70UZLUKSIZ FUNKSIYANING MODULI
Shirinboy Bo'ron o'g'li O'razaliyev
Samarqand iqtisodiyot va servis instituti Oliy matematika kafedrasi assistenti
shirinboy.urazaliyev@mail .ru
ANNOTATSIYA
Maqolada [a, b] kesmada chegaralangan f(x) funksiyaning uzluksizlik moduli va uning asosiy xossalari tahlil qilinadi.
Kalit so'zlar: funksiya, uzluksiz funksiya, matematik induksiya, Gyolder
fazosi.
MODULE OF CONTINUOUS FUNCTION
ABSTRACT
The article analyzes the continuity module of the function f(x) bounded on the section [a,b] and its main properties.
Keywords: function, continuous function, mathematical induction, Golder
space.
[a,b] da chegaralangan f(x) funksiya berilgan bo'lsin. Ushbu
funksiyaga f(x) funksiyaning modul uzluksizligi deyiladi.
Takidlaymizki, lim5_,0 to(f, 6) = 0 shart f(x) funksiyaning uzluksiz bo'lishi uchun zaruriy va yetarli shart bo'ladi.
[a, b] da uzluksiz bo'lgan funksiyalar sinfini deb belgilaymiz. Biz bundan
keyin f(t) G C[ajb] deb qaraymiz.
Uzluksiz funksiyaning modul uzluksizligi ta'rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
1°. o>(f,0) = 0
2°. to(f,ö) funksiya S bo'yicha kamayuvchi. 3°. a>(f,S) yarim additiv, ya'ni
4°. to(f,Ö), 6 bo'yicha [a,b] da uzluksiz funksiya bo'ladi.
March, 2023
541
ISSN: 2181-1385
ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
l-ta'rif. Agar to(6) (0 < 8 < 10 = b - a) funksiya Io - 4°shartlarni qanoatlantirsa, u holda uzluksiz funksiyaning modul uzluksizligi deyiladi.
1-lemma. to(6) (a, 10] da T, tp(S) > 0, yarim additiv bo'lsa, u holda Vt1(t2 £ (a, 10] uchun |cpCti) - <p(t2)l < <pC- t2| o'rinli.
to(Ö)-modul uzluksiz bo'lsin. U holda o>(f, 6) = to(S) bo'ladi. Haqiqatdan ham
ikkinchi tomondan to(to, Ö) > to(S) — to(0) = to(S), ya'ni to(to,ö) = to(S).
2-lemma. Agar [0,b — a] da kamaymovchi, uzluksiz bo'lgan to(6) funksiya:
(0) = 0 , o'smovchi bo'lsa, u holda to(S)-modul uzluksiz bo'ldi.
Isbot. tp(5) funksiya uchun Io, 2° va 4° lar lemmaning shartiga ko'ra bajariladi. 3° munosabat quyidagi
Takidlaymizki
• q>(ö)
ning o'smovchi bo'lishlik sharti modul uzluksiz uchun
yetarli shart bo'lib hisoblanadi.
Modul uzluksizlikning navbatdagi xossasi:
5°. Agar to(S)-modul uzluksiz bo'lsa, u holda VA £ R (A > 0) uchun to (AS) = (A + l)to(Ö) (1)
tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Isbot. a) Vn e N bo'lsin. Bu xossaning isboti 3° xossadan bevosita kelib chiqadi, ya'ni
deb olsak, to(25) < 2 to(S)
Matematik induksiya usuli yordamida to(nS) < nto(S) tengsizlikning o'rinli ekanligini ko'rsatish mumkin.
b) VA e R bo'lib, (A > 0) n < A < n + 1 bo'lsin. Ma'lumki, to (S)-monoton o'suvchi funksiya. U holda
March, 2023
542
ISSN: 2181-1385
ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
6°. 81 < S2 bo'1 sin. U holda o)(62) = co (Sl -5f) < g + l)coCSJ = |(l + y o>(6l) < 21co(5l). Keyingi tengsizlikdan V81 < S2 bo'lganda
(*)
cü(S)
bo'ladi. Bu xossadan —^ -deyarli kamaymovchi funksiya ekanligi kelib chiqadi. q"j (ö) [ 0,1,;: ] da aniqlangan musbat funksiya bo'lsin.
2-ta'rif. Agar 3A > 0 (A± > 0) topilib, V0 < 81 < 62 laruchun
^(öi) < A<p(62) (tp(Si) > A(p(ö2)) bo'lsa, u holda (p(S) funksiya (0,lo] da deyarli o'suvchi (deyarli kamayuvchi) deyiladi.
3-lemma. Agar to(6)-modul uzluksiz bo'lsa, u holda
tengsizlik o'rinli bo'ladi.
1 S 1 S
Isbot. tü(Ö)-modul uzluksiz bo'lsin. => - JQ w(t)dt < - JQ w(S)dt < to(6).
^(6)<¿J0So>(T)dT .
4-lemma. Agar o>(S)-modul uzluksiz bo'lsa, u holda
(bunda 0 < x,y, x + y < 10) tengsizlik o'rinli bo'ladi. Isbot. (3) day = ax deb olishbilantopamiz:
<; C^dt
|0 ot(t)dt
1+cc
(4) ning to'g'riligi ushbu
+/;<o(t)dt
(4)
funksiyaning x = 0 da i(/(0) = 0 bo'lishi va uning kamaymovchi ekanligidan kelib chiqadi.
1-teorema. Agar to(6)-modul uzluksiz bo'lsa, u holda
March, 2023
543
funksiya ham modul uzluksiz bo'ladi.
Isbot. Agar (2) tengsizlikni e'tiborga olsak, u holda
ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. 2-lemmaga asosan (to*(6))' > 0 , ya'ni
to* (ö)-kamaymovchi funksiya. Ravshnki to*(5) -uzluksiz. to "(5) ning yarm
additivligi 3-lemmadan kelib chiqadi. Shu bilan teorema isbot bo'ldi.
<p(ö) va i|/(6) funksiyalar (0,lo] da aniqlangan noldan farqli, musbat uzluksiz
bo'lsin.
3-ta'rif. Agar 3Alf A2 > 0 sonlar mavjud bo'lib, V6lf 62 E (0/ 1q] lar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda tp(S) va i|/(S) funksiyalar (0,lo] da ekvivalent (tp^v|/) deyiladi.
4-ta'rif. Agar 3A > 0 soni mavjud bo'lib, VO < 6X < 62 < 10 lar uchun
tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda tp(S) funksiya (0,10] da deyarli o'suvchi deyiladi. 5-ta'rif. Agar 3AX > 0 son mavjud bo'lib, V0 < < 62 < 10 lar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda tp(S) funksiya (0,10] da deyarli kamayuvchi deyiladi. Takidlaymizki, agar M > tp(S) > a > 0 (0 < 6 < 1) bo'lsa, u holda u deyarli
M
o'suvchi bo'ladi. Bu holda = — .
Agar tp(5)-modul uzluksiz bo'lsa, u holda (*) tengsizlikdan —— ning deyarli
kamayuvchi funksiya bo'lishligi kelib chiqadi.
Ravshanki, agar tp(Ö)~i(/(S) bo'lib, tp(Ö) ning deyrli o'suvchi (deyarli kamayuvchi) ligidan i|/(5) ning deyarli o'suvchi (deyarli kamayuvchi) ligi kelib chiqadi.
5-lemma. <p(Ö) funksiya deyarli o'suvchi (deyarli kamayuvchi) bo'lishligi uchun kamaymovchi (o'smovchi) funksiyaga ekvivalent bo'lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Yetarliligi. tp(5) funksiya biror kamaymovchi i(/(S) funksiyaga ekvivalent, ya'ni tp(5)-i|/(6) bo'lsin. 2-ta'rifga ko'ra 3A1;A2 > 0 sonlari mavjud bo'lib, V0 < Ö < 10 lar uchun
Aii^S) < tp(ö) < A2i(;(ö) tengsizlik bajariladi. 62 < bo'lsin. U holda yuqoridagi tengsizlikdan
(pCSx) < Atp(52)
March, 2023
Academic Research in Educational Sciences_Volume 4 | Issue 3 | 2023
ISSN:2181-138^^Si0,967^Cite-Fac^
<p(Ô2) < A2i|/(Ô2) < A2v|/(öi) < A2 = ^ф^) bo'ladi. Demak, ф(6)
funksiya deyarli o'suvchi.
Zarurligi. <p(ô) deyarli o'suvchi funksiya bo'lsin, ya'ni V0 < Ô^ < ô2 E (ОЛо] lar uchun
ф(01)<Аф(62) (5)
ushbu
=о <T<
funksiyani tuzamiz.
Ravshanki, ф(5) funksiya kamaymovchi. Endi kamaymoovchi i]/(ö) funksiyaning ф(0) funksiyaga ekvivalentligini ko'rstamiz: v|/(Ô) funksiyaning tuzulishidan ф(6) < i|/(5) . (5) dan Vr| (0 < r| < 6) uchun
(6) ni e'tiborga olib topamiz: < ф(0) < ф(6) tengsizlik bajariladi. Keyingi
tengsizlikdan ф(б)~ф(5) ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday yo'l bilan lemmaning ikkinchi qismi ham isbot qilindi, ya'ni : Ф(6) funksiya deyarli kamayuvchi bo'lishligi uchun uning biror o'smovchi funksiyaga ekvivalent bo'lishi zarur va yetarlidir.
Ushbu maqola umumlashgan Gyolder fazosida funksiyaning uzluksizlik moduli va uning asosiy xossalari o'rganishga bag'ishlangan.
REFERENCES
1. В. А. Какичев. «Гpaничные свойства интеграла типа Коши многих переменных». Уч. зап. Шахт. пед. ин-та. 2,вып. 6,1959-г,25-90 с.
2. Ф. Д. Гахов. «Краевые задачи». Москва. Наука. 1977-г.
3. Н. И. Мусхелишвили. «Сингулярные интегральные уравнения». Москва. Наука. 1968-г.
4. A. Газиев. «Поведение интеграла типа Коши вблизи границы полицилиндрической области». Самарканд-1987.
March, 2023
545
