UCH ZARRACHALI MODEL OPERATOR XOS FUNKSIYALARI UCHUN SIMMETRIK FADDEYEV TENGLAMASI Текст научной статьи по специальности «Математика»

UCH ZARRACHALI MODEL OPERATOR XOS FUNKSIYALARI UCHUN SIMMETRIK FADDEYEV TENGLAMASI

Gulhayo Husniddin qizi Umirqulova

Buxoro davlat universiteti

ANNOTATSIYA

Ushbu maqolada panjaradagi uch zarrachali model operator muhim spektrining tarmoqlari aniqlangan. Berilgan operatorning xos funksiyalari uchun Faddeyev tenglamasi va uning simmetrik varianti qurilgan.

Kalit so'zlar: model operator, xos funksiya, xos qiymat, muhim spektr, Faddeyev tenglamasi, simmetriklashtirilgan Faddeyev tenglamasi.

THE SYMMETRIC FADDEEV EQUATION FOR EIGENVALUES OF A THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR

Gulhayo Husniddin kizi Umirkulova

Bukhara State University

ABSTRACT

In this paper, the branches of the essential spectrum of a three-particle model operator on a lattice are defined. The Faddeev equation for the eigenfunctions of a given operator and its symmetric version are constructed.

Keywords: model operator, Hilbert space, eigenfunction, eigenvalue, critical spectrum, Faddeev's equation, symmetric Faddeev's equation.

MODEL OPERATOR L[S)(T2) orqali T2 ikki o'lchamli torda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul qiluvchi) funksiyalarning Hilbert fazosini belgilaymiz. Bu Hilbert fazosida quyidagi H My model operatorni qaraymiz:

H H 0-V-MV2-yV3;

(Hof )(x y )=u(x y )f (x y);

(Vf )(x, y ) = v( x)l 1 v(t )f (t, y)dt;

(V2f )(x, y ) = v( y)\T i v(t )f (x, t )dt;

(V3f )(x, y) =\Ti f (t, x + y -1 )dt.

Bu yerda fi,y- ta'sirlashish parametrlari deb ataluvchi musbat sonlar, v(-) -T1 da aniqlanuvchi haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya va u (•,•) -T2 da aniqlangan haqiqiy qiymatli simmetrik uzluksiz funksiya. Parametrlarga qo'yilgan bunday shartlarda HMr

model operator chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lishini Funksional analiz kursidan ma'lum bo'lgan mos ta'riflar yordamida tekshiriladi. C \ [m; M ] sohada regulyar bo'lgan

v 2(t )dt

A»(x; z) := 1 -A(*>( x; z ):= 1 i

u( x, t) - z dt

u(t, x -1) - z

funksiyalarni qaraymiz, bu yerda m va M sonlar quyidagicha aniqlangan:

m := min u(x, y), M := max u(x, y)

x,yeTi x,yeT

(ar ) orqali biror x e T1 uchun AM(x; z) = 0 (A^x; z) = 0) bo'ladigan z lar to'plamini belgilaymiz: ^ = a(i:> u[m; M].

uaf va [m; M] to'plamlarga # operator muhim spektrining mos ravishda ikki va uch zarrachali tarmoqlari deyiladi.

FADDEEV TENGLAMASI Quyidagicha belgilash kiritamiz:

L22)(Tx):= {g = (gi, g2): gae L2(T'), a = 1,2}. Har bir fiksirlangan z e C \ ^ uchun L(2)(T*) fazoda ta'sir qiluvchi (z) blok-operatorli matritsani qaraymiz:

TMr (z ):=

'Tn(z) Ti2(^

T2i( z) 0

Bu yerda Ti} (z): L2 (Tx) ^ L2 (Tx), /, j = 1,2 -integral operatorlar:

(Tn( z M)(x)t «mm;

A^x; z)JT u(x, t) - z

T(z)^2)(x) = j/'-)dt;

A(1)(x; z)JT u(t, t - x) - z

(T21(zM)(x) =f 1 V(x -1M(t)dt.

V ww a2)(x; z) Jt1 u(t, x -1) - z

Quyidagi teorema # va T (z) operatorlarning xos qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlikni ifodalaydi.

1-teorema. zeC\^ soni operatorlarning xos qiymati bo'lishi uchun 1 soni

(z) operatorning xos qiymati bo'lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Faraz qilaylik, z e C \ ^ soni H^ operatorning xos qiymati va f esa bu xos qiymatga mos xos funksiya bo'lsin. U holda f funksiya H^rf = zf tenglamani

qanoatlantiradi. Bu tenglamani quyidagicha ko'rinishda yozib olamiz:

u(x, y)f (x, y) - jUv(y)^ v(t)f (x, t)dt -

~y\Ti f (t, x + y -1 )dt = zf (x, y); (1)

Quyidagicha belgilashlar kiritamiz:

p (x)=\Tl v(t )f (x, t )dt; (2)

P2 (x)i i f (t, x -1 )dt. (3)

So'ngra (2) va (3) tengliklarni (1) ifodaga qo'yib ushbu tenglikni hosil qilamiz:

(uu(x y) - z)f (x y) = M x)(i (y) + M y)(i(x) + yp2 (x + y). (4)

Bu yerda z<£[m,M] bo'lganligi uchun barcha x,y e T 1 larda u(x,y)-z ^ 0 munosabat bajariladi. Shu sababli, (4) ifodadan f (x,y) ni topib olamiz:

^ = Mx)Pi(y) + My)Pi(x) + 7(2(x + y) ^

u (x, y) - z

Topilgan f (x,y) ni (2) va (3) tengliklarga qo'yamiz:

Pi (x) = = J v (t)M x)Pi (t)+^v(t ( (x) + 7p2( x+t) dt;

ji u(x, t) - z

p (x) = J v (t)Mt )p( x -t)+M x -t )pi(t)+7p2( x) dt.

ji u(t, x -1) - z

Har ikkala tengliklarni soddalashtirib, ularni quyidagi ko'rinishga keltiramiz:

i /j\ Jj \

v\t )dt

iu(x, t) - z

i-mJ ' (td p(x) = MX)J v(t((t) dt+7Jvm(£±!ldt-

V -j

f 7. A

TiU(x, t) - z ji u(x, t) - z

i-7l---V(x) = Ml v{tpi{x-1)dt +M1 v{x-1pi{t)dt.

Jt u(t, x -1) - z J Jt u(t, x -1) - z Jt u(t, x -1) - z

Oxirgi tengliklarni qulay ko'rinishga keltirish maqsadida quyidagicha shakl almashtirishlardan foydalanamiz:

Jv(t)p2(x+t)dt = [t ^t-x]=J v(t-x)p2(t) dt;

ji u(x, t) - z j,iu(x, t - x) - z

, v(t)p](x-1)dt = ^x_t]=r v(x-tpi(t)dt . JT u (t, x -1) - z Ti u (x -1, t) - z

Yuqoridagi tengliklardan foydalangan holda quyidagi ifoda hosil bo'ladi: ■ Page 4081

A()( x; z)p( x) = ) x) J

v(t )p(t )

1 u(x, t) - z

dt + rJ

v(t - x)ç2(t ) 1 u( x, t - x) - z

dt;

A(2)( x; zp( x) = 2) i

v( x -1 )p(t ) u (t, x -1 ) - z

dt.

Aniqlanishiga ko'ra istalgan zva xeT1 lar uchun A())(x;z)^0. Xuddi shuningdek ixtiyoriy z € (J(r2) va x e T1 lar uchun A^x; z) ^ 0. Bularni inobatga olgan holda:

P( x)

)v( x) , v(t )p(t )

)

• Jt 1

A(1)( x; z )JT1 u( x, t ) -

dt +

r

z

"Jt1

v(t - x^(t)

A(1)(x; z) Jt u (t, t - x)-

dt;

z

P2(x)=

2)

v( x -1 )p(t ) A(2)(x; z) Jt1 u (t, x -1 ) - z

"Jt1

dt.

tengliklarni hosil qilamiz.

P

P (x ( (T11(z)^1)(x)+(T12(zp2 Xx)

P (x )7 V

T),r (z) :=

(T21( z)P)(x )

Tn( z ) T.2 ( z )

T21 ( z ) 0

(6)

T^ (z) operatorning matritsaviy elementlari ta'rifiga ko'ra oxirgi tenglamalar sistemasini

P = T)r ( z )P (7)

operatorli tenglamalar ko'rinishida yozish mumkin. Shunday qilib, (1) tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo'lishi uchun (7) tenglama nolmas yechimga ega bo'lishi zarur va yetarlidir. Bundan tashqari, ushbu tenglamalar sisitemasi va operatorli tenglama yechimlari qism fazosining o'lchamlari teng bo'ladi. Ya'ni agar z soni H^ r

operator uchun n karrali xos qiymat bo'lsa, u holda 1 soni ^ r (z) operator uchun ham n

karrali xos qiymat bo'ladi.Teorema to'liq isbotlandi.

1-eslatma. Odatda (7) operatorli tenglamaga model operator xos

funksiyalariga mos Faddeyev tenglamasi deyiladi.

SIMMETRIKLASHTIRILGAN FADDEEV TENGLAMASI Har bir fiksirlangan z < min <j(h^r) uchun L(22)(T*)Gilbert fazosida

T ),r ( z) :=

i A a A

T11 (z) T12 (z)

a

T 21 ( z)

0

a

AAA

ikkinchi tartibli blok operatorli matritsani qaraymiz, bu yerda T11, T12, T12 operatorlar L(22)(T x) Hilbert fazosida quyidagicha aniqlangan integral operatorlardir:

(T„(zM)(x) - f v(tWf) dt-

x; z) Ti (u(x, t) - zX/A^t; z)

(T 12(z)¥l)(x) - / m - J 7-, < m dt;

Va()(x; z) Ti (u(t, t - x) - z VA(y2)(t; z)

(T21(z)^i)(x) - f —v(x - ')w(t) dt.

tJA(;2) (x; z) Ti (u(t, x -1) - z\/A>; z)

Quyidagi teorema o'rinli.

2-teorema. z <min (ess(H^r) soni # operatorning xos qiymati bo'lishi uchun

a

k- 1

soni Tw(z) operator uchun xos qiymati bo'lishi zarur va yetarlidir. Bundan tashqari z va 1 xos qiymatlarining karraligi ustma-ust tushadi.

2-eslatma. Agar z <min (ess(H^y) bo'lsa, u holda barcha xeT lar uchun

A()( x; z) > 0 va A(2)( x; z) > 0 bo'ladi.

Isbot. Faraz qilaylik, z < min ) soni H^r operatorning xos qiymati

bo'lsin. U holda 1-teorema isbotiga ko'ra

A)(x;zM(x)-)(x)fdt + yf *-x)*f) dt;

ji u(x, t) - z ji u(x, t - x) - z

A<;>(x;zx) - 2), v(x-'^) dt

y JT u(t, x -1) - z

nolmas yechimga ega. Aniqlanishiga ko'ra istalgan z<min (ess(H^y) va xeT1 lar

uchun A()))(x;z) >0. Xuddi shuningdek ixtiyoriy z <min (ess(H^y) va xeTi lar uchun

A(y}(x; z) > 0. Bularni inobatga olgan holda: A(^(x; z) - ^/A1 (x; zA(1 (x; z) kabi almashtirish bajaramiz. Natijada quyidagi tengliklar hosil bo'ladi:

(x) - )x) fv(t^(t) dt + . y fv(t-x)^2(t)dt; (8)

( )^i( ) Tiu(x,t)-z ^A)^ Tiu(t,t-x)-z ()

ß^VÄ x) - f (9)

V ' ^/A(y2)(x; z) Tu(t, x -1) - z

Yuqoridagi tengliklarga quyidagicha belgilash kiritamiz:

Wi (x )^A(^)( x; z (x) va w (x ) ^A(r2)( x; z )p2 (x). Ushbu tengliklar uchun quyidagi ifoda o'rinli:

cix )- V1 (X ) . 0 X )- V2 (x )

Ushbu tengliklardan foydalanib, (8) va (9) tengliklarni quyidagicha ko'rinishda yozamiz:

V fX) - fjv(x) f v(t)Vl(t) dt I r i v(t ~ X)V2(t) df 1 -ßf(XZ) Tx(u(x,,t)-zX/A(i>(t;z) -¡Af^) Tx(u(t,t-x)-z^A^t;z) '

V2( x) -T^ i / V(x-t)Vi(tl) dt.

x; z) ï (u(t, x -1 ) - z yAfaz)

V (x) - ü(x) f v(t)Vi(t) dt I r f v(t - x)V2(t) dt.

1 ^fîxj) T (u ( x, t ) - z ^(t; z ) flüfrz) T (u(t, t - x) - z yA?(t; z) '

V (x) - ■ i-

fi^) T (u(t, x -1) - z)^Aü(t; z)

Oxirgi tenglamalar sistemasini quyidacha:

i a a \

(T 11( z)Vi)(x) + (T 12( z z)V2)(x)

V-

yoki

Vi (x y

V(x I

A

(T 21( z )Vl)(x)

A

V- T M ( z)v

kabi yozib olamiz.

A

3-eslatma. Odatda = T^ (z)y operatorli tenglamalarga model operator

xos funksiyalariga mos simmetriklashtirilgan Faddeyev tenglamasi deyiladi.

Faddeyev tenglamasi H^ model operator muhim spektrining joylashuv o'rni

haqidagi natijani isbotlashga keng tadbiqga ega. Simmetriklashtirilgan Faddeyev tenglamasi esa H^ model operator diskret spektrining chekli yoki cheksiz bo'lish

shartlarini aniqlashda muhim rol o'ynaydi.

Ushbu maqolada tadqiq qilingan va unga o'xshash model operatorlarning muhim va diskret spektrlari [1-10] ishlarda o'rganilgan. Ta'kidlab o'tish joizki 1-teorema

model operatorning muhim spektrini hamda uning ikki va uch zarrachali tarmoqlarini ajratishda alohida ahamiyat kasb etadi. [1-10] maqolalarda panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos turli xil model operatorlarning muhim va diskret spektrlari Fridrixs modellari oilasining [11-16] spektral xossalaridan foydalanib o'rganilgan. [1719] ishlarda esa umumlashgan Fridrixs modellari oilasi tadqiq qilingan. Ta'kidlash joizki, xuddi Fridrixs modellari oilasi kabi umumlashgan Fridrixs modellari oilasi ham

ko'pi bilan uchta zarrachalar sistemasiga mos operatorli matrisalarning spektral xossalarini o'rganishda muhim hisoblanadi [20-30].

REFERENCES

1. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020). Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science. 51:2, Part II, pp. 19-22.

2. Умиркулова Г.Х. (2020). Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке. ВНО. 16-2 (94), С. 14-17.

3. Умиркулова Г.Х. (2020). Использование Mathcad при обучении теме «квадратичные функции». Проблемы педагогики. № 6 (51), С. 93-95.

4. Umirqulova G.H. (2021). Uch zarrachali model operatorning xos funksiyalari uchun Faddeev tenglamasi. Scientific progress. 2:1, 1413-1420 b.

5. Умиркулова Г.Х,. (2021). Панжарадаги уч заррачали модель операторга мос канал операторлар ва уларнинг спектрлари. Scientific progress. 3:2, 51-57 б.

6. Rasulova Z.D. (2014). Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice. J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1, pp. 37-41.

7. Rasulova Z.D. (2014). On the spectrum of a three-particle model operator. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25, pp. 57-61.

8. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, pp. 327-342.

9. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия. 12, С. 168-184.

10. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. (2020). Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, pp. 8-13.

11. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным

возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.

12. Умиркулова Г.Х. (2021). Местоположение собственных значений двух семейств моделей Фридрихса. НТО, 77:2, часть 2, С. 56-60.

13. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретные спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня. 60:1, С. 17-20.

14. Хайитова X.F., Рахматова Д.С. (2021). Панжарадаги уч улчамли кузгалишга эга билапласиан операторига мос Фредгольм детерминанти хакида. Scientific progress. 1:2, 44-52 б.

15. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science. 51:2, pp. 15-18.

16. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный. № 9, С. 17-20.

17. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кдйматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.

18. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.

19. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.

20. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.

21. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.

22. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.

23. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.

24. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.

25. Латипов Х,.М. (2021). 4-тартибли матрица хос сонларининг таснифи. Scientific progress. 2:1, 1380-1388 бетлар.

26. Латипов Х.М., Пармонов Х.Ф. (2021). Некоторые задачи, сводимые к операторным уравнениям. ВНО, 113:10, часть 3, С. 15-21.

27. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов. Математические заметки. 73:4, С. 556-564.

28. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра. Функциональный анализ и его приложения, 37:1, С. 81-84.

29. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics. Journal of Statistical Physics, 127:2, pp. 191-220.

30. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles.

Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, pp. 1-16.