О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2004, Том 6, Выпуск 4

УДК 517.51

О ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

ПО НЕТОЧНЫМ ИСХОДНЫМ ДАННЫМ

1

Осипенко К. Ю.

Владимиру Михайловичу Тихомирову с благодарностью за внимание и дружбу

Исследуется задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле для единичного круга, когда информация о граничной функции задана в виде конечного набора ее коэффициентов Фурье, вычисленных с фиксированной погрешностью в средне квадратичной или равномерной метрике.

Большинство конкретных результатов, касающихся задач оптимального восстановления, получено для восстановления линейных функционалов — это, например, задачи оптимального восстановления значений функций, их производных или интегралов от них (общую постановку задач оптимального восстановления и соответствующие результаты для конкретных задач можно найти в [1-5] и цитируемой там литературе). Оптимальное восстановление операторов изучено значительно меньше. Отметим в связи с этим работы [6-9]. В данной работе используется метод, предложенный в работе [7]. Этот метод уже применялся к оптимальному восстановлению решения уравнения с частными производными (см. [10]), а именно, к задаче оптимального восстановления решения уравнения теплопроводности по неточной информации о начальной температуре. Подобным образом могут исследоваться многие краевые задачи математической физики. В данной работе мы рассматриваем одну из таких задач — задачу Дирихле.

Рассмотрим задачу Дирихле в единичном круге О = {(ж, у) £ Ж2 : ж2 + у2 < 1}

где ак (/) и Ьк (/) — коэффициенты Фурье функции /. Нас будет интересовать вопрос как наилучшим образом восстановить решение задачи (1), если вычислено лишь конечное число коэффициентов Фурье ао(/),а1(/),...,ам (/),Ь\(/),..., Ьм (/) и вычисления проведены с некоторой погрешностью.

© 2004 Осипенко К. Ю.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №02-01-00386 и №02-01-39012; программы государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации, грант НШ-304.2003.1 и программы «Университеты России», УР.04.03.067.

Ап = 0, u(cos t, sin t) = f (t).

Хорошо известно, что решение этой задачи дается равенством

(1)

те

k=i

Для корректной постановки этой задачи необходимо иметь априорную информацию о том, какой может быть исходная функция /. Положим

*2Г = {/ : /(г-1) - абс. непр. на Т, ||/(г)||Ыт) <

где Т — отрезок [—п, п] с идентифицированными концами, а

1Ы\ыт) = (П!т ш\22.

Мы будем предполагать, что

/ е ^ = {/ е : ||/(г)||Ь2(т) < 1}.

Уточним, что понимается под погрешностью вычисления коэффициентов Фурье. Мы считаем, что для любой функции / е нам известен вектор а = (а0, а1,..., аN, Ь1,..., ЬN) такой, что

||ам(/) — а||г2^+1 ^ 5, где аN(/) = (ао(/), а1(/),..., aN(/), Ьы(/),..., ЬN(/)), а

Cll72N+1 = <

Ip

, N х I

( Е |Ck lP) ", 1 < P< ~

V/--AT /

k=-N 7 c = (C-N

С = (C-N ,...,Cn ).

max Icfcl, p = oo,

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы р : K2N+1 ^ L2(D), где

\M\l2(d) = (1 Jj Iu(x,y)|2dxdyj .

Погрешностью восстановления для данного метода р назовем величину eN,p(W2,5,p)=sup sup ||u - p(a)\\L2(D).

/6WJ agR 2N+1

||aN (f )-a||.2N+1 ip

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

ENp(Wr ,5) = inf eNp (Wr ,5,р).

'P 2 ' <p: R2N+1^L2(D) 'p 2 '

Метод, на котором достигается нижняя грань называется оптимальным. Начнем со случая p = 2.

Теорема 1. При всех 5 > 0

52 1

En, 2(wj ,5) = W - +

4 2(N + 2)(N + 1)2r

а метод

а0 N ( 2k2r \-1

<^(а)(р cosi,psint) = y + P^!+ + 2)(N +1)2^ (afc c0s kt + bk sin kt) (2)

является оптимальным.

< Из общих результатов о задачах восстановления (см., например, лемму 1 из работы [7]) вытекает следующая оценка снизу

£n,2(W,5) ^ sup ||u||L2(D). (3)

f ewj

ll«N (f )||,2N+1 l2

Экстремальная задача, стоящая в правой части неравенства (3), может быть переписана в виде (для удобства мы переходим к квадрату ее значения)

«0(/) , 1 ^ «I(/) + bk(/)ял

—^ Шал,

+ 2E'

4 2^ k + 1 k=l

N

22

a2(f)^(ak(f) + bk(f)) < ¿2, (4)

k=1

те

E(«k(f) + bk(f))k2r < 1.

k=1

Положим no = a0(/), uk = ®k (/) + bk (/). Тогда задача (4) примет вид

1 те N те

т + ^ max, ^Uk ^ 52, ^Uk k2r ^ 1, Uk ^ 0. (5)

k=1 k=0 k=1

Для решения этой задачи рассмотрим ее функцию Лагранжа

! + А0 Uo + £ (-2F+ 2

L({ukAi,A2) = (-4 + А^ uo + k=1 (-+ AiXk + A2k2^ Uk,

где

ii, 1 < k < N, Xk = \o, k > N.

Нетрудно проверить, что если существует допустимая в (5) последовательность {Akи такие Ai, А2 ^ 0, что

min L({nfc}§°, Ai, А2) = L({Afc}§°, Ai, А2) (6)

Uk

и

Ai (£ Ak - sA + А2 (£ Afck2r - Л = 0, (7)

4=0 ' V=1 '

то {Ak}q° — решение задачи (5).

Положим 1

no = UN+1 = (N + 1)2г, Uk = 0, k = 0,N + 1,

A1 = 1 , A2 =

4' 2 2(Ж + 2)(Ж +1)2г'

Легко проверить, что для так определенных {А&}д° и А1, А2 выполнены равенства (6) и (7). Следовательно, решение задачи (5) есть величина

¿2 1

+

4 2(Ж + 2)(Ж +1)2г' Отметим, что из тех же соображений вытекает, что {А&}§° — решение задачи

оо

«0 1 «k

+ 2 Е ^^ ^ maX'

4 2^ k + 1 k=1

N

Al У^ «k + A2^ «kk2r ^ Ai¿2 + n2, «k ^ 0. k=0 k=1

Займемся теперь построением оптимального метода восстановления. При фиксированном a = (ao, a1,..., aN, 61,..., 6n) £ H2N+1 рассмотрим следующую экстремальную задачу

A1||aN(f) - a|||N+i + a2IIf(r) ||L2m ^ min, f £ . (8)

Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция

ao N A1

/(t) = -7° + У] --^т (ak cos kt + 6k sin kt).

2 k=1 A1 + A2k2r

Из того, что f — решение задачи (8), вытекает справедливость при всех f £ W>r равенства (которое может быть проверено и непосредственно)

A1||aN(f) - aN(Щ„+1 + a2|f(r) - f^IlL^T) + A1|aN(f) - a|||„+1

+ ^Hf^^T) = A1||aN(f) - a||¡U+1 + A2||f(P)||Í2(T).

Если f £ WJ и ||aN(f) - a||j2N+i ^ то из этого равенства, положив g = f - /, получаем

A1|aN(g)||22N+1 + A2||g(r)|||2(T) < A1|aN(f) - a|2^N+i + A2||f(r)|||2(T) < A1¿2 + A2. Оценим погрешность метода (2). Имеем

и« A(a)i2 = a0(g) +1 ^ 4(g) + 6k(g) ||u - <A(a)|L2(D) = — + 2 ^ k+1

k=1

f X N X N

< sup «40 + 1 E Г+i : ^E «k + A2 E «kk2r < A1¿2 + A2, «k > 0 .

^ l--1 + l—n l--1 '

Так как значение последней задачи совпадает со значением задачи (5), то полученная оценка сверху для погрешности оптимального восстановления совпадает с оценкой снизу и метод (2) является оптимальным. Подставляя в него выражения для А1 и Л2, получаем утверждение теоремы. >

Рассмотрим теперь случай р = то.

Теорема 2. Положим

т = шах | п : 52 Е к2г < 1, 0 < п < N }.

Тогда

где

а метод

En^WZ ,5) =

ak = 1 -

\

г-о m

Т + 52 Е

ak

+

k=1

к + 1 2(m + 1)(m + 1)2r '

к + 1 ( к

m + 2 V m + 1

2r

к = 1,..., m,

A(a)(p cos t,psint) = O0 + E akpk(ak cos kt + bk sin kt)

N

(9)

k=1

является оптимальным.

< Аналогично неравенству (3) имеем

En,^(W2 , 5) ^ sup ||uyL2(D).

f 6WJ

ll«N (f )II,2N+1

Экстремальная задача, стоящая в правой части этого неравенства может быть переписана в виде (здесь для удобства мы также переходим к квадрату ее значения)

f + 1 Е Ш+Л ^ ШаХ' 0 ^ Uk ^ 52, к = -N,...,N, Е ukk2r < 1, (10) |k|^1 1 1 + |k|^1

где Uk = ak(f) (к = 0,1,...) и u-k = bk(f) (к = 1, 2,...). Рассмотрим функцию Лагранжа этой задачи

L({uk}00 A) = 1 + Ao) u0 + Е (-2(|к[1+1) + An+1к2^ Uk + Е AkUk,

|k|^1 | k |—1

A = (A-n, • • •, An, An+1). Для решения задачи (10) достаточно найти допустимую в (10) последовательность {Ak }0° и такой вектор А с неотрицательными компонентами, что

min L({uk}о°, А) = L({Ak}0°°, А)

(11)

Е Ak(Ak - 52) + An+1 ( Е Akк2г - Л = 0.

k—-N |k|^1 '

1

и

При этом {%— решение задачи (10).

Положим 1 1

А° = 4' Ам+1 = 2(т + 2)(т + 1)*"'

Ак = <

1

- Ам+1к2г, 1 < |к| < т,

2(|к| + 1)

0, т +1 ^ |к| ^ N.

Последовательность {Ак }0° определим равенством

|к| ^ т, -, |к| = т + 1,

а к =

1 - «2 £к2г

2(т + 1)2г 0, |к| > т + 1.

Из определения т следует, что {А&}0° — допустима. Кроме того, при всех Пк ^ 0 ^({Пк}0, А)= £ (- 1+1)+ А^+1к2Л Пк ^ 0 = ^({Ак}0, А).

Тем самым условие (11) выполнено. Легко убедиться, что условие (12) тоже выполнено. Следовательно, {А&}0° — решение задачи (10). Отсюда

\

П° 1

А к

4+2|ку^1|к| + 1 Ч

«2

+ «2Е

ак

+

4 " к=1 к + 1 2(т +1)(т + 1)2г'

Отметим, что из тех же соображений, которые были использованы выше, вытекает, что {Ак }0° — решение задачи

П° 1

+2Е

Пк

4 2 ^ |к| + 1 |к|>1 | |

^ тах,

N N

У] АкПк + АN+1 Е Пкк2г ^ «2 Ак + АN+1, Пк ^ 0. |к|>1

к=—N

к=—N

Займемся теперь построением оптимального метода восстановления. При фиксированном а = (а°, а1,..., аN, 61,..., bN) £ К^+1 рассмотрим следующую экстремальную задачу

N

А°|а°(/) - а°|2 ^(Ак|аь(/) - ак|2 + А-к|Ьк(/) - Ьк|2)

к=1

^+1||/ (г)|| 12(Т) ^ т1п, / £ . (13)

Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция

Ак

к=1 Ак + АN+1к2г

- (ак сов М + Ьк ят М).

1

Из того, что / — решение задачи (13), вытекает справедливость при всех / £ #2 равенства (оно может быть проверено и непосредственно)

N

12

(14)

АсЫ/) - «с(/)|2 + |ак(/) - а^(/)|2 + |6к(/) - 6к(/)|2) к=1

+^+11|/(г) - /^Н^т) + Лс|ас(/) - ас|2

N

+ £(Лк|ак(/) - ак|2 + Л_к|6к(/) - |2) + ^+111/Л(г) |||2(Т) к=1

N

= Лс|ас(/) - ас|2 + ^(Ак|ак(/) - а^|2 + А^|6к(/) - 6к|2) + ^+11|/^^(т). к=1

Если / £ ^ и |ак(/) - а^| < 5, к = 0,, |6к(/) - 6^| < 5, к = , то из

равенства (14), положив д = / - /, получаем

N

Ас|ас(д)|2 + |ак(д)|2 + А^|6к(д)|2) + ^+1 Нд(г)Н^2(Т) < Ас|ас(/) - ас|2 к=1

N N

^(Ак|ак(/) - а*|2 + Л_к|6к(/) - 6^|2) + ^+1Н/(г)Нь2^) < 52 ^ А* + А^ь

к=1 fc=_N

Оценим погрешность метода (9). Имеем

нП 2 = «oM + 1v ак(д) + 6к(д) < Ч1Ш/ пс + •

Ни - ^И^р) = 4 |к| + 1 < 8иР\4+2^ |к| + 1:

N те N ч

^ ЛкПк + ^+1 ^ и*к2г < 52 ^

+ AN+1, Пк ^ 0 >. fc=_N |к|^1 fc=_N ^

Так как значение последней задачи совпадает со значением задачи (10), то полученная оценка сверху для погрешности оптимального восстановления совпадает с оценкой снизу и метод (9) является оптимальным. Подставляя в него выражения для A_N, • • •, AN, AN+1, получаем утверждение теоремы. >

Пусть фиксирована погрешность 5 > 0 вычисления коэффициентов Фурье граничной функции / в задаче Дирихле. Положим

N = шах| п £ • 52 ^ к2г < 1 }.

Из теоремы 2 вытекает, что для максимально точного восстановления решения задачи Дирихле по приближенным значениям коэффициентов Фурье функции / требуется знание + 1 первых коэффициентов Фурье. Вычисление следующих коэффициентов Фурье (при условии, что они вычисляются с той же погрешностью) не приводит к уменьшению погрешности оптимального восстановления.

Аналогичный эффект насыщения наблюдается в задачах оптимального восстановления производных по неточным коэффициентам Фурье (см. [7]) и при оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточной информации о начальной температуре (см. [10]).

Литература

1. Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // In: Optimal Estimation in Approximation Theory / Eds. C. A. Micchelli and T. J. Rivlin.— New York: Plenum Press, 1977.—P. 1-54.

2. Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов.—М: Мир, 1983.—382 с.

3. Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery.—Berlin: Springer-Verlag, 1985.—P. 21-93. (Lecture Notes in Math.; V. 1129.)

4. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки.—1991.—Т. 50, № 6.—С. 85-93.

5. Osipenko K. Yu. Optimal Recovery of Analytic Functions.—Huntington, New York: Nova Science Publ., 2000.—220 p.

6. Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal.—1979.—V. 16, № 1.—P. 87-105.

7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Матем. сб.—2002.—Т. 193, № 3.—С. 79-100.

8. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функ. анал. и его прил.—2003.—Т. 37, № 3.—С. 51-64.

9. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление производных на соболевских классах // Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, № 1.—С. 39-47.

10. Magaril-Il'yaev G. G., Osipenko K. Yu., Tikhomirov V. M. On optimal recovery of heat equation solutions // In: Approximation Theory: A volume dedicated to B. Bojanov / Eds. D. K. Dimitrov, G. Nikolov, and R. Uluchev.—Sofia: Marin Drinov Academic Publishing House, 2004.—P. 163-175.

Статья поступила 25 октября 2004 г-

Осипенко Константин Юрьевич, д. ф.-м. н. г. Москва, «МАТИ» — Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского E-mail: konst@osipenko.mccme.ru