CC BY
7PHYSICS AND MATHEMATICS | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ КОШИ-ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Субхия Мамед кызы Зейналлы
Доктора философии по математическим наукам, Старший учитель Кафедра «Общая математика», Гянджинский Государственный Университет, Азербайджан
APPLICATION OF OPTIMIZATION METHODS TO THE SOLUTION OF THE CAUCHY-DIRICHLET PROBLEM FOR ELLIPTIC EQUATION OF SECOND ORDER
Subhiyya Mamed gizi Zeynalli, PhD in mathematical sciences, The senior teacher of chair «General mathematics», Ganja State University, Azerbaijan
АННОТАЦИЯ
В работе рассматривается некорректная задача Коши-Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка, которая сводится к задаче оптимального управления. Полученная задача регулируется и изучается с помощью методов оптимального управления и, применяя метод Фурье, получается точное решение задачи оптимального управления и решения исходной задачи.
ABSTRACT
This paper considers the incorrect Cauchy- Dirichlet problem for linear elliptic equation of second order, which is reduced to an optimal control of the problem. The resulting problem is regulated and inve^igated by means of optimal control methods and applying the Fourier method, we obtain the exact solution of the equation and the optimal solution of the original problem.
Ключевые слова: некорректная задача Коши-Дирихле, оптимальноe управленда, метод Фурье, условие оптимальности.
Keywords: the incorrect Cauchy-Dirichlet problem, optimal control, Fourier method, optimality condition
1. Постановка задачи
QT =Пх (0,Т)
В цилиндре у 7 рассматривается гра-
ничная задача
^ + А = f (х, 0 (х, 0 е дт д (1)
u\sT = 0
(2)
u(x,0) = Ю0(х) du(x,0) = ю1(x) x eQ dt
(3)
Q nn nn
^^^ fc л - ограниченная область в л с глад-
ST = Г х (0,T)
кой границей ность цилиндра
Ю Е L2 (Q)
'1 z, V / -i
боковая поверх-o
Qt , f Е L2(Qt) Юо eW4Q)
заданные функции.
n d
= z— i, j=1 dxi
Q- (x)
du
du
j J
Q- (x) Е С (Q) yp Е Rn x Е Q
где , и для всех
nn
Z Qj (x)ppj >v ZPi,y = const > 0
i, j=1 i =1 ,
Q] (x) = Q (x) i, j = 1,...n.
du (x,T)
Предполагается, что клое замкнутое множество из
dt
EUd и
где -выпу-
l2(Q) о e и
д .
Известно, что задача (1)-(3) является некорректно поставленной [1,2].
Задаче (1)-(3) поставим в соответствие следующую задачу оптимального управления: найти минимум функционала
J(V) = 1 j[u(x,0; V) - Юо(x)2ai
Q
U d
в при ограничениях
d 2u
— + A = f (x,0 (x, t) Е Qt dt
U jS = 0
(2)
Sui^ = W(x) duixll = V x) x e Q
dt dt
u (x, t; V)
где v 7
Теорема 1. Для задачи оптимального управления (6),
(5)
J а (V) = J (V) + а JIV x)|2 а
(6)
в классе
U д
и (X, х; V) /1ч/-,ч«ч Чх)
4 7 решение задачи (1),(2),(5) для уравнения 4 7
и(Х, х;0) V: х) = 0
, а 4 7 - решение этой же задачи при 4 7 . Примем следующие обозначения
с(у, V,) - |[и(х,0; VI) -и(х,0;0)][и(х,0; V,)-и(х,0;0] ^ +
+ aJ V(x)V2(x)rf ,
Q
¿(V) = J[<p0 (x) - u(x,0;0)][u(x,0; V) - u(x,0;0] ^
VeU д
(1), (2), (5) существует такой элемент д
что
Ja(V) = inf Ja(V)
а VeUda
'д
и этот элемент будет единствен-
ным.
- решение задачи (2.1), (2.2), (2.5) со-
VeU д О
ответствующее управлению и . Отметим, что при
/ 6 12(& ) , ( Е ^ , Уе ^ 1раничная
задача (1), (2), (5) имеет единственное обобщенное решение
w21(QT)
из УГ2^т) [4, 5].
Как известно, задача оптимального управления (4), (1), (2), (5) также является некорректной [4].
2. Регуляризация задачи оптимального управления Как в разделах первой главы, задачу (4), (1), (2), (5) надо регуляризовать. В качестве стабилизатора берем
а г 2
Vх)|2ё (а > 0)
2 а .
Тогда можно рассматривать задачу минимизации функционала
Далее в силу теоремы из [3] справедлива
VЕU д
Теорема 2. Для того чтобы д было оптимальным
управлением в задаче (6), (1), (2), (5), необходимо и достаточно выполнения неравенства
Jаv(V\ V- V) > 0 VVe ид ,
т.е. выполнения неравенства | [и(х,0; V) - ( (х] иу(х, X; V Vх) - V(х) й +
Q +
a J V(x$ Vx) - V(x) d > 0 We Ud
при ограничениях (1), (2), (5). Пусть
а (7)
где Jаv(V) - производная Гато функционала Ja (у)
, а иу(х, X; V) - производная решения задачи (1), (2), (5) по .
Преобразуем неравенство (2.7). Для этого линейную граничную задачу (1), (2), (5) запишем в операторном виде
В = ^ - {/,(1, V},
где В есть неограниченный линейный оператор в про)
странстве , сопоставляющий каждой функ-
и(х, X) Б(В)
ции из области своего определения
¡£и(х,X) ди|,°),ди(х'Т))
элемент гиль-
бертова пространства ^ (Qт ) X ^ X ^
ЧЧ, V2) б й
где 4 1 Z7 - билинейная симметричная непрерыв-
ная форма на д, а
U д
Ud я ¿(V)
линейный функционал на
. Тогда функционал (6) можно представить в следующем виде:
Ja(V) = 2|с(У V) - 2J(V) + |[и(х,0;0) - (0(х) 2^ |
Поскольку
a(VbV2) -
U д
прерывная форма на д и она удовлетворяет условию
a(V, V) > dVI2 (c = const > 0)
II ^¿2 (Q)
в силу известной теоремы из [3] справедлива
« д 2u .
где Lu =-- + А . В
дt2
качестве
D( B)
возьмем
билинейная симметричная не- _
22 W2 0 (Qт ) - совокупность элементов (Qт ) равных
нулю на боковой поверхности цилиндра Qт . Можно показать, что оператор В допускает замыкание В , оператор В имеет обратный и множество значений оператора В совпадает со всем ^ (Qт ) X X ^ .
Тогда функция и = В 1{ /, (1, V} будет обобщенным
Q
решением задачи (2.1), (2.2), (2.5). Берем производную этого
/х/ ^ В тождестве (12) за Ц возьмем функцию ц(X, V) , а (V- V) V
решения по направлению в точке :
/ пх \/ Т7\ / \л / Т7\ в тождестве (13) за g возьмем функцию и (X,?) и из (12)
Uv(x, t; ^ V- V) = и(x, t■, ^ - и(x, V) . вычтем (13), тогда получим
Тогда неравенство (7) принимает вид: |[М(х)- V(x) ц(х,Т;^ + |[и(х,0; V)-%(х)][и(х,0; V)-и(х,0; V] ^ = 0
J[u(x,0; V) - Ю0 (x)][u(x,0; V) - u(x,0; V] id
+
или
Й |[и(х,0;V)-р„(х)][и(х,0;V)-и(х,0;V] ^ = -|ц(х,Т;V} V»-V(x) ¡1
о о
Тогда из соотношений (8) и (14) следует, что
I[-ц(х, Т; V) + аУ(х)](У>) - V:х) й > 0 VVе ид. о (15)
+ aJ V(x$ V(x) - V(x) d > 0 We Ud. Q Q . (14)
о (8)
3. Условие оптимальности
Для того чтобы неравенство (8) привести к более удобно
му виду, введем сопряженную граничную задачу: Таким образом, доказан° условие °птимальн°сти в виде
следующей теоремы:
д 2ц/
2 + Ац = 0, (х,?) е дт Теорема 3. Для того чтобы функция Vх) е ид была
дг2 (9) оптшальным управлением в задаче (6), (1), (2), (5) необхо-
димо и достаточно, чтобы она удовлетворяла граничным ц \БТ = 0 (ю) задачам (1), (2), (5), (9)-(11) и вариационному неравенству
( ) (15).
дц(х,0) = 0. V) - (х) дц(х, Т) = 0 е о 4. Применение метода Фурье и некоторые заключения
дг ' УМ ^ дх ' (11) Решения граничных задач (1), (2), (5) и (9)-(11) будем ис-
Отметим, что задача (9)-(11) имеет единственное обоб- кать в виде
щенное решение из ) [4]. С помощью этой гра- и(х'г^ У ик ()Хк (х)' X,г) ()Хк (х)
ничной задачи преобразуем первое слагаемое в неравенстве к=1 к=1
(8).
где Xд.(х) и X£, к = 1,2,... системы ортонормиро-Обозначим и (х, г) = и(х, V) - и(х, V). Тогда ванных собственных функций и собственных значений для
спектральной задачи
функция и (х, г) является обобщенным решением задачи
Ж (x) = -Я2 X(x) X |Г = 0
d 2~
—— + Аи = 0, (x,г) е дТ ~ | = 0 При V = Vх) из (1), (2), (5), (9)-(11) и (15) получаем:
дг '
Ч (г) -XXид = fk (0 г е (0, Т)
ик(0) = (Р1к,ик(Т) = vk, к = 1,2,...,
щ^о) = 0, d~(x,T) = V(x) - V(x) x e (Q) dt dt
(16)
т.е. для любой функции п(х,г) е (д) П = 0 выполняется интегральное тождество
J ТГ + Z j (x) ? dxdt -J [V(x) - V(x] ?;(x, T )d = 0
Qt ldt dt j=1 dxj dx< J Q (12)
Wk(t)-4vk = 0, tЕ(0,T)
Wk(0) = uk(0) Wk(T) = 0, k = (17) (-Wk(T) + aVki Vk - Vk) > 0 Wk, k = 1,2,..., (18)
функция ц( х,г; v) является обобщенным ре- где и (г) 00к, 0лк, V, V, к = 1,2,...
шением задачи (2.9)-(2.11), т.е. для любой функции •> ■> ^0к' ^1к' к' к'
- коэффициенты Фурье функций У (х,
g(x,г) еЖ2(дТ) g |^Т = 0 выполняется интегральное тождество ^0 (х) (х) V(х) М,х) по системе функций
+ у а (х)^^¡¿хМ + |[и(х,0;V)-®п(х] g(хД
J(dW ^d^0» (x) ^ ^jg ldtdi + J[u(x,0;V) -w.(xi g( x,0)^ =0 Xk (x) .
дТ У 1.]=1 ^ •) о (13)
С помощью известных методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений решения граничных задач (2.16) и (2.17) представляются в виде
uk (t)
= Vb Ä Äk(T -t) + L ( ) f (T)dT,k = 1,2,...,
2,h 2ÄT Äh 2ÄT J kV "" '
Xkh 2ÄkT lkh 2XkT 0
(19)
wk (t)=-uk(0) * лк (T -1) k=1,2,...
Äkh 2ÄkT
(20)
где
Gk (t,T) =
b Äkt, t e[0,r]
_ h Лк (T _т) Лк h Лк T
Л * Лк (t _т) -Л ^^ b Xkt, t £ [т,Т ]
Лк Лк я Лк i
функция Грина [1] задачи (16). Из (19), (20) и (18) находим
«к(0) = ТЛ - ЛЛ + Í °к(0; т)/к(T)dT, к = 1,2,. Лкь Лкт Лкк Лкт 0
-Wk (T) =
uk(0) -ш
Äkh ÄkT
(«к(0)кк лкт• Vtí Чк _v)>0 vv, к = 1,2,... .(21)
Условие (21) преобразуем к следующему виду
v
1
ÄÄT
+ Ä k¿ ÄkT
v^k
-KÄl _^0k + J Gk (0t) fk (T)dT
(Vk - Vk) * 0, Wk, k = 1,2,...
Теперь рассмотрим случай Ug = L . Тогда (22' ) получим, что
Vk =
где
ßka ~
f cthÄ T t
ßßa ш + ш c~r—J Gk(0; t)fk(T)dT Ä í
1 +k 2kh 2ÄkT
-k-—, k = 1,2,...
Äkh Äk T
Таким образом, находим оптимальные значения коэффи-
а) с ростом индекса к коэффициенты Фурье функции
Vх) и и£ (X) могут неограниченно возрастать, если этот рост не будет «подставляться» более быстрым уменьшением абсолютных величин коэффициентов ,
и значений норм \/£\
б) граничная задача (22.1)'-'(2.3) при вышеуказанных условиях на данные имеет единственное ^2 - сильное решение [15] тогда и только тогда, когда
{exp(ÄkTM«)L, i exp(ÄkT\ , i exp(^T)||fk
(21'
из
(22)
L2(0,T) f C l2
Лкк=1 ^ 2( )к=1 (25)
Поэтому становится ясным природа некорректности в задаче Коши-Дирихле (1)-(3).
Для того чтобы получить аналог примера Адама-ра в задаче (1)-(3) в трехмерном случае можно брать
Q = (0,п) х (0,п) t = 1, Д| (xj, Х2) = 1, a (Х1, Х2) = a2 (xj, X2) = 0, ai (X1,X2) = 1, f (x¡,X2,t) = 0, q>0(x¡,X2) = 0,
q\(x1,x2) = exp{_^/к2 + к|}sinк1х1 sinк2x2, к = (к1,к2) к1,к2 £ N.
Тогда решение задачи Коши-Дирихле для уравнения Лапласа
д 2и д 2и д 2и
-у + —2 + —2 = 0
dt дх: дх2
будет иметь вид:
и(Xj, x2, t) = . 1 —exp'— д/к12 + к| }sin к1х1 sin к2x2¿ д/к12 + к| t,
л/к-í2 + к22
(26) к = (к:,к2) кьк2 £ N.
Причем оно единственно. Кроме того, при
£ = д/ £1 + £2 функция (1(х1, х2 ) равно-
мерно стремится к нулю и притом не только сама, но все
циентов Фурье V^ функции V(х) . Далее при ОС ^ 0 из (19) и (22) имеем
"кo(t) = lim "к (t) = Vokh + . f * (¿ \tchÄkr - b Äk (T -1) -
Я*Я
0 0 (23)
vk0 = lim vk =MkÄkh ÄkT + Mikb ÄkT -
a^-0
T
-Äkh ÄkTJ Gk (0;t)fk (T)dT.
0
Из равенств (23) и (24) следует:
(24)
её производные принадлежат ^(а) . Однако решение
(26) при любом X > 0 имеет вид синусоида со сколь угодно большой амплитудой и не принадлежит пространству
T T
-b ÄktJGk(0;r)fk(T)dT + JGk(t;z)fk(r)dr L2(QT).
Для того чтобы функция (1 (х) удовлетворяла условию (25), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты
Фурье имели асимптотику для больших |£| поряд-
ка ехр{-(2 + £)|£|} , где Б > 0 . В рассматриваем нами примере имеется асимптотика всего лишь порядка
ехр{- £|} , которая явно недостаточно для корректности задачи Коши-Дирихле для уравнения Лапласа.
Литература
1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и свойства экспонент. Киев: УМК ВО, 1989.
2. Алексеев Г.В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассо-переноса Ж. выч. матем. и матем. физ., 2007.1055-1076.
3. Латтес Р., Лионс Ж.-Л.Метод квазиобращения и его приложения. Ь.. Мир, 1970.
4. Аниконов Ю.Е., Абашеева Н.Л., Аюнова Н.Б., Кожанов А.И., Нещадим М.В., Валитов И.Р. Обратные задачи для эволюционных уравнений Сибирские электронные математические известия, 2008.
5. Кабанихин С.И., Искаков Т.К.Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск: Наука, 2001.
6. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при младших членах в параболическом уравнении // Сиб. мат. журнал, 1975, т. XVI, №3, с.473-482.
7. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965, 474 с.
8. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.:Фактори-ал Пресс, 2002, 824 с.
9. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978,.
