О задаче Коши для уравнения Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 4 (2019). С. 92-106.

УДК 517.946

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

А.Б. ХАСАНОВ, Ф.Р. ТУРСУНОВ

Аннотация. Работа посвяшена изучению продолжения и оценки устойчивости решения задачи Коши для уравнения Лапласа в области G по ее известным значениям на гладкой части S границы dG. Рассматриваемая задача относится к задачам математической физики, в которых отсутствует непрерывная зависимость решений от начальных данных. При решении прикладных задач следует найти не только приближённое решение, а также производную приближённого решения. В работе при помощи функции Карлемана восстанавливаются по данным Коши на части границы области не только сама гармоническая функция, но и её производные. Если функции Карлемана построена, то используя формулу Грина, можно найти регуляризованное решение в явном виде. Показано, что эффективное построение функции Карлемана эквивалентно построению регуляризованного решения задачи Коши. Предполагается, что решение задачи существует и непрерывно дифференцируемо в замкнутой области с точно заданными данными Коши. Для этого случая устанавливается явная формула продолжения решения и её производной, а также формула регуляризации для случая, когда при указанных условиях вместо начальных данных Коши заданы их непрерывные приближения с заданной погрешностью в равномерной метрике. Получены оценки устойчивости решения задачи Коши в классическом смысле.

Ключевые слова: Задача Коши, некорректные задачи, функция Карлемана, регуля-ризованные решения, регуляризация, формулы продолжения.

Mathematics Subject Classification: 47А52; 65N20; 45М10

1. Введение

Пусть х = (х1,х2) и у = (yi, у2) точки двумерного Евклидовою пространства R2, G — ограниченная одноевязная область в R2 с границей dG, состоящей из компактной части Т = {у1 € R : а1 < у1 < Ь1} и гладкой дуги кривой S : у2 = h(у\), лежащей в полуплоскости у2 > 0 G = G U dG, dG = S U Т d/dn - оператор дифференцирования по внешней d G

G

S

G

d2U d2 U . ч

ад + м = 0 (L1)

Постановка задачи. Требуется найти гармоническую функцию U(у) = U(у1, у2) € С2(G) П С 1(G), у которого известны значения на части S границы dG, т.е.

и (A, = f(v), dU (у)

= д(у). (1-2)

n

Здесь f(y)n д(у) — заданные функции класса С(S) и С 1(S) соответственно

s

11

А.В. Khasanov, F.R. Tursunov, Of Cauchy problem for Laplace equation. © Хасанов А.Б.,Турсунов Ф.Р. 2019.

Исследование выполнено при финансовой поддержке ФНИ РУз в рамках научного проекта ОТ -Ф4-04(05).

Поступила 4 февраля 2018 г.

Рассматриваемая задача (1.1)—(1.2) относится к некорректным задачам математической физики. В работе Тихонова А.Н. [4], выяснено истинную природу некорректных задач математической физики. Он указал практическую важность неустойчивых задач и показал, что если сузить класс возможных решений до компакта, то из существования и единственности следует устойчивость решения, т.е. задача становится устойчивой.

Формулы, позволяющие находить решение эллиптического уравнения в случае, когда данные Коши известны лишь на части границы области, получили название формул типа Карлемана. В [2] Карлеман установил формулу, дающую решение уравнений Коши-Римана в области специального вида. Развивая его идею, Г.М. Голузин и В.И. Крылов [3] вывели формулу для определения значений аналитических функций по данным, известным лишь на участке границы, уже для произвольных областей. Они нашли формулу восстановления решения по ее значениям на граничном множестве положительной лебеговой меры, а также предложили новый вариант формулы продолжения. Одномерным и многомерным обобщениям формулы Карлемана посвящена монография Л.А. Айзенберга [1]. Формула типа Карлемана, в которой используется фундаментальное решение дифференциального уравнения со специальными свойствами (функция Карлемана), была получена М.М. Лаврентьевым [6], [7]. В этих работах дано определение функции Карлемана для случая, когда данные Коши заданы приближенно, а также приведена схема регуляризации задачи Коши для уравнения Лапласа. Применяя этот метод, Ш.Я. Ярмухамедов [8], [9] построил функции Карлемана для широкого класса эллиптических операторов, заданных в пространственных областях специального вида, когда часть границы области является гиперповерхностью либо конической поверхностью.

Отметим, что при решении прикладных задач следует найти приближенные значения решения U(х) и , х Е G, г = 1, 2. В данной работе строится семейство функций U(x,a,fs ,gs) = uj{x) и MigM = , , =

доказывается, что при специальном выборе параметра а

1, 2, зависящих от параметра а, и

9UyS (х)

а (8) семейство U.s (х) и

дхл

при 8 ^ 0 сходится в каждой точке х Е С к решению и(х) и его производную соответствеппо. Семейство функций и(х,а,/$) и ди^^'9'^ с указанными свойствами называется регуляризованным решением по М.М. Лаврентьеву [6].

Если при указанных условиях вместо данных Коши заданы их непрерывные приближения с заданным уклонением в равномерной метрике, то предлагается явная формула регуляризации. При этом предполагается, что решение ограничено на части Т границы.

Метод получения указанных результатов основан на конструкции в явном виде фундаментального решения уравнения Лапласа, зависящего от положительного параметра, исчезающего вместе со своими производными при стремлении параметра к бесконечности на Т, когда полюс фундаментального решения лежит в полуплоскости у2 > 0.

Конструкция функции Карлемана. Пусть а > 0,у' = (у\, 0),х' = (х\, 0), г =| у — х а =| у' — х' I, а2 = в, т = {л/и2 + а2 + у2, и ^ 0. Определим при а > 0 функцию (х,у) следующим равенствам:

9

- 2пеах2Фа(х,у)

Im

w — х2

udu

л/ и2 + а2

, w

iVu2 + а2 + у2.

(1.3)

Отделяя мнимую часть функции (х,у), имеем

ф. (х,у) = 2-е--(«2+х2-%2)

е аи2 cos 2ay2\Jи2 + a2udu

и2

,2 I

0 и2 + г2

е-аи2 (у2 — х2) sin 2ay2\Jи? + a2 udu

и2 + г2

л/ и2 + ^ '2

и2 + а

(1.4)

2

оо

е

0

0

Обозначим

( \ —2 (У2 -Х2)8\пт+ а2

(х,у,и) = со$,туи2 + а2--, -, т = 2а у2

л/ и2 + а2

Тогда Фа (х, у) принимает вид:

2пеа(а2+х2-у2)Фа(х, у)

Ра (х,У,и\ -ау2

и2 + г2

аи ¿и.

В работе [9] доказано, что функция, определенная равенствами (1.3) при а > 0, пред-ставима в виде

Фа (X, у) = Р (г) + Са (X, у), (1.5)

где Р(г) = 1п 1, Са(х, у) - функция гармоническая по у в В2 включая у = х. Отсюда следует, что функция Фа(х, у) для любого а > 0 по у является фундаментальным решением уравнения Лапласа. Фундаментальное решение Фа (х, у) с указанным свойством называется функцией Карлемана для полупространства [6]. Поэтому для функции и (у) = и (у1, у2) Е С2(С) П С и любого х Е С справедлива следующая интегральная формула Грина:

и( х)

'дс

ди Ф и лдФа (х, у)

- фа (х, у) -и(у) ад^

¿Бу.

(1.6)

2. Формула продолжения и регуляризация по М.М. Лаврентьеву Обозначим

и а (х)

9(У)Фа (х, У) - 1(У)

дФа (х, У) дп

с1 Бу.

(2.1)

Теорема 2.1. Пусть функция и (у) = и (у1, у2) Е С2(С) П С 1(С) на, Б удовлетворяет условию (1.2), и на, части, Т границы дС выполнено неравенство

аи (У)

\и (у)\ +

д п

< М, у ЕТ,

здесь М > 0. Тогда для любого х Е С и а > 0 справедливы, оценки

2

\и(х) -иа(х)\ <Ма)Ме-ах*,

ди(х) диа (х) . . „ ах2

< Рг(а, х2)Ме 2, ¡ = 1, 2,

дхг

где

дхг

Ф2(а)

1

~ +

1 + 2 +

+

2 4^ах2

Р1(а,х2)

(а, х2 )=( +

+

пах

)

п л/а

+ ^ +

пах.

)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6) (2.7)

Доказательство. Оценка (2.3) доказана в работе [9]. Докажем неравенство (2.4). Диффе-

х1

ди (х)

д х1

+

диа (хх)

д х1

д и дФ а( х, )

1Т

д п д х1

дидФа(х, у) д п д х1

-и (у)

_^ (дФаЛх^У)А

д х1 д п

- и( )

д х1 д п

д дФ а( х, )

с1 Бу+

(2.8)

д х1

д п

¿Бу

' I \ дФа (х, У) . , д (дфа (х, У)

9(У)—^--1(У)

х1

д х1

п

¿Бу.

оо

0

6

1

3

6

6

Обозначим через 1га (х) разность производных

1\а (х)

ди (х) диа (х) дх\ дх\

1Т

ди дФа(х,у) —и д (дФа(х, у)' дп дх\

дхл

(дФа (х, у) \ \ дп )

с1

Отсюда и из неравентсва (2,2) следует

~дидФа(х, у)

I Ьа (Х)|

1Т

— и (у)

где

Ы (X)

дп дх\

дФа (X, у)

д ГдФа (X, У) \ дх\ \ дп )

< МЫа (X),

1т

дх\

+

д

дхл

( дФа (X, у) \ \ дп )

с1 ^ и

Чтобы показать, справедливость оценки (2,4) при { = 1 будем доказать следующее неравенство

(х) <^г(а,Х2)е~ах*, а> 0. Для этого, дифференцируем равенство (1.4) по Х\.

(2.9)

дФа (X, У) дх\

2а(ух — Хг)Фа(х, у) +

2к

у,, 0

+ 1е-а(*2 -у1 ) ^ Г 2ау2 (Ул — хл)ие аи й1п2 °У2^и2 + а2 Ли+

л/и2 + а2 (и2 + г2)

Г™ 2(У1 — х\)ие-аи со8 2ау2л/и2 + а2

+ I / о ^ о\ о иЯ1 +

,

"ОО

+

(и2 + г2)2

2оу2(у\ — жг)(у2 — х2)ие-аи2 ооБ2ау2л/и2 + а2

(2.10)

!0 (и2 + а2)(и2 + г2)

2(ул — жг)(у2 — х2)ие-а'"2 8ш2<гу2л/и2 + а2

¿и—

1о л/и2 + а2 (и2 + г2)2

Г™ (уг — жл)(у2 — Х2)ие-ау2 вт2<7у^и2 + а2 ,

¿и—

л/('и2 + а2)3 (и2 + г2)2

¿и\ .

2=0

д Фа (Х, у) = (У1 — Х\) е-а(а2 +х2 )х

X

и

дх

■к

аие

;(!и +

ие

0 и2 + (уг — Хг)2 + х2 ]0 (и2 + (уг — Хг)2 + х^)2

¿и | .

(2.11)

Теперь оценим следующий интеграл:

'т

дФа(х, у)

дхг

+

йву <

у {-

¿ах У

Г { к

и ах у

е а(а +х\)

■

/ аие 7 17

0 и2 + (уг — Хг)2 + х2^^

]

— жг| _

-е

а((^ +х2)

ие~

■

1о (и2 + (Уг — хг)2 + х\)2

)

¿у г

г

2

2

ЭО

ОО

2

2

ОО

Произведем оценку первого интеграла:

/ 1"

¿0.1 у

х1 \ „—а(а2+х2)

а и

а и

а

< -

< 2п

п 7о и2 + (У1 - х1)2 + х.

Г+те Г+те и \У1 - х1 \ е-а(и2+(у1-х1)2+х2)

Си\ Су1 <

а

< — < 2п

—те и —те ¡•+те ¡-+те

/ / '

' —те ^ —те

и2 + (У1 - х1)2 + х2 ) ¿и С у1

2 2 СиСу1 <

э—а(и2+(у1—х1 )2 +х2

2

— а х 22

При этом было использовано неравенство

и \ у1 - х1\

и2 + (у1 - х1)2 + х\

< 1.

(2.12)

Учитывая (2.12), оценим второй интеграл и переходя к полярным координатам получим:

¡0'{

^ 0,1 у

\ У1 -х1\е—а(<у2

п

1 г+те г+те

—те —те

— а х22 +те

< /

2п , —те

а(а'2+х2)

и

и —

1о (и2 + (У1 -х1)2 + х2 )2

}

¿ и 1 <

(и2 + (У1 - х1)2 +х22)2

¿ и ¿ 1 <

и2 + (у1 - х-])2 + х2

2 ¿ и ¿ 1

2п +те

2п

Ср

— а 2

+те

I2 +

¿ = — а х22

— а 2

х

I2 +

х

<

2

— а х 22

2 х2

+те

— а 2

/же-

Отсюда получим неравенство:

у дФа (х, у)

д х1

СБу < е—ах2 ( - +

(

1

2 4/ах2;

(2.13)

Далее вычислим производную:

д 'д Фа (х, у)' д

д х1 д п д х1

дФа (х, У) дУ 1

■ соэ 7

+

д

д х1

дФ а (х, У) д У2

81П7

а(У1 - х1) -а(х2—у2+(у1 —х1)2) (У1 - х1) СОЭ т(У1 -х1) - (У2 - х2) ^ Т(У1 - х1)

_е ~а(х2~

п Г2

е—а(—у2+х1+(т—х1)2) ( - Т(у1 - х1) + т(у1 - х1) эт т(у1 - х1)

еоэ 7

2п

+

+ т(У2 - х2) ООЗт(У1 - х1) +

(2.14)

2(У1 - х1)2 СО8т(у1 - х1) - 2(у1 - х{)(у2 - х2) э1пт(у1 - х1)

соэ 7

_27]У1-Х1[ а-у22+х22+(у)1—х1)2) (У2 - х2) СОБТ( у1 - х1) + \ у1 - х1\ ЭШ Т \ У1 - х1\

2п

х

{

_ _р—а(—у1+х2+(у1—х1)2)

2п

2

X

эт 7-

[-т(У2 - х2)э1пт(У1 - х1) - э1пг(у1 - х^ -т \у1 - х^ ооэт \у1 - х1\

+

оо

2

2

те

2

22

2

2

2

Р — ах2

2

2

2

4

2

2(yi -х-) [(У2 -X2)cosr(yi - Xi) + 2 \ Ух -Xi\2 sinr \ Ух -х-\]

| sin 1,

где т = 2ay2, причем —

ЭФ q (x,y) tj ЭФ q (x,y)

dy2

определяются из следующих формул (см,[9]

дФа(x, у) еа(у% х2 (yi Xl)2) (yi -х-) cos 2aу2(у- - Xi) + (у2 - X2)sin2ay2(у- - Xi)

д yi

2n

(2.15)

д Фа (х, у) еа(у2 х2 \у1 xi П (у2 -x2)cos2a у2( yi - х-\) + \ yi - x1\ sin2ay2 \ yi - x1\

д 2

Отсюда находим:

д idФа(х, у)'

2n

(2.16)

т

idФа(х, у) \ дх1 \ дп J

g—<гх\-a(yi-xi)2

+-2П-

+ 1e-o-x2-a\yi-xi\2

dSy =

У2 =0 J т

{

a(y1 - x1 ) e-ax22-a(yi-xi)2 (У1 - х1)

n

(yi - Xi)2 +X

2(yi - Xi)2

cos J +

(yi - Xi)2 +X2 ((yi - Xi)2 +X2,)2

cos 7+

a \yi -xi\x2

+

(yi - X1)X2

(У1 - Xi)2 + X2 ((yi - Xi)2 + х2)2_

}

sin 71

(2.17)

dS„

cos , sin п

у границы дС.; оценим (2.17).

С учетом ^(-l-^х2 < , сначала оценим первый интеграл:

bi

1 е-ах22 С a \У1 Xi \ х2 -

■

(уi - Xi)2 + х2

е а1ш-X1 \2dyi <

axie-™2

2

■ J (у 1 - х-])2 + х2

\yi -X1\ 2 e--\2dyi <

aX2 -ax2

2X2

< — e-ax2

-<j\yi-Xi\'

■

dy 1

2y/n

a e-ax2.

Аналогично оценивается второй интеграл:

1

—е

■

Л \ У1 -Xi \X2 е-°\У1 -X!\2d < e-vx22

/«! ((У 1 -Xi)2 +х2)2 2n J-x (yi -Xi)2 + х\

e-alyi-X1 \2dyi <

12

< e -a 2

< 2nx2

-a\yi-xi\2

dyi =

2x22\fna

2

e-ax2.

С учетом полученных оценок имеем:

/т

д

дхл

дФа(х, у) д п

dSy < е-ах2

(VH

+

1

(2.18)

\2л/п 2х\^[¥о /

Учитывая (2.13) и (2.18) получим доказательство неравенства (2.9). Неравенство (2.4) доказано при г = 1.

Теперь докажем неравенство (2.4) при 1 = 2. Из (1.6) и (2.1) находим производную по х2.

ди (х)

д X2

+

дидФа(х, у) -ид

it

д п д X2

ди дФа (х, у)

д п X2

д X2

дФа (х, у) д п

d Sv+

-U (у)

д X2

дФд(х, у) д п

dS,,,

4

2

2

1

2

2

диа (х) д х2

дФ а( х, )

9(У)--!(У)

д х2

д х2

дФ а( х, )

2 а( х)

Ьа (х)

ди (х) диа (х)

Т

д х2 х2

Отсюда из (2,2) следует

~дидФа (х, у)

дидФа(х, у) д п д х2

- и( )

п

д х2

СБу.

дФа (х, у) п

СБу

\ Ьа (х)\ =

Т

д п д х2

- и( )

д х2

где

Ра (х)

Т

дФ а( х, )

х2

+

д х2

дФа (х, у) д п

дФа (х, у) п

Бу

< МРа (х),

Б у .

Докажем неравенство Из (1,4) имеем:

Т

дФ а( х, )

х2

х

2

Ра(х) < Р2(а,х2)е—ах2, а > 0.

СБу = I |-2ах2Фа(х, У) + 2пе—а(аЧх2—у22) } 2(у2 - х2)ие—аи2 соэ 2ау2\]и? + а2

х

+

0 (и2 + г2)2

[те е—аи2 э1п2 ау2л/и2 + а2 иСи

Си+

Iо и2 + г2 Vи2 + а2

2(у2 - х2)2е аи э1п2ау2л/и2 + а2 иСи

2 \ гм2

(и2 + г2)2

л/ и2 + а

СБу.

2 = 0,

Т

дФ а( х, )

д х2

С Бу

Г —а(а2 +х2 )х

I п

у

=0 Т

X

а и

и2 + (у1 - х1)2 + х2

Си +

и а и (и2 + (У1 - х1)2 + х2)2

и

С Бу

Переходя к полярным координатам в первом интеграле и оценивая получим:

х!р—а(а2 +х2)

1 те

а и

п

Iа1 Jо и2 +(У1- х1)2 + х2

и +( у х )2

и 1 <

ах2 _ , [+те [+те \и\е~а(и +(у1—х1 )2) , , < -— е 2 I I „ ,---СиСу1

ах2 —ах"2 -6 2

2п

2п

п 2ж

о

' — оо о — оо

и2 + (у1 - х1 )2 + х2

, +те г2 \сов е"а42, ах2

Ср I \ л2 2-СЬ < ах2е ~ах2

+те 2 а 2

12 +

+те

х

12 +

х

<

< а х2 а х2 а С =

о

Аналогично оценим второй интеграл:

-а12,+ _ /апх2п_

е ах2.

х2е-а(а2+х2)

1 +те

1о1 и0

а \и\е~аи2 (и2 + (У1 -х1)2 + х2)2 СиСу 1 -

(2.19)

(2.20)

6

оо

0

2

2

2

0

0

2

_аг2 Г+~ Г+~ |и| е-а(ад2+(yi-xi)2)

— ^ е " 2п

_ XI

-

<-2ж

dp

J-x (и2 + (У1 - Xi)2 + х2)2 [+ж t2 |cosp| e-at

и i

+2

'о (t2 + х2)2

-dt < е-ax2

t2X2e-at2

1о (t2 + х2)

2\2 —

х2

-at/

t2 +X2dt —

g -ax\ г+ж

о2 Учитывая эти оценки, получим:

х2 о

>-at2dt

2X2V a

п e-axz.

it

дФа (X, У)

д X2 У2=0

dSy — e-ax

-axl (V^X2 , A

+

V 2 2x2^

0

(2.21)

Далее вычислим интеграл:

дхо

дФа (х, у) дп

Sy

е a(y\-x\-(У1-Х1)2

X

1 sin2аУ2(У1 - Xi)

2 г2

+

t t

ах2(yi -Xi)cos2ay2(yi - Xi) (yi - Xi)(У2 -X2)cos2ay2(yi - Xi)

+

aX2(У2 - X2) sin 2ay2(yi - Xi) + (У2 - X2 f sin 2ay2(yi - Xi)

+ л

2

g а(У2 x2

cos

a(y{^-xx2-(yi-x:i)2

X

1 cos 2 a у 2 (yi - Xi)

2

+ ax2(y2 - X2) cos 2ay2(yi - Xi) + aX2 |yi - Xi| sin2ay2 |yi - Xi| +

+

(У2 - X2)2 cos2ay2(yi - Xi) - |yi - Xi(У2 - X2)sin2ay2 |yi - Xi||

sin 7 > dS-,

}

Отсюда при y2 _ 0 имеем:

/I!

t k

t

jl

д X2

дФа (X, у)

п

e-ax2-a(yi-xi)2 х2(yi - Xi)

+

g -ax2-a|yi-xi|2

(yi -Xi)2 +X2

- a X22

У2=0

a

+

dSy

(yi - Xi)2 + X2j

cos 7+

(yi - Xi)2 + х2 2(yi - Xi)2 + х2

+

(2.22)

+

+

2 X2

((yi - Xi)2 + х2)2

sin

dSy—

a X2

2 e-ax2 rbi e-alyi-xil2

tai

(yi - Xi)2 + х2

2d yi+

-ax2 rbi e-alyi-xi|2

2п Jai (yi -Xi)2 +X2

2 dyi +

X^Q-ax'2 fbi e-alyi-xil2

Li ((yi -Xi )2 +X2)2

d yi.

cos , sin п

точке у границы дС. Теперь оцепывая эти интегралы, имеем:

a X22 - a x22

o-alyi-xil2

(yi - Xi)2 + х2

ae-ax2 г+ж l2

dy — - e-alyi-xil dyi

Vae-

2

2

2

4

f

2

4

1

1

2

2

2

е-ах2

2п

х\е-ах2 п

3-&1У1-Х112

(Уг - Х1)2 + х

е-&1У1-Х112

((У1 - Х1)2 + х2)2

;с1у\ <

Ч 1

2п х2 ^ -<х>

й Уг

¿Уг <

е -°х2 1

п х.

,-&1У1-Х112

¿уг

g ах2, g—&х2

2 О-ж

х%\ГКО

С учетом полученных оценок, имеем:

1т

д

дх2

дФд (х, у) дп

¿Бу < е-ах2 ( ^ +

(

а

п ' 2х"2\/па

)

(2.23)

Из (2.21) и (2.23) еледеут доказательство неравенства (2.19). Теорема 2.1 доказана.

Следствие 2.1. При каждом х Е С справедливо равенство

г тт ( \ тт( \ у ди°(х) ди(х) ■ 1 о 11ш иа (х) = и (х), пш —--= —-, г = 1, 2.

□

дх

дх

(хг,х2) ЕС, а > х2 > е, а = шах к(хг), 0 < £ < а,

Обозначим через С£ множество

С£

Легко заметить, что множество С£ С С является компактным.

Следствие 2.2. Если х Е С£, то семейство функций {иа(х)}и |

. . . диа(х) ди(х)

иа(х) ^ и(х), ; ^ ^^, 1=1, 2

дх;

дх;

сходится равномерно при а ^

Следует отметить, что множества П£ = С\Се служит пограничным слоем данной задачи, как в теории сингулярных возмущений, где нет равномерной сходимости.

3. Оценка устойчивости решения задачи Коши Рассмотрим множество

Е = {и Е С2(С) ПСг(С) : \и(у)\ + \дга<Ш\ <М,М> 0,у еТ} .

Положим _

¿к

к \ , Т^л2

а = шах п( у\), о = шах< 1 + -— ,

т ^ г у \dyij

где кривая Б задана уравнен нем у2 = к( уг).

и( ) Е Е,

на, части, Б границы, области С выполняется неравенство

ди (у)

\и (У)\ +

д п

<5, у Е Б.

х Е С а > 0

\и(х)\ < 2ф(а, х2)М1-х2/а26х2/а2,

ди (х)

дх;

< 2щ(а,х2)М1-х2/а26х2/а2, г = 1, 2, 0 < 5 < Ме~

(3.1)

(3.2)

(3.3)

где

■ф(а,х2) = шах(ф2(а,х2),ф2(а)), ф2(а,х2) = ^^ з а

+ а Ь +

2^/ааЬ

2Л/¥а(а - х2) ' л/п '

+

2

2

Vi(a,X2) _ max(Ui(a,X2),pi(a,X2)),

. .'b + 3ab J^Ka 2a a b + 4b Ja + a2b a л/п Ь^/ж fi(a,X2) _ I -;--1--^--+

С

4

+

4^/a(a - X2)

aby/^a 2ab Ja

5b

(a - х2)2 у/п(а - х2) yJWa(a - х2)2 V2(a,X2) _ max(U2(a, X2), p2(a, X2)),

{Ъх2у/оп + 2aabx2 Ьу/п ,— V2(a,X2) _ I ----+ л -— + бab^Jaп+

2

2 b yfax2 +

4yfa(a - X2) 4

у/ж (а - х2) л/жа(а - х2)2 р1(а,х2)) и <р2(а,х2)) определяется по формулами (2,6) и (2,7). Доказательство. Из интегральной формулы Грина имеем:

U(х) -+

ди Ф ( ) ТТ( ) дФа(х, у)

дП фа (X, У) -U

d Sy+

it

д U Ф a( X, )

дПФа(X- ^ ~U^ЧП11

dSy.

Из условия (1.2) и неравенства (3,1) имеем

W (хМ —

9(у)Ф а(х, у) - f(y)

дФ a( X, )

+

т

д U

дП фа(х-у! -u to) дп

д п

д Фа (X, у)~

Sy

Sy

<

+

— бра (X)| + М U Ф (X, dSy +

\т т

Здесь использована оценка

дФа (X, У)

дп

(3.4)

dSy I —5ра(х^ + M^(a)e.

М \ Ф(х, у^ dSy +

\т

т

дФ а( X, )

п

dSy I — Mfo(a)e,

которая доказана в работе [9], где ф2(а) определяется по формуле (2.5). Учитывая (1.4) и переходя к полярным координатам имеем:

^ а (х, у) dSy

-CT{a2+x2-yl)

2п

е аи2 cos 2aу2/и2 + a2udu

и2 и2 + 2

е аи2 (у2 - х2) sin 2aу2\/и2 + a2 udu

и2 + 2

л/и2 + ™2

и2 + a

dSy —

<±- f?

< 2ж

ие

-а(и2+(у1-х1)2)

и2 + Г2

-du d yi +

аi 0

bi

и

|У2 - X2I Isin2аУ2^и2 + a2 e-^(u2+(yi-Xi)2)

ai 0

(и2 + г2)л/и2 + a2

dudyi —

< gаа2-ах^ ¡ ¡ е

<

-a(u2+(yi-xi)2)

— 00 —00

л/и2 + (yi - X1)2

du d yi +

aba 0

+-e

ж

' —oo J —00

-(u2+(yi-xi)2)dndyi — e™2-™2^ + ab^j .

Так как ^гпх\ < -+Щ,х > 0, тогда \81п2ау2^й2+а21 < Учитывая формулы

дФа(х, у) дФа (х, у) дФа (х, у) .

-~-=-~-cos 7 +----Sinj

дп dyi ду2

и (2,15) , (2,16), повторяя рассуждение доказательства теоремы 2,1, получим:

дФа (х, у) д У1

дФ а (х, у) д У2

dS < ,

у < 1 4Л/Жа(а - х2) ' л/Ж J

+

л/ааЪ\

dSy < ^ 4фйа(а -х2)+ л/ж )

л/ааЪ\

22 „аа2—ах2 6 2,

22

„аа2—ах2 & 2.

Сложив полученные оценки, имеем дФа (х, у)

д п

dSy — ^

2^/ааЪ

2л/Жа(а - х2) л/Ж

)

+ ] еаа2-ах2

Из интегральной формулы (3,4) и условия (2,2) получим:

дФ„ (х, у)

IU(х)1<5 У ||Фа(х, У)1 +

S

+М \1Фа (х, У)1 +

д п дФ а (х, у)

}

dSy+

т

< 5е0

д п

i

dSy <

+ а b+--^-- +

2^/Жа(а - х2) 2^/Ж )

+

-ах2 (1 + = ф(а)(Ме-ах22 + 6еаа2-ах2),

\2 Vа/

2 i 1

+Ме ах2

\ и( х) \

9 9 9

Ме-ах2 = 5е -ах2

(3.5)

или

1 М а = lnT".

а2

(3.6)

а

ства (3.2) (см.[6]).

2

2

2

S

S

S

2

Далее докажем неравенство (3,3) при г = 1. Для этого находим производную из инте-

х1

ди (х)

х1

дидФа (х, у) -и д (дФа (х, у) дп дх1

+

Т

дидФа(х, у) д п д х1

- и( )

х1 д п

дФ а( х, )

С Бу+

д х1

д п

С Бу =

(3.7)

диа (х) + Г дх1 ]т

дид Фа (х, у) д п д х1

- и( )

д /дФаа/хуУ]

\ дп )

д х1

СБу,

здесь

диа (х)

дх1 ]8 Далее оценивая, получим:

дид Фа (х, у) д п д х1

-и (у)

д Г дФа (х, У) \ \ дп )

д х1

СБу.

(3.8)

д и( х)

д х1

<

диа (х)

д х1

+ М

Т

дФ а( х, )

д х1

+

д /дФа (х, У) \ \ дп )

х1

С Бу <

6

<

дИа (х)

д х1

+ Мр1(а,х2)е ах2.

Это оценка следует из теоремы 2.1 , где р1(а,х2) определяется по формуле (2.6). В равенстве (3.8) с учетом (2.10) на части Б границы области С имеем:

дФ а( х, )

д х1

С Бу <

а

2_ах2 (Ь + ЗаЬу/жа 2ааЬ + а2Ьау/ж

(

4

+

+

аЬу/жа 4у/а(а - х2) ' (а - х2)2

Ъу/ж

+

(3.9)

6

д

х1

дФа (х, У)

д п

СБу < — еаа2-ах2 [ а \У1 - х1

ж

г2е а(у1-х1)

2 С У1 +

01

(/ С»+/ ^С+

\01

2Ьаа 2-ах2

+--е 2

01

Ь1

Ь1

ж

\У1 -х1\ Й , [ \У2 -х2\ л I ,

)2СУ1 + —2--а(ун —хл )2 СУ1\ +

2 а( у1- х1)2

2 - а( у1- х1)2

(3.10)

2Ьаа2-ах2, ( Г \У1 - х1 \

+—е ж

еа(у1-х1)

2 Су 1 +

\ У1 - х1\ \ У2 - х2 \

еа(у1-х1)2

Су 1 I <

а

а2_ах2( 4Ь у/а 1 2аЬ фу

+

+

5Ь

V л/ж у/ж (а - х2) у/ка(а - х2 )2

2

2

Учитывая условия теоремы 2,1 и 3,1, а также (3,9), (3,10), для интегральной формулы (3,7), получим:

ди (х)

д х1

+М

дФ а( х, )

Т

д х1

дФ а( х, )

д х1

+

+ д

д

д х1

дФа (х, у) д п

СБу+

д х1

дФ а( х, )

д п

СБу <

2_ах2 (Ъ + 3аЪу/жа 2ааЬ + а2Ьау/ж

|е аа2-ах2 ^

4

+

^4 Ь /а 2а Ь /а

Ъу/ж аЬу/жа

+-----1-----+

4у/а(а - х2) (а - х2)2

5Ь

+

, „■ I ах211 \рж \Га 1

+М { е-ах2 - + , V + -/= +

у/ж у/ж(а - х2) у/жа(а - х2)2,

2 2 2 </ц(а,х2)(6 еаа ах2 + Ме-ах2).

<е (аХх2 ( , , ,

\ \2 4/Ъх2 2у[ж 2х22у/жа

Здесь выбирая а = ^ 1п получим доказательство неравенств а (3,3), при г = 1:

д и( х)

д х1

2 2 1— Э- г- Х2

< 2ц1(а,х2)М1-

Теперь докажем неравенство (3,3) при 1 = 2. Для этого находим производную в инте-

х2

ди (х) д х2

ди дФа (х, у) -и ) д (дФа (х, у) дп дх2

+

Т

дидФа(х, у) д п д х2

- и( )

д х2 д п

Ф а( х, )

С Бу+

д х2

д п

(3.11)

Бу

д и( х)

д х2

<

+ М

Т

дФ а( х, )

здесь

д х2

д и( х)

+

дидФа (х, у) -и ) д (дФа (х, у) дп дх2

д дФ а( х, )

(дФа (х, У) \

\ дп )

д х2

х2 д п

дидФа (х, у)

д х2 д п

диа (х)

С Бу+

С Бу <

п д х2

+

и( )

д х2

д х2

дФа (х, у) д п

+ Мр2(а,х2)е ах2,

С Бу

Оценки второго интеграла следует из теоремы 2,1, где р2(а,х2) определяется по формуле (2,7), Учитывая (2,20) на части Б границы области С, получим:

дФ а( х, )

х2

СБу <Ъеаа2^ ^^ + ^ +

Точно также получим:

д

д х2

дФ а( х, )

д п

2 а

+—е ж

С Бу <

2

2 х

, --г + 3ау/аж ) .

4у/а(а - х2) )

(3.12)

2 а а - а х

гЬ1 а \ у1 - х1 \

ж

а1

г2е а(у1-х1)2~СУ 1 +

"Ь1 \ У1 -х1\\ У2 -х2\, . [Ь1 а \ У2 х2 \ 1 ~СУ1 + х2 I „2.ау-т,)2 СУ1

а1

+-е ж

г-4 g а( у1-х{)2 1 - а( 1- х1)2

а1

2 а( 1- х1)2

С 1 + 2

1 \ - х \

а1

а1

у4(> а(у1-х{)

2 С 1

)

+

(3.13)

6

6

6

6

6

22

2

2

2

Для (3,13) имеет место оценка

дФа (х, У)

д х2

п

Му < е™2—2( ®^х2

+

4Ъ

)

\у/к(а - х2) ' у/па(а -х2)2/'

Доказательство неравенства (3,3), при 1 = 2 вытекает из оценки интегральной формулы (3,11), с учетом условий теоремы 2,1 и 3,1, а также (3,12), (3,14),

ди (х)

+М

т

д х2 дФа (х, у)

д х2

д

дФа (х, у)

д х2

д х2

дФа (х, у) д п

+

д

д х2

дФд (х, у) д п

+

{

^ <5{ е™2-2( Ъх2^ + 2ааЬх2 +

2

+

+ 3 а Ьу/ап + 2Ьл/ах2, +

4Ь

4у/а (а - х2)

у/к (а - х2) у/па(а - х2)2

+

{

+М < е-ах2

-ах2 (л/пах2 , л/Ж 3

2

+

2 х2 а

+

+

п ' 2х"2\/па

<Ц2(а,х2)(5 е0

*2 + Ме-ат'2).

Здесь выбирая а = -2 1п у-, получим доказательство неравенства (3,3), т.е.

д и( х)

д х2

22 1 х2 <.х2 1--т Х^т

< 2у2(а, х2)Мг-о2 6

Теорема 3,1 доказана. Положим

иаё (х)

д& (у)Фа(х, у) - ¡6 (у)

дФд (х, у) д п

□

(3.15)

Теорема 3.2. Пусть функция и (у) Е Е на Б удовлетворяет условие (1,2) и вместо функций ¡(у), д(у) заданы, их приближения (у) и д6(у) с заданным уклонением 5 > 0:

таах \ 1(у) -и(у)\ < ^ таах \д(у) - д&(у)\ < & (з.1б)

х Е С а > 0

\и(х) - иа&(х)\ < 2ф(а)М 1-х2/а26х2!а2

ди (х) диа& (х)

дха

дха

< 2щ(а,х2)Мг-х2/а26х2/а2, 0 < 5 < Ме~

(3.17)

(3.18)

= 1, 2

Доказательство. Из (3.4),(3.7), (3.11) и (3.15) получим:

\и (х) -иа& (х)\ < \ 1а (х)\ +5 ]\\Фв (х, у)\ +

дФа (х, у)

ди (х) диа5 (х)

дхг

дхг

< \ 1га (х)\ +6

дФа (х, у)

дхг

+

= 1, 2

2

\и(х)\ < ф(а)(Ме-ах2 + 5е д и( х)

д п

д / дФд (х

дхг \ дп

й Б у,

дхг

д и( х)

д х2

< /1г(а,х2)(Ме-ах2 +6еаа -ах2),

2 2 2

< у2(а,х2)(Ме-(ТХ2 +8е™ °х2),

и выбирая а = ^ 1п у-, получим доказательство теоремы 3.2.

□

у

2

5

Следствие 3.1. При каждом х Е G справедливо равенство

/ ч ч -, dUas(х) dU(х)

limUa& (х) = U (х), lim ^ ; = —^, i=1, 2.

Следствие 3.2. Если х Е G£, то семейство функции, {Ua$(х)}и j|

U„ (х) (х)9^ * ^, ¿=1,2

сходится равномерно при 6 ^ 0.

Авторы выражают благодарность профессору БашГУ A.M. Ахтямову за обсуждение полученных результатов,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск. М.:«Наука». 1990. 247 с.

2. T. Carleman Les Functions quasi analytiques. Paris. 1926. 116 p.

3. Голузин Г.М., Крылов. В.И. Обобщенная формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат. сборник. 1933. 40. С. 144-149.

4. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач, // ДАН СССР.1943. 39:5. С. 195-198.

5. Тарханов H.H. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, в частных производных и некоторых его приложениях. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа, // Красноярск. 1980. С. 147-160.

6. Лаврентьев М.М. О Задача, Коши для уравнения Лапласа, // Изв. АН СССР Сер. матем. 1956. 20:6. С. 819-842.

7. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Изд. СО АН СССР Новосибирск. 1962.

8. Ярмухамедов Ш. О гармоническом продолжении дифференцируемых функций, заданных на, куске границы, j j Сибирский математический журнал. 2002. 43:1. С. 228-239.

9. Ярмухамедов Ш. Представление гармонической функции в виде потенциалов и задача, Коши // Математические заметки. 2008. 83:5. С. 763-778.

10. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск. Сибирские научное издательство. 2009. 457 с.

Акназар Бекдурдиевич Хасанов, Самаркандский государственный университет,, Университетский бульвар ,15, 140104, г. Самарканд, Узбекистан E-mail: [email protected]

Фарход Рузикулович Турсунов, Самаркандский государственный университет,, Университетский бульвар ,15, 140104, г. Самарканд, Узбекистан E-mail: farhod.tursunov. 76@mail. ru