиться к нулью при стремлении параметра к бесконечности на части границы области, в которых не даны условые Коши
Ключевые слова: Задача Коши, некорректные задачи, бигармонические уравнения, функция Карлемана, регуляризованные решения, регуляризация, формулы продолжения.
CAUCHY PROBLEM FOR THE BIHARMONIC EQUATION
Shodiyev Dilshod Sirojiddinovich, senior lecturer dilshod.shodiyev. 76@mail.ru Xayrullayev Muhammad Saydulla o'g'li, master student xayrullayevmuhammad063@gmail.com Maxmudov Shoxmalik Tanikul o'g'li, master student maxmudovshohmalik4@gmail. com Samarkand State University named after Sharof Rashidov Samarkand, Uzbekistan
Abstract: In this paper, we study the problem of continuing the solution of the Cauchy problem for a biharmonic equation in a domain G by its known values on the smooth part S of the boundary dG . The problem under consideration belongs to the problems of mathematical physics, in which there is no continuous dependence of solutions on the initial data. It is assumed that a solution to the problem exists and is continuously differentiable in a closed domain with exactly given Cauchy data. For this case, using the Carleman function, an explicit
regularization formula is proposed. It is assumed that the solution is bounded on a part Т of the boundary. The method for obtaining results is based on the construction of constructing a fundamental solution of the Laplace equation in an explicit form, depending on a positive parameter that tends to zero as the parameter tends to infinity on the part of the boundary of the region in which conditional Cauchies are not given.
Keywords: Cauchy problem, ill-posed problems, biharmonic equations Carleman function, regularized solutions, regularization, continuation formulas.
Введение. Пусть X = (X, Х^, Х3 ) и У = (, У 2, Уз) точки вещественного евклидового пространства Я3, О - ограниченная односвязная область в Я3 с границей дО , состоящей из компактной части Т плоскости Уз = 0 и гладкого куска поверхности
8 -Ляпунова, лежащей в полупространстве У3 > 0 . О = О ^ дО, дО = 8 ^ Т. В области О рассмотрим бигармонического уравнения
А2и(у) = 0, у е О, (1)
д2 д2 д2 где А = —г + —г + —г оператор Лапласа.
дУ1 дУ2 дУз
Постановка задачи. Требуется найти бигармоническую функцию и(у) = и(У1,у2,Уз) е С4(О) О С3(О), у которого известны значения на части 8 границы дО , т.е.
ттг \\ \ ди (У1, У2, Уз) ч
и (Уl, У2, Уз)8 =А(у\-\ = Л(уХ
дп
Аи(У1,У2,Уз )[, = /з(у), д(Аи(Уу1,у2,уз)}
дп
(2)
= / (У),
где / (У), I = 1,2, з, 4 - заданные достаточна гладкие функции, - - оператор
dn
дифференцирования по внешней нормали к дО.
Рассматриваемая задача (1) -(2) является некорректным задачам математической физики [6,7, 16]. Ж. Адамар [1] заметил, что решение задачи (1)-(2) неустойчиво.
В 1943 году А.Н. Тихонов [5] указал на практическую важность некорректных задач и возможность устойчивого их решения.
Понятие регуляризирующего алгоритма и связанного с ним понятие регуляризованного семейства приближенных решений и введения положительного параметра а в зависимости от погрешности исходных данных впервые замечено М.М. Лаврентьевым [8], [9].
Формулы, позволяющие находить решение эллиптического уравнения в случае, когда данные Коши известны лишь на части границы области, получили название формул типа Карлемана. В [2] Карлеман установил формулу, дающую решение уравнений Коши -Римана в области специального вида. Развивая идею Карлемана, Г.М. Голузин и В.И.Крылов [3] вывели формулу для определения значений аналитических функций по данным, известным лишь на участке границы, уже для произвольных областей. Одномерным и многомерным обобщениям формулы Карлемана посвящена монография Л.А.Айзенберга [1].
Матрицу Карлемана для уравнения Коши-Римана в случае, когда S — произвольное множество положительной меры, построено в работе [3].
Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа и близких к ней в случаях, когда ЗО \ Б — часть поверхности конуса, построена в работе Ш.Я. Ярмухамедова [9,10].
8
8
В работе [12,13] с помощью функции Карлемана восстановлено по данными Коши на части границы области не только сама гармоническая функция, но и его производные для уравнения Лапласа в двумерных и трехмерных ограниченных областях, а в работе [14] для бигармонического уравнения.
В данной работе при помощи функции Карлемана предлагается явная формула регуляризации. При этом предполагается, что решение ограничено на части Т границы.
Конструкция функции Карлемана. Определим функцию Фа (X, у) [см. 11] следующим равенствам
~~ ? —|
пйп
-2я2в°Х Фст (х, у) = 11т
w - X,
I 2 . 2 ■\ы + а
(3)
Отделяя мнимую часть функции Фа (X, у), имеем
Фа (X, У) =
2Ж1
-а(а2+х2 - у2)
го — аи 2
е аи соб
I
2а уз^
и2 +а2 ийи
2 2 и + г
—I
т ^—аи'
(у3 — х3) 2ау3л/и2 +а2
ийи
2 2
и + г
(4)
где а > 0, и > 0 у' = (у!, у2), х' = (х!, х2), г = \у - х\, а = \у- х'
w
=
и2 + а2 + у3.
В работе [11] доказано, что функция фа(x, у), определенная равенствами (3) при а > 0 , представима в виде
Фа, у) = Р (г) + ^а^, у) (5)
где Р(г) =-, Оа (X, у) -функция гармоническая по у в Я3 включая у = х .
Отсюда следует, что функция Фа (х, у) для любого а > 0 по у является фундаментальным решением уравнения Лапласа. Фундаментальное решение
Фа (х, у) с
указанным свойством называется функцией Карлемана для полупространства [8].
Известно, что если функция Карлемана построена то используя формулу Грина можно написать регуляризованное решение в явном виде. Отсюда вытекает, что эффективность построения функции Карлемана эквивалентно построению регуляризованного решения задача Коши.
Для функции и(у) = и (у1, у2, у3) е С (О)
^ С (О) и любого х е О справедлива
следующая интегральная формула Грина [15].
и (х) = I + 1
. д(М(х, у)) ли(у)"
и(у) 4 „ ; -Щх,у)- (у)
д п
д п
dSy +
дО
ли (у) ^ - £( х, у) д(ли (у))
д п
дп
dS , х е О
0
1
0
0
í 1 л
где L( x, y) = r2
V 4ПГ y
=-является фундаментальным решением уравнение (1).
4n
Так как фст (X, у) представлена в виде (5), тогда в интегральное представление (6), Ь( х, у) заменяя на функции Ьа( X, у) = Г 2ФСТ( X, у), имеем
и (х) = |
дО
U (y) ^¿ХЛ ( x, y) dU (y)
дп
дп
dSy +
+
i
дО
AU (y)tel _ L. (x, y) *(AU (y))
Где
L.( x, y) = r 2Ф.( x, y) = r2 «j
дп
1 e~o(a1 + x2 - y2)
дп
(7)
dS , x g О.
In1
•e au cosi.y3Ju1 +aludu
2 2 u + r
-i-
e (y3 - x) sin 1 +a2 udu
2 2 u + r
V2 2 u +a
дЬ (x, y) дЬ (x, y) дЬ (x, y) дЬ (x, y) gV = .i ^ ; cosa +--cosa +--cos/
дп дУl дУ1 дУз
и cosa, cosp, cos/ являются координатами единичной внешней нормали п в точке границы дО . Далее, имеем:
дАх( ^ У)
1(yi - (x, y) + r■
+
+
дп
1( yi x3 )Ф. (x, у) + r 1(Уз -x3^. (x, У) + r
i дФ. (x, y) дУ1 . i дФ. (x, y)"
дФ.( x, y) дУ1 .
cos p +
cosa +
дУз
cos/;
AL. (x, y) = Д( r 2Ф. (x, y) ) = -fj [ r 2Ф. (x, y) ] + -fj [r 2Ф. (x, y)" v ' дУ1 [ ] дУ2 [ ]
+
д
+ r Ф.(x,У)
дУз [
= 6Ф.(x,y) + 4(yi -xi)^^ +
дУ
+4(y -x)+ 4(уз -x3) 5Ф'(x,y)
дУ1
дУ3
д(ДЪ. (x, y)) д(ДЪ. (x, y)) д(М,. (x, y)) д(ДL. (x, y))
- -cosan—1-- cos p+—1-- cos/ =
дп
дУ1
дУ1
дУз
0
0
10
5Ф. (Л, y)
5У1
+ 4( У1 - x,)
52 Ф. ( л, У)
5у2
+ 4(У2 - *2)
52 Ф. (Л, У)
5У15У2
+
+ 4(У3 - Л3)
52 Ф. ( л, У)
5У15У3 .
cosa +
10
5Ф. ( л, У)
5У2
+ 4(У1 - л)
5 2 ( л, y)
5У15У2
+
+ 4(У2 -Л22)¿l^ + 4(У3 -Л3).52Ф(xУ)
+
10
5У2
5Ф. ( л, y)
5Уэ
+ 4( У1 - Л)
5У25У3
5 2Ф. ( л, y)
cos ß +
5У15Уэ
+ 4(У3 - Л3)
5 2Ф. ( л, y)
5у2
+
+4(У2 - л2)
5 2Ф. ( л, y)
cos/.
Формула продолжения и регуляризация по М. М. Лаврентьеву. Обозначим
U.( л) = J +Í
Í1 (У) (ХУ)) - f (y)AL.(л,y)
5n
dSy +
f3( У)- f4( y) L. (x, y) 5n
(8)
dS , л 6 G
Теорема 1. Пусть функция и (у) = и (у1, у2, у3) е С 4(О) П С 3(О) на части S границы удовлетворяет условие (2), и на части Т границы дО выполнено неравенство
U ( у) +
5U ( y)
5n
+ |AU (y) +
5AUu( y)
5n
< M, y 6T, M > 0 .
Тогда для любого x e G и a > 0 справедливо оценки
\U(x) - Ua(x) x,)Me
(9)
(10)
где
9 i— r~ 5
((., x3) = — + 8. + 8v л. + 2v л.х3 + 8.х32 +-+
. 2.xQ
+\2у[0лх3 + 2л/сглх32 +
пУЛ
24.
+ 46.
(11)
Следствие 1. При каждом x е G справедлива равенство
lim U (x) = U (x).
Обозначим через Gs множество
G = |(X, x2, x3) e G, a > x3 > £•, a = max й(хх, x2 ), 0 < £• < aj.
Множество G£ С G является компактным.
Следствие 2. Если X e Gf , то семейство функций {Ua (x) j сходится равномерно при a^^ т.е.
S
Ua ( X) ^ U ( x).
Здесь множества П£ = G \ Gs служит пограничным слоем данной задачи, как в теории сингулярных возмущений, где нет равномерной сходимости.
Литература
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. -Москва: Наука, 1978. — 352 с.
2. Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе / Л.А. Айзенберг. -Новосибирск: Наука, 1990. -247 с.
3. Айзенберг Л.А. Абстрактная формула Карлемана / Л.А. Айзенберг, Н.Н.Тарханов. //ДАН СССР. -1988. - T.298. -. №6. - C. 1292-1296.
4. Carleman T. Les Functions quasi analytiques / Т. Carleman. -Paris: Gauthier- Villar, 1926. -116 p.
5. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов. //ДАН СССР. 1943. -Том 39. №5. C. 147-160.
6. ТихоновА.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин.- Москва: Наука, 1995. -288 с.
7. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - Москва: Наука, 1974. -735 с.
8. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М.М. Лаврентьев. -Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. - 92 с.
9. Лаврентьев М.М. О Задача Коши для уравнения Лапласа / М.М. Лаврентьев. //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. -Том 20. № 6. С. 819-842.
10. Ярмухамедов Ш. О гармоническом продолжении дифференцируемых функций, заданных на куске границы / Ш. Ярмухамедов. // Сибирский математический журнал, 2002. -Том 43. № 1. С. 228-239.
11. Ярмухамедов Ш. Представление гармонической функции в виде потенциалов и задача Коши / Ш. Ярмухамедов. // Математические заметки, 2008. -Том 83, выпуск 5. С. 763-778.
12. Хасанов А.Б. О задаче Коши для уравнения Лапласа / А.Б. Хасанов, Ф.Р. Турсунов // Уфимский математический журнал. 2019. Том 11. №4. C. 92-106.
13. Хасанов А.Б. Задача Коши для трехмерного уравнения Лапласа / А.Б. Хасанов, Ф.Р. Турсунов // Известия высших учебных заведений. Математика, 2021. №2. C. 56-73.
14. Shodiyev D. On the Cauchy Problem for the Biharmonic Equation / D. Shodiyev // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2022. 15(2) C.199-213.
15. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н Векуа. - Ленинград, ОГИЗ Государственное издательство техники - теоретической литературы, 1948. -296.
16. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. - Новосибирск: Сибирские научное издательство, 2009. - 457с.
