CC BY
22Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 3 | March, 2022 | SJIFactor: 5,965 | UIF: 7,6 | Google Scholar | www.carjis.org
DOI: 10.24412/2181-2454-2022-3-68-71
TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASHGA DOIR AYRIM QARASHLAR
Sunnatullo Do'stov
Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti "Oliy matematika" kafedrasi o'qituvchisi
Saidmurat Ibragimov
Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti Matematika va informatika ta'lim yo'nalishi 2-kurs talabasi
ANNOTATSIYA
Tеngsizliklаr mаtеmаtikа sоhаsining аjrаlmаs qismi hisоblаnаdi. Maqolada asosan umumiy o'rta talim maktab dasturida mavjud bo'lgan va oliy matеmatikaning dastlabki kursiga aloqador tengsizliklarni isbotlashning monoton, Bernulli ketma-ketliklarga asoslangan ma'lum bir metodi haqida ma'lumotlar keltirilgan.
Kalit so'zlar: Bernulli, monoton uchliklar, funksiya, monoton juftliklar, monoton ketma-ketliklar,determinantlar.
Ta'rif. f(x) funksiya (a;b) oraliqda aniqlangan bo'lsin. Agar ixtiyoriy x1 < x2 tengsizlikni qanoatlantiradigan x1, x2 £ (a,b) nuqtalar uchun f(x1) < f(x2) (f(x1) >f( x 2)) tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya (a,b) oraliqda o 'suvchi (kamayuvchi) funksiya deyiladi, (a,b) oraliq esa monotonlik oralig'i deb yuritiladi.
Ta'rif. f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan bo'lsin. Agar ixtiyoriy x1 < x2 tengsizlikni qanoatlantiradigan x1, x2 £ (a,b) nuqtalar uchun f(x1)< f(x2) (f(x1)>f(x2)) tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya (a,b) oraliqda qat'iy o 'suvchi (kamayuvchi) funksiya deyiladi.
Teorema. f(x) funksiya (a;b) oraliqda aniqlangan va differentsiallanuvchi bo'lsin. f(x) funksiya (a;b) intervalda o'suvchi (kamayuvchi) bo'lishi uchun shu intervalda f(x) > 0 ( f(x) < 0) tengsizlik bajarilishi zarur va etarli.
Agar (a;b) intervaldaf '(x)>0 ( f(x)< 0) tengsizlik bajarilsa, u holdaf(x) funksiya (a;b) intervalda qat'iy o'suvchi (kamayuvchi) bo'ladi.
Bernulli tengsizligi. Ixtiyoriy x > -1; a > 1 uchun
(1 + x)a > 1 + ax , (4)
tengsizlik o'rinli, shu bilan birga tenglik o'rinli faqat x = 0 da
Yechilishi. f (x) = (1 + x)a - 1 - ax, (x £ [-1; +< oo )) funksiyani qaraymiz, bu yerda a - fiksirlangan 1 dan katta son. Bu funksiyaning hosilasini hisoblaymiz:
Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 3 | March, 2022 | SJIFactor: 5,965 | UIF: 7,6 | Google Scholar | www.carjis.org
DOI: 10.24412/2181-2454-2022-3-68-71
f '(x) = a(1 + x) a-1 —a = a((1 + x)a-1 - 1) (x > -1).
a > 1 shartdan, x £ (-1; 0) uchun f ' ( x ) < 0 va x e (0; +<») uchun f ' ( x ) > 0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, f funksiya [-1; 0] da kamayadi va [0; +<») da o'sadi. Bundan barcha x e [-1;+<»)\{0| lar uchunfx) >f(0) tengsizlik o'rinli, ya'ni, (1 + x)a - 1 - ax > 1 - 1 va (1 + x)a > 1 + ax (x £ [-1; 0) U (0; +<»), a > 1) deb xulosa qilamiz.
Monoton juftliklar usuli. Dastlab ikkita a1, a.2 va b2 juftliklardan tashkil
topgan (b^ jadvalni tuzamiz.
Ta'rif. Agar bir vaqting o'zida ax > a2 va bx > b2 yoki ax < a2 va bx
<b2 tengsizliklar bajarilsa, u holda (ax, a2) va (bl, b2) bir xil monoton juftliklar deb
ataladi. Bu ham Skalyar ko'paytma kabi quyidagicha belgilanadi:
( b\ bl) = + a2b2 (1) belgilash kiritamiz, ya'ni kiritilgan jadvalning son
qiymati sifatida, uning ustunlaridagi elementlarini ko'paytirib hosil bo'lgan yig'indi qiymarini olamiz.
1- teorema. Agar ax, a2 va bl, b2 bir xil monoton juftliklar bo'lsa, u holda
(Z b22)>föbi)(2) bo''adi.
Isbot. Haqiqatan ham (1) ga ko'ra
(n abl) - (z z) = aibi+ a2b2 - Kb2 + mj = - - b2)
Teorema shartiga ko'ra ax, a2 va bx, b2 bir xil monoton juftliklar. Shuning uchun
ax- a2 va bx- b2 ayirmalar bir xil ishorali bo'ladi. Teorema isbotlandi.
NATIJALAR
Ixtiyoriy a, b musbat va m, n natural sonlar uchun (am, bm) va (an, bn) bir xil monoton juftliklar bo'ladi va isbotlangan teoremadan am+n + hm+n > ambn + anbm
tengsizlik o'rinli ekanligi kelib chiqadi. Misollar yechishdan namunalar keltiramiz.
1-misol. Quyidagi tengsizliklarni isbotlang
111 --1--< —
a3 b3 a3
N
b 1 fa
- + 7T IT a>°>b>0 a b3vb
Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 3 | March, 2022 | SJIFactor: 5,965 | UIF: 7,6 | Google Scholar | www.carjis.org
DOI: 10.24412/2181-2454-2022-3-68-71
Yechilishi. (1) ga asosan ^ + 77=1 T Ti /- + 77 Ia =( T
a 1 Wvh tmj a3^a b3^lb ^Tä,
munosabattlar o'rinli hamda (Ja ,Tb) va bir xil monoton juftliklar
bo'lgani uchun 1-teoremadan isbotlanishi talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi.
Monoton uchliklar usuli uchta sondan tashkil topgan (a^ , a2, a3) va (bx, b2, b3)
uchliklar uchun
/a± a2 a3\ ( bx b2 b3 )
Jadvalga nazar tashlaganda uning birinchi ustunida bu uchliklardagi eng katta sonlar, ikkinchi ustunida kattaligi jihatidan ikkinchi o'rinda turgan sonlar va nihoyat uchinchi ustunida eng kichik sonlar joylashsa (ax, a2, a3) va (bl, b2, b3) uchliklarga bir xil monoton uchliklar deyiladi. Ushbu jadval uchun quyidagicha
( ^ alb3) = aibi + a2^2 + a3^3 belgilash kiritamiz.
2- teorema. Agar (a^ , a2, a3)va (bx, b2, b3) bir xil monoton uchliklar bo'lib, (b1, b2', b3') uchlik bl, b2, b3 sonlarining ixtiyoriy o'rin almashtirishlaridan hosil qilingan uchlik bo'lsa u holda
(z ai 2) - (-1 ai :i) ^a*.
Isbot. Ma'lumki, 3 ta elementdan hammasi bo'lib 6 ta o'rin almashtirishlar bajarish mumkin. Teoremani isbotlash uchun (a fy ko'rinishdagi 6 xil
sonlardan eng kattasi (a a) ekanligini ko'rsatishimiz kifoya.
Agar (b1, b2', b3') uchlik (bl, b2, b3) uchlikdan farq qilsa, u holda shunday k, I (1 <k < I < 3) sonlar jufti topiladiki, bunda (ak, a) va (bk', b{) bir xil monoton juftliklar bo'ladi. Demak, bk'va b{ solarining o'rinlarini almashtirish natijasida
\ui a li ) ning o'z navbatida (a\ af af ) ning qiymatini orttirilishini amalga oshirish
mumkin. Teorema isbotlandi.
Umumiy tahlil va xulosalar natijasini muhokama qilgandan so'ng endilikda yuqorida isbotlangan teoremani qo'llagan holda tengsizliklarni isbotlashga doir misolla dan na'munalar keltiramiz.
2-misol. a > 0, b > 0, c > 0 bo'lganda quyidagi tengsizliklarni isbotlang:
ab c 3 --+-+-->-
b + c a + c a + b 2 Hal qilish usuli. Bu munosabatdan isbotlanishi talab qilingan tengsizlik kelib
Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 3 | March, 2022 | SJIFactor: 5,965 | UIF: 7,6 | Google Scholar | www.carjis.org
DOI: 10.24412/2181-2454-2022-3-68-71
111
chiqadi. Bu tengsizliklarni isbotlashda (a, b,c,), (— + + uchliklarning bir xil monoton uchliklar ekanligidan foydalandik.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO'YXATI
1. Методик и технология обучения мaтeмaтикe. Курс лекций: пособие для вузов / Под тауч. ред. Н.Л.Стeфaнoвoй, Н.С.Подходовой, - М.: Дрoфa, 2005. -280 с
2. G'. Мо'ттоу, T. Ibaydulayev. Differensial va integral tengsizliklar. O'UM, ADU nashriyoti 2016
3. О.Bottema, Inequalities far R, r and s,Univ. Beograd.Publ.Еlektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz, Ко. 338-352(1971)27-36.
4. Э. Бeккeнбaх, Р. Бeлмaн. Нeрaвeнствo. Мoсквa, Мир, 1965, 276-стр.
5. J. Garfunkel, Problem 825, Crux Math., 9(1983), 79
