UCHINCHI TARTIBLI TUZILMALI TURDAGI TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY MASALANING SHARTLI KORREKTLIGI Текст научной статьи по специальности «Математика»

Academic Research in Educational Sciences_Volume 4 | Issue 2 | 2023

ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1

UCHINCHI TARTIBLI TUZILMALI TURDAGI TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY MASALANING SHARTLI KORREKTLIGI

I. O. Xajiyev

O'zbekiston Milliy universiteti, Toshkent shahridagi Turin politexnika universiteti,

kh. ikrom@gmail .com

D. I. Umirova

O'zbekiston Milliy universiteti [email protected]

ANNOTATSIYA

Ushbu maqolada uchinchi tartibli tuzilmali turdagi xususiy hosilali differensial tenglama uchun boshlang'ich-chegaraviy nokorrekt masala qaralgan. Bunda masalaning nokorrektligi ko'rsatilgan. Integral energiya usuli bilan aprior baho olingan. Korrektlik to'plamida yechimning yagonalik va shartli turg'unlik teoremalari isbotlangan.

Kalit so'zlar: nokorrekt masala, tuzilmali tenglama, aprior baho, yagonalik teoremasi, shartli turg'unlik teoremasi.

Maqola uchinchi tartibli tuzilmali turdagi xususiy hosilali differensial tenglama uchun nokorrekt qo'yilgan boshlang'ich-chegaraviy masalani o'rganishga bag'ishlangan.

Berilgan Q = {0 < x <x,0 < t < T,T > 0} sohada

fX V Q2 \

A + I

Kdt J

dt2

+ a

d__

dx2

+ b

u (x, t) = 0

(1)

tenglamani qaraymiz, bunda I - birlik operator, a, b - berilgan haqiqiy sonlar, a ^ 0. Masala. (1) tenglamani hamda boshlang'ich

(2) (3)

u \t=0 = p(x),ut It=0 = p(x),utt |i=0 = #(x), 0<x <n,

chegaraviy

u I = u I = 0 , 0 < t < T,

lx=0 lx=n ' '

shartlarni qanoatlantiruvchi u (x, t) funksiyani toping.

Elliptik turdagi tenglama uchun nokorrekt qo'yilgan masalalar F.John [1], M.M.Lavrent'ev [4], S.G. Kreyn [3], M.Landis [6], V.K.Ivanov [2] va boshqalarning tadqiqot ob'ekti bo'lgan.

Tuzilmali va aralash-tuzilmali turdagi tenglamalar uchun nokorrekt masalalar [7, 8] ilmiy maqolalarda o'rganilgan.

February, 2023

202

Amaliyotning dolzarb vazifalaridan biri yuqori tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun nokorrekt qo'yilgan chegaraviy masalalarning regulyarlashgan yechimini topish hisoblanadi. Nokorrekt masalalarning taqribiy regulyarlashgan yechimi qurish uchun, ushbu masalaning yechimi yagonaligi va shartli turg'unligi haqidagi teoremalar isbotlanishi kerak.

Ushbu ishda (1)-(3) nokorrekt masala yechimining mos korrektlik to'plamda yagonalik, shartli turg'unlik teoremalari isbotlangan.

Ta'rif. (1)-(4) masalaning yechimi deganda (1) tenglamada qatnashuvchi uzluksiz hosilalarga ega, (2)-(3) shartlarni va Q sohada (1) tenglamani qanoatlantiradigan u( x, t) funksiya tushuniladi.

Masalaning nokorrektligi. Aytaylik p( x) = 0, <( x) = 0 va x) funksiya esa

¥„ (x) = — sin nx bo'lsin, n e N. U holda (1)-(3) masalaning yechimi

n

t _

U (x, t) = — |eT-tch (V a2n2 - bTjdz • sin nx

ko'rinishga ega bo'ladi. Bu yerdan, ma'lumki n bo'lganda max(x)| ^ 0 bo'ladi, bu vaqtda max\un(x,y)| ekanligi oson kelib chiqadi. Bu esa

x

korrektlikning turg'unlik sharti buzilganligini ko'rsatadi, ya'ni yechimning Koshi berilganlariga doimiy bog'liqligi yo'q.

1-lemma. Faraz qilamiz u( x, t) funksiya Q sohada (1) tenglamani va (2), (3)

shartlarni qanoatlantirsin. U holda u(x,t) funksiya uchun

Hull2 < 2

C T T \ \

'■■ ....... 2T(t-T)

|p(x)|f +1j (Kx) + p(x)f + |a\)T(||ut(x,T) + u(x,T)||2 +\a\J • e2

dT

J J

tengsizlik o'rinli, bu yerda 1 2

1 n

a = — j(a2(^'(x) + p (x))2 - b(^(x) + p(x))2 - (<(x) + x))2)dx.

du

Isbot. (1)-(3) masalada--h u = v belgilash kiritilsa u(x, t) va v(x,t)

dt

funksiyalar uchun mos ravishda quyidagi masalalarga kelamiz: u. + u = v, 0 < x < n, 0 < t < T,

t (4)

u| = p( x),0 < x < n

va

February, 2023

203

ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 j Cite-Factor: 0,89 j SIS: 1,9 j ASI: 1,3 j SJIF: 5,771 j UIF: 6,1

vn + a2v„ + bv = G,G к x к я, G к t к T, v| = a(x), G < x < я, vt|t=G =ß(x), G < x <я, v = v = G,G < t < T

lx=G lx=я

(5)

bu yerda a( x) = \y( x) + p(x), ß( x) = ф( x) + \y( x).

я

Endi (5) masalaning yechimi uchun f (t) = Jv2dx funksiyani qaraymiz. Bundan

G

я я я

f '(t ) = 2J v • vtdx, f " (t ) = 2J v]dx + 2 J v • v—x

G g g

bo'lishini topamiz. f " (t ) ifodaning ikkinchi hadi

я я я я

I2 = J v • v—x = -J v( a 2vxx + bv) dx = -a2 J v • v^dx - b J v 2dx.

g g g g

Differensial olamiz

dI.

dt

2 = -a2 J vt • vjdx - a2 J v • v^dx - 2b J v • vtdx = 2a2 J vt • v^dx - 2b J v • vtdx

я я

Bu yerda (5) masalaning chegaraviy shartlari hisobiga J v • v^dx = J v^ • vtdx

g g

tenglikdan foydalanildi. Demak,

d i л

-21 J a2vtvxxdx + J bv • vtdx = -2J (a 2vxxdx + bv)vtdx = 2J vtt • vtdx = — I J v2dx

dt

vt

.g У

Yuqoridagilardan

d_

dt

r

яя

d I r

a

V g

Jv2xdx - bJv2dx = — I Jv2dx

dt \

g у

.g У

Bu tenglikni integrallab

a

я

2 J vI—x - b J v 2dx = J v2dx + 2a

яя 22

1 я

tenglikka ega bo'lamiz, bu yeMa a = ^ J(a^ - bv2 - v2 ) —. Natijada

я

f " (t ) = 4J v2dx + 4a.

February, 2023

я

ж

ж

ж

ж

g

g

g

g

g

я

я

л

я

g

g

g

g

g

g

g

G

g

204

Endi g(t) = ln(f (t) + |) belgilash kiritamiz. Ma'lumki

n n \ i n

4 Jv2dx + 4a II Jv2dx + |a| -I 2 Jv• vtdx

g" (t) =

f "(t )(f (t)+ai) - f ,2(t) (f (t)+ai)2

n

J v2dx

+ a

n n

4 Jv]dxJv2dx + 4|a|Jv]dx + 4aI Jv2dx + |a| - 41 Jv• vtdx

0 0

>

n

J v2dx

+ a

4a I Jv2dx

+ a

>

4a

,2 n

>-4.

j v 2dx+ai Jv 2dx

■ + a

Demak g" (t) + 4 > 0 tengsizlikdan, ya'ni logarifmik qavariq funksiya xususiyatlaridan foydalanib

\i—, \ t f n

Jv2dx <I Jv2| d + | I Jv2\ Tdx + |a

0 V 0 y V 0

tengsizlikka ega bo'lamiz. (4) masala yechimi

t

u( x, t) = (( x) + J v(jc, r) • er-dr

0

Bundan esa

e2t(t-T) -I

(6)

(x)||2 +1 J|\v\\2 dr

u < 2

baho kelib chiqadi. (6) tengsizlik va (4), (5) masala shartlaridan talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi.

(1)-(3) masalaning korrektlik to'plamini quyidagicha kiritamiz:

M = {u (x, t) :|| ut (x,T) + u( x,T )|| < m}.

Teorema 1. Faraz qilamiz (1) - (3) masalaning yechimi mavjud va u e M bo'lsin. U holda (1) - (3) masala yechimi yagonadir.

February, 2023

0

2

2

n

n

n

n

n

205

ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1

Isbot. Faraz qilamiz (1) - (3) masalaning yechimi ikkita bo'lsin, ya'ni u (x, t) va u (x, t). U (x, t) = u (x, t) - u2 (x, t) belgilash kiritamiz. U holda U (x, t) funksiya

í Í5 V \

^ + / Vdt ,

+ a

d2

+ b

vdt2 dx2 j

U = 0

tenglamani,

U| = 0, Ul = 0, Uj = 0

It=0 ' tli=0 ' tt\t=0

Boshlang'ich shartlarni va

U o=U =0

lx=0 lx=7

chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.

Demak, U(x,t) funksiya uchun 1-lemma natijasiga ko'ra ||U|f < 0 . Bundan Ul = 0 hosil bo'ladi. Bundan esa u = u2 bo'lishi, yoki (1)-(3) masala yechimi yagonaligi kelib chiqadi.

Faraz qilamiz u(x,t) funksiya (1)-(3) masalada ((x), y/(x) va ((x) aniq berilganlarga mos yechim, us (x, t) funksiya esa <ps (x), (x) va (E (x) taqribiy berilganlarga mos yechim bo'lsin.

Teorema 2. Faraz qilamiz (1) - (3) masalaning yechimi mavjud, u,u e M ((x) - (pE(x)|| < s, \v(x) - y/s(x)|| < s, ||((x) - (s(x)|| < s bo'lsin, s > 0. U holda f t £ " \\u - ue\|2 < 2 s2 +1J(2(a2 + b + 3)s2)^ • (4m2 + 2(a2 + b + 1)s2e2r(r-T)dr V 0

tengsizlik o'rinli.

Isbot. U (x, t) = u (x, t) - us( x, t) belgilash kiritamiz. U holda U (x, t) funksiya

d2

Í- + '

\Kdt j

2 ^2 ' , + a1—- + b

vdt dx2 j

U = 0, (x, t )eQ,

U (^t )| t=0 =(( x) -(s (x),Ut(^ t )| t=o =K x) -^s( x),Utt(^ t )| t=0 =(( x) -(s( x), 0 < x <

7,

U(^ t)|x=0 = U(^ t)|x=7= 0,0 < t < T

masalani qanoatlantiradi. 1-lemmaga asosan U (x, t) funksiya uchun quyidagi tengsizlik o'rinli

February, 2023 Multidisciplinary Scientific Journal

206

ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1

2 < 2|(x)-((xf +

t

r

2t Í

- ¥e(x) + (x) - (PE(x)||2 + \a\P (I\Ut(x,T) + U(x,T)f +

e2r(r"T)

dr

bu yerda

=1 J((Uxt + Ux )2 - b(Ut + U)2 - (Utt + Ut)2) 2 0

(Uxt + Ux)2 -b(Ut + i

dx.

t=0

Quyidagilarni baholaymiz

ж

\\ < |( a 2U2xt + a 2U2X + bU2 + bU2 + U2 + U2)| dx =

о t=

ж ж ж

= a21 (| - | )2 dx + a21 (( - ( )2 dx + b| (| - | )2 dx +

0 0 0 ж ж ж

bl(( - (pE )2 dx +1 (ф - фф )2 dx +1(| - | )2 dx < 2(a2 + b +1)s

|(x) - у (x) + (x) - x)||2 < 21||(x) - у (x)||2 + 21(x) - (s(x)||2 < 4s2 \\Ut(x,T) + U(x,T)||2 < ||«t(x,T) - Mst(x,T) + m(x,T) - Ms(x,T)||2

< M (x,T) + m( x,T )||2 + ^ (x,T) + ^ (x,T )||2 = 4^2.

Bularni hisobga olib

Г t Г

||U|f < 2 s2 +11(2(a2 + b + 3)s2) • (4^2 + 2(a2 + b + 1)s2 e2r(r"T)dr V 0

tengsizlikka ega bo'lamiz. Bundan esa talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi.

REFERENCES

1. John F. Continuous dependence on data for solutions of partial differential equations with a prescribed bound. Comm. Pure Appl. Math. 13, (1960), 551-585.

2. Иванов В.К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе, Дифференц. уравнения, 1:1 (1965), 131-136.

3. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве. I, Дифференц. уравнения, 2:3 (1966), 382-390.

February, 2023

0

0

0

0

207

ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1

4. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка, Докл. АН СССР, 112:2 (1957), 195-197

5. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. 2-е изд., перераб. и дополн. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2010. 941 с.

6. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М., 1971.

7. Фаязов К.С., Хажиев И.О. Условная корректность краевой задачи для составного дифференциального уравнения четвертого порядка. Известия вузов, Математика. 2015, №4, С. 65 -74, РАН.

8. Хажиев И.О. Исследования некорректной краевой задачи для уравнения третьего порядка составного типа. Вестник НУУз, 2011, №4/1. С. 222-224

February, 2023