Оптимальные кубатурные формулы, связанные с решениями начально-краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. Вып. 2

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.6

С. А. Авдонин, А. С. Буланова, Д. А. Овсянников ОПТИМАЛЬНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ,

СВЯЗАННЫЕ С РЕШЕНИЯМИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ *)

1. Введение. Пусть Q - ограниченная область в К" с кусочно-гладкой границей Г, Y — некоторый класс вещественных суммируемых в Q функций. Рассмотрим линейный функционал l(y), у £ Y:

N

y(x)dx ^^2cky(xk), k=1

где си - вещественные числа; îj 6 Q. Классической задачей теории кубатур является нахождение значения d(Y, N):

d(Y,N) = min max 1I (y) \

{ck,xk} V&'

для данного класса Y при заданном числе точек N. Решению этой задачи посвящено много работ (см. [1-4]). В частности, С. Л. Соболев [1] рассмотрел эту проблему (точнее, ее часть, связанную с нахождением тахуеу \Ку)\) Для случая, когда Y есть единичный шар в пространстве Hm(fl). Для практических приложений представляет интерес изучение случаев, когда множество Y определяется через решения некоторой начальнокраевой задачи. В настоящей статье приводятся несколько примеров решения проблемы такого рода. Также рассматривается задача нахождения miri{Cs} maxÿ€y |í(j/)|. Некоторые результаты данной статьи в более кратком изложении были опубликованы в [5, 6].

2. Задача максимизации в случае параболического уравнения. Перейдем к точной постановке задачи. Пусть Т > 0, Q = О х (0,Т), S = Г х (0,Т); функции а.у непрерывны в Q и при некотором а > 0 удовлетворяют в Q условию

П П

i,j=1 i=1

для любых вещественных чисел

В п. 2.1 исследуем начально-краевую задачу с управлением в начальных данных, в п. 2.2 - задачу с управлением на границе.

Работа выполнена при финансовой поддержке National Science Foundation (США) (гранты К* ОРР-0414128 и ARC 0724860).

© С. А. Авдонин, А. С. Буланова, Д. А. Овсянников, 2008

%) = / JQ

2.1. Управление начальными данными. Рассмотрим начально-краевую задачу

ао £ С {О), V £ II, II - ограниченное замкнутое выпуклое множество в пространстве

Известно (см. [7]), что при достаточно гладких коэффициентах а.у, а0 существует единственное обобщенное решение задачи (1), такое, что

Из теоремы вложения [8] следует, что при выполнении условия (2) у(-,Т) £ С(Л). Поэтому корректно определен функционал </(и):

Задача состоит в том, чтобы найти функцию и £11 такую, что </(и) = тах„е£/ J(v)■ Функционал Л^о) удобно записывать в виде

Поскольку 7(г>) представляет собой квадрат линейного и ограниченного (в силу (3)) функционала, то он слабо непрерывен. Из выпуклости и замкнутости множества II следует, что оно слабо замкнуто. Вместе с ограниченностью множества 17 это влечет существование оптимального элемента и £11 (см. [9]).

Для получения условий оптимальности определим начально-краевую задачу, сопряженную к задаче (1), следующим образом:

Как было сказано выше, элемент / определяет линейный непрерывный функционал над пространством Я™(П) при тп > п/2. Поэтому р(-,Т) £ Н~т(Л). Методом

(1)

Здесь

Ь2{ П).

Т)

у{;Т)£Н™{ії), пг > —.

(2)

N

2

к=1

Здесь (р £ Ь2(Л), си £ К, хи £ О. При этом

|<Д«)1 ^ міМ-,т)\\с(Щ ^ М2ІМІ|(П), у£Ь2(П), МьМ2> 0. (3)

,1(у) = \1(у)\2,

(4)

где

к=1

— = А{і)р в (3,

(5)

транспозиции (см. [10]) легко показать, что задача (5) имеет единственное обобщенное решение, причем р|(=о £ Ь2(П).

Предложение 1. Условия оптимальности в задаче максимизации функционала ,](у) имеют вид

/ р(щ х, 0)[и(ж) — и(х)\(1х ^ 0 (6)

■1п

для любой функции V £ II.

Доказательство. Если и - оптимальный элемент, то [9]

Л(и)(ь— и) ^.0, V £ и. (7)

Левую часть этого неравенства можно представить следующим образом:

ї{и){ь -и) = Лу(у(и))у'(у)(у -и) = Лу(у(и))[у(у) - у(и)] =

= 2 / у(и;х,Т)/(х)йх / [у(у;х,Т) — у(и;х,Т)]/(х)с1х =

■1п -1п

= 2 / р(щ х, Т)[у(ь; х, Т) — у (и; х, Т)\<1х. (8)

■1п

Для решения у(-) задачи (1) и решения р(-) сопряженной к ней задачи (5) справедливы соотношения

0 = У у<Ь&~1 + Ау^ (іхЛ =

др ^

где —— = > —Щ, V — (^ъ ^2, ■ ■ ■, - единичная нормаль к границе Г.

ду& ^ дх^

С учетом граничных условий у= р\^ =0 имеем

/ ру\1=о(1х = / ру\г=т<1х. (10)

■1п .1п

Используя равенства (10), продолжаем соотношения (8):

(и)(у — и) = 2 / р(щх,0)[у(у-,х,0)—у(и-,х,0)]с1х =

■1п

= 2 / р(щ х, 0)[и(ж) — и(х)]с1х.

■1п

Подставляя полученное выражение в неравенство (7), находим условие (6). Предложение 1 доказано. □

Из формул (4), (5) следует, что

J(v) = / р(у;х,Т)у(у;х,Т)йх ■1п

С учетом равенства (10) представим функционал J(v) в виде

,1(у)= / р(у\х,0)у(х)с1х. (11)

■1п

Формула (11) удобна для расчетов и оценок. Приведем следующий пример. Поскольку линейная начально-краевая задача (1) описывает, как правило, отклонение от некоторого заданного режима, возьмем в качестве множества 17 шар радиусом е в пространстве Ь2( Л):

И = {V 6 Ь2(П) : |Н|ь2(п) ^е}.

Тогда из формулы (11) получаем оценку

|7(и)| «С е\\р(у; 0)||Ь2(П).

2.2. Управление на границе. Рассмотрим начально-краевую задачу с управлением на границе

^ = Л(г)у в (3, 2/|е = V, у\1=0 = 0. (12)

Аналогично (5) определим задачу, сопряженную к (12):

= (13)

p\y = 0, р(х,Т) = f(x) [ y(x,T)f(x)dx. Jq

>п

Предложение 2. Условия оптимальности в задаче максимизации функционала

J(v) =

г N

J у(х, T)íp(x) dx — £ ck y(xk,T)

k=1

где y(x,t) - решение задачи (12), имеют вид

(14)

[ —^-(u(s, t) — v(s1t)) ds dt ^ 0, v G U. (15)

Jy ova

Доказательство. Как и при доказательстве предложения 1, справедливы соотношения (8) и (9). Подставляя начальные и граничные условия из (12) и (13), находим

Í -7r—vdsdt+ Í py\t=Tdx = 0. (16)

Jy 9va Jq

Следовательно,

J'(u)(v — u) = 2 f S’ ^ (u(s, t) — v(s, t)) ds dt.

Jy ova

Используя условие (7), получаем утверждение предложения 2. □

3. Задача минимаксного оценивания функционала в случае параболического уравнения.

3.1. Управление начальными данными. Вернемся к рассмотрению задачи (1) при конкретном виде множества II, введенном в п. 2: II = {г> £ Ь~(С1) : ||г,||ь2(П) ^ £}• Функционал J(v), как и прежде, имеет вид

J(v) =

г N

/ у(х, T)íp(x) dx — £ ску(хк,Т)

JП к=1

Покажем,что в этом случае можно не только решить задачу максимизации функционала J(v) на множестве II, но и минимизировать его значение по всевозможным величинам коэффициентов ск, т. е. найти тігі|С4|.єігх тах„Є(7 J{v)■ Для этого будем использовать методы минимаксного оценивания функционалов, заданных на решениях начально-краевых задач (см. [11]).

Наряду с (1) рассмотрим вспомогательную задачу

-^ = А(і)г в д, (17)

|е = 0, z(x,T) = <р(х) - ск6(х - хк).

к=1

Как и задача (5), начально-краевая задача (17) имеет единственное обобщенное решение и г|(=о ё Ь2(П). Тождество (10) справедливо, очевидно, и при замене р на г, т. е.

/ y(x,T)z(x,T)dx = / y(x,0)z(x,0)dx. ■In Jn

Ш о п

Подставляя в это равенство начальные условия из задач (1) и (17), получаем

I y(x,T)^p(x)dx - У2ску(хк,Т) = I v(x)z(x,0)dx. (18)

■1п к=1 ■) п

Следовательно,

max|J(v)\ = е2 / z2(x10)dx. (19)

Jn

Обозначим через и элемент множества U, на котором достигается этот максимум. Очевидно, что

и(х) = ez(x,0)||z(-,0)||¿2(n)-

Из формулы (19) следует, что задача минимизации функционала J(u) по всевозможным значениям коэффициентов ск эквивалентна задаче минимизации функционала J\ (с) = fQ z2(x, 0) dx при с = {eft} G К^, где z(x,t) - решение начально-краевой задачи (17). Сопряженная к ней начально-краевая задача имеет вид

= -4 (t)q в Q, (20)

g|s = 0, q(x,0) = z(x,0).

Стандартным путем, как и при выводе формулы (6), покажем, что градиент д,]\ (с)/дс функционала ,]\ (с) есть вектор пространства с компонентами —д (с, хк, Т),

к = 1.2.......V. Здесь д(с,х,1) - решение задачи (20), связанной с задачей (17) при

{с*} = с. Таким образом, условия оптимальности в задаче минимизации функционала Jl (с) принимают вид

д(с*,хк,Т) = 0, к = 1,2,..., Ж, (21)

где с* = {с*к} - оптимальный набор коэффициентов.

Из соотношений (17), (20), (21) следует

/ г2(с*, х, 0) йх = / г(с*,х,Т)д(с*,х,Т) с1х =

■)п -)п

= I (р(х)д(с*, х, Т) йх — с*кд(с*, хк, Т) = I (р(х)д(с*, х, Т) <1х.

■)п к=1 -1п

С учетом соотношения (19) окончательно получаем

гшп тах17(и)| = е2 / 1р(х)д(с*,х,Т)(1х.

3.1.1. Более широкий класс множеств 17. Рассмотрим более широкий класс множеств 11:

и = {у(Е Ь2(П) : (В«, «)ь2(п) «С е2}, (22)

в котором В - ограниченный, положительно-определенный оператор в пространстве Ь2( П).

Из равенства (18) следует

v (x)z(x, 0) dx

где г(х,Ь) - решение вспомогательной задачи (17). Максимум функционала 7(г>) на множестве II, определенном формулой (22), достигается при

и(х) = еВ гг(х, 0)

и равен

max I J(v)\ = є2 / В 1 z(x10)z(x10)dx Jn

Для того чтобы минимизировать функционал J(u) по всевозможным значениям коэффициентов ск, введем функционал </г(с) = JQ В^1 z(x,0)z(x,0)dx, с= {с^.} Є К". Рассмотрим начально-краевую задачу, сопряженную к задаче (17):

^ = A(t)r в Q, (23)

г|е = 0, г(х, 0) = В^1 z(x,0).

Нетрудно показать, что

/ rz\t=odx =

Jn Jn

rz\t=adx= / rz\t=Tdx. In

Следовательно,

J'i(c) = / B~1z(x10)z(x, 0) = / r(x, 0)z(x, 0) =

Jn Jn

= / r(x,T) (<p(x) - У2ск0(х - xk) 1 dx= r(x,T)<p(x)dx ~У2скг(хк,Т). (24)

Ja \ k=i ) k=i

Из (24) следует, что dJ-2(c)/dcj = —r(xk,T). Условия оптимальности для 7г(с)

г(с*,хк,Т) = 0, /.• 1.2......V.

и

min max I J(v)\ = e2 / tp(x)r(c*, x,T)dx,

{ck}eU»veu' Jn

где r(c,x,t) - решение задачи (23).

3.2. Управление на границе. Используя тот же подход что и в п. 3.1, можно найти min{C|, } max„G(7 J(v) при у(х, t) - решении начально-краевой задачи (12) с управлением V на границе, 17 = {d Е L2(E) : < s}-

Рассмотрим начально-краевую задачу (12) и (17). Действуя как при доказательстве тождества (16), получаем

Г [ dz

y(x,T)z(x,T)dx + у——dsdt = 0.

Jn Je ova

Используя начальные и граничные условия задач (12) и (17), находим

[ N f dz

у(х, T)ip(x)dx — У"' cky(xk, T) = v-—dsdt.

Jn ^ Je ova

Таким образом,

с f)z

J(v) = I v(s,t)——dsdt |2.

Je ova

При II = {ь £ 1/2(£) : ||г)||£2(£) < е} максимум J(v) достигается при и(х) =

„ дг 11 дг \ | —1 .

ьдиА II дг^А 11Ь2(Е)' _

ma.xJ(v)=e2 I | -х— | dsdt.

J■£ \01/А )

Для того чтобы найти тш^^тах^у J(г>), минимизируем функционал

Мс) = [ (V dsdt при с = \ск} 6 К^.

,)Е \OVaJ

Введем задачу, сопряженную к вспомогательной задаче (17):

= А(Ь)д в д, (25)

дz

= дй’ ^ж’0)=0-

Me) = I (1 dsdt = I qdsdt=— I z(x,T)q(x,T)dx =

Je \ovaJ Je ova Jq

N

(tf(x) - £ CkS(x — Xk))q(x, T)dx k=l

dMc) , ^

—------= q{c,Xi,T).

OCi

Следовательно, минимум функционала J$(c) достигается при с = с* таких, что

q(c*,Xk,T) = 0, /.• 1.2.....V.

и

min max | J(v)\ = e2 / tp(x)q(c*, x, T)dx,

{cnJeR* veu Jq

где q(c,x,t) - решение задачи (25).

4. Задача максимизации в случае гиперболического уравнения. Этот подход может быть распространен на гиперболические уравнения, но тогда функция f(x) в определении функционала J(v) = |/n f(x)y(х, Т) dx | должна быть более регулярной. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения в частных производных гиперболического типа с неоднородными граничными условиями типа Дирихле:

= A(t)y в Q, (26)

v\e=v, y\t=o = yt\t=o = 0.

Здесь v £ U, U - ограниченное замкнутое выпуклое множество в пространстве L2(T,); все остальные обозначения сохраняют тот же смысл, что и в п. 2.

Начально-краевая задача (26) имеет единственное обобщенное решение, такое, что у(-,Т) £ L2(Л) (см. [12]). Поэтому можно корректно определить функционал J(v):

J(v) =

f(x)y(x, T)dx

2

2

/ є L2(П). (27)

Поставим задачу найти и £ U : J(u) = тах„Є(7 J(v).

Предложение 3. Необходимые условия оптимальности в задаче максимизации функционала (27) имеют вид

Г др(и; s, t) ^ ^ ^ dt^Q

Je OVa

для любой функции v £ 1/2(£). Здесь p(v) - решение краевой задачи

^ = Ар в Q; (28)

р\е = 0, р(х,Т) = 0, pt(x,T) = f(x) I f(x)y(x, T)dx.

Jq

что

— и) = 2 J у(и;х,Т)/(х)(1х J [у(ь; х, Т) — у(и; х, Т)]/(х)(1х. а а

С помощью решения задачи (28) это выражение записывается в виде

2 J pt(u; х, T)[y(v; х, Т) — у(щ х, T)]dx. п

Решения задач (26) и (28) удовлетворяют равенству

(29)

О =

др ду Эра^ 9va

У ~ 7^-Р

Е П

dsdt-J \pty-pyt]f=odx.

Отсюда с учетом граничных условий у\-% = v и начальных условий y\t=o = Vt\t=o = О имеем

Г Q'pi/n} Г

—----(v — и)dsdt= Pt(u; х, T)[y(v; х, Т) — у(и; х, T)]dx. (30)

J OVA J

Е П

Сравнивая равенство (30) с выражением (29), заканчиваем доказательство предложения 3. □

Из соотношений (28), (30) получим выражение для функционала (27), аналогичное представлению (11):

dp(v; s, t)

J(v) = f Je

dv a

-v(s, t)ds dt.

Поэтому справедливо неравенство

dp(v)

ді>л

L2(E)

p|U2(s),

дающее простую и удобную для расчетов оценку исследуемого функционала.

5. Пример нахождения оптимальных коэффициентов кубатурной формулы. Приведем пример решения задачи нахождения оптимальных коэффициентов е* кубатурной формулы

N

у(х, T)dx = £ СкУ(хк,Т)

к=1

в случае, когда у(х,Т) является решением уравнения теплопроводности

У>.=Ухх, 2/(0, t) = y(ir,t) = 0, у(х, 0) = v(x),

х£[0,тт], t ^ 0, v £ L2[0,7г], ||v||^e.

(31)

Следуя схеме п. 3.1 (см. формулы (17) и (20)), рассмотрим также вспомогательную задачу

N

-zt = zxx, z(0,t) = z(iT,t) = 0, z(x, Т) = 1 - ckS(х - хк)

(32)

и задачу, сопряженную к (32):

% = Чхх, «(О, *) = д(тг, 1) = 0, д(х, 0) = г(х, 0). (33)

Решение задачи (32) можно представить как ряд Фурье

ОО

г(х, Ь) = У2 Апе^п'{-Т^^ вт(па;), (34)

71 = 1

в котором

4 _2

■п-п —

7Г

Г ( М \ 2 2 4

II— > ск5(з — хк) I вт(п«) сЬ = —(1 — со8(тгп))----------> ск вт(па;*;).

* I и ) ™ ^

Аналогично получаем в виде ряда решение задачи (33):

ОО

д(х,Ь) = У2 Впе^п 1 в'т(пх), (35)

71 = 1

где Вп = | г(х, 0) вт(пй) ёз = АпеГп2г[

В п. 3.1 были выведены условия оптимальности для данной задачи (см. формулу (21)). Следовательно, оптимальные коэффициенты е* могут быть найдены как решение системы уравнений

д(с,хк,Т) = 0.

Используя (34) и (35), получаем

q(c,xk,T) = У2 BnS'm(nxk)e п'т = У" ■>„ s'm(nxk)e

-In Т

с±п аш\плк

71 = 1 71 = 1

°°2 ■> 4 2 / 4

= ^ —(1 — сов(7гп))е_2”"т вт(пхк) — ~ £ еі 8іп(па:і) е-2п'Т вт(пхк).

71=1 71 = 1 \І=1

Таким образом, оптимальные коэффициенты с& можно найти, решив линейную систему уравнений

Ас = 6,

где

00 2

Ьі = —(1 - С08(тгп))е-2ггт $Іп(пХі),

7ТП

71=1

2 00

Aij = — е 2” т sin(nXi) sin(nXj),

ПТ ■ "■*

7Г

71=1

Приведем два численных примера решения подобной задачи.

Представим для набора из десяти узлов кубатуры, расположенных на отрезке [0, тг] с равномерным шагом тг/11, значения коэффициентов е*:

¿123456789 10

Xi тг/11 2тг/11 Зтт/11 4тг/11 5тг/11 втт/11 7тт/11 8тт/11 Этт/11 10jr/ll

Ci 0.3351 0.2611 0.2996 0.2782 0.2879 0.2879 0.2782 0.2996 0.2611 0.3351

В случае, когда узлы кубатуры определяются вектором

х = (тг/10, Зтг/14,7г/3, 2тг/5,9тг/17, 2тг/3, 5тг/7,6тг/7,9тг/10,18тг/19),

значения весов е* будут следующими:

¿123456789 10

Xi тг/10 Зтг/14 тг/3 2тг/5 9тг/17 2тг/3 5тг/7 6тг/7 9 тг/10 18тг/19

С, 0.3783 0.3646 0.3172 0.2416 0.4936 0.1780 0.3931 0.1444 0.6453 -0.3874

Summary

Avdonin S. A., Bulanova A. S., Ovsyannikov D. A. Optimal cubature formulae related to solutions of initial boundary value problems.

An approach to the construction of optimal cubature formulae for the case of an integrand

determined by a solution of a certain initial boundary value problem is presented. Several examples

of initial boundary value problems are considered.

Литература

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

2. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

3. Кузютин В. Ф. Погрешности приближенных формул интегрирования. JI.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 131 с.

4. Соболев С. Л. О формулах механических кубатур в п-мерном пространстве // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. С. 527-530.

5. Авдонин С. А., Овсянников Д. А. О построении оптимальных кубатурных формул // Д. А. Овсянников. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. С. 281-288.

6. Авдонин С. А., Овсянников Д. А. Способ построения оптимальных кубатурных формул // Уравнения в частных производных: Труды Ленингр. пед. ин-та. 1988. С. 153-158.

7. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

8. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. 17-е изд. М.: Гостехиздат, 1957. Т. 5. 655 с.

9. Сеа Л. Оптимизация. Теория и алгоритмы / Пер. с франц. Л. Г. Турина; Под ред. А. Ф. Кононенко, Н. Н. Моисеева. М.: Мир, 1973. 244 с.

10. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: В 3 т. / Пер. с франц. Л. С. Франка; Под ред. В. В. Грушина. М.: Мир, 1971. Т. 1. 371 с.

11. Наконечным А. Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах. Киев: Наукова думка, 1985. 217 с.

12. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Пер. с франц. А. И. Штерна; Под ред. Г. И. Марчука. М.: Наука, 1987. 367 с.

Статья принята к печати 4 декабря 2007 г.