Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 1, С. 3-13

УДК 517.9

ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ПО НЕТОЧНЫМ ГРАНИЧНЫМ ДАННЫМ

Е. В. Абрамова

В работе рассматривается задача о наилучшем (оптимальном) восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости по точно или приближенно известному преобразованию Фурье граничной функции. Построена серия оптимальных методов восстановления и вычислена соответствующая погрешность восстановления.

Ключевые слова: оптимальное восстановление, экстремальная задача, задача Дирихле, преобразование Фурье.

Общая постановка задачи оптимального восстановления линейного функционала на некотором классе по точной информации об элементах этого класса впервые появилась в диссертации С. А. Смоляка [1], а по неточной — в работе [2]. Для линейных операторов эта тематика была развита в работах [3-8]. В задаче оптимального восстановления оптимальные методы ищутся сразу для всех функций из данного класса и в этом смысле данная задача идейно восходит к работам А. Н. Колмогорова 30-х гг. прошлого века о нахождении наилучшего подпространства среди всех подпространств фиксированной размерности, приближающего данный класс функций. Заметим, что с точки зрения приложений вполне естественно считать, что мы имеем дело не с индивидуальным элементом, а лишь с представителем некоторого семейства. В данной работе решается задача о наилучшем восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскости на прямой, параллельной оси абсцисс в метрике ¿2 по неточно заданному преобразованию Фурье граничной функции, определенной на оси абсцисс.

Пусть г — натуральное число. Обозначим через WJ(R) соболевский класс функций на прямой

где LAC(R) обозначает множество функций на R, абсолютно непрерывных на каждом конечном отрезке.

© 2015 Абрамова Е. В.

Введение

1. Постановка задачи

W2r(R) = f (■) £ L2(R) : f (r-1)(-) £ LAC(R), f«(•)

Пусть А — оператор Лапласа на плоскости R2 и f (•) € W2, (R) Дирихле:

Au(x, y) = 0, (x,y) € R2, y > 0, u(; 0)= f (•),

заключающуюся в нахождении гармонической функции u(-, •) в верхней полуплоскости, для которой f (•) является граничной функцией. Последнее понимается так: u(^,y) ^ f (•) при y ^ 0 в метрике L2(R).

Решением этой задачи, как хорошо известно (см., например, [9]), является интеграл Пуассона

u(x,y) = У P(x - t,y)f (t) dt, (2)

R

где P(x,y) = ■

Пусть Y > 0. Ставится задача о наилучшем восстановлении функции u(^,Y) — решении задачи Дирихле на прямой y = Y — по следующей информации: на отрезке [—а, а], а > 0 известно преобразование Фурье F[f](•) функции f(•) либо точно, либо приближенно в метрике L2([—а, а]), т. е. известна функция #(•) € L2([-а, а]) такая, что l|F[f](0 — g (•) 11 l2([-о-,ст]) ^ § гДе § ^ 0 (случай § = 0 соответствует точному знанию F[f](-) на [—а, а]). Для удобства будем считать, что функция #(•) = 0 вне отрезка [—а, а].

Задача оптимального восстановления u(^,Y) по указанной информации понимается следующим образом. Любое отображение m: L2 ([—а, а]) ^ L2(R) называется методом восстановления, а величина

. Рассмотрим задачу (1)

e(Y,W2r(R), 5, a, m) = sup ||u(-,Y) - m(g(-))(-)||L2

f (-)eW2 (R), g(-)&b2 ([-^]), IIF [f ](-)-g(-)\\L2([[-v,*])^

m

Если 5 = 0, то это записывается так:

e(Y,W2r (R), 0, a, m) = sup ||u(-,Y) - m(F[f](-))(•) |L2(R) •

f (•)ew2r (R)

Нас интересует метод, на котором погрешность принимает минимальное значение. Точнее говоря, нас интересует величина

E(Y, WJ(R), 5, a) = inf e(Y,W2r (R),5,a,m),

m: L2([-C,CT])^L2(R)

которая называется погрешностью оптимального восстановления и те методы fn, на которых нижняя грань достигается, т. е.

E(Y,WZ (R),5,a) = e(Y,W2r (R),5,a,m )•

Такие методы мы называем оптимальными методами восстановления задачи Дирихле.

Нашей целью является построение оптимальных методов восстановления и нахождение соответствующей погрешности оптимального восстановления.

2. Формулировка основного результата

Теорема. 1) Пусть 5 > 0. Тогда погрешность оптимального восстановления задачи Дирихле имеет вид

E(Y,W2r(R),6,a) = ^62 + ^^, 6? = б2/2*. Для любой измеримой функции ai(-) на R такой, что

2 e_2Ya (£/a)2r

_2Ya

ai(£) -

1 + e_2Yff (£/a)2r

<

(1 + e_2Ya (£/a)2r )2

x (e2Y|f|(1 + e_2Ya(£/a)2r) - l) , для п.в. £ G [-a, a],

линейный непрерывный оператор Ла1 : ¿2 ([-а, а]) ^ .¿2^), действующий в образах Фурье по правилу

р [Ла1 д(Ж)= аЛ0д(0е-¥ Ч

является оптимальным методом.

2) Если 5 = 0, то погрешность оптимального восстановления задачи Дирихле имеет вид:

E (Y,W(R), a) =

e_Ya

a'

Для любой измеримой функции a2(-) на R такой, что

|a2(£) — 1| ^ (£/a)r • e_Ya, для п.в. £ G [-a, a],

линейный непрерывный оператор Ла2 : L2 ([-a, a]) ^ L2(R), действующий в образах Фурье по правилу

F [Ла2 £(•)](£) = a2(£)g(£)e-Y является оптимальным методом.

Доказательство приведем в следующих двух параграфах.

3. Оценка снизу погрешности оптимального восстановления

1. Пусть u (•, Y) — решение задачи Дирихле (1) и m — произвольный метод восстановления. Рассмотрим экстремальную задачу:

llu (•, Y(R) ^ max, f (•) G WJ(R), ||F[f]()\\L2< S. (3)

Обозначим ее значение через S, т. е.

S = sup 11 u (•, Y )\l2(R) •

f (•)ew2r (R)

llF [f ](-)IIl2«-ct,ct])^

Покажем, что погрешность оптимального восстановления не меньше значения этой задачи: E (Y, WJ(R), ст) ^ S Оценим сверху максимизируемый функционал в (3):

2|К, Y)||МК) = ||u(-, Y) - m(0) - (—u(-, Y) - m(0))yL2

< ||u(-,Y) — m(0)||L2(r) + || — u(-,Y) — m(0)||L2(R))

^ 2 sup ||u(-,Y) — m(0)||L2(r)

f (Oewj (R), llF [f

< 2 sup ||u (■, Y) — m (g(-))|L2(r) = 2e (Y, W2r(R), ст, m) .

f (-)ew2r (R), llF [f ](-)-s(-)Hl2([-ct,ct])^

Таким образом, ||u(-, Y)||L2(R) ^ e (Y, W2(R),5, ст, m).

Переходя слева к верхней грани по всем функциям f (■) G WJ(R), таким, что ||F [f ](')||l2 ([-0-ст]) ^ 5 а спРава к нижней грани по всем методам m : L 2 ([—ст, ст]) ^ L2 (R), получим:

E(Y,W2r(RU<7) ^ sup ||u(-,Y)|L2(R),

f (Oewj (R)

llF [f К0Иь2([-ст,ст])

т. e.

E (Y, W2r(R),^) ^ S.

2. Найдем значение величины S. Так как F[u(-,Y)](■) = e-Y^ ■ F[f](■) (см., напри-

3

следующей задачи:

J e-2Y|f| ■ |F[f](£)|2 ^ max,

L; e

^ f F[f] (0 IЧ < ^ / ГИЛ (6 1=4 < 1,

(4)

где Х(_СТ)0-) (•) — характеристическая функция интервала (—а, а). Нетрудно показать, что эта задача не имеет решения. Поэтому, формально заменяя dß(£) = ^\F[f](^)\2 рассмотрим более общую задачу на произвольных положительных борелевских мерах на прямой («расширение» задачи (4)):

J e~2Y^\ dß(0 max, J Х{-*,*) (О < ¿1 / £2r 1, öf = Ц-. (5)

R R R

3. Рассмотрим вначале случай, когда информация задана неточно (§ > 0). Найдем значение «расширенной» задачи (5). Будем решать равносильную задачу на минимум:

— | e_2Y^d^) ^ min, I x(_^) (£)dMO < §2, f e2rd^(0 < 1. (6)

Это выпуклая задача. Составим ее функцию Лагранжа: L (d/ (£) , Ai, А2)

= ~J e-2Y|f| d/ (£) + Ai П X(-a,a) (£) d/ (£) - ¿2 I + А 2 Ц £2rd/ (£) - 1

R \R / \R /

= / (-e-2Y|f| + AiX(-,;,) (£) + А 2^) d/ (£) - (Ai^2 + А 2).

R

По теореме Каруша — Куна — Такера (см., например, [10]), если существует допустимая мера d/x (■) в (6) и коэффициенты Ai, А2 такие, что выполняются условия:

а) Ai ^ 0; А2 ^ 0

б) Аi( f X(-a,a) (£) d/ (£) - ¿2^ = 0 A2 (f £2rd/ (£) - Л = 0;

\R / \R /

с) min L(d^(-),AiД2) = L(d/t (■) ,Ai,A2), dß(-)'^0 V /V /

то d/x (■) — решение задачи (6). Условие с) равносильно следующему неравенству:

/ (-e-2Y|f| + AiX(-.;.) (£) + A2£2r) d/ (£)

R

(-e-2Y^ + AiX(-^)(£) + A2£2r) d/x (£),

R

справедливому для любой меры d/(-) ^ 0. Рассмотрим подынтегральную функцию

9(0 = -e-2Y |f| + AiX(-^)(£) + A2£2r.

Положим Ai = 1 и A2 = 6 ■ При этом функция д(£) примет вид:

9(0 =

✓ / \ 2r

Легко проверить, что функция д(-) всюду неотрицательна и обращается в нуль в точках £ = 0 и £ = а (т. е. д (0) = 0 и д (а) = 0).

Пусть, далее, ^Д(£) = А5 (£) + В5 (£ — а), где 5 (£ — £о) — дельта-функция в точке £о. Из условий

/ Х(-а,а) (£): ¿А (£) = 52, У £2г¿А (£) = 1,

находим коэффициенты

1

А = öf, B = -z~.

Таким образом, с заданными Ai, A2 и d/t(-) условия а) 6) и с) выполнены. Значит, = ' ^(£) + ^ — решение задач (5), (6).

Подставляя найденное выражение для меры в максимизируемый функционал задачи (5), вычислим ее значение

Г р-2Уа

I + (7)

к

Понятно, что значение задачи (4) не больше значения ее «расширения». Покажем, что на самом деле они совпадают.

Рассмотрим семейство функций /п(-), преобразование Фурье которых имеет вид:

р/П] (£) =

К^п), если £ е (0; 1/п); К2(п), если £ е (а; а + 1/п) 0, иначе.

Положим К2(п) = 2-/Гпб2, К2(11) = 2тт 1 • Легко проверить, что функции /п(-)

д0ПуСТИМЫ в задаче (4). Значение максимизируемого функционала в (4) на этих функциях ;

1/п 0"+1/п

(±/ю и ^ ± ! I V

кКп) + /

о гг

-2У/п / 1 52/п2г \

— (*?<„) + ) = е-/" + ^^

Ясно, что величина справа стремится к ё^ + 6 2г и, тем самым, значения задач (4)

(5 > 0)

значение нижней границы погрешности оптимального восстановления

5 =. 52 +

е~2Усг

5>0

новления справедлива следующая оценка снизу:

Е (У, \Г2Г(Ж),5,а)>\1— + . (8)

(5 = 0)

к следующему результату:

5 =

а'

и, тем самым,

Е(¥№(Ж),а)>—. (9)

4. Оценка сверху погрешности оптимального восстановления и оптимальные методы

Будем искать оптимальные методы среди методов вида:

т (д (■)) = Лд (■), (10)

где Л : ¿2 ([-а, а]) ^ Ь2 (I в образах Фурье имеет вид:

линеиныи непрерывный оператор, действие которого

Г[Л5(.)](^)= аШе)е-УЧ а(-) £ ^([-а,а]).

(11)

1. Вначале исследуем случай неточно заданной информации (5 > 0). Рассмотрим экстремальную задачу:

и (■, У) - т (5) (■, У)||Ь2(К) ^ тах, ||Г[/](■) - ^ОН^-а,,]) < /(г) (•)

¿2 (К)

^ 1.

Применяя теорему Планшереля, получим, что квадрат значения этой задачи равен значению следующей задачи:

^ I (¥Щ (О - аШО) тах,

[/] (е) - 5(612 ¿е < 52

2п

2п

е2г [/] (е) |2^е < 1.

Пусть А1 > 0 А 2 > 0 — некоторые положительные числа. Оценим сверху подынтегральное выражение в максимизируемом функционале, используя неравенство Коши — Буняковского:

е-у |?| (ж [/] (е) - а(е)5(е))

е-у |?| (ж [/] (е) - а(е)г [/](е) + а(е)г [/](е) - а(е)5(е)) = |(1 - а(е)) ж [/] (е)+а(е) (ж [/] (е) - 5(е))12

= е"2^' [/] (О + [/] (О - д($)

V А2е' УА1

Обозначим

Пусть А = е88 8ир^е[-СТ; ,] Б (е). Тогда на отрезке [-а, а] справедлива следующая оценка:

2п

е-у |?| (ж [/] (е) - а(еме))

¿е

(ъет] юг+хг \т (0-9(0

-Г

а

Х2Л/е\т юы+хгмь

<

2п

(

1

1

2

а

1

(

Если £ G R\ [—а, а], то g(£) = 0, поэтому, учитывая, что |£/а| > 1, можем записать

1

2тг

e-YW (F [f] (£) - а(Ш£))

.[—а,а]

1

2тг

2 e

—2Ya

2па2г

J e-Y % [f ](£)

R\[—ст,ст] R\[—ct,CT]

Складывая эти неравенства, получим оценку на всей оси

Г |F [f] (£)|2 d£.

1

2тт

e-Y|f| (F [f] (£) - a(£)g(£))

<

£2r |F [f] (£)|2 + AiA^2.

[—a,a]

Все вышесказанное справедливо для произвольных положительных чисел Ai и A2.

Пусть теперь Ai = 1, А2 = e—2Ya/а2г. Дополнительно потребуем, чтобы A ess S (£) ^ 1. Тогда, учитывая что

^ J ewif] (o\2d^i,

получим

1

2тг

/2 A г e—2Ya

e"y|fl (F [/] (О - а(ШО) ^ У P lF [/] (01* ^ + < -¿¡Г" + (12)

Таким образом, если метод восстановления то удовлетворяет условиям (10)-(11), причем A = ess sup^e[—a,a] S (£) ^ 1, то для его погрешности справедлива оценка

e(Y,W2r (R), а, то) ^ W ¿2 +

3—2Ya

т2г

(13)

Эта оценка совпадает со значением нижней границы погрешности оптимального восстановления (8).

2. Проанализируем, какое условие на функцию а(е) накладывает требование Б (е) ^ 1, е £ [-а, а]. Имеем, выделяя полный квадрат,

= е-2¥\£\ ( + А2^2г А1

Откуда

а(£) -

AiA2£

i

a(£) -

Ai + A2£2r

+

1

Ai + A2£2r

Ai + A 2 £

2r

2< W2r((Ai + A2e)e2^l-l)

( A i + A 2£2r )2

a

Подставим выбранные нами ранее значения Лх = 1 и А2 =

1 + (£/а)2' е-2Уа

е-2¥а(Цу)2г ((1 + е-2¥а(и°)2г) е2У|?| - 1)

1 2 „-2УО(£1 „л2Г ((л | „-2Уа

(1 + е-2Уа (£/а)2' )2

Следовательно, если функция а(-) удовлетворяет данному соотношению, то для погрешности соответствующего метода восстановления справедлива оценка (13).

(5 = 0)

предыдущему случаю рассмотрим экстремальную задачу:

||и (-,у) - т (д) (-,у)УЬ2(К) ^ тах,

/(г) (■) ^ 1, Р[/](■) = д(') Для п.в. £ е [—а, а] .

¿2 (К)

Применяя теорему Планшереля, получим, что квадрат значения этой задачи равен значению следующей задачи:

^ I |е"у1«1 (¥Щ (О - аШО) тах,

К . , (14)

= 0 для п.в. £ е [-а, а] , — J \¥[/] (£)|2^ < 1.

к

Оценим максимизируемый функционал. Так как д (■) = 0, £ е М\[—а, а] и У > 0, то

± I е"2у1«1 \¥[/} (0-аШ{) |2

к

а

-а к\[-а,а]

а

1 Г е-2Уа г-

-а к\[-а,а]

Потребуем, чтобы функция а(-) удовлетворяла следующему условию:

|а(£) — 1|2 < е-2Уа(£/а)2г, £ е [—а,а].

Тогда неравенство примет вид

1 Г „-2Уа г „-2Уа

/ „-2УК1

/е-2У а г

(О -аШ012 < У ^ И/] (012 <

2'

Значит, если метод восстановления т удовлетворяет условиям (10)-(11), причем

|а(£) — 1|2 < е-2Уа(£/а)2г, £ е [—а,а],

то

е-2Уа

е(У,\¥£(Ж),а,т) < —

Полученная оценка снова совпадает со значением нижней границы погрешности опти-

(8)

В § 3 доказано, что для погрешности оптимального восстановления справедливы следующие оценки снизу:

Е (У,^2Г (М), 5, а) ^ \ 52 +

э-2Уа

а

2г

5>0,

Е (У,^2Г (М), а) ^

,-Уа

а'

5 = 0.

В §4 показано, что если метод т имеет вид

т (5 (>)) = Л5 (О >

где Л : ¿2 ([-а, а]) ^ ¿2 (М) — линейный непрерывный оператор, действие которого в образах Фурье имеет вид:

Г[Л5 (.)](е) = а(е)5(е)е-у^

и функция а(е) удовлетворяет следующим условиям:

а (■) £ ([-а, а])

а(е) -

1 + (е/а)2' ■ е-2уа

2 ^ е-^^/аГ ((1 + е-^/аГ) е2^1 - 1) ^ > ^

(1 + е-2уа (е/а)2' )2

а(е) - 1| < е-Уа(е/а)г, если 5 = 0,

то погрешность соответствующего метода не превышает таких же величин и тем самым он оптимален.

Приведем пример оптимального метода.

(5 > 0) .

Можно показать, что метод вида (10)—(11), где а(£) = -— X _2уст ; £ £ 1<7><ТЬ

1+(ч/а) *е

удовлетворяет всем требуемым условиям. Тогда

Р[т(д)} (£) = В этом случае восстановленное решение имеет вид:

е £ [-а, а] ;

е £ [-а, а].

где С =

1+(£/а) -е

2г .с,-2 У а

, Л.ч 1 / е-у^ ■ 5 (е)

и(х,У) =— / --

^ ' 2тгУ 1 + (£/с) • е~2¥а ^

сглаживающии множитель.

(5 = 0) .

Функция а (■) = 1, е £ [-а, а], очевидно, удовлетворяет всем требованиям теоремы. Тогда восстановленное решение имеет вид

1

1

(

и

Легко заметить, что это решение относится к классу оптимальных и в первом случае.

Автор выражает искреннюю благодарность Г. Г. Магарил-Ильяеву за внимание к работе и полезные обсуждения.

Литература

1. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дисс. ... к.ф.-м.н.-М.: МГУ, 1965.

2. Марчук А. Г., Осипенко К. К). Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Мат. заметки.—1975.—Т. 17, № 3.—С. 359-368.

3. Micchelli С. A., Rivlia Т. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory.—N. Y.: Plenum Press, 1977.-P. 1-54.

4. Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal.-1979.-P. 87-105.

5. Micchelli C. A., Rivlia T. J. Lectures on Optimal Recovery // Lecture Notes in Mathematics.—Berlin: Springer, 1985.—Vol. 1129.-P. 21-93.

6. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его приложения.—2003.—Т. 37.—С. 51-64.

7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН.—2010.—Vol. 269.—Р. 181-192.

8. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его приложения.—2010.—Т. 44.—С. 76-79.

9. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.—М., 1974.

10. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения (3-е изд.).—М.: Эдиториал УРСС, 2011.

11. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (4-е изд.).—М.: Наука, 1976.

Статья поступила 2 сентября 2014 г. Абрамова Елена Владимировна

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики, старший преподаватель

РОССИЯ, 119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78 E-mail: [email protected]

ON OPTIMAL RECOVERY OF DIRICHLET PROBLEM FROM A BOUNDARY FUNCTION KNOWN APPROXIMATELY

Abramova E. V.

The problem of best (optimal) recovery of a solution of the Dirichlet problem for the upper half-plane from the Fourier transform of the boundary functions known approximately in considered. A series of optimal recovery methods are foud and the corresponding errors recovery are calculated.

Key words: optimal recovery, extremal problem, Dirichlet's problem, Fourier transform.