CC BY
6
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 3, С. Н1 02
УДК 517.984.64
О ВОССТАНОВЛЕНИИ ОПЕРАТОРА РАЗДЕЛЕННОЙ РАЗНОСТИ ПО НЕТОЧНО ЗАДАННОМУ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ФУРЬЕ
С. А. Унучек
В работе рассматривается задача восстановления к-й разделенной разности последовательности при условии, что приближенно известно преобразование Фурье этой последовательности на интервале. Построен оптимальный метод восстановления.
Ключевые слова: оптимальное восстановление, экстремальная задача, разделенная разность, преобразование Фурье.
Задача оптимального восстановления линейного функционала по значениям других линейных функционалов впервые была поставлена С. А. Смоляком [1] в 1965 г. В основе этой работы лежали идеи А. И. Колмогорова о наилучшем приближении на классе функций, изложенные в работах [2] и [3]. Задача об оптимальном восстановлении по неточно заданной информации была поставлена в работе [4]. В данной работе изучается задача восстановления самой последовательности или ее к-й разделенной разности (1 ^ к ^ п — 1) в среднеквадратичной норме по неточно заданному на интервале преобразованию Фурье данной последовательности в равномерной норме на классе последова-
п
новления нескольких разделенных разностей различного порядка по неточно заданной
п
к
водной по неточно заданному преобразованию Фурье этой функции рассматривалась в работе [6]. Результат, полученный в данной работе, в предельном случае переходит в результат, полученный в работе [6].
Рассмотрим пространство ¡2,н(^), Н> 0, всех последовательностей х = {х^ таких,
1. Введение
2. Основные понятия
Напомним определение оператора разделенных разностей:
© 2015 Унучек С. А.
Обозначим
L2nh(Z) = {x € l2,h(Z) : НДМг (Z) < 1},
= {х € : (#*)(•) € ¿те([_п/Н,п/Н])},
где образом Фурье последовательности х = {х^ }jеz € ¡2,н(^) является функция
(^х)И = Н^Xj€ ¿2([-п/Ь,п/Ь]).
jez
Образами Фурье для операторов разделенных разностей являются функции
(РАнх)(ш) = Х,+1Ь~ ХЗ е-~гзНш jеz
= \ ( Ъ И - Н ^ )
V ^'ей jеz /
е^Нш 1 е^Нш _ 1
Следовательно,
(егНш _ 1)к
(.FAkhx)(co) = y hk J (Fx)(со).
Пусть для каждой последовательности x € L^h (Z) также приближенно известно ее преобразование Фурье на множестве (-a; a), а ^ n/h, в метрике L^(-a; а), т. е. известна некоторая функция y € L^(-a; а) такая, что
IKFX)(') - y(0|L(-CT;CT) < I
Задача состоит в оптимальном восстановлении либо самой последовательности, либо оператора разделенной разности fc-ro порядка последовательности x € L2nh Z). В качестве метода восстановления рассмотрим всевозможные отображения
m(y) : L^(-a; а) ^ I2,h(Z).
Погрешностью метода m будем называть величину
e(L2nh^(Z),fc,^,m) = sup ^^ - m(y(-))IIl (z).
xeL^htX(z), 2M ;
y€LTO (-a;a),
ll(F*)(-)-y(-)llw-^)<i Погрешностью оптимального восстановления называется величина E(L2nh^(Z),M) = , Inf e(L2nh^(Z),k,5,m).
Метод ш, на котором достигается нижняя грань, будем называть оптимальным, методом.
3. Основной результат
Положим
\eihu _ 1|2 2
д{ш) = - 1
h2 \ h
ст — решение уравнения gn(w)duj = сто = тт(ст, ст).
Теорема 1. Погрешность оптимального восстановления равна
Vq, ст0 < n/h,
¿^>00(Z),M) = < /£ j gk{u])d^ ,0 = 7гА)
[Y М^п/h
I"
где
J J 9n(uj)duj
(1)
Л2 Г S2
2тг
H<oo 4 М<°о
При ст0 < n/h метод m (y) такой, что
Fm(y) = (а(шЫш)> M ^
[0, И > сто,
где
является оптимальным. При сто = n/h метод m(y) такой, что
(gihw _ i)fc
Fm(y) =-—k-y(w),
является оптимальным.
4. Доказательство Лемма 1. Имеет место неравенство
£(L"h^(Z),M) ^ sup \\Aix\l (2)
xeLlh ,^(z)> 2 )
< Для любой последовательности x € ^(Z) такой, что выполнено неравенство ||(Fx)(-)||lto(-ст;ст) ^ S, и Для любого метода m имеем
2\Ahx\Z2 h(z) = \\Ah(x) - A(-x) + m(0) - m(0)\\i2 ,^
12,1
< \\Ah(x) - m(0) \\г2, h(z) + \\Ah(-x) - m(0)\i2, ^ < 2e(L2"h ,TO(Z),M,m), m
e LA^^M^ ^ SUp \\Ahx\\ №).
Отсюда следует неравенство (2). >
Доказательство теоремы 1. Из леммы 1 следует, что погрешность оптимального восстановления не меньше значения экстремальной задачи
НАНх11г2^ шах'
(3)
1Ах||12Л(ж) < 1. И^МЦ^—^ < 5
Перейдем к квадрату задачи (3) и запишем ее в образах Фурье. По теореме Планше-реля имеем
IIА™х\\1мя) = 2тт \\Р^^)\\2Ы[.ж/н>ж/н]у
1 г | _ 1 |2т
11 н , н(^) 2П у Н2т
Тем самым, приходим к следующей задаче: 1 /" I егнш_112к
2тт J h2k
|(Fx)(w)|2 dw —> max;
1 /• _ 1 |2n
J h2n \(Fx)(uj)\2duj^l, \(Fx)(oo)\2 ^ ¿2
(4)
для почти всех ш € (_а; а) х € ^^
Пусть а ^ ст. Покажем, что значение задачи (4) не меньше, чем
£ //М^.
Введем функцию р(ш) = -^\(Fx)(w)\2duo ^ 0. Тогда задача (4) принимает вид
/ gk (w)p(w) dw — max;
2тг
У gn(w)p(w) dw ^ 1, p(w) ^
2 (5)
Положим = < 2?r' ^ ^ '
[0, w/ (-<?; <r).
Так как
«г
2
I дп{ьо)р{ьо) duJ = I дп{ьо) (ко = 1,
— э
то функция р(ш) допустима в задаче (5), т. е. значение этой задачи не меньше, чем
2 «г
J дк(ш) р(ш) dto = — J gk(io)dio.
При а ^ (г имеем, что
Е2{^Коо{Ъ),к,5) дк{ш) (ко,
а
¿2
т. е. получена оценка снизу при ао = г.
Рассмотрим случай а < (г, а < п/Л. Положим
5 (т) =
\
пт / _ Ь2 [ , . , 1--/ йш
Пп V 2тг
V 2 /
т
+ ^ < Рассмотрим последовательность функций хт, для которой
ш € (—а; а), 5(ш), (Т < < (Т +
О, +
Неравенство < £ выполнено для всех М < а. Далее, имеем
1
I дп(со)\(Рхт)(со)\2(1со = ^ ( 252 Iдп(со)(1со + 232(т) ^ дп{ьо)(Ьо
I а I ш т г м ш п и,ш = - I ¿а I ГП^
2п
4 о
/ а
< М52 / йш+
о
+ V ™ I т
0 т/ \ о / /
т. е. последовательность функций хт допустима в задаче (4). Значение этой задачи не менее величины
^ У = 252 ! д\ш)йш + 23\т) |
^ 0 а '
При т — то величина, стоящая в правой части, стремится к
(7 ¡дк(и)(ко + дк-п(а)-(1-^ оо Тем самым, мы показали, что при а < (г, а < п/Л справедливо неравенство
В случае <т = ^ < <т положим (Рх)(со) =5, |сс>| < Тогда, поскольку выполнено равенство §°~дп{ьо)<1и) = 1, <т > функция дп(ш) неотрицательная, то выполнено неравенство
I дп{ш)\{Рхт){ш)\2 (1ш = I дп{ш) (1ш < 1.
Это означает, что функция ж(-) допустима в задаче (4) и значение задачи не менее величины
х2 г
„к/
Тем самым мы показали, что
ст0 < п/Н,
/ё / сто = тг/Л.
Пусть ст0 = ш1п(ст, ст), ст0 < п/Н. Покажем, что метод т : ст; ст) — 12, л(^) такой,
(у) Л а(ш)у(ш)' |Ш <сто' [0, |ш| ^ сто,
является оптимальным.
Для оценки оптимальной погрешности восстановления разделенных разностей рассмотрим экстремальную задачу
||Л£ж - тк(У) Ц^) - ШаХ, II (^ж)0 - У(') ^ ^
X € ^,те(Я), у € ¿те(-ст; ст).
В образах Фурье квадрат задачи принимает вид
(6)
Аш 1 \ к 2
(„гпш — !)
1 ; ^жИ - а{ш)у{ш)
Нк
£ /
|ш|<сто
л игйш _ 1 2к \ (7)
+ / -—|^ж(о;)|2сга; I ->• тах,
|^ж(ш) - у(ш)|2 < ¿2
для почти всех ш € (—ст, ст),
1 г I „г^ш _ 1 12га
2тг У И V /1 ^
Положим ¿(ш) = ^ж(ш) — у(ш), |я(ш)| ^ Тогда максимизируемое выражение можно представить в виде
/
|ш|<сто
+
ао^М^п/Ь,
(_ 1)к \ 2
^-р-^-- - а(ш)) ■ Гх(со) + а(и)г(со)
! дк(ш)|^ж(ш)|2^ш^ — шах.
Оценим подынтегральное выражение из первого интеграла, применив неравенство Ко-ши — Буняковского:
(„гЬ,ш _ 1)к
¥
(еЛш_1)к , ч
_ а(шН ■ ^ж(ш) + а(ш)г(ш)
<
Нк
Л1(ш)
_ а(ш)
Л1(ш)^ж(ш) +
а(ш) Л2 (ш)
Л2(ш)^(ш)
Л1 (ш) Л2(ш)
где Л1 (ш) > 0 Л2 (ш) > 0 для почти всех ш < ст0. Пусть
3(ш) =
(^гЬ.^_1)к
Р
_ а(ш)
Л1(ш)
Л2 (ш)
Тогда значение задачи не больше, чем
/ \1^)\Рх(ш)\2 + ^ I ЛаИ^И!2 <1ш
|ш|<оо
1
|ш|<оо
дк(ш)|^ж(ш)|2 ^ш.
Пусть
Тогда
сто^М^п/Ь,
дп_к(сто):
9п(со) 2тг } дп~кы
|ш|<оо
1
+ ^ I дк(и)\Ех(и){
сто^М^п/Ь,
(ш) V \ 12
(8)
|ш|<оо
Учитывая, что функция дк_п(ш) неотрицательная, четная и убывающая при ш > 0,
имеем
1
2тг
дк{и)\Рх{и))\2 йи = [ дк-п(Ш) ■ дп{и)\Рх{и)\2 йи
сто^М^п/Ь,
сто^М^п/Ь,
I <7гаИ1^И1'
^ш.
оо
Таким образом, получаем дк_п(сто)
Б ^
2п
I дп(ш)\Рх(ш)\2 йш + I
|ш|<п/й
|ш|<оо
2
2
Учитывая условия в задаче (7), получаем
|w|<n/h
|w|<oq
т(
Покажем, что условие (8) выполнимо. Пусть
a(w) =
А2И (eihw - 1)k
Ai(w) + ^(w)
Тогда
Q(w) =
fefc - «И
+
|a(w)|s
(w)
= 1,
(1(ш) (2(ш) (1(ш) + А2М
и условие выполняется.
Покажем, что при а = ^ < а метод ш : L00(—<т; а) —>■ ¿2,/1(2) такой, что
Fm (y) =
(e^hw_i)fc
п
■г/И, M < -
оптимален. В этом случае квадрат задачи (7) имеет вид
1
2тт
|w|<n/h
(e^hw_i)fc
■ Fx(w) _
(e^hw_i)fc
v 7
|Fx(w) _ y(w)|2 < ¿2
y(w)
2
dw —> max,
для почти всех w € (_n/h, п/h),
e»hw _ i| 2n
J- / :_
2тг J h2>
|w|<n/h
|Fx(w)|2 dw < 1.
Учитывая ограничения в задаче (9), оценим первый интеграл:
2тг /
|w|<n/h
j- Г
2п j
|w|<n/h
(e^hw _ i)fc
■ Fx(w) _
(e^hw_i)fc
(w)|Fx(w) _ y(w)|2 dw ^
2тг
dw
y(w)
/ (w) dw.
|w|<n/h
(9)
Верхняя и нижняя оценки снова совпали, метод оптимален. Пусть
W2n(R) = {f (•) € L2(R) : f(n-1) € LAC(R), f (n)(-) €
— соболевское пространство, где LAC(R) — множество функций, абсолютно непрерывных на каждом конечном отрезке. Рассмотрим класс функций
WU(R) = {f(•) € Wn(R) : ||f(n)(-)|U2(R) < i, (Ff)(•) € Lc где (Ff)(•) — преобразование Фурье функции f.
2
Заметим, что, в пределе при h ^ 0 fc-я разделенная разность последовательности x € L^h переходит в производную k-го порядка функции f (■) € W^
/Л 2 ,. - /тг(2п + 1)\^т
hm д(ш) = to , hm а = 1 1
h^o ' h^ü V
Имеем
е / â2fc+i ^
^(^„(ZJ.M) = , i(s2a(2k+1, . ,(2ri+1)
ст < (Г.
Величина, стоящая в правой части равенства, совпадает с погрешностью восстановления к-й производной на классе Ш2 по неточно заданному преобразованию Фурье, полученной в работе [6].
Кроме того, предельный оптимальный метод совпадает с оптимальным методом, полученным для этой задачи в той же работе.
Литература
1. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: дис. .. .канд. физ.-мат. наук.—М.: МГУ, 1965.
2. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика.—М.: Наука, 1985.—470 с.
3. Никольский С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // Успехи мат. наук.-1950.-Т. 5, № 2.-С. 165-177.
4. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Мат. заметки.—1975.—Т. 17, № 3.—С. 359-368.
5. Унучек С. А. Оптимальное восстановление разделенных разностей по неточно заданной последовательности // Диф. уравнения.—2015.—(В печати).
6. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функцион. анализ и его прил.—2003.—Т. 37.^С. 51-64.
7. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Неравенство Харди — Литтлвуда — Полна и восстановление производных по неточной информации // Докл. РАН.—2011.—Т. 438, № 3.—С. 300-302.
Статья поступила 24 февраля 2015 г.
Унучек Светлана Александровна Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики, старший преподаватель
РОССИЯ, 119454, Москва, Проспект Вернадского, 78 E-mail: imuchek@mirea.ru
ON OPTIMAL RECOVERY OF THE OPERATOR OF k-th DIVIDED DIFFERENCE FROM ITS INACCURATELY GIVEN FOURIER TRANSFORM
Unuchek S. A.
This paper considers the recovery problem of the k-th divided difference of sequence, provided that the Fourier transform of this sequence on the interval is approximately known. The optimal recovery method is also constructed.
Key words: optimal recovery, extremal problem, divided difference, Fourier transform.
