8Academic Research in Educational Sciences_Volume 4 | Issue 4 | 202
ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ
К. Х. Усанов
Самарканд, Сам ИЭС
АННОТАЦИЯ
В работе обсуждается задача продолжения решения системы теории упругости в области по её значениям и значениям её напряжений на части границы, т.е. задача Коши для системы Ламе.
Ключевые слова: математика, задача Коши, система Ламе, Матрица Карлемана.
Пусть Я2 вещественное Евклидово пространство, в - область в Я2 с кусочно-гладкой границей дБ и £ -гладкий часть дБ.
Пусть х = (х1, х2), у = (у, у2) -точки из Я2 и и(х) удовлетворяет в области Б однородной системе уравнений Ламе :
Ь и(х) = 0, (1)
где L= /А + (Л+и) ^уаёёщ А - оператор Лапласа, Л,/ -постоянные Ламе, такие что, /ф 0, Л ф-2/.
Положим и (У ) = I (У ),
Т(ду ,п)и(у) = у), у е 5 ( )
где / (у) = С/1( у), /2( у)) и g( у) = у), g 2( у)) - заданные непрерывные вектор-
функции на 5, Т (ду, п) -дифференциальный оператор, с компонентами
д д д Т'у(ду,п) = и5у — + Лп](у)^- + ип](у)ф-, У = 1,2 где, 5г] - символ Кронекера.
Требуется продолжить и(у) в в, исходя из заданных / и g.
В настоящей работе приводится метод решения, основанный на функцию Карлемана [1].
Исходя из функции Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа, построена матрица Карлемана задачи Коши для систем уравнений теории упругости в ограниченных областях работах [2,3], а для многомерной случаи в специальных неограниченных областей задача рассмотрена в работе [2].
April, 2023
159
Academic Research in Educational Sciences_Volume 4 | Issue 4 | 202 5_
Определение 1. Матрицей Карлемана задачи (1), (2) называется (2x2) -матрица п(у,x,a) удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) П(у, x,a) = Г(у, x)+G(y, x,a),
где a - положительный числовой параметр, матрица G(y,x,a) по переменной у удовлетворяет системы (1) всюду в D, r(y, x) -матрица фундаментальных решений системы теории упругости.
2) |(п(у,x,a) + \т{ау,n)n(y,x,a))dsy <£(а) ,
3D\S
где s(a0, при а^да равномерно по x на компактных подмножествах D; здесь и далее \п\ - означает евклидово норму матрицы п = ||пу||, т.е.
\1/2 / \ 1 / 2
f m \
2
п =
^ П2 , в частности |р| = I ^и? , для вектора и = (и,...,ит).
-,] =1 ) V г- =1 )
Определение 2. Вектор-функция и (у) = (и1 (у),...,ит (у)) называется регулярной в в, если она непрерывна вместе со своими частными производными второго порядка в в и первого порядка на в = в ^д в.
Теорема 1. Всякое регулярное решение и (х) уравнения (1) в области в определяется формулой [4]
и(х)= |(г(у,х)Т(ду,Пр(у)-и(у)\г(ду,п)Г(у,хЖ,х е В.
д В
Нетрудно заметить, что из определения матрицы Карлемана и известной интегральной формулы Грина, в последней формуле, фундаментальное решение Г (у, х) можно заменить матрицей Карлемана. Следовательно имеет места.
Теорема 2. Всякое регулярное решение и(х) уравнения (1) в области в определяется формулой
и(х)= |(п(у,х,а)Т(ду,п)и(у)-и(у)Т(ду,п)п(у,х,о$сЬу,х е В , (3)
д В
где п(у, х,а) - матрица Карлемана.
Пусть К {со), со = и+¡V, (и, V-вещественные) - целая функция, принимающая на вещественной оси вещественные значения и удовлетворяющая условиям. К(ы)ф 0, Бир I урК (р) (о)= М (р, и)<ю, р = 0,1,2, и е Я1
V >г
Положим а = - .
Функцию ф(у, х) при а> 0 определим следующим равенством:
April, 2023
160
Academic Research in Educational Sciences
Volume 4 | Issue 4 | 202
ISSN: 2181-1385
ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
- 2ж K(х2)ф (y, х) = JIm-
K (д/u 2+a2 + y2) udu
V2 2
_ u + a + y2 - v2
V2 2 u +a
С помощью функции ф(у, x) построим матрицу
(Л + и)
n(y,')=1П*(y,2x2 =|x)--^ф(У,x)
(4)
(5)
Пусть теперь D - бесконечная область из R2, лежащая внутри слоя
ж
наименьшей ширины, определяемого неравенством 0 < у2 < к, к = — , р> 0.
Р
Причём дD состоит из гладкого куска £ и у2 = 0. Будем предполагать, что для некоторого Ъ0 > 0 площадь дD удовлетворяет условию роста
I^^ Ь0 exp Р01У1 < ^ 0 <Р0 <Р, (6)
дЭ
При а > 0 в (4)-(6) положим
К(с) = ехр ас-ЪсЫр\ю-^ 1-\chip\c-^
где а = y2 + iv, р0, (0,р), 0 < x2 < h, b > 0 b > b0I cosp
h
Возьмем ф(у, х,а) = ф (у, х) и п(у, х,а) = п(у, х). В [1] доказана следующая. Лемма 1. Функция ф (у, х,а) представима в виде
фЫ x)^:1ln1 + g^ r = |y -
2ж r
x
где g(y, х,а), - некоторая функция, определенная для всех значений у, х и гармоническая по переменной у во всём Я2.
Из этой леммы получим, что матрица п(у, х,а) является матрицей Карлемана задачи (1), (2).
Предположим, что и(х)е А(D) и
\и (у) + \т(ду, пр(у)< М, у едВ. (7)
В этих предположениях верна формула (7), где
К (с ) = (с - х2 + 2к )-1 exp ас , с = г^ы2 +а2 + у2, Введем обозначение
и«(х) = {[П(у,х,а){Т(ду,пр(у)}-и(у){Т(ду,п)п(у,х,а)} ,х е D.
£
Лр(э)=\и(х)е Л(Э): |и (у) + |г(ду, п)и(у)< exp (0^1 |)), у ^ у е э}
April, 2023
1
0
2
161
Academic Research in Educational Sciences_Volume 4 | Issue 4 | 202
ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
Теорема 3. Пусть U(x)e Ap(D) удовлетворяет граничному условию (7). Тогда \U(х)-Ua(х)<MC(p,x)rexp(-a x2), x e D,
ds.
где С (p, x) = С {p)\
xi = СIPM —f r
y2 =0 '
REFERENCES
1. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа. ДАН СССР, 1977, т. 235, №2, ст.281-283.
2. Махмудов О. И., Ниёзов И. Э. Задача Коши для системы уравнения теории упругости в бесконечной области// Узбекский математический журнал. 2006. №4. с.44-53
3. Makhmudov O., Niyozov I. The Cauchy problem for the Lame system in infinite domains in Rm// Journal of Inverse and Ill-Posed Problems.V14.N9.2006.pp.905-924(20).
4. Купрадзе В. Д., Бурчуладзе Т. В., Гегелия Т. Г. и др. Трёхмерные задачи математической теории упругости и терм упругости. Классическая и микро полярная теория. Статика, гармонические колебания, динамика. Основы и методы решения. М.: Наука, 1976.
April, 2023
162
