12Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-305-308
TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASHDA MONOTON KETMA-KETLIKLAR
USULI
Nilufarxon Ibroximjon qizi Ismoilova
Andijon qishloq xo'jaligi va agrotexnologiyalar instituti assistenti
ANNOTATSIYA
Ma'ruzada o'rta maktab o'quvchilari o'rtasida o'tkaziladigan matematika fan olimpiadalarida tez-tez uchrab turadigan tengsizliklarni isbotlashning monoton ketma-ketliklarga asoslangan bir usuli keltirilgan. Unda monoton ketma-ketliklar usullari va teoremalari isbotlari bilan berilgan.
Kalit so'zlar: monoton juftliklar, monoton uchliklar, monoton ketma-ketliklar, determinantlar.
ABSTRACT
This article presents a method for the proof of inequalities based on monotonic sequences that are often found in school math competitions.
Keywords: monotone pairs, monotonous trinities, monotonous sequences, determinants.
KIRISH
Monoton juftliklar usuli. Dastlab ikkita % _ a2 va b±, b2 juftliklardan tashkil
fd! CL2\ topgan ^ ) jadvalni tuzamiz.
Ta'rif. Agar bir vaqtda at > a2 va b t > b2 yoki at < a2 va b t < b2 tengsizliklar bajarilsa, u holda ( at, a2) va ( bt, b2) bir xil monoton juftliklar
deyiladi. Skalyar ko'paytma kabi quyidagicha
/■ai a2\
( b± b2 ) = albl+a2b2 ( 1 ) belgilash kiritamiz, ya'ni kiritilgan jadvalning son qiymati sifatida, uning ustunlaridagi elementlarini ko'paytirib yig'indisini olamiz.
METODOLOGIYA
1-teorema. Agar at t a2 va blt b2 bir xil monoton juftliklar bo'lsa, u holda fal a2\ fal a2\ ( b t b 2) > ( b 2 b J (Z)
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 305 www.ares.uz
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-305-308
bo'ladi.
Isboti. Haqiqatan ham (1) ga ko'ra
/CLi Cl2\ f&l Q-2\
(bl b2)~(b2 = + aib2 + a2bi) = (at - a2)(b1 —
b2)
Teorema shartiga ko'ra at, a2 va b±, b2 bir xil monoton juftliklar. Shuning uchun
at — a2 va b± — b2 ayirmalar bir xil ishorali bo'ladi. Teorema isbotlandi. NATIJALAR
Ixtiyoriy a, b musbat va m, n natural sonlar uchun (am, bm) va (an , bn) bir xil monoton juftliklar bo'ladi va isbotlangan teoremadan
am+n + bm+n > ambn + anbm
tengsizlik o'rinli ekanligi kelib chiqadi. Misollar yechishdan namunalar keltiramiz.
1-misol. Quyidagi tengsizliklarni isbotlang:
111
a3 b3 ~ a3 ^
b 1 [a
- + 73 It , a>0,b> 0; a b6 "V b
Yechilishi. (1) ga asosan
i i / va vb \ 1
aa3+bb3 = \—^— —l—j' a
ava b34b) *
b i a I ^ ^
- + ~7 I- = I I I
a b3vb
b Vb a3 Va/
munosabatlar o'rinli hamda (Va, Vb) va bir xil monoton juftliklar
bo'lgani uchun 1-teoremadan isbotlanishi talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi.
MUHOKAMA Monoton uchliklar usuli
uchta sondan tashkil topgan ( at t a2, a3 ) va ( bt, b2, b3) uchliklar uchun
a2 a3\
(b± b2 b3)
jadvalni qaraymiz. Agar jadvalning birinchi ustunida bu uchliklardagi eng katta sonlar, ikkinchi ustunida kattaligi jihatidan ikkinchi o'rinda turgan sonlar va nihoyat uchinchi ustunida eng kichik sonlar joylashsa ( at t a2, a3) va ( bt,b2,b3) uchliklarga bir xil monoton uchliklar deyiladi. Bu jadval uchun quyidagicha
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-305-308
/CL-^ CL 2
(b± b2 bJ = dib± + a2b2 + a3b3
belgilash kiritamiz.
2-teorema. Agar ( at , a2, a3 ) va ( bt, b2, b3 ) bir xil monoton uchliklar bo'lib, ( b[,b2',b3') uchlik b±,b2,b3 sonlarining ixtiyoriy o'rin almashtirishlaridan hosil qilingan uchlik bo'lsa u holda
a2 a3x a2 a3N
( bt b 2 b3)~\ bx' b2 b3)
bo'ladi.
Isboti. Ma'lumki, 3 ta elementdan hammasi bo'lib 6 ta o'rin almashtirishlar
bajarish mumkin. Teoremani isbotlash uchun
a2 a3\ a2 a3\
(b ' b ' b ') ko'rinishdagi 6 xil sonlardan eng kattasi (^ ^ ^ ) ekanligini
ko'rsatishimiz kifoya.
Agar ( b[, b2', b3') uchlik ( bt, b2, b3) uchlikdan farq qilsa, u holda shunday k,1 ( 1 < k < I <3) sonlar jufti topiladiki, bunda (ak, a{) va (bk', bt') bir xil monoton juftliklar bo'ladi. Demak, bk'va b{ solarining o'rinlarini almashtirish natijasida
fak ai\ ■ c i (ai a2 a3\ . .
(fr ' b ') ning o z navbatida (^ , ^ , ^ ) ning qiymatini orttirilishini amalga oshirish mumkin. Teorema isbotlandi.
XULOSA
Endi isbotlangan teoremani qo'llab tengsizliklami isbotlashga doir misollardan
na'munalar keltiramiz.
2-misol. a > 0,b>0,c > 0 bo'lganda quyidagi tengsizliklarni isbotlang:
ab с 3 +-+-г > -
b + с a + с a + b 2 Yechilishi. Bu munosabatdan isbotlanishi talab qilingan tengsizlik kelib
/i i i \
chiqadi. Bu tengsizliklarni isbotlashda ( a, b, c), Í — + — + —4 uchliklarning bir xil monoton uchliklar ekanligidan foydalandik.
REFERENCES
1. Э. Беккенбах, Р. Белман. Неравенство. Москва, Мир, 1965,276стр.
2. G'. Mo'minov, T. Ibaydulayev. Differensial va integral tengsizliklar. O'UM, ADU nashriyoti 2016.
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-305-308
3. O.Bottema, Inequalities for R, r and s,Univ. Beograd.Publ.Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., No. 338-352(1971)27-36.
4. J.Garfunkel, Problem 825, Crux Math., 9(1983), 79.
