TO’RT O’LCHAMLI QO’ZG’ALISHGA EGA IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELINING MUHIM VA DISKRET SPEKTRLARI Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

TO'RT O'LCHAMLI QO'ZG'ALISHGA EGA IKKI KANALLI

MOLEKULYAR-REZONANS MODELINING MUHIM VA DISKRET

SPEKTRLARI

Dildora Erkinovna Ismoilova

Buxoro davlat universiteti

ANNOTATSIYA

Ushbu maqolada panjaradagi ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining muhim va diskret spektrlari tahlil qilinadi. O'rganilayotgan operator diagonal operatorli matrisaning to'rt o'lchamli qo'zg'alishi sifatida qaraladi. Muhim spektr kesmadan iboratligi ko'rsatiladi. Mos Fredgolm determinanti quriladi. Diskret spektr esa uning nollari to'plami sifatida aniqlanadi.

Kalit so'zlar: molekulyar-rezonans modeli, panjara, muhim spektr, Fredgolm determinanti, diskret spektr.

ESSENTIAL AND DISCRETE SPECTRUM OF THE TWO-CHANNEL MOLECULAR RESONANCE MODEL WITH FOUR DIMENSIONAL

PERTURBATION

Dildora Erkinovna Ismoilova

Bukhara State University

ABSTRACT

In this paper the essential and discrete spectrum of a two-channel molecular-resonance model on a lattice are discussed. Investigated operator is considered as four dimensional perturbation of the diagonal operator matrix. We show that the essential spectrum is coincide with the segment. Corresponding Fredholm determinant is constructed. Discrete spectrum is defined as a set of its zeros.

Keywords: molecular-resonance model, lattice, essential spectrum, Fredholm determinant, discrete spectrum.

IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELI

Dastlab asosiy belgilashlarni kiritamiz. Td orqali d o'lchamli torni, H0 := C orqali bir o'lchamli kompleks fazoni (1-kanal) va H1:= L2(Td) orqali Td to'plamda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymat qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini (2-kanal) belgilaymiz. H0 va H fazolarning to'g'ri yig'indisini H orqali belgilaymiz, ya'ni H := H0 0Hx. Odatda H0 fazoga Fok

fazosining nol zarrachali qism fazosi, H fazoga Fok fazosining bir zarrachali qism fazosi va H Gilbert fazosiga esa Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosi deyiladi.

Operatorlar nazariyasidan bizga yaxshi ma'lumki, H Gilbert fazosi ikkita Gilbert fazolar to'g'ri yig'indisidan iboratligi bois unda aniqlangan har qanday chiziqli chegaralangan operator hamisha 2-tartibli operatorli matrisa ko'rinishida tasvirlanadi. Mazkur maqolada H Gilbert fazosidagi quyidagi ikkinchi tartibli blok operatorli matritsani qaraymiz:

4o Mo 4)1

Mo A0l A11 -MlV1 -M2V2

A:=

V'

Bunda matritsa elementlari

4)0 fo = afo> 4)1 f = JJ Vo(t)f(t)dt,

(Af )(x )= w(x)/(x), (Vlfl)(x) = V1(x) J V1(t )fl(t )dt,

rpd

(V2fx)(x) = v2( x) J V2(t )fx(t )dt

-pd

rpa

tengliklar yordamida ta'sir qiladi. A operatornng parametrlari bo'lgan a,1, f sonlari hamda u(),v0(•), v(•) va v2(•) funksiyalarga quyidagi shartlar qo'yiladi:

a - fiksirlangan haqiqiy son, f (k = 0,1,2)- fiksirlangan haqiqiy musbat sonlar (odatda ularga ta'sirlashish parametrlari deyiladi), u(), v0 (•), v (•) va v2 (•) funksiyalar

esa Td da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalardir.

A operator uning parametrlariga qo'yilgan yuqoridagi shartlarda H Gilbert fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma bo'ladi. Bu tasdiq Funksional analiz kursidan ma'lum bo'lgan ta'rif va metodlar yordamida isbotlanadi. Xususan, berilgan operatorni chegaralanganlikka tekshirishda f = (f, f) e H element normasi

( V/2

llfll=(l. /ol2+ JI. rn )|2 dt

V Td J

kabi aniqlanishidan hamda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalaniladi. O'z-o'ziga qo'shma ekanligini tekshirish uchun f = (f,f ), g = (g0,g1) e H elementlar skalyar ko'paytmasi

(f,g) = fo •gO + Jfi(0-g1(t)dt

rpd

tenglik orqali aniqlanishidan foydalaniladi.

Zamonaviy matematik fizikada A operatorga ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli deyiladi. Ikki va uch o'lchamli qo'z'g'alishga ega bo'lgan hollar [1 -6] ishlarda o'rganilgan.

Chekli o'lchamli qo'zg'alishlarda muhim spektming o'zgarmasligi haqidagi G.Veyl teoremasiga ko'ra A operatorning muhim spektri uchun

^ (A) = [m; M] tenglik o'rinlidir, bu yerda m va M sonlari

m := min u(x), M := max u(x).

xeTd xeTd

formula orqali aniqlangan sonlardir. Ko'rinib turibdiki, A operatorning muhim spektri juk> 0, k = 0,1,2 ta'sirlashish parametrlaridan bog'liq emas.

FREDGOLM DETERMINANT! VA DISKRET SPEKTR

A operatorning xos qiymatlari masalasini qaraylik. Buning uchun xos qiymatlar orqali tuzilgan Af = zf tenglamani qaraymiz va uni:

f r r y / A 7, \

af0 +ßo j V0(t )f1(t )dt

rpd

M0v0 (x)f0 + u(x)f1 (x) - № (x) j V1 (t)f1 (t)dt - ^2v2 (x) j v2 (t)f1 (t)dt

' zf0 A zf1( x)

kabi yozib olamiz. O'z navbatida oxirgi vektor-tenglama quyidagi tenglamalar

sistemasiga ekvivalent bo'ladi:

af0 + M0 j V0(t)f1(t)dt = zf0

M0v0 (x)f0 + u(x)f1 (x) - M1v1 (x) j v1 (t)f1 (t)dt - M2v2 (x) j V2 (t)f1 (t)dt = zf1 (x)

(1)

(1) tenglamalar sistemasidan f0 va f (x) elementlarning ko'rinishini aniqlab

olamiz.

(a - z)f0 0 j V0 (t)f (t)dt = 0

rpd

M0v0 (x)f0 + u(x)f1 (x) - № (x) j v1 (t)f1 (t)dt - ß2v2 (x) j V2 (t)f1 (t)dt - zf1 (x) = 0

Bu sistemasida quyidagi belgilashni kiritamiz:

hamda

C = j Mt )fx(t )dt

c2 = j v2(t )A(t)dt

(2)

(3)

U holda (2) va (3) belgilashlar yordamida quyidagi ifodaga kelamiz:

(a - z)f0 +ß0 j V0 (t)f (t)dt = 0

(4)

ß0v0 (x)f0 + (u(x) - z)f1(x) - MV (x)c1 - M2v2 (x)c2 = 0 (4)-tenglamalar sistemasining ikkinchi tenglamasidan quyidagini topib olamiz:

d

d

T

T

d

T

T

T

<

d

d

T

T

d

d

T

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 3 I 2021

ISSN: 2181-1601

fi( x) =

M2Vl(X)C2 + MiVi(X)Ci - M0V0(X)f0

u (x) - z

Bu ifodani (2), (3) belgilashlarga va (4)-tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasiga olib borib qo'ysak,

fn -7 u2 fvo2(t)dt U.„„ fvo(t)vi(t)dt ~ , „ „ fvo(t)v2(t)dt n n a - z - Mo J - f 0 + MoMi J-—--C1 + M0M2 J-7T--C2 = 0

U (t ) - Z ) j' 1l(t\—-7 1l(t\—-7

V Td

rd U(t) - Z rd u(t) - z

fv0(t)vi(t)dt f , 1 f vi (* )dt f vi(t )v2(f n

Mo J-77:--J 0 + i - Mi J - ci - M2 J-7T-C2 = 0

jd U(t ) — Z V jdU (t ) — Z ) jd U(t ) — z

2

v 2(t )dt

v (t )v2 (t )dt

fv0(t)v2(t)dt f rvi(t)V2 (t)d^ , fl „ fv22(t)dt^

M0 J-77:--f 0 - Mi J-777-ci + i - M2 J

rd U(t) - z rd U(t) - z V

2 JdU(t) - z

C2 = 0

tenglamalar hosil bo'ladi. Bu tenglamalarning f va ^ (k = i,2 ) oldidagi koeffiseyentlari uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

A (,, ^ „ . ,,2[ v02(t)dt .

A0(M0,z) = a - z -M0 J-^-;

Td U(t) - z

/ 0i(M0, z)=M0 J v0(tTVlii)dt ;

jd U(t) - z T (,, „ fV0(t)V2(t)dt .

/ 02(M0?z ) = M0 J-7TT- ;

yd U(t) - z

j Jvi(t )v2(t )dt .

J,d U(t ) — z

i / fV2(t )dt

Ai(Mi,z) = i-Mi J,

jd U(t ) - z

A 2(M2, z) = i-M2 J ^

jd U(t ) - z

Yuqoridagilardan foydalanib hosil bo'lgan tenglamalar sistemasining asosiy determinantini tuzib olamiz:

A(M0, Mi, M2>z ) = det

^A0(M0.z) Mi/0i(M0? z) M2/02(M0?z)A /0i(M0? z) Ai(Mi? z) M2/i2(z) V/02(M0? z) Mi/i2 (z) A2(M2? z) )

Sodda hisoblashlarga ko'ra

A(M0 ? Mi , M z) = A0 (M0 ? z) Ai (Mi , z) A2 (M2 ? z) - 2MiM2/0i (M0 ? z)/02 (M0 ? z)/i2 (z)

-Mi/02i(M0? z)A2(M z) M2/02 (M0 , z) Ai (Mi ? z) - MiM2/i22( z )

Quyidagi teorema ^ operator va A(m0Mi,') funksiya nollari orasidagi munosabatni ifodalaydi.

Teorema: zeC\[m;M] soni A operatorning xos qiymati bo'lishi uchun A( j0 2, z) = 0 bo'lishi zarur va yetarlidir.

Bu teoremadan A operatorning diskret spektri haqidagi quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.

Tasdiq. A operatorning diskret spektri uchun quyidagi tenglik o'rinlidir

°dtsc(A) = {z e C\[m;M ]: AJoJxJ2. z) = 0}. Hosil bo'lgan tasdiq diskret spektrni o'rganishda muhim hisoblanadi. Fredgolm determinantining analitik xossalarini o'rganish orqali A operator xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni haqida to'liq ma'lumotga ega bo'lish mumkin.

Ta'kidlash joizki, A operator ko'p hollarda umumlashgan Fridrixs modeli deb ham yuritiladi. Bunday turdagi modellarning muhim spektri, xos qiymatlari, rezolventa operatori, bo'sag'aviy xos qiymatlari, virtual sathlari, mos Fredgolm determinanti va uning analitik xossalari, sonli va kvadratik sonli tasvirlari bilan bog'liq tadqiqotlar [1 -9] kabi ishlarda olib borilgan. [10-23] ishlarda esa umumlashgan Fridrixs modeli xossalari yordamida soni saqlanmaydigan va uchtadan oshmaydigan zarrachalar sistemasiga mos blok operatorli matrisalarning muhim spektri va uning joylashuv o'rni, diskret spektrning chekli yoki cheksizligi hamda diskret spektr asimptotikasi bilan bog'liq natijalar olingan. Maqolada o'rganilgan ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli ham ikkinchi tartibli blok operatorli matrisa ko'rinishga ega. Uning diagonal elementlaridan biri A -jV -j2V2 bo'lib, zamonaviy matematik fizikada bu operator Fridrixs modeli nomi bilan mashhur. Bu model ikki o'lchamli qo'zg'alishga ega. Uning spektral xossalari [24-25] yordamida panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model operatorning muhim va diskret spektrlarini o'rganish mumkin [26-30].

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.

2. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.

3. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress. 2:1, 61-69.

4. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining sonli tasviri. Scientific progress. 2:1, 1421-1428.

5. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining rezolventasi. Scientific progress. 2:2, 580-586.

6. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кийматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.

7. Исмоилова Д.Э. (2020). Метод формирования в преподовании темы евклидовых пространств. Проблемы педагогики. 51:6, C. 87-89.

8. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.

9. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.

10. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.

11. Бобоева М.Н., Меражов Н.И. (2020). Поля значений одной 2х2 операторной матрицы. Вестник науки и образования, 17(95), 14-18.

12. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.

13. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5(10), 511519.

14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.

15. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.

16. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.

17. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. (2020). Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation. European science, 2(51), 7-10.

18. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.

19. Расулов Т.Х. (2016) О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами. ТМФ, 186:2, C. 293-310.

20. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов. Математические заметки. 73:4, С. 556-564.

21. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра. Функциональный анализ и его приложения, 37:1, С. 81-84.

22. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics. Journal of Statistical Physics, 127:2, pp. 191-220.

23. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles.

Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, pp. 1-16.

SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 3 I 2021

ISSN: 2181-1601

24. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.

25. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science. 51:2, pp. 15-18.

26. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020) Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science. 51:2, Part II, pp. 19-22.

27. Rasulova Z.D. (2014). Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice. J. Pure andApp. Math.: Adv. Appl., 11:1, 37-41.

28. Rasulova Z.D. (2014). On the spectrum of a three-particle model operator. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25, pp. 57-61.

29. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, pp. 327-342.

30. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия. 12 (2015), С. 168-184.