CC BY
11IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELINING SONLI
TASVIRI
Nargiza Ahmedovna Tosheva Dildora Erkinovna Ismoilova
Buxoro davlat universiteti Buxoro davlat universiteti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada panjaradagi ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli
qaraladi. Uning spektral xossalarini o'rganish masalasi ikkita nisbatan sodda ko'rinishga ega umumlashgan Fridrixs modelining spektrini o'rganish masalasiga keltiriladi.
operatorning sonli tasviri uchun aniq formula topiladi.
Kalit so'zlar: molekulyar-rezonans modeli, sonli tasvir, spektr, Fridrixs modeli.
NUMERICAL RANGE OF THE TWO-CHANNEL MOLECULAR
RESONANCE MODEL
Nargiza Akhmedovna Tosheva Dildora Erkinovna Ismoilova
Bukhara State University Bukhara State University
ABSTRACT
In this paper the two channel molecular-resonance model on a lattice is
considered. Its spectral properties is reduced to the study of the spectrum of the two generalized Friedrichs models, which has more simple structure. The formula for the numerical range of is found.
Keywords: molecular-resonance model, numerical range, spectrum, Friedrichs model.
KIRISH
Bizga yaxshi ma'lumki, kompleks Gilbert fazosidagi chiziqli operatorlarning sonli tasviri tushunchasi chiziqli operatorlar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Bu nazariyaga ko'ra, chiziqli operatorning spektri kompleks sonlar to'plamida yotadi. Xususan, agar A chiziqli chegaralangan operator bo'lsa, u holda uning spektri markazi nol nuqtada va radiusi || A || ga teng yopiq doirada saqlanishi funksional analiz kursidan yaxshi ma'lum. Shu o'rinda tabiiy savol paydo bo'ladi: chiziqli chegaralangan operatorning spektrini o'zida saqlovchi hamda markazi nol nuqtada va radiusi || A || ga teng yopiq doiradan kichikroq to'plam mavjudmi? Chiziqli chegaralangan operatorlar uchun kiritilgan sonli tasvir tushunchasi bunday xossaga ega
to'plamlardan bin ekanligini uning quyida bayon qilingan xossalari orqali ko'rish mumkin.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYA
Dastavval o'quvchiga qulaylik uchun sonli tasvir tushunchasining ta'rifini keltirib, ba'zi ma'lumotlarni bayon qilamiz. Faraz qilaylik, H - kompleks Gilbert fazosi va A: H ^ H - chiziqli operator bo'lib, D(A) c H uning aniqlanish sohasi bo'lsin. Ushbu
W(A) := {(Ax,x): x e D(A), || x || = 1} tenglik yordamida aniqlangan to'plamga A operatorning sonli tasviri deyiladi. Umuman olganda W(A) sonli tasvir ochiq to'plam ham yopiq to'plam ham bo'lmaydi. W(A) ochiq to'plam bo'ladigan, yopiq to'plam bo'ladigan hamda ochiq ham yopiq ham bo'lmaydigan chiziqli operatorlarga ko'plab misollar keltirish mumkin. Aniqlanishiga ko'ra W(A) to'plam kompleks sonlar to'plamining qism to'plami bo'lib, W(A)
to'plamning geometrik xossalaridan foydalanib A operator haqida ma'lumot olish mumkin.
H kompleks Gilbert fazosida ta'sir qiluvchi chiziqli chegaralangan A operator sonli tasvirining ba'zi sodda xossalarini sanab o'tamiz.
1) W(A) c {A e C: | A |<|| A ||} , ya'ni A operatorning sonli tasviri markazi O nuqtada, radiusi H^ll ga teng yopiq doirada saqlanadi;
2) W (A*) = {A: Ae W (A)};
3) W(I) = {1}, bu yerda I orqali H Gilbert fazosidagi birlik operator belgilangan. Umumiy holda, ixtiyoriy a, ß kompleks sonlari uchun
W (aA + ß) = aW (A) + ß
tenglik o'rinlidir. Bunda ae C kompleks soni va Qc C to'plam uchun
a + Q := {a + w: w e Q}, aQ := {aw: w e Q}
munosabatlar o' rinli.
4) Agar A = A * bo'lsa, u holda W(A) c R bo'ladi.
5) Agar dimH < ro bo'lsa, u holda W(A) kompakt to'plam, ya'ni chegaralangan va yopiq to'plam bo'ladi.
6) Agar S,T: H ^ H unitar ekvivalent operatorlar bo'lsa, u holda W(S) = W(T) tenglik o'rinli bo'ladi.
7) A operatorning W(A) sonli tasviri uchun spektral munosabatlar deb ataluvchi xossani qanoatlantiradi:
^ (A) c W(A), cr( A) c W(A). Uzbekistan www.scientificprogress.uz Page 1422
Bunda A operatorning nuqtali spektri crp (A) orqali, spektri esa a(A) orqali
belgilangan. Kvant maydon nazariyasi, stoxastik fizika, ehtimollar nazariyasi va mexanikaning ko'plab dolzarb masalalari Fridrixs modeli va umumlashgan Fridrixs modeli nomi bilan mashhur bo'lgan operatorlarning spektral xossalarini o'rganish masalasiga keltiriladi. Ma'lum bir turdagi umumlashgan Fridrixs modellari esa ko'p hollarda ikki kanalli molekulyar rezonans modellari deb ham yuritiladi. Ushbu maqolada bunday model operator sonli tasvirini hisoblash uchun formula keltirib chiqarilgan.
MASALANING QO'YILISHI: Td orqali d o'lchamli torni, C orqali bir o'lchamli kompleks fazoni va L2(Td) orqali Td to'plamda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymat qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz.
Faraz qilaylik, H0 := C (birinchi kanal), H := L2 (Td) (ikkinchi kanal) va H := H © L (Td) bo'lsin.
Ushbu
F (L (Td )):= C © L (Td) © L ((Td )2) ©.......
tenglik yordamida aniqlangan Gilbert fazoga Fok fazosi deyiladi. H0 va H fazolarga esa Fok fazosining mos ravishda nol zarrachali va bir zarrachali qism fazolari deyiladi. H fazoga esa Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosi deyiladi.
MUHOKAMA
Chiziqli operatorlarning spektral nazariyasidan bizga ma'lumki, H fazoda aniqlangan har qanday chiziqli chegaralangan operator hamisha ikkinchi tartibli blok operatorli matritsa ko'rinishida tasvirlanadi. Ya'ni B e L(H) bo'lsa, u holda
B :=
D D
B00 B01
V Bio Bii,
tasvir o'rinlidir. Bunda B : H} ^ Ht, i, j = 0,1 matritsaviy elementlar chiziqli chegaralangan operatorlar. H0 operatorning xususiyatiga ko'ra B00, B01, B10 operatorlar bir o'lchamli operatorlar bo'ladi.
Ta'kidlash joizki, B blok operatorli matritsa o'z-o'ziga qo'shma bo'lishi uchun
R* — R R* — R R* = R B00 B00, B01 B10 , B11 B11
tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Mazkur maqolada H Gilbert fazosidagi quyidagi ikkinchi tartibli blok operatorli
matritsani qaraymiz:
Am,A ■=
A00 M
\
01
Mil AO-ÄV
Bunda
A00 f0 = af0 , 4)1 f1 = j V0 (t )f1 (t )dt ,
(A0i.fl )( x )= u( x)/1(x) (Vf)(x) = V1(x) jv.it )f(t )dt
Bu yerda A^ operatorning parametrlari bo'lgan a, A, ) sonlari hamda u(),v0 (•) va v (•) funksiyalarga quyidagicha shartlar qo'yilgan:
a - fiksirlangan haqiqiy son, ),A - fiksirlangan haqiqiy musbat son (ta'sirlashish parametri), u(),v0 (Ov (•) funksiyalar esa Td da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalardir.
A^^ operator uning parametrlariga qo'yilgan yuqoridagi shartlarda H Gilbert
fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator bo'ladi.
Chekli o'lchamli qo'zg'alishlarda muhim spektrning o'zgarmasligi to'g'risidagi mashhur Veyl teoremasiga ko'ra A ^ blok operatorli matritsaning muhim spektri ) va
A ta'sirlashish parametrlariga bog'liq bo'lmagan ravishda [m,M] kesma bilan ustma-ust tushadi. Bu yerda
m ■= min u(x), M ■= max u(x)
y1 d rp d
Funksional analiz fanidan bizga yaxshi ma'lumki, A)A blok operatorli matritsa
o'z-o'ziga qo'shma bo'lganligi bois, uning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.
A)A blok operatorli matritsaning diskret spektrini aniqlashda muhim bo'lgan
hamda C\[m,M] sohada regulyar bo'lgan
A® ( z) ■= a - z-M j v°(t)dt •
u(t ) - z
fi2)(z) ■= 1 -AjJ^Ldt ;
Tdu(t) - z
fv0(t )v1 (t )dt •!d u (t ) - z
funksiyalarni qaraymiz.
Odatda z):=A()(z)A(A2)(z)-AM12(z) funksiyaga A)A blok operatorli
matritsaga mos Fredgolm determinanti deyiladi.
A)aA blok operatorli matritsaning xos qiymatlari va (•) funksiya nollari
orasidagi munosabatni ifodalovchi teoremani bayon qilamiz.
1-teorema. Har bir fiksirlangan j, A > 0 sonlari uchun e C\[m,M] soni A)A blok operatorli matritsaning xos qiymati bo'lishi uchun AM(z^) = 0 bo'lishi zarur va yetarlidir.
NATIAJ
Ushbu maqolaning keyingi qismlarida yuqoridagi teoremaga asoslanib xos qiymatni topish maqsadida A)A( z):=A(j^)( z )A(^( z) — A)12( z) Fredgolm determinantining I (z) = 0 va
r v-(t )dt, i = 0,1
fdu(t) — z
integrallar [m;m] kesmaning chegaraviy nuqtalarida chekli bo'lgan holdaA)A operator sonli tasvirini topish masalasini qaraymiz. Endi I(z) = 0 bo'lgan holga misollar keltiramiz:
1-misol: d = 1 bo'lgan holda v0(•) hamda v(•) funksiyalarni quyidagicha tanlab olamiz:
fsin t, t e [—^;0] ;
v0(t) = 1 n , Vn n '
L 0, t e (0;^]
1 0, t e [—^;0] v1(t) = 1 , [ ; ]
1 [sint, t e (0;^]
v0 (•) hamda v (•) funksiyalarning tanlab olinishi va
= I" V0(t)vi(t)dt ri u(t) — z
ifoda o'rinli ekanligidan I (z) = 0 tenglikning bajarilishi kelib chiqadi.
2-misol: v0(•) hamda v (•) funksiyalarni ularning ko'paytmasi toq funksiya va u(-) funksiyani juft bo'ladigan qilib tanlab olamiz. Td to'plamning simmetrikligi va toq funksiyalarning simmetrik oraliqdagi integrali nol ekanligidan I(z) = 0 tenglikning bajarilishi kelib chiqadi.
A) :=
0 uA)i
va Ac/> := A0 — AV
)A*i A"
bo'lsin.
Xos qiymatlar haqidagi quyidagi teoremani keltiramiz:
2-teorema. z e C \ <ress (A^ A) soni A)A blok operatorli matritsaning xos qiymati
bo'lishi uchun z soni A) va Af] operatorlarning kamida bittasi uchun xos qiymat
u
bo'lishi zarur va yetarlidir.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi tenglik o'rinli ekanligi kelib chiqadi:
^disc ( Au,A ) ^ disc ^^ ^disc (A'/1)-
Istalgan ;> 0 soni uchun A(i1) operator ko'pi bilan ikkita xos qiymatlarga ega bo'lib, ulardan biri m dan chapda, ikkinchisi esa M dan o'ngda joylashgan bo'ladi. Biz ularni mos ravishda E^ <m va E{2) >M orqali belgilaymiz. Demak, xos qiymatlar mavjud bo'lgan holda
<( A?) = (E«} u [m; M ] u {Ef} tenglik o'rinli bo'ladi. Shu sababli W ( a;;1) = [ E®; Ef]. Umumiy holda esa
W (A(1)) = [min <( A1; max <( A®)]
tenglik o'rinlidir.
Xuddi shuningdek, ixtiyoriy A> 0 soni uchun A,2) operator yagona xos qiymatga ega bo'lib, u m dan chapda joylashgan bo'ladi. Bu operator M dan o'ngda joylashgan xos qiymatlarga ega emas.
Demak, A,2) operatorning xos qiymati mavjud bo'lgan holda uni ex < m orqali belgilaymiz. Bu holda
<( Af) = K} u [m; M ]
tenglik o'rinli bo'ladi hamda
<( Af) = \ex; M) tenglik o'rinli bo'ladi. Umumiy holda
W(Af) = [min <( Af); M ] tenglik o'rinli bo'lib, M &W (A(2y) munosabat bajariladi.
Endi A®, operatorning sonli tasvirini tadqiq qilish masalasini qaraymiz.
Agar
<( A;,,) = <( A?) u<( Af) ekanligini inobatga olsak, u holda
min <(AM A) = min(min <(A^),min <(A(2))};
max <(A x) = max(max <(A(1}), max <(A{2))} tengliklar o'rinlidir. Demak
W(A;,) = [min <(A,),max <(A®,)] tenglik o'rinli ekan. Yuqorida keltirilgan fikr-mulohazalarni inobatga olgan holda
W ( C W ( A^À) ;
W(Af) c W(AM
munosabatlarni hosil qilamiz.
XULOSA
Shuni ta'kidlash joizki, A(1) operator umumlashgan Fridrixs modeli bo'lib, Fok
fazosining qirqilgan qism fazolarida ta'sir qiluvchi 2-tartibli va 3-tartibli operatorli
matritsaning pectral xossalarini o'rganishda muhim ahamiyatga ega [1-13]. A^
operator esa Fridrixs modeli bo'lib, panjaradagi uch zarrachali model operatorning spektrini o'rganishda fundamental hisoblanadi [13-30].
REFERENCES
1. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный, 9, 17-20.
2. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. ВНО, 16-2(94), 9-13.
3. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.
4. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science, 2-2(51), 15-18.
5. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2019). Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 9(6), 15-17.
6. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model: 1D case with rank two perturbation. Bulletin of the Institute of Mathematics, 4, 21-28.
7. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Threshold eigenvalues and resonances of a Friedrichs model with rank two perturbation. Scientific reports of Bukhara State University, 3, 31-38.
8. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
9. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
10. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
11. Хайитова Х., Ибодова С. (2021). Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 48-52.
12. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.
13. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
14. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2х2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.
15. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.
16. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2015). Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением. Молодой ученый, 9, 2023.
17. Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.
18. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.
19. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2014). Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 35 (2), 50-63.
20. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold effects for a family of 2x2 operator matrices. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 10(6), 4-8.
21. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
22. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
23. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретный спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня, 1(60), 17-20.
24. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
25. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
26. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки. 63:4, 2932.
27. Рашидов А.Ш., Халлокова О.О. (2015) Пороговое собственное значение модели Фридрихса. Молодой ученый, 95:15, 1-3.
28. Рашидов А.Ш., Мирзаев Э.Э. (2016). Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое значение. Молодой ученый, 2, 23-25.
29. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress, 1(2), 61-69.
30. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.
