CC BY
14IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELINING
REZOLVENTASI
Nargiza Ahmedovna Tosheva Dildora Erkinovna Ismoilova
Buxoro davlat universiteti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosida 2-tartibli operatorli matritsa ko'rinishidagi , 0 panjaraviy ikki kanalli molekulyar-
rezonans modeli qaraladi. operatorning muhim va diskret spektrlari to'liq
tafsiflanadi hamda rezolventa operatori uchun aniq formula topiladi.
Kalit so'zlar: Fok fazo, operatorli matrisa, molekulyar-rezonans modeli, rezolventa operatori.
REZOLVENT OF THE TWO-CHANNEL MOLECULAR RESONANCE
MODEL
Nargiza Ahmedovna Tosheva Dildora Erkinovna Ismoilova
Bukhara State University
ABSTRACT
In this paper a lattice two-channel molecular-resonans model , 0 acting
in the two-particle cut subspace of Fock space is considered as operator matrix of order 2. Essential and discrete spectrum of A are described and an exact form of the
resolvent operator is found.
Keywords: Fock space, operator matrix, molecular-resonance model, resolvent operator.
KIRISH
Kvant maydon nazariyasi, statistik fizika, qattiq jismlar fizikasi va zamonaviy matematik fizikaning yana ko'plab sohalarida soni saqlanmaydigan zarrachalar sistemasi bilan bog'liq masalalar uchrab turadi. Agar bunday zarrachalar sistemasida zarrachalar soni cheksiz bo'lsa, u holda mos Gamiltonian cheksiz tartibli operatorli matritsa ko'rinishida bo'ladi. Agar zarrachalar soni chegaralangan bo'lsa, u holda mos Gamiltonian chekli tartibli kvadrat operatorli matritsa ko'rinishida bo'ladi. Fok fazosining qirqilgan uch zarrachali qism fazosida ta'sir qiluvchi uchinchi tartibli operatorli matritsaning muhim va diskret spektrlari ko'plab ishlarda tadqiq qilingan. Bu tadqiqotlarda ikki o'lchamli qo'zg'alishga ega umumlashgan Fridrixs modelining
yakkalangan xos qiymatga, bo'sag'aviy xos qiymatga yoki virtual sathga ega bo'lishi muhim o'rin egallaydi [1-30].
Ushbu maqolada yuqorida sanab o'tilgan maqolalardan farqli o'laroq uch o'lchamli qo'zg'alishga ega umumlashgan Fridrixs modeli qaraladi. O'rganilayotgan operator Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator sifatida o'rganiladi. Uning muhim spektri aniqlanadi. Xos qiymatlar to'plamini tavsiflash imkonini beruvchi va Fredgolm determinanti deb nomlanuvchi regulyar funksiya quriladi. Umumlashgan Fridrixs modeli uchun rezolventa operatorini qurish algoritmi keltiriladi.
Maqolani bayon qilish jarayonida ishlatiladigan ba'zi belgilashlarni kiritamiz: H Gilbert fazosida ta'sir qiluvchi A chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator uchun (A) orqali uning muhim spektrini, <rdis (A) orqali uning diskret spektrini, <(A) orqali uning spektrini, R (A), z e C \<(A) orqali uning rezolventa operatorini belgilaymiz.
H Gilbert fazosi, A: H ^H chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin. Agar biror leC soni uchun Ax = lx tenglama nolmas xeH yechimga ega bo'lsa, l soniga A operatorning xos qiymati, nolmas x e H yechimga esa l xos qiymatga mos xos vektor (xos funksiya) deyiladi. A operatorning barcha xos qiymatlari to'plamiga uning nuqtali spektri deyiladi va <pp (A) kabi belgilanadi. A
operatorning barcha chekli karrali va yakkalangan xos qiymatlari to'plamiga uning diskret spektri deyiladi va odlsc(A) kabi belgilandi. <(A)\adisc(A) to'plamga A operatorning muhim spektri deyiladi va <ess (A) kabi belgilanadi. Ta'rifga ko'ra istalgan le C \<(A) soni uchun A -lI operator teskarilanuvchan va (A -II) 1 operator H fazoning hamma yerida aniqlangan chegaralangan operator bo'ladi. Bu holda R (A) = (A - II) 1 operatorga rezolventa operatori deyiladi.
MASALANING QO'YILISHI
Td orqali d o'lchamli torni, H0 := C orqali bir o'lchamli kompleks fazoni (1-kanal) va H1 := L2(Td) orqali Td to'plamda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymat qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini (2-kanal) belgilaymiz. H0 va H fazolarning to'g'ri yig'indisini H orqali belgilaymiz, ya'ni H := H0 0 H. Odatda H0 fazoga Fok fazosining nol zarrachali qism fazosi, Hx
fazoga Fok fazosining bir zarrachali qism fazosi va H Gilbert fazosiga esa Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosi deyiladi.
Operatorlar nazariyasidan bizga yaxshi ma'lumki, H Gilbert fazosi ikkita Gilbert fazolar to'g'ri yig'indisidan iboratligi bois unda aniqlangan har qanday chiziqli chegaralangan operator hamisha 2-tartibli operatorli matrisa ko'rinishida tasvirlanadi.
Mazkur maqolada H Gilbert fazosidagi quyidagi ikkinchi tartibli blok operatorli matritsani qaraymiz:
A00 ßA0i A AO -XV,
Bunda matritsa elementlari
A00 fo - afo> A01 f - JV0(t)f(t)dt,
(A^ifi )( x )- u( x)fi (x), (Vf )(x) - Vi (x) J Vi (t )fi (t )dt
tengliklar yordamida ta'sir qiladi. operatornng parametrlari bo'lgan sonlari
hamda uQ,v0(■) va v(•) funksiyalarga quyidagi shartlar qo'yiladi:
a - fiksirlangan haqiqiy son, - fiksirlangan haqiqiy musbat sonlar (odatda ularga ta'sirlashish parametrlari deyiladi), u(), v0 (•),v (•) funksiyalar esa Td da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalardir.
operator uning parametrlariga qo'yilgan yuqoridagi shartlarda h Gilbert
fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma bo'ladi. Berilgan operatorni chegaralanganlikka tekshirishda f = (f0, f) e H element normasi
( Y/2
If II = I fol2 + J| m\2 dt
V Td J
kabi aniqlanishidan foydalaniladi. O'z-o'ziga qo'shma ekanligini tekshirish uchun f = (f, f), g = (go, gi) e H elementlar skalyar ko'paytmasi
(f, g) = fo ■ g0 + J fi (t) • g1(t)dt
tenglik orqali aniqlanishidan foydalaniladi.
Chekli o'lchamli qo'zg'alishlarda muhim spektrning o'zgarmasligi haqidagi G.Veyl teoremasiga ko'ra Aj A operatorning muhim spektri uchun
^ (AjX) = [m; M]
tenglik o'rinlidir, bu yerda m va M sonlari
m := min u(x), M := max u(x).
xeTd xeTd
formula orqali aniqlangan sonlardir. Ko'rinib turibdiki, AmA operatorning muhim spektri j> o va A> 0 ta'sirlashish parametrlaridan bog'liq emas.
C \[m,M] sohada regulyar bo'lgan quyidagicha aniqlangan yordamchi funksiyalarni kiritamiz:
A<«( z):= a - z -j J ^ ;
jdU(t) - z
d
d
T
v!(t)
(t) - z
v0(t Xit )dt d u(t) - z
A(f(z) := 1 - z i-^-^L-dt J,d u(t) - z
1 (z):=i
T
Odatda A Ä(z^A^z)A(])(z)-X^i212(z) funksiyaga AßÄ blok operatorli
matritsaga mos Fredgolm determinanti deyiladi. Sodda mulohazalar yordamida har bir fiksirlangan¿u,A> 0 lar uchun z e C \ [m,M] soni AMÄ operatorning xos qiymati bo'lishi
uchun A Ä(z) = 0 tenglik bajarilishi zarur va yetarli ekanligini isbotlash mumkin. O'z
navbatida bu tasdiqdan AMÄ operatorning diskret spektri haqidagi quyidagi tenglik hosil
qilinadi:
°d,c(AX = {z e C \ [m,M]: A^(z) = 0}.
Ushbu maqolada AmX blok operatorli matritsaning rezolventasini topish
masalasini qaraymiz.
Har bir fiksirlangan z e C \ [m, M] soni uchun
A^f - zf = g (1)
tenglamani qaraymiz. Bu yerda
f = (f,, fi); g = (go, gi)eH.
(1) tenglamani quyidagi tenglamalar sistemasi ko'rinishida yozib olamiz:
afo vo(t )fi(t )dt - zfo = g o;
T" r (2)
(x)f0 + u(x)fi(x) - Xvi(x) J vi(t)f1 (t)dt - zfi(x) = gl(x).
(2)-tenglamalar sistemasining ikkinchi tenglamasida
c :=J Vi(t )fi(t )dt (3)
j*d
kabi belgilash kiritib, shu tenglamadan f (x) funksiya uchun
r( x gi(x)-^0(x)f0 + Xvi(x)c
Ji(x) =-—--(4)
u(x) - z v y
ifodaga ega bo'lamiz. f (x) uchun topilgan (4) ifodani (2)-tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasiga va (3) belgilashga olib borib qo'yamiz. Yuqoridagi belgilashlardan foydalanib
A(»f0 +W(z)c = g0-MJ v'(t%i(,)d'; (5)
d U( t) z
ß(z)f„ ^^«M*, (6)
L u(t) - z
f0 va c noma'lumlarga nisbatan bir jinsli bo'lmagan tenglamalar sistemasiga ega bo'lamiz. (5)-(6)-tengliklaring koeffisiyentlari orqali tuzilgan ushbu
A 0(z) ■-
' V0 (t) g.(t )dt
g 0-ßJ
jid
vx(t) g.(t )dt
Td u (t) - z
J-
u(t) - z
ß ( z)
A?( z)
Ai(z):-
Aß(z) g0 -ßJ
u(t) - z
ß(z) f ".Wg.(t)dt
d u(t) - z
Determinantlarni qurib olamiz. Fredgolm determinanti nolmas ekanligida ( bu holda berilan sistema yagona yechimga ega bo'ladi ) Kramer usulini qo'llab f0 va c noma'lumlarni topib olamiz. Bizga yaxshi ma'lumki, Kramer usuliga ko'ra noma'lumlar quyidagicha topiladi;
f -
A 0( z)
c -
A.( z)
AßX(zY AßX (zY A0 (z) va A (z) larning aniq ko'rinishidan foydalanib, f0 va c yechimlarni
f0 -
1
-g 0
ßA(2)(z) rV0(t)g.(t)dt Xßl(z) rv.(t)g.(t)dt
J
AßX (z) AßX (z) Td u(t) - z AßX (u(t) - z
J
ßI(z) | Aßß(z) rv.(t)g.(t)dt | ß2I(z) ^(t)g.(t)dt Aßx(z) g0 Amx(z) Jd u(t) - z Amx(z) J u(t) - z ko'rinishda yozish mumkin. Topilgan (7)-(8)-ifodalarni (4)-ifodaga qo'yib
(7)
(8)
ß!V0( x) + XM x) 1 (z)] CT ,
Jl(x) - » / \ / / \ \ " g0 +
AßX (z) ■ (u(x) - z)
g.( x) u (x) - z
+
+
ß2 [A(x2) (z)V0 (x) + XI(z)v. (x)] , V0 (t)g. (t)
AßX (z) ■(u(x) - z)
J-
u(t) - z
dt -
(9)
X ■ [ß2 V 0 (x) I (z) - V. (x)Aß (z)]j v. (t) g. (t )dt
AßX (z) ■ (u(x) - z)
u(t) - z
tenglikga ega bo'lamiz.
(7) va (9)-tengliklardan ko'rish mumkinki, AßX blok operatorli matritsaning
rezolventasi H Gilbert fazosida 2-tartibli
f ^00 (ß; z) R0.(ß, X; z)^
Rß X (z) -
ß' VRlo(ß, X;z) (ß, X;z)J
Blok operatorli matritsa ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda:
g0 .
R00ß z)g0 -
Aß( z)'
d
T
d
T
d
ßA™(z) rv0(t)g1(t)dt ß(z) jV^t)g1(t)dt .
KoAß, Я; z)gi =—--— I-—----— I-—-,
Aß, я (z) Td u(t) - z A^ (z) Td u(t) - z
(1) ( 3 ч V л ß\Vo(x) + ^1(Х)1(z)]
(RW (ß, Я;z)g0)(x) =---- -— ■ g0,
Ам,л (z) ■(u(x) - z)
/ n (n gi( Х) + W2[AT( z)Vo( Х) + Я1 (z )Vi( Х)] ^(t) gi(t)
(Rii iß,Я; z)gi)(x) = -—— +-я—, w , ч—:-I -dt -
U(x) - z Aß,Я (z) ■ (u(x) - z) Td u(t) - z
Я ■ [ß2Vo (x)I(z) - Vi (x)Aß (z)] , Vi (t)gi (t)dt
Aß,Я (z) ■ (u(x) - z) 1 U(t) - z
REFERENCES
1. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный, 9, 17-20.
2. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining sonli tasviri. Scientific progress, 1(2), 1421-1428.
3. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.
4. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science, 2-2(51), 15-18.
5. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2019). Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 9(6), 15-17.
6. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model: 1D case with rank two perturbation. Bulletin of the Institute of Mathematics, 4, 21-28.
7. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Threshold eigenvalues and resonances of a Friedrichs model with rank two perturbation. Scientific reports of Bukhara State University, 3, 31-38.
8. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
9. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
10. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
11. Хайитова Х., Ибодова С. (2021). Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 48-52.
12. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.
13. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
14. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2х2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.
15. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.
16. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2015). Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением. Молодой ученый, 9, 2023.
17. Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.
18. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.
19. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2014). Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 35 (2), 50-63.
20. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold effects for a family of 2x2 operator matrices. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 10(6), 4-8.
21. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
22. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
23. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретный спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня, 1(60), 17-20.
24. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
25. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
26. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки. 63:4, 2932.
27. Рашидов А.Ш., Халлокова О.О. (2015) Пороговое собственное значение модели Фридрихса. Молодой ученый, 95:15, 1-3.
28. Рашидов А.Ш., Мирзаев Э.Э. (2016). Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое значение. Молодой ученый, 2, 23-25.
29. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress, 1(2), 61-69.
30. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.
