Научная статья на тему 'Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным'

Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
170
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ / ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА / ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Абрамова Елена Владимировна

В работе рассматривается задача о наилучшем (оптимальном) восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости по точно или приближенно известному преобразованию Фурье граничной функции. Построена серия оптимальных методов восстановления и вычислена соответствующая погрешность осстановления.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On optimal recovery of dirichlet problem from a boundary function known approximately

The problem of best (optimal) recovery of a solution of the Dirichlet problem for the upper half-plane from the Fourier transform of the boundary functions known approximately in considered. A series of optimal recovery methods are foud and the corresponding errors recovery are calculated.

Текст научной работы на тему «Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 1, С. 3-13

УДК 517.9

ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ПО НЕТОЧНЫМ ГРАНИЧНЫМ ДАННЫМ

Е. В. Абрамова

В работе рассматривается задача о наилучшем (оптимальном) восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости по точно или приближенно известному преобразованию Фурье граничной функции. Построена серия оптимальных методов восстановления и вычислена соответствующая погрешность восстановления.

Ключевые слова: оптимальное восстановление, экстремальная задача, задача Дирихле, преобразование Фурье.

Общая постановка задачи оптимального восстановления линейного функционала на некотором классе по точной информации об элементах этого класса впервые появилась в диссертации С. А. Смоляка [1], а по неточной — в работе [2]. Для линейных операторов эта тематика была развита в работах [3-8]. В задаче оптимального восстановления оптимальные методы ищутся сразу для всех функций из данного класса и в этом смысле данная задача идейно восходит к работам А. Н. Колмогорова 30-х гг. прошлого века о нахождении наилучшего подпространства среди всех подпространств фиксированной размерности, приближающего данный класс функций. Заметим, что с точки зрения приложений вполне естественно считать, что мы имеем дело не с индивидуальным элементом, а лишь с представителем некоторого семейства. В данной работе решается задача о наилучшем восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости на прямой, параллельной оси абсцисс в метрике ¿2 по неточно заданному преобразованию Фурье граничной функции, определенной на оси абсцисс.

Пусть г — натуральное число. Обозначим через WJ(R) соболевский класс функций на прямой

где LAC(R) обозначает множество функций на R, абсолютно непрерывных на каждом конечном отрезке.

© 2015 Абрамова Е. В.

Введение

1. Постановка задачи

W2r(R) = f (■) £ L2(R) : f (r-1)(-) £ LAC(R), f«(•)

Пусть А — оператор Лапласа на плоскости R2 и f (•) € W2, (R) Дирихле:

Au(x, y) = 0, (x,y) € R2, y > 0, u(; 0)= f (•),

заключающуюся в нахождении гармонической функции u(-, •) в верхней полуплоскости, для которой f (•) является граничной функцией. Последнее понимается так: u(^,y) ^ f (•) при y ^ 0 в метрике L2(R).

Решением этой задачи, как хорошо известно (см., например, [9]), является интеграл Пуассона

u(x,y) = У P(x - t,y)f (t) dt, (2)

R

где P(x,y) = ■

Пусть Y > 0. Ставится задача о наилучшем восстановлении функции u(^,Y) — решении задачи Дирихле на прямой y = Y — по следующей информации: на отрезке [—а, а], а > 0 известно преобразование Фурье F[f](•) функции f(•) либо точно, либо приближенно в метрике L2([—а, а]), т. е. известна функция #(•) € L2([-а, а]) такая, что l|F[f](0 — g (•) 11 l2([-о-,ст]) ^ § гДе § ^ 0 (случай § = 0 соответствует точному знанию F[f](-) на [—а, а]). Для удобства будем считать, что функция #(•) = 0 вне отрезка [—а, а].

Задача оптимального восстановления u(^,Y) по указанной информации понимается следующим образом. Любое отображение m: L2 ([—а, а]) ^ L2(R) называется методом восстановления, а величина

. Рассмотрим задачу (1)

e(Y,W2r(R), 5, a, m) = sup ||u(-,Y) - m(g(-))(-)||L2

f (-)eW2 (R), g(-)&b2 ([-^]), IIF [f ](-)-g(-)\\L2([[-v,*])^

m

Если 5 = 0, то это записывается так:

e(Y,W2r (R), 0, a, m) = sup ||u(-,Y) - m(F[f](-))(•) |L2(R) •

f (•)ew2r (R)

Нас интересует метод, на котором погрешность принимает минимальное значение. Точнее говоря, нас интересует величина

E(Y, WJ(R), 5, a) = inf e(Y,W2r (R),5,a,m),

m: L2([-C,CT])^L2(R)

которая называется погрешностью оптимального восстановления и те методы fn, на которых нижняя грань достигается, т. е.

E(Y,WZ (R),5,a) = e(Y,W2r (R),5,a,m )•

Такие методы мы называем оптимальными методами восстановления задачи Дирихле.

Нашей целью является построение оптимальных методов восстановления и нахождение соответствующей погрешности оптимального восстановления.

2. Формулировка основного результата

Теорема. 1) Пусть 5 > 0. Тогда погрешность оптимального восстановления задачи Дирихле имеет вид

E(Y,W2r(R),6,a) = ^62 + ^^, 6? = б2/2*. Для любой измеримой функции ai(-) на R такой, что

2 e_2Ya (£/a)2r

_2Ya

ai(£) -

1 + e_2Yff (£/a)2r

<

(1 + e_2Ya (£/a)2r )2

x (e2Y|f|(1 + e_2Ya(£/a)2r) - l) , для п.в. £ G [-a, a],

линейный непрерывный оператор Ла1 : ¿2 ([-а, а]) ^ .¿2^), действующий в образах Фурье по правилу

р [Ла1 д(Ж)= аЛ0д(0е-¥ Ч

является оптимальным методом.

2) Если 5 = 0, то погрешность оптимального восстановления задачи Дирихле имеет вид:

E (Y,W(R), a) =

e_Ya

a'

Для любой измеримой функции a2(-) на R такой, что

|a2(£) — 1| ^ (£/a)r • e_Ya, для п.в. £ G [-a, a],

линейный непрерывный оператор Ла2 : L2 ([-a, a]) ^ L2(R), действующий в образах Фурье по правилу

F [Ла2 £(•)](£) = a2(£)g(£)e-Y является оптимальным методом.

Доказательство приведем в следующих двух параграфах.

3. Оценка снизу погрешности оптимального восстановления

1. Пусть u (•, Y) — решение задачи Дирихле (1) и m — произвольный метод восстановления. Рассмотрим экстремальную задачу:

llu (•, Y(R) ^ max, f (•) G WJ(R), ||F[f]()\\L2< S. (3)

Обозначим ее значение через S, т. е.

S = sup 11 u (•, Y )\l2(R) •

f (•)ew2r (R)

llF [f ](-)IIl2«-ct,ct])^

Покажем, что погрешность оптимального восстановления не меньше значения этой задачи: E (Y, WJ(R), ст) ^ S Оценим сверху максимизируемый функционал в (3):

2|К, Y)||МК) = ||u(-, Y) - m(0) - (—u(-, Y) - m(0))yL2

< ||u(-,Y) — m(0)||L2(r) + || — u(-,Y) — m(0)||L2(R))

^ 2 sup ||u(-,Y) — m(0)||L2(r)

f (Oewj (R), llF [f

< 2 sup ||u (■, Y) — m (g(-))|L2(r) = 2e (Y, W2r(R), ст, m) .

f (-)ew2r (R), llF [f ](-)-s(-)Hl2([-ct,ct])^

Таким образом, ||u(-, Y)||L2(R) ^ e (Y, W2(R),5, ст, m).

Переходя слева к верхней грани по всем функциям f (■) G WJ(R), таким, что ||F [f ](')||l2 ([-0-ст]) ^ 5 а спРава к нижней грани по всем методам m : L 2 ([—ст, ст]) ^ L2 (R), получим:

E(Y,W2r(RU<7) ^ sup ||u(-,Y)|L2(R),

f (Oewj (R)

llF [f К0Иь2([-ст,ст])

т. e.

E (Y, W2r(R),^) ^ S.

2. Найдем значение величины S. Так как F[u(-,Y)](■) = e-Y^ ■ F[f](■) (см., напри-

3

следующей задачи:

J e-2Y|f| ■ |F[f](£)|2 ^ max,

L; e

^ f F[f] (0 IЧ < ^ / ГИЛ (6 1=4 < 1,

(4)

где Х(_СТ)0-) (•) — характеристическая функция интервала (—а, а). Нетрудно показать, что эта задача не имеет решения. Поэтому, формально заменяя dß(£) = ^\F[f](^)\2 рассмотрим более общую задачу на произвольных положительных борелевских мерах на прямой («расширение» задачи (4)):

J e~2Y^\ dß(0 max, J Х{-*,*) (О < ¿1 / £2r 1, öf = Ц-. (5)

R R R

3. Рассмотрим вначале случай, когда информация задана неточно (§ > 0). Найдем значение «расширенной» задачи (5). Будем решать равносильную задачу на минимум:

— | e_2Y^d^) ^ min, I x(_^) (£)dMO < §2, f e2rd^(0 < 1. (6)

Это выпуклая задача. Составим ее функцию Лагранжа: L (d/ (£) , Ai, А2)

= ~J e-2Y|f| d/ (£) + Ai П X(-a,a) (£) d/ (£) - ¿2 I + А 2 Ц £2rd/ (£) - 1

R \R / \R /

= / (-e-2Y|f| + AiX(-,;,) (£) + А 2^) d/ (£) - (Ai^2 + А 2).

R

По теореме Каруша — Куна — Такера (см., например, [10]), если существует допустимая мера d/x (■) в (6) и коэффициенты Ai, А2 такие, что выполняются условия:

а) Ai ^ 0; А2 ^ 0

б) Аi( f X(-a,a) (£) d/ (£) - ¿2^ = 0 A2 (f £2rd/ (£) - Л = 0;

\R / \R /

с) min L(d^(-),AiД2) = L(d/t (■) ,Ai,A2), dß(-)'^0 V /V /

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

то d/x (■) — решение задачи (6). Условие с) равносильно следующему неравенству:

/ (-e-2Y|f| + AiX(-.;.) (£) + A2£2r) d/ (£)

R

(-e-2Y^ + AiX(-^)(£) + A2£2r) d/x (£),

R

справедливому для любой меры d/(-) ^ 0. Рассмотрим подынтегральную функцию

9(0 = -e-2Y |f| + AiX(-^)(£) + A2£2r.

Положим Ai = 1 и A2 = 6 ■ При этом функция д(£) примет вид:

9(0 =

✓ / \ 2r

Легко проверить, что функция д(-) всюду неотрицательна и обращается в нуль в точках £ = 0 и £ = а (т. е. д (0) = 0 и д (а) = 0).

Пусть, далее, ^Д(£) = А5 (£) + В5 (£ — а), где 5 (£ — £о) — дельта-функция в точке £о. Из условий

/ Х(-а,а) (£): ¿А (£) = 52, У £2г¿А (£) = 1,

находим коэффициенты

1

А = öf, B = -z~.

Таким образом, с заданными Ai, A2 и d/t(-) условия а) 6) и с) выполнены. Значит, = ' ^(£) + ^ — решение задач (5), (6).

Подставляя найденное выражение для меры в максимизируемый функционал задачи (5), вычислим ее значение

Г р-2Уа

I + (7)

к

Понятно, что значение задачи (4) не больше значения ее «расширения». Покажем, что на самом деле они совпадают.

Рассмотрим семейство функций /п(-), преобразование Фурье которых имеет вид:

р/П] (£) =

К^п), если £ е (0; 1/п); К2(п), если £ е (а; а + 1/п) 0, иначе.

Положим К2(п) = 2-/Гпб2, К2(11) = 2тт 1 • Легко проверить, что функции /п(-)

д0ПуСТИМЫ в задаче (4). Значение максимизируемого функционала в (4) на этих функциях ;

1/п 0"+1/п

(±/ю и ^ ± ! I V

кКп) + /

о гг

-2У/п / 1 52/п2г \

— (*?<„) + ) = е-/" + ^^

Ясно, что величина справа стремится к ё^ + 6 2г и, тем самым, значения задач (4)

(5 > 0)

значение нижней границы погрешности оптимального восстановления

5 =. 52 +

е~2Усг

5>0

новления справедлива следующая оценка снизу:

Е (У, \Г2Г(Ж),5,а)>\1— + . (8)

(5 = 0)

к следующему результату:

5 =

а'

и, тем самым,

Е(¥№(Ж),а)>—. (9)

4. Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и оптимальные методы

Будем искать оптимальные методы среди методов вида:

т (д (■)) = Лд (■), (10)

где Л : ¿2 ([-а, а]) ^ Ь2 (I в образах Фурье имеет вид:

линеиныи непрерывный оператор, действие которого

Г[Л5(.)](^)= аШе)е-УЧ а(-) £ ^([-а,а]).

(11)

1. Вначале исследуем случай неточно заданной информации (5 > 0). Рассмотрим экстремальную задачу:

и (■, У) - т (5) (■, У)||Ь2(К) ^ тах, ||Г[/](■) - ^ОН^-а,,]) < /(г) (•)

¿2 (К)

^ 1.

Применяя теорему Планшереля, получим, что квадрат значения этой задачи равен значению следующей задачи:

^ I (¥Щ (О - аШО) тах,

[/] (е) - 5(612 ¿е < 52

2п

2п

е2г [/] (е) |2^е < 1.

Пусть А1 > 0 А 2 > 0 — некоторые положительные числа. Оценим сверху подынтегральное выражение в максимизируемом функционале, используя неравенство Коши — Буняковского:

е-у |?| (ж [/] (е) - а(е)5(е))

е-у |?| (ж [/] (е) - а(е)г [/](е) + а(е)г [/](е) - а(е)5(е)) = |(1 - а(е)) ж [/] (е)+а(е) (ж [/] (е) - 5(е))12

= е"2^' [/] (О + [/] (О - д($)

V А2е' УА1

Обозначим

Пусть А = е88 8ир^е[-СТ; ,] Б (е). Тогда на отрезке [-а, а] справедлива следующая оценка:

2п

е-у |?| (ж [/] (е) - а(еме))

¿е

(ъет] юг+хг \т (0-9(0

а

Х2Л/е\т юы+хгмь

<

2п

(

1

1

2

а

1

(

Если £ G R\ [—а, а], то g(£) = 0, поэтому, учитывая, что |£/а| > 1, можем записать

1

2тг

e-YW (F [f] (£) - а(Ш£))

.[—а,а]

1

2тг

2 e

—2Ya

2па2г

J e-Y % [f ](£)

R\[—ст,ст] R\[—ct,CT]

Складывая эти неравенства, получим оценку на всей оси

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Г |F [f] (£)|2 d£.

1

2тт

e-Y|f| (F [f] (£) - a(£)g(£))

<

£2r |F [f] (£)|2 + AiA^2.

[—a,a]

Все вышесказанное справедливо для произвольных положительных чисел Ai и A2.

Пусть теперь Ai = 1, А2 = e—2Ya/а2г. Дополнительно потребуем, чтобы A ess S (£) ^ 1. Тогда, учитывая что

^ J ewif] (o\2d^i,

получим

1

2тг

/2 A г e—2Ya

e"y|fl (F [/] (О - а(ШО) ^ У P lF [/] (01* ^ + < -¿¡Г" + (12)

Таким образом, если метод восстановления то удовлетворяет условиям (10)-(11), причем A = ess sup^e[—a,a] S (£) ^ 1, то для его погрешности справедлива оценка

e(Y,W2r (R), а, то) ^ W ¿2 +

3—2Ya

т2г

(13)

Эта оценка совпадает со значением нижней границы погрешности оптимального восстановления (8).

2. Проанализируем, какое условие на функцию а(е) накладывает требование Б (е) ^ 1, е £ [-а, а]. Имеем, выделяя полный квадрат,

= е-2¥\£\ ( + А2^2г А1

Откуда

а(£) -

AiA2£

i

a(£) -

Ai + A2£2r

+

1

Ai + A2£2r

Ai + A 2 £

2r

2< W2r((Ai + A2e)e2^l-l)

( A i + A 2£2r )2

a

Подставим выбранные нами ранее значения Лх = 1 и А2 =

1 + (£/а)2' е-2Уа

е-2¥а(Цу)2г ((1 + е-2¥а(и°)2г) е2У|?| - 1)

1 2 „-2УО(£1 „л2Г ((л | „-2Уа

(1 + е-2Уа (£/а)2' )2

Следовательно, если функция а(-) удовлетворяет данному соотношению, то для погрешности соответствующего метода восстановления справедлива оценка (13).

(5 = 0)

предыдущему случаю рассмотрим экстремальную задачу:

||и (-,у) - т (д) (-,у)УЬ2(К) ^ тах,

/(г) (■) ^ 1, Р[/](■) = д(') Для п.в. £ е [—а, а] .

¿2 (К)

Применяя теорему Планшереля, получим, что квадрат значения этой задачи равен значению следующей задачи:

^ I |е"у1«1 (¥Щ (О - аШО) тах,

К . , (14)

= 0 для п.в. £ е [-а, а] , — J \¥[/] (£)|2^ < 1.

к

Оценим максимизируемый функционал. Так как д (■) = 0, £ е М\[—а, а] и У > 0, то

± I е"2у1«1 \¥[/} (0-аШ{) |2

к

а

-а к\[-а,а]

а

1 Г е-2Уа г-

-а к\[-а,а]

Потребуем, чтобы функция а(-) удовлетворяла следующему условию:

|а(£) — 1|2 < е-2Уа(£/а)2г, £ е [—а,а].

Тогда неравенство примет вид

1 Г „-2Уа г „-2Уа

/ „-2УК1

/е-2У а г

(О -аШ012 < У ^ И/] (012 <

2'

Значит, если метод восстановления т удовлетворяет условиям (10)-(11), причем

|а(£) — 1|2 < е-2Уа(£/а)2г, £ е [—а,а],

то

е-2Уа

е(У,\¥£(Ж),а,т) < —

Полученная оценка снова совпадает со значением нижней границы погрешности опти-

(8)

В § 3 доказано, что для погрешности оптимального восстановления справедливы следующие оценки снизу:

Е (У,^2Г (М), 5, а) ^ \ 52 +

э-2Уа

а

5>0,

Е (У,^2Г (М), а) ^

,-Уа

а'

5 = 0.

В §4 показано, что если метод т имеет вид

т (5 (>)) = Л5 (О >

где Л : ¿2 ([-а, а]) ^ ¿2 (М) — линейный непрерывный оператор, действие которого в образах Фурье имеет вид:

Г[Л5 (.)](е) = а(е)5(е)е-у^

и функция а(е) удовлетворяет следующим условиям:

а (■) £ ([-а, а])

а(е) -

1 + (е/а)2' ■ е-2уа

2 ^ е-^^/аГ ((1 + е-^/аГ) е2^1 - 1) ^ > ^

(1 + е-2уа (е/а)2' )2

а(е) - 1| < е-Уа(е/а)г, если 5 = 0,

то погрешность соответствующего метода не превышает таких же величин и тем самым он оптимален.

Приведем пример оптимального метода.

(5 > 0) .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Можно показать, что метод вида (10)—(11), где а(£) = -— X _2уст ; £ £ 1<7><ТЬ

1+(ч/а) *е

удовлетворяет всем требуемым условиям. Тогда

Р[т(д)} (£) = В этом случае восстановленное решение имеет вид:

е £ [-а, а] ;

е £ [-а, а].

где С =

1+(£/а) -е

2г .с,-2 У а

, Л.ч 1 / е-у^ ■ 5 (е)

и(х,У) =— / --

^ ' 2тгУ 1 + (£/с) • е~2¥а ^

сглаживающии множитель.

(5 = 0) .

Функция а (■) = 1, е £ [-а, а], очевидно, удовлетворяет всем требованиям теоремы. Тогда восстановленное решение имеет вид

1

1

(

и

Легко заметить, что это решение относится к классу оптимальных и в первом случае.

Автор выражает искреннюю благодарность Г. Г. Магарил-Ильяеву за внимание к работе и полезные обсуждения.

Литература

1. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дисс. ... к.ф.-м.н.-М.: МГУ, 1965.

2. Марчук А. Г., Осипенко К. К). Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Мат. заметки.—1975.—Т. 17, № 3.—С. 359-368.

3. Micchelli С. A., Rivlia Т. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory.—N. Y.: Plenum Press, 1977.-P. 1-54.

4. Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal.-1979.-P. 87-105.

5. Micchelli C. A., Rivlia T. J. Lectures on Optimal Recovery // Lecture Notes in Mathematics.—Berlin: Springer, 1985.—Vol. 1129.-P. 21-93.

6. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его приложения.—2003.—Т. 37.—С. 51-64.

7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН.—2010.—Vol. 269.—Р. 181-192.

8. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его приложения.—2010.—Т. 44.—С. 76-79.

9. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.—М., 1974.

10. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения (3-е изд.).—М.: Эдиториал УРСС, 2011.

11. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (4-е изд.).—М.: Наука, 1976.

Статья поступила 2 сентября 2014 г. Абрамова Елена Владимировна

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики, старший преподаватель

РОССИЯ, 119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78 E-mail: abramova_elena@inbox.ru

ON OPTIMAL RECOVERY OF DIRICHLET PROBLEM FROM A BOUNDARY FUNCTION KNOWN APPROXIMATELY

Abramova E. V.

The problem of best (optimal) recovery of a solution of the Dirichlet problem for the upper half-plane from the Fourier transform of the boundary functions known approximately in considered. A series of optimal recovery methods are foud and the corresponding errors recovery are calculated.

Key words: optimal recovery, extremal problem, Dirichlet's problem, Fourier transform.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.