CC BY
3INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 6 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ПЕРВОГО ПОРЯДКА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ В ТРЁХМЕРНОЙ
ОБЛАСТИ Зиёдулла Маликов
Доцент Самаркандского Государственного Университета Ситорабону Отажонова Шухратовна
Магистр Бухарского Государственного Университета https://doi.org/10.5281/zenodo.7178378
Аннотация. В данной работе рассматривается решение задачи Коши для систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в специальной ограниченной области.
Ключевые слова: задача Коши, неустойчивая задача, система эллиптического типа первого порядка, специальной ограниченной области в трёхмерной области, диагональная матрица, эрмитовая матрица, функция Миттаг-Леффлера.
THE CAUCHY PROBLEM FOR FIRST-ORDER ELLIPTIC TYPE SYSTEMS IN A SPECIAL BOUNDED DOMAIN IN A THREE-DIMENSIONAL DOMAIN
Abstract. In this paper, we consider the solution of the Cauchy problem for first-order elliptic type systems with constant coefficients in a special bounded domain.
Keywords: сauchy problem, unstable problem, first-order elliptic type system, special bounded domain in a three-dimensional domain, diagonal matrix, Hermitian matrix, the Mittag-Leffler function.
ВВЕДЕНИЕ
Задача Коши для системы эллиптического типа является некорректно поставленной задачей, т. е. задача является неустойчивом. Если сузить класс существование решение до компакта, тогда задача превращается к условно-корректным задачам. Тогда нужно построить решение зависшие от параметра, которых при стремлении параметра на бесконечности, оно стремится к точным решением.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Вводим следующие обозначение:
х = (х!,х2,хз ), у = (у15 у2, уз ), r = y - )2 + (у2 - х2 )2 + (уз - хз )2 >
Xl =(х1>х2 ) ,у1 = (У2 ),a = V(yi " )2 +(у2 - х2 )2 ,а1 = И = 4у2 +
ао =
V2 2 г, Л 1
х + х2 ,ъ,р = туъ -а0,у = тх0 -а0,т = tg—,р> 1,
2р
с = iy/u2 + а2т + ß,u > 0,с0 = iy/u2 + а2т + ß,
э э э
u(х) = (щ(х),u2(х),...,u(x))Г, n > 3,-— =
Эх Эх2 Эх
3
Эх
Е (х)— диагональная матрица размерности n х n, u0 =(l,l,...,l), n — мерной
вектор.
Т
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 6 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Через А/хп (хт ), I > 3, п > 3 обозначим класс матриц О (хт ) е А/хп (хт ) элементы которых состоящих из линейной функции с комплексной коэффициентами удовлетворяющий условии О*( хт ) О (хт ) = Е ((|х| + а) и° ), где О*( хт ) эрмитовим
сопряжённым к границе к матрице О ( хт ).
Пусть О с Я3 односвязной ограниченной области с гладкой границей. В области О рассматриваем систем дифференциальных уравнений вида
D (±
V^x j
u (x ) = 0, x e G, (1)
где О ( х )е АЫп ( хт ).
Интегральная формула является основным аппаратом решение многих математических задачах. В работе [2] доказывается интегральная формула для систем эллиптического типа первого порядка в ограниченной области.
Если и (х ) = С1 (О )П С (О) удовлетворяет систему (1) в области О , тогда верна следующая интегральная формула
и ( х ) = | М ( х, у )и (у ) , х е О, (2)
5G
где
М (х, у ) = Г Е Г 1 ±110 (гт), Сз = ± (3)
Пусть функция К ( w), w = и + IV целая функция, вещественно при вещественном аргумента, удовлетворяющий условии
sup
V>1
Kp (w)| = M(p,u) < да,p = 0,1,2,3,K(u) * 0,
тогда функцию Фа (у, х) определим следующим образом
^ / ч 1 rT K (w) cosÄudu
ф(у,х)=, w JIm / 2 2- (5)
4лК (Х3) 0 w - Хзу/u2 +а2
В работе [3] показана, что функция Фа (у, х) представима ввиду
Ф( у, х ) = ^^ + ga{ y, x )• (6)
АЛГ
Пусть О с Я3 ограниченная область с кусочно гладкой границей, состоящий из
р
части поверхности конуса Сх = ту3, у3 > 0, гладкой поверхности S. Будем считать, что О лежит внутри конуса и содержит точку х0. В областью О рассматриваем систему уравнений (1).
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 6 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Рассматриваем задачи Коши в подстановки М.М.Лаврентьева [1]. Пусть вектор функция и (у) из класса и(х) = С1 (Ор) П С(Ор), удовлетворяет систему (1) в области
О и задана значение вектор функция и (у ) на £, т. е. и (у) |5 = / (у), у е £ . Требуется восстановление вектор функции в области Ор.
Если и(х) = С1 (Ор)П С(Ор) удовлетворяет систему (1) в области Ор, тогда верна следующая интегральная формула:
и(х)= | Ма(х,у(у)йБу,хеО, (7)
5G„
где Ыа (х,y) = ^Е{Фа (х,у))D* D(tT ).
В этой области функцию K (w) выбираем следующим образо
f 1 Л
K ( w ) = Ef
apw V J
> 0, тогда функцию ф (у,х) принимает вида.
Е„
Ф( У, х ) =
4лЕ„
i у \ (Гру
V J
J Im-
f у \ crpw
_V_J
cosAudu
w - Хз ,Ju2 +а2
(8)
Е„
i у Л apw
u.
- функцию Миттаг-Леффлера.
V ) РЕЗУЛЬТАТЫ
Основным результатом работы является следующая теорема. Обозначим . (х) = |Мст (х, у )и (у) , х е О, тогда верна теорема:
Теорема. Если вектор функция и (у) из класса и(х) = С1 (Ор ) П С(Ор ), удовлетворяет систему (1) в области Ор на части границы области у е ^ \ £, выполняется неравенства |и(у)| < 1, тогда верна следующая неравенства |и (х)- ист (х )| < С (х )^ехр (-&ур), х е Ор
du (х) duCT (х)
дх,.
дх
< C2 (х )^2exp (-о-ур), х е Gp, i = 1,2,3
Доказательство. Доказательство теоремы вытекает из оценки следующих интегралов
1
S
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 6 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
J Фст(x, у)dsy, J ФX Уbsy, i = 1,2,3
d Gp\ S d Gp\ S 5'Уг
Приведём оценки устойчивости. Пусть вектор функции и {X) = С1 ) П С{Ор ) удовлетворяет систему (1) в области Ор, на части границы области у е ^ \ £, выполняется неравенства |и {у )| < 1, а на S условии
ди {у )
u
(У )<S
5У
< S, 0 < S < 1, i = 1,2,3, тогда верна неравенства:
\u (x ) < C (x S R У 1^-,
S
du (x)
dx
1
< C (x)SlR у 1n2 —,x e Gp,Rp = max Re w0.
S yeS
ОБСУЖДЕНИЕ
В этой статье в основном обсуждается нахождение функции в трёхмерном
пространстве Е3 как решение рассматриваемой задачи Коши на ограниченной области с кусочно гладким границы. ВЫВОДЫ
Из доказанной нами теоремы вытекает для выше следствие. Требуется восстановление вектор функции в области Ор.
Если и {X ) = С1 { Ор )П С { Ор ) удовлетворяет систему (1) в области Ор, тогда верна следующая интегральная формула:
и{х)= | Ыа{х,у)и{у)dSy,хеО, (7)
5G„
/ я Л
где Ma(x, y)= Е (Фст(х, у)) D* — ID (tT ).
vdx у
REFERENCES
1. М.М.Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математического физики. / Изд.СО. АН.СССР. Новосбриск. 1962 г.
2. Н.Н.Тарханов. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Ин-т физики АН,СССР, Красноярск ,1980.С 147-160
3. Ш.Ярмухамедов. О продолжении решения уравнения Гельмгольца/ ДАН. 1997. Т.357. №3. С.320-323.
p
p
