Оптимальное восстановление производных на соболевских классах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь март, 2003, Том 5, Выпуск 1

УДК 517.51

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ НА СОБОЛЕВСКИХ КЛАССАХ1

Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко

Рассматривается задача оптимального восстановления производных функций из соболевских классов на по неточной информации об их преобразовании Фурье. Доказано, что существует область По С К^ такая, что информация о преобразовании Фурье в любой области, содержащей По5 не ведет к уменьшению оптимальной погрешности восстановления.

В данной работе рассматривается задача оптимального восстановления производных функций из соболевских классов на по информации о преобразовании Фурье самих функций, заданном приближенно. Перед постановкой задачи приведем некоторые определения. Пусть а = (ах,... Е М+. Для функции х(-) Е ^(В^) через иаж(-) будем обозначать производную порядка а по Вейлю, определяемую равенством

£>а®М = —1— [Нт)аРх(т)е^ ёт, (2тг) .}

где

(гт)а = (¿пГ1 ...{ътЛ)а\ (т,1)=т111 + ... + тЛи,

а Рх(-) — преобразование Фурье функции х(-). Соболевское пространство Н^О^") определяется как совокупность функций х(-) Е ^(В^) таких, что

где ||11|2 = t\ + ... + Соответствующим соболевским классом назовем множество

Щ(Ша) = {х(-) Е Щ(Ша) : |N-)lk2^) < 1 }•

Задача оптимального восстановления оператора Da на классе Н^СШ?) по преобразованию Фурье функции х(-) Е ifji®^), заданному с погрешностью 8 > 0 в метрике £2 ), ставится следующим образом. Мы считаем, что для каждой функции х(-) Е ifji®^) нам известна функция у(-) Е ^(В^) такая, что

И^(-) У (') 11^2 (Rd) < (с) 2003 Магарил-Ильяев Г, Г., Осипенко К, Ю,

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №00-15-96109, №02-01-39012 и №02-01-00386), программы «Университеты России» (УР.04.03.013), а также при поддержке U.S. CEDF - E.F. Ministry of Education Award VZ-010-0.

В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные операторы i2 ) £2(1^), Погрешностью данного метода <р назовем величину

e(Da,Hr2(md),S,<p) = sup PM-)-¥>(y)(-)llL2(Rd)-

ж(-)ея2г(Rd), yeb2(VLd)

Нас будет интересовать погрешность оптимального восстановления, определяемая равенством

E(Da,H^),S)= inf e(Da,HURd),8,<p), (1)

а также метод, на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом восстановления.

Впервые задача оптимального восстановления для функционалов по конечномерной информации была поставлена С, А, Смоляком [1], Впоследствии эта постановка обобщалась и развивалась в разных направлениях (см, [2-6]), Подход к задачам восстановления, основанный на общих принципах теории экстремума, который мы здесь также используем, развивался в работах [7-10],

В данной работе мы сначала решаем задачу (1), а затем обсуждаем некоторый эффект, связанный с тем, что знание преобразования Фурье лишь на некотором подмножестве Md обеспечивает ту же погрешность оптимального восстановления, что и на всем пространстве.

Теорема 1. Пусть a = («i,... , оу) £ о / 0, г > 1 и a = aj < r-

Положим

§ (r — (j\Tl2 d

Тогда, если

0 < d < (2ir)d^A0, то

5) = (l - Д2/Г)СТ/2 ,

а метод

r(Al>' - Д2/Г)

является оптимальным. Если S ^ (2n)d^2Ao, то

Vp

E(Da, Щ (md ), ô) = ffi (r - a) ,

a Dax(t) Ri 0 — оптимальный метод.

<1 Нетрудно показать, что имеет место следующее неравенство

E(Da,Hr2(md),S)> sup \\Dax(-)\\L2(Rd). (2)

ж(-)ея2г( Kd)

Действительно, для любого метода <р при всех х(-) Е Иг2 (Md) таких, что ||-F1®(-)llL2(Rd) ^ $ (учитывая, что -х(-) Е ifji®^)), имеем

2\\Dax(-)\\L2(Ri) < \\Dax(-) - ^(0)(-)||L2(Rd)

+ || - Dax(-) - ^(0)(-)||L2(Rd) < 2e(Da,HURd),8,<p).

Следовательно, для любого метода <р

e(Da,Hr2(md),S,<p) > sup \\Dax(-)\\L2(Ra), WFxiMb^^S

откуда сразу же вытекает оценка (2),

Экстремальная задача в правой части неравенства (2) может быть записана в виде (для удобства мы ищем квадрат значения этой задачи)

PMOIll^Rd) max, ||F®(-)||l2(r4) < S-> |N-)ll^(Rd) < L (3)

В силу равенства Парсеваля

lk(-)ll!2(Rd) = (2тгГй||^(-)11!2(к^

полагая

u(-) = (2nrd\Fx(-)\2, задача (3) в образах Фурье запишется в виде

|2а„

u(t)dt-> max, / u(t) dt < A2, / (l + p||2)r u(t) dt < 1, u(t) > 0 п. в., (4)

где |t|2a = |ii|2ai ... \td\2ad. Можно показать, что в этой задаче нет решения. Поэтому расширим ее, заменяя функции положительными мерами. Итак, рассмотрим следующую задачу

|i|2a d/j,(t) max, [ d/j,(t) < А2, [ (l + p||2)r d/j,(t) < 1, d/j,(t) > 0. (5)

Это выпуклая задача. Ее функция Лагранжа имеет вид

£(ф(-),Ао,АьА2) = [ (X0\t\2a + X1 + X2{l + Wt\\2)r) dß(t).

Если dp,(-) — решение задачи (5), то согласно теореме Куна — Таккера (см., например, [8]) найдутся такие Ао ii 0, Ai, А2 0, не равные нулю одновременно, что

min £(ф(-), А0, Аь А2) = £(dp:(-), А0, Аь А2) (6)

Хг / dm - А2 = О, Л2 / (1 + p||2)r dm -1=0. (7)

Кроме того, если для допустимой в (5) меры df^(■) выполняются условия (6) и (7) с Ао < 0 и Ах,А2 ^ 0, то df^(■) — решение задачи (5), Действительно, для любой допустимой меры d^(■) имеем (используя последовательно допустимость этой меры и неотрицательность Аъ = 1,2, условие (6) и условие (7))

А0 / |í|2a d/j,(t) > Ао J \t\2a d/j,(t) + Ах \J d/j,(t) - A'z

+ a2 i I (I + pn2)r d^t) -1 p A01 щ2а dm

W / R<¡

+ Ax / dm - A2 + A2 / (i + pn2)r dm -1

= A0 / \t\2a dm

Предъявим dfi(■) ^ 0 и Ао < 0, АЬА2 ^ 0, для которых будут справедливы равенства (6) и (7), Введем следующие обозначения А = тт(Д2, Дд),

, А^1/г — 1 1/2 . , , -tj = у---а/, 3 = 1......,d; t = (ti,... ,td)

и положим Ао = —1,

А2 =

сги

р(А~^г - 1 y-iA1-1/*

ip0-<7— 1

и dp,(-) = A8(- — t), где S(-) —дельта-функция в нуле. Легко видеть, что Ai ^ 0 (Ai = 0, когда А = До) и А2 > 0, Непосредственная проверка показывает, что мера dp,(-) допустима и справедливы равенства (7), Для доказательства равенства (6) достаточно доказать, что функция

G(t) = —\t\2a + Ai + А2 (l + ||í||2)r

неотрицательна и в точке t обращается в ноль. Предположим сначала, что a.j > 0, j = 1,... , d. Сделаем замену переменных = 2 ln \ tj\, j = 1,... , d, в функции \t\^2aG(t), |í| > 0, Тогда получим функцию

F(0 = -1 + e-<a¿> (Ai + A2 (1 + e«1 + ... + e^f) , £ = (£ъ • • •

Нетрудно убедиться, что эта функция выпукла, F(£) = 0, где £ = (£1,... ,= 2 In \ tj\, j = 1,... ,d, и, кроме того, градиент этой функции в точке £ равен нулю. Это означает, что F(£) ^ О при всех ( G Iй. Отсюда, возвращаясь к старым переменным, получаем, что G(t) ^ 0 для всех i 6 Iй и G(t) = 0, Если среди otj есть нули, то аналогичные рассуждения приводят к тому же выводу для функции G(-), зависящей лишь от тех переменных, для которых соответствующие a.j >0, Добавляя оставшиеся переменные в функцию G(-) легко убедиться, что полученная функция по-прежнему останется неотрицательной, a G(t) = 0, Тем самым имеет место равенство (6), и значит, dfi(t) — решение задачи (5), Для ее значения имеем

р_

Т<Г

_Д2(1-*/г) _ A2/ry ^ g < (27Г)^/2Д05

Д:= j \t\^dm={ Г

5 > (2тг) / AQ.

Id ^ гг

Эта величина дает оценку снизу для значения задачи (4), а, следовательно, и для квадрата значения задачи (3), Но эта оценка точна, так как можно выбрать последовательность допустимых в (3) функций хп(-) £ таких, что (2я)а\Рхп(-)\2 —У А8(■ — ъ) при п —)• оо. Итак, получена оценка снизу

Е{Оа,Щ{^),8) > л/1.

Для получения оценки сверху рассмотрим экстремальную задачу

\\Dax(-)\\L2{Rd) max, + А2||ж(-)||^(к<г) < АХД2 + А2. (8)

Переходя к образам Фурье, а затем расширяя задачу, переходя к мерам, получаем еле-дующую задачу (здесь опять для удобства рассматривается квадрат значения задачи (8))

12а

ф(т) max, Ai / ф(т) + А2 / (l + p||2)r dfi(t) < АХА2 + А2.

Пользуясь теми же соображениями, которые применялись ранее, нетрудно показать, что df^(■) = А8(- — т) является решением и этой задачи. Таким образом, значение задачи (8) равно тоже

Рассмотрим теперь такую задачу: для фиксированной функции у( ) £ £2(Ж<г) найти величину

_А

L'J!n „ ( 77^u\\Fx(-) ~ y(-)ll!2(Rd) + A2|H-)||^(Rd) • (9)

Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция ху(-) такая, что

РхМ) = --—^-у(г).

у А1 + А2(1 + р||2)г

Введем в линейном пространстве Н = L2(K.d) х Т-12(Ша) полускалярное произведение

1

= ] {^zim(t) + X2(l + \\t\\2)rFzUt)Fzi(t)) dt

Rd

(здесь z1 = z2 ('))> z2 = (zi(')i z2 ('))) и соответствующую полунорму обозначим

через || • ||я- Тогда задача Н может быть записана в следующем виде

||(F®(-),®(-))-(у(О.О)Ия ^-rnin, х(-) G Hr2(md). (10)

Поскольку Ху(-) — решение задачи (10), то производная минимизируемого функционала в этой точке равна нулю, т, е, для всех х(-) G ^(Ж^) имеет место равенство

((Fxy(-),xy(-)) - (y(-),0),(Fx(-),x(-)))H =0.

Отсюда следует, что

Il(ib(-M-)) - (у(-),0)111 = ||(^(-)^(-)) - (i%(-),%(-))lll

+ ||(^(.),Ж|/(.))-(у(-),0)|||. (11)

Если х(-) G iij) и ||^ж(') — y(')llL2(Rd) ^ то из (11), полагая h(-) = х(-) — ху(-), получим

\\(Fh(-),h(-))\\2H < \\(Fx(-),x(-))-(y(-),0)\\2H^X1A2 + X2. Поэтому для всех х(-) G Н2(Kd) таких, что Ц^ж(-) — y(-)IU2(Rd) ^ ^ имеем

\\Dax(-)-Daxy(ML2^) = \\Dah(-)h2m <8ир|||1?М-)||!2(К(г) : ^p||^(-)ll!2(Rd) + A2|k(-)ll^(Kd) <A!A2 + A2| = VR.

Тем самым доказано, что метод

» ^ = (¿F /(,т'"л1 + лга + |мр)-!,'т)е"г,"<гт-

id

является оптимальным. Остается лишь подставить выражения для Ai и А2, >

Предположим теперь, что преобразование Фурье функции известно с ошибкой не на всем пространстве Md, а на некотором измеримом множестве О С Тогда соответствующую погрешность оптимального восстановления определим равенством

E(Da,HHRd),8,n)=mf sup \\Dax(-) - <р(у)(.) ||i2(Rd),

v х(-)еЩ(Kd), Уеь2(п)

где нижняя грань берется по всем операторам (р: L2(fi) —L2(K.d), Нетрудно убедиться, что при fii С 02

E(Da,H^(Rd),8,n1) > E(Da,Hl(Rd),8,n2)-

Оказывается, что существует множество Оо С такое, что для всех измеримых О, для которых Оо С О С Ж^, имеет место равенство

Е(Ва,Щ( Ша),6,П) = Е(Ва,Щ(Ша),6).

Иными словами, для максимально точного восстановления производной порядка а в метрике пространства ^(Ж^) достаточно знать преобразование Фурье на множестве Оо, а использование приближенной информации о преобразовании Фурье в более широких областях не приводит к уменьшению погрешности оптимального восстановления, В одномерном случае этот эффект был обнаружен в работе [10], Точный результат здесь формулируется следующим образом.

Теорема 2. В условиях и обозначениях теоремы 1 положим

Щ2а р

(1 + р||2у > ^^Т

Тогда для всех измеримых О таких, что Оо С О С имеет место равенство

Е(Ва,Щ(Ж'1),8,П) = Е(Ва,Щ(Ж'1),8),

а метод

в-ф, я > Г-«у™-Лг

Г(Д2/' _ Д2/г)

является оптимальным.

<1 Схема доказательства этой теоремы та же, что и предыдущей. Остановимся лишь на некоторых отличиях. После перехода к образам Фурье функция Лагранжа расширенной задачи будет иметь вид (считаем сразу, что Ао = —1)

£(Ф(-),АьА2) = [ (-|г|2а + А1Хп№ + А2(1 + р||2)г) ф(г),

гДе Хп(') — характеристическая функция множества О, В силу доказанного в теореме 1, определения множества Оо и того, что Оо С О, имеем

-|г|2а + А1Хп(г) + А2 (1 + р||2)г >о

при всех < 6 Далее доказательство оценки снизу проводится так же, как и в теореме 1,

При оценке сверху надо рассмотреть линейное пространство Н = £2(О) х 'Н2(Ж<г), Полускалярное произведение в нем следует определить равенством

(27)

(г1,г2)я = 7__Л1 / + А2 / (1 + р||2)'(£) (Й.

п к<г

В остальном доказательство то же, что и в теореме 1, >

Рассмотрим теперь несколько примеров для случая (1 = 2.

Пусть а = (1,0) и г = 2, Иными словами, рассматривается задача восстановления частной производной xtl(•,•) на классе Н^Ш?). Из теорем 1 и 2 получаем, что при 0 < 8 < ж

множество насыщения По представляет собой два круга с центрами в точках ±^/-тг/8 и радиусами \Лг/<5 — 1, а метод

1 Г ¿т1?у(тьт2)е^+^) ,

•^(¿1^2) - -ТТГу} / --(1Т1(1Т2

является оптимальным,

Вид множеств насыщения По для рассматриваемой задачи при ряде значений 8 представлен на рис, 1,

Рис, 1,

В случае восстановления смешанной производной •) на классе Н^Ш?) мно-

жество насыщения в полярных координатах будет иметь вид

1 + р2 <

8__

4тг

1 -

2-тг

-1/4

М

Эти множества при ряде значений 8 представлено на рис, 2,

Рис, 2,

Литература

1. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них // Дисс. на соиск. степ. канд. физ.-мат. наук.—Москва: МГУ, 1965.

2. Micchclli С. A., Rivlin Т. J. A survey of optimal recovery // In: Optimal Estimation in Approximation Theory / Erls. С. A. Micchelli and T. J. Rivlin.—New York: Plenum Press, 1977.—P. 1-54.

3. Трпуб Дж., Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов.—М: Мир, 1983.— 382 с.

4. Micchclli С. A., Rivlin Т. J. Lectures on Optimal Recovery.—Berlin: Springer-Verlag, 1985.—P. 2193. (Lecture Notes in Math.; V. 1129.)

5. Мшприл-Ильясв Г. Г., Оснпснко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки.—1991.—Т. 50, № 6.—С. 85-93.

6. Oaipcnko К. Yu. Optimal Recovery of Analytic Functions.—Huntington-New York: Nova Science Puhl., Inc., 2000.—220 c.

7. Мптрил-Ильясв Г. Г., Тихомиров В. M. О неравенствах для производных колмогоровского типа // Мат. сб.—1997.—Т. 188, № 12,—С. 73-106.

8. Мшприл-Ильясв Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения.—М.: Эдиториал УРСС, 2000.—176 с.

9. Мшприл-Ильясв Г. Г., Оснпснко К. Ю., Тихомиров В. М. Оптимальное восстановление и теория экстремума // Докл. РАН,—2001.—Т. 379, № 2,—С. 161-164.

10. Мшприл-Ильясв Г. Г., Осннснко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прил.—2003. (в печати).

г. Москва

Статья поступила 19 января 2ÜÜ3 г.