CC BY
59Scientific Journal Impact Factor
BIR ZARRACHALI SHREDINGER OPERATORI XOS QIYMATI UCHUN ASSIMPTOTIK FORMULALAR
Xurramov Yodgor Safarali o'g'li
O'MU Jizzax filiali assistenti yxurramov@mail .ru
ANNOTATSIYA
Ushbu ishda bir o'lchamli panjarada tashqi maydon ta'siri bilan kontakt ta'sirlashuvchi bir kvant zarracha harakatini tavsiflovchi bir zarrachali
gamiltonianga mos bir zarrachali diskret Shredinger operatori h^ ning zarrachalar
ta'sirlashuv energiyasi pi> 0 ga bog'liq chapda yoki o'ngda yagona xos qiymatga ega ekanligi isbotlangan.
Ushbu xos qiymat z(ji), pi> 1 ning aniq ko'rinishi topilgan. O'zaro ta'sir parametri pi > 1 ga monoton va uzluksiz bog'liqligi ko'rsatilib, moduli yetarlicha kichik j-i > 1 larda ushbu xos qiymatlar uchun yciqinlcishuvchi yoyilmcilcir olingan . Kalit so'zlar: panjara, operator, xos qiymat, spektr, muhim spektr, yoyilma.
ASSYMPTOTIC FORMULAS FOR EIGENVALUE OF ONE PARTICLE
SCHRODINGER OPERATOR
ABSTRACT
In this study, one particle interaction energy of one particle discrete Schrddinger operator h^ corresponding to a quantum particle gamiltonian
describing the motion of a quantum particle in contact with an external field effect in a one-dimensional grid depends on pi > 0 left or right proved to have a eigenvalue.
This eigenvalue z(p), pi > la clear view of was found. The monotonic and continuous dependence of the interaction parameter on pi > 1 is shown, and approximate distributions are obtained for these eigenvalues at sufficiently small modulus pi > 1.
Keywords: lattince, operator, eigenvalue, spectrum, essential spectrum.
Tashqi maydon ta'siridagi bir kvant zarracha harakatini tavsiflovchi bir zarrachali gamiltonianlar hamda qisqa masofada ta'sirlashuvchi ikkita bir xil va har xil zarrachalar sistemasi gamiltonianlariga mos ikki zarrachali diskret Shredinger
KIRISH
Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 1 | ISSUE 9
educational, natural and social sciences 0 ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
operatorlarining spektral xossalari Faria, Corolli, S.Albeverio, S.Laqayevlarning ishlarda o'rganilgan.
Ikki zarrachali diskret Shredinger operatori h^ (0) bir zarrachali gamiltoniani
ga unitar ekvivalent va shuning uchun bir zarrachali Shredinger operatorlarining
spektral xossalarini o'rganish panjaradagi ko'p zarrachali Shredinger operatorlar spektral nazariyasida muhim o'rin tutadi.
MUHOKAMA VA NATIJALAR
Ushbu [S.Lakaev, I.Bozorov] ishda uch o'lchamli panjarada potensialli maydonda tashqi maydon ta'sirida kontakt va bir qadamda ta'sirlashuvga mos bir zarrachali gamiltonian qaralgan. Unga mos diskret Shredinger operatori xos qiymatlar sonining zarrachaning ta'sir energiyalari fi > 0 va A > 0 larga bog'liqligi to'la o'rganilgan.
B.Saymon va M.Klausning ishida uzluksiz Shredinger operatori xos qiymatlari uchun kichik A > 0 larda d = 1 da yaqinlashuvchi qator, d = 2 da esa kichik /. > u larda asimptotik yoyilma olingan.
2. Bir zarrachali Shredinger operatorining spektri
T = ( 7T, tt] bir o'lchamli tor. Lz(T) kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar Gilbert fazosi. L£2 00 c ¿2 00 toq funksiyalar qism fazosi bo'lsin. L*200 da aniqlangan quyidagi operatorni qaraymiz:
Bu yerda h0 operator e(t) funksiyaga kopaytirish operatori, ya'ni
ta sir operatori (qozgatish operatori) v operator esa integral operator bo'lib, L:: (7 :>da quyidagicha aniqlangan:
fi>0 —zarrachaning tashqi muhit bilan ta'sir energiyasi.
Lemma 1. Yuqorida aniqlangan h^ operator Lt2(T) da o^z-o^ziga qo^shmci,
chegaralangan operator bo ladi.
Isbot. Hilbert fazosida o'z-o'ziga qo'shma operator tarifiga ko'ra A:H -> H operator V/, q e H uchun [A f, g) = (J ,Ag) shartni qanoatlantirishi kerak. (■/) — skalyar kopaytma.
Scientific Journal Impact Factor
Oz-oziga qo'shma operator xossasiga ko'ra h0 va v operatorlarning har birining o'z-o'ziga qo'shma operator ekanligini ko'rsatish yetarli.
Chegaralanganligi. Operator chegaralanganlik ta' ri fi dan A operator uchun 3M > 0 soni mavjud bo'lib V/ G D{A) <= H element uchun quyidagi
||04/)||<M||/||; tengsizlik orinli bo isa, A operator chegaralangan deyiladi.
Koshi - Bunyakovskiy tengsizligiga ko'ra:
Demak, || (h^f)(t) || + 7r||/||. Lemma isbotlandi. À
Scientific Journal Impact Factor
v — chekli olchamli (bir olchamli) operator bolganidan uning kompakt ekanligiga kelamiz.
hp operator oz-oziga qoshma bolganligi uchun uning qoldiq spektri bosh to'plam bolib, spektri haqiqiy sonlar to'plamining qismidan iborat, ya'ni
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
Muhim spektr turg'unligi haqidagi Veyl teoremasiga ko'ra. hß operatorning muhim spektri aess(hß) berilgan ^ > 0 parametrlardan bog'liq emas va h0 operatorning spektri bilan ustma-ust tushadi. Shunday qilib
tenglik o'rinli.
3. Asosiy natijalar bayoni.
Teorema 1; ¡i > 1 bolsín h^ muhim spektrdan o^ngda yagona xos qiymatga ega va u quyidagi ko^rinishga ega
Bu xos qiymatga mos xos funksiyaning ko "rinishi.
2pi2 Csin2q
fto) =
li1 + 2picos2q + 1
dan iborat.
Natija. Quyidagi assimptotik formulalar o^rinli
4U
4. a^ (z) funksiyaning xossalari.
C orqali kompleks sonlar tekisligini belgilaymiz, har bir [i>0 va z E C \ [0,2] da aniqlangan
funksiyani aniqlaymiz.
Scientific Journal Impact Factor
Bitiruv malakaviy ishini natijasini isbotlashda muhim o'rin tutadigan quyidagi lemmalarni isbotlaymiz.
Lemma 2. z E C\[0,2]soni h^ operatorning xos qiymati bo'lishi uchun
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot; Zarurligi. z E C\[0,2] soni h^ operatorning xos qiymati bo'lisin. U holda
tenglama nolmas 0 ^ f(q) E l}2(X) yechimga ega. Agar
deb belgilash kiritsak. (C ^ 0)
P-
(_£(q)-z)f(_q) = -4-sin2qC;
¿71
tenglikka kelamiz. Bundan f(_q) ni topamiz
ptC sin2q
f(.q)
(4)
2n — z) '
Ushbu (4) tenglik bilan aniqlangan f(q) funksiyani (3) belgilashga keltirib qoyamiz va quyidagi
tenglikka ega bo'lamiz, yani:
(1) belgilashga ko'ra l = u ekanligidan tenglikka kelamiz.
Yetarliligi. A„ (z) = 0 bo'lsin. U holdaz EC\ [0,2] soni h,L operatorning xos
qiymati bo'lishini korsatamiz.
Scientific Journal Impact Factor
№ =
fiC sin2q
ptC sin2q
2n(s(_q) — z) 2n (1 — cos2q — z) ' funksiyani qurib olamiz. Dastlab f(q) E L^T) bolishini korsatamiz.
z E C \ [0,2] ekanligidan 1 - cos2q - z 0 va
sini2,q
uzluksiz
(1—cosZq—zj
funksiya. Bundan uning chegaralangan ekanligiga kelamiz. Demak, f(q) E L 2 OD
s in 2 q — toq funksiya, (1 — cos2q — z) — juft funksiya. Bundan f(q) — toq funksiya. Demak, f(_q) E ¿^(T).
Endi bu funksiya z soni uchun (1) tenglamaning yechimi bolishini korsatamiz.
Ushbu tenglikdan
ga kelamiz, yani:
(1) belgilashga ko'ra
bundan (2) tenglikning o'rinli ekanligiga kelamiz. Lemma isbot bo'ldi.
Lemma 2.3. Afi (z) funksiya z E (2;co)damonoton o\suvchi bolib
Isbot; (1) formula bilan aniqlangan A„ (z) funksiyadan ^ bo'yicha hosila olamiz.
Scientific Journal Impact Factor
Demak, A„ (z) funksiya monoton o' suvchi.
funksiya z > 2 da uzluksiz va
ekanligidan, integral belgisi ostida limitga o'tish haqidagi teoremaga ko'ra:
lim Au (z) = 1;
oo
ga kelamiz. sin2x + cos2x
1 ayniyatga ko'ra:
Lemma isbotlandi. ▲
Yuqoridagi lemmalardan kelib chiqadiki. 0 < p < 1 bo'Isa
tenglama yechimga ega emas. p > 1 da faqat bitta yechimga ega bo'ladi. fi= 1 bo'lsin.
tenglama z = 2 yechimga ega. z = 2 G Bu son ^ operatorning xos
qiymat bo'lishini tekshiramiz.
tenglamani qaraymiz. Bu tenglamadan
i
ga kelamiz.
Scientific Journal Impact Factor
I
än2qf(q) dq = C; belgilash olamiz (C ^ 0). Bundan
C
m=—
sin2t
2n 1 + cos2t'
fit) * 0 , endi fit) G L\ (T) ni tekshiramiz.
(bu xosmas integral bo*lib t = — da maxsuslikka ega. j
Ushbu munosabatning o'ng qismida turgan integral uzoqlashuvchi. Demak /(t) £ L\ (T). z = 2 xos qiymat emas. Asosiy natijalar isboti 2.1Teoremaning isboti. Dastlab,
integralni hisoblaymiz .
bu yerda
Trigonometriyaning asosiy ayniyatidan foydalanib integralni ikki qismga ajratamiz.
Scientific Journal Impact Factor
Birinchi integralni hisoblaymiz:
Juft funksiyadan simmetrik oraliq bo'yicha olingan integral xossasidan foydalanib quyidagi tenglikka kelamiz:
Quyidagicha almashtirish olamiz bundan quyidagilar hosil bo'ladi:
dq =
df _
Topilganlarni integralga qo'yamiz.
bu yerda
Ko'rish mumkinki
Koshining integral formulasi yordamida integralni hisoblaymiz.
Scientific Journal Impact Factor
Demak,
Endi I2 integralni hisoblaymiz.
Integral ostidagi kasr ifoda suratiga A2 ni qoshib ayiramiz va integralni quyidagi ikkita qismga ajratamiz.
Demak,
Lemma 2.4. ga kcTra z E C \ [0,2] soni hM operatorning xos qiymati bcTlishi uchun a/jL (z) = 0 tenglamani qanoatlantirishi zarur va yetarli. Faraz qilamiz z E C \ [0,2] xos qiymat bo'lsin. U holda
ga ega bo'lamiz. (5), (6) va (7) tengliklarga ko'ra.
Ushbu tenglik
ga ekvivalent. Bundan
Scientific Journal Impact Factor
Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga kotaramiz.
Oxshash hadlarni qisqartirib soddalashtiramiz, natijada quyidagi A noma'lumga nisbatan chiziqli tenglamani hosil qilamiz:
A = 1 — z ekanligidan, quyidagi tenglikka kelamiz:
yoki
Bu xos qiymatga mos xos funksiyani aniqlaymiz. (3)ga ko ra
¡xCsin2t
m =
(1 — coslq — z)
Demak, (8) ni hisobga olsak bu xos qiymatga mos xos funksiya:
2 ¡X1 Csin2q
pi2 + 2picos2q + 1
Ko'rinishda bo'lib bunda C = const ^ 0. Teorema isbotlandi. ▲
REFERENCES
[1] M. Reed and B. Simon: Methods of modern mathematical physics. I: Functional analysis. Academic Press, N.Y., London 1972.
[2] V.A.Trenogin: Functional analysis. "Nauka", Moscow 1980.
[3] M. Reed and B. Simon: Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of operators. Academic Press, N.Y., 1978.
[4] A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin: Elementi teorii funksii i funksionalno-go analiza. "Nauka", Moscow 1976
[5] L.A.Lyusternik, V.I.Sobolev: Elements of functional analysis. "Nau-ka". Moscow 1965
Scientific Journal Impact Factor
[6] N.I.Akhiyezer, I.M.Glazman: Operator theory in Hilbert spaces. "Nau-ka". Moscow 1972
[7] P.A.Farva da Veiga, et al. Phys.Rev. E(3) 66, 016130, 9 pp.
[8] S.Albeverio, S.N.Lakaev, K.A.Makarov and Z.I.Muminov. The Threshold effects for the two-particle Hamiltonians. Communications in Mathematical Physics, 262, 91-115. (2006).
[9] С.Н.Лакаев., И.Бозоров. О спектре одночастичного гамильтониана на трехмерной решетке. ТМФ, 2011г.
[10] С.Н.Лакаев., А.М.Халхужаев. Асимптотики собственного значения двух фермионов на одшмерной решетке. УзМЖ. 2013г №3.
