CC BY
17Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
IKKITA BUZILISH CHIZIG'IGA EGA KVAZICHIZIQLI ELLIPTIK TENGLAMA UCHUN CHEGARAVIY MASALA HAQIDA
Xaydar Raupovich Rasulov
Buxoro davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti
Shahlo Shavkatovna Sayfullayeva
Buxoro davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti talabasi
ANNOTATSIYA
Maqolada bitta va ikkita buzilish chizig'iga ega ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar bo'yicha olib borilgan ilmiy ishlar to'g'risida qisqacha umumlashgan ma'lumotlar keltirilgan. Ushbu yo'nalishida ilmiy izlanish olib borishda e'tibor qilinishi lozim bo'lgan jihatlar bo'yicha metodik tavsiyalar berilgan. Ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi isbotlangan. Masala yechimining mavjudligini isbotlashda ketma-ket yaqinlashish usuli qo'llanilgan. Ketma-ket yaqinlashish usuli natijalaridan foydalanilib, qo'shimcha shartlar asosida yechimning yagonaligi isbotlangan. Masala yechimining yagonaligini isbotlashda boshqa usullarni ham qo'llash mumkinligi haqida ayrim mulohazalar yuritilgan.
Kalit so'zlar: lokal va nolokal chegaraviy masala, buzilish chizig'i, Grin funksiyasi, potentsiallar nazariyasi, energiya integrali usuli, elliptik tip, giperbolik tip, aralash tip, yechimning yagonaligi, integro-differensial tenglama, regulyar yechim, ekvivalent, ketma-ket yaqinlashish usuli, qator, qatorning yaqinlashishi.
ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A QUASILINEAR EQUATION OF ELLIPTIC TYPE WITH TWO LINES OF DEGENERACY
The article presents a brief review of scientific papers on second-order partial differential equations with one and two lines of degeneracy. Guidelines are given on aspects that need to be taken into account when conducting research in this area. The existence and uniqueness of the solution of a boundary value problem for an elliptic-type equation with two degeneracy lines is proved. A series approximation method was used to prove the existence of a solution to the problem. Using the results of the series approximation method, the uniqueness of the solution was proved on the basis of additional conditions. Some considerations are given about other methods that can be used to prove the uniqueness of the solution.
ABSTRACT
CENTRAL ASIAN ACADEMIC JOURNAL ISSN: 2181-2489
OF SCIENTIFIC RESEARCH VOLUME 2 I ISSUE 5 I 2022
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Keywords: local and nolocal boundary value problem, degeneracy line, Green function, potential theory, energy integrated method, elliptical type, hyperbolic type, mixed type, solution uniqueness, integro-differential equation, regular solution, equivalent, series approximation method, serie, series convergence.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarning zamonaviy nazariyasida buzilish chizig'iga ega elliptik, giperbolik va aralash tipdagi tenglamalarni o'rganish alohida o'rin tutadi. Ushbu nazariyaga amaliy qiziqishning ortib borishi transtovush oqimlarning gaz dinamikasida, matematik biologiyada, lazer nurlanishi nazariyasida, elastiklik nazariyasida, qobiqlar nazariyasida, elektromagnit maydonning bir jinsli bo'lmagan muhitda tarqalishi nazariyasida, fan va texnikaning boshqa sohalarida keng qo'lanilishi bilan izohlanadi.
Quyidagi ikkinchi tartibli ikki o'zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamani qaraylik:
d2u d2u d2u ( du du\
A (x, y) w + y) — + C(x. y) ^ + * (x, y, a. ^, = 0, (1)
bu yerda A(x,y) , B(x,y) va C(x,y) berilgan funksiyalar. Faraz qilamiz, A(x,y) , B(x,y) va C(x,y) yopiq D sohada bir vaqtning o'zida nolga aylanmaydi va ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki, agar B2 — A C < 0 bo'lsa, qaralayotgan (1) tenglama elliptik tip hisoblanadi. Agar B2 — A C = 0 bo'lsa tenglama parabolik, B 2 — A C > 0 bo'lsa giperbolik tipga tegishli bo'ladi.
Barcha koeffitsientlar o'zgarmas bo'lsa, tenglama tekislikning barcha nuqtalarida bir xil tipga ega bo'ladi. Agar koeffitsientlar x va y o'zgaruvchilarga bog'liq funsiyalar bo'lsa, u holda tenglama ma'lum bir sohada giperbolik (elliptik yoki parabolik) tipga tegishli bo'lishi mumkin.
Aralash tipdagi tenglamalar deb qaralayotgan sohaning bir qismida elliptik, ikkinchi qismida giperbolik tipga tegishli bo'lgan tenglamalarga aytiladi, ularni ajratib turuvchi chiziqda (buzilish chizig'ida) esa tenglama parabolik tipga tegishli yoki aniqlanmagan bo'lishi mumkin.
Buzilish chizig'iga ega tenglamalar nazariyasi yigirmanchi asrning boshlarida rivojlana boshlagan. Rus olimi S.A. Chapligin o'zining «Gaz oqimlari haqida» [1] ilmiy
asarida gazning tovushdan yuqori tezlikka o'tish sharoitidagi harakati
( ) ( ( ) ( ) )
aralash tipdagi tenglama bilan ifodalanishini ko'rsatgan. Ushbu tenglama S.A. Chapligin tenglamasi deb ataladi.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Umumiy nazariyani inobatga oladigan bo'lsak, y = 0 chizig'ida S.A. Chapligin tenglamasining tipi o'zgaradi. Bu mazkur yo'nalishda dastlabki o'rganilgan bitta buzilish chizig'iga ega aralash tipga tegishli tenglama hisoblanadi.
Chegaraviy masalalar aniq ifodalangan, yechimning mavjudligi va o'ziga xosligini isbotlovchi turli xil turdagi aralash tipdagi tenglamalar uchun tizimli nazariya ishlab chiqish yigirmanchi asrning yigirmanchi-o'ttizinchi yillarida boshlangan. Bu yillarda italiyalik olim F. Trikomi [2] va shvedtsiyalik olim S. Gellerstedtlar [3] fundamental natijalarga erishganlar.
Aralash tipdagi tenglamalar nazariyasining rivojlanishidagi yangi bosqichning boshlanishi F.I. Frankl [4] boshlagan, unda tekis devorli idish ichidan tovush tezligidan tez bo'lgan oqimning chiqishi muammosi (idish ichidagi oqimning tezligi tovush tezligidan past) S.A. Chapligin tenglamasi orqali ifodalanishini isbotlagan.
Rus olimlari M.A. Lavrentiev va A.B. Bitsadze
kabi oddiyroq shakldagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni o 'rganishning maqsadga muvofiqligi qayd etishgan [5], [6]. Ularni o'rganish ushbu tenglamalar yechimlarining asosiy xususiyatlarini ochishga imkon beradi. Hozirgi vaqtda bu tenglama Lavrentiev-Bitsadze tenglamasi deb ataladi.
Keyinchalik aralash tipdagi tenglamalar nazariyasini rivojlanishiga E.I. Moiseeva [7] va M.M. Smirnov [8] hamda ularning o'quvchilari katta hissa qo'shdilar.
Ikkita buzilish chizig'iga ega chiziqli elliptik, giperbolik, parabolik va aralash tipdagi tenglamalar nazariyasi K.B. Sabitov [9] va M.S. Saloxitdinov [10] va ularning o'quvchilari tomonidan keng ko'lamda rivojlantirilmoqda.
Ikkita buzilish chizig'iga ega tenglamalar uchun lokal va nolokal chegaraviy masalalarni o'rganish jarayonida ikki va undan ortiq kasr tartibli integro-differensial (Riman-Luivill ma'nosida) operatorlarning kompozitsiyasini o'rganishga to'g'ri keladi. Bu yo'nalishda bir qator ilmiy izlanishlar olib borilgan [10].
[10] da ikkita buzilish chizig'iga ega xususiy hosilali differensial tenglamalar yo'nalishida olib borilgan asosiy fundamental ishlar bayon qilingan. Xususan, ikkita buzilish chizig'iga ega ikkinchi tartibli chiziqli elliptik, giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar uchun lokal va nolokal chegaraviy masalalar qo'yilgan va ularning yagona yechimga ega bo'lishi isbotlangan. Ushbu monografiyada mazkur yo'nalishdagi ilmiy ishlar ro'yxati batafsil keltirilgan.
Aytish joizki, bitta buzilish chizig'iga ega aralash tipdagi tenglamalar sohasidagi ilmiy izlanishlarda taklif qilingan matematik usullar va tenglamalarning xususiyatlari ikkita buzilish chizig'iga ega aralash tipdagi tenglamalar sohasida olib borilgan ilmiy
Uxx + sgny -Uyy = 0
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
ishlardagi izlanishlarga o'xshash bo'lsada, ularning o'rtasida keskin farq qiladigan jihatlar mavjud.
Yuqorida keltirilganlardan kelib, chiqib bitta buzilish chizig'iga ega [2-8] va ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik va aralash tipdagi tenglamalar uchun qo'yilgan bir qator chegaraviy masalalarni yechish yo'llari [10] tahlil qilinganda ayrim o'xshashliklar va farqli jihatlar borligi namoyon bo'ladi.
Qayd qilingan ilmiy ishlarda asosan aralash tipdagi tenglamalar qaralgan bo 'lib, ikkala holda (bitta va ikkita buzilish chizig'iga ega aralash tipdagi tenglamalar) ham avval tenglamalar elliptik va giperbolik sohalarda alohida-alohida yechib olinib (tenglamalar tipi o'zgaradigan buzilish chizig'ida yechimlarning qiymatlari va birinchi tartibli hosilalari berilgan va o'zaro teng deb faraz qilinadi, masala shartiga asosan), buzilish chizig'ida yechimlarning qiymatlari tenglashtiriladi. Shunda yechimlarning birinchi tartibli hosilasiga nisbatan mos ravishda singulyar integral tenglama (bitta buzilish chizig'iga ega aralash tipdagi tenglamalar uchun) va singulyar integral tenglamalar sistemasi (ikkita buzilish chizig'iga ega aralash tipdagi tenglamalar uchun) hosil bo'ladi. Singulyar tenglama va singulyar tenglamalar sistemasi yechilib, berilgan asosiy chegaraviy masalaning yechimi topiladi.
Tenglama elliptik tipga tegishli bo'lgan sohada chegaraviy masala yechilganda (elliptik tenglama o'zgarmas yoki o'zgaruvchi koeffisientli yoki bitta va ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lishini ta'minlaydigan koeffisientlar bo'lgan holda ham) yechim Grin funksiyasi orqali ifodalanganligi ko'rinadi.
O'zgarmas koeffisientli hamda bitta va ikkita buzilish chizig'iga ega aralash tipdagi tenglamalar bo'yicha olib borilgan izlanishlarning farqli jihatlari tahlil qilinganda quyidagilar namoyon bo'ladi: o'zgaruvchi koeffitsientli tenglama uchun Grin funksiyasi tuzish juda murakkab bo'lib, tadqiqotchidan juda chuqur bilimga bo'lishni talab qiladi. Buning uchun tadqiqotchi quyidagi yo'nalishlar bo'yicha maxsus bilimga ega bo'lish talab qilinadi:
- qatorlar nazariyasi;
- limitlar nazariyasi;
- potentsiallar nazariyasi [8];
- oddiy differensial tenglamalar nazariyasi;
- matematik fizika tenglamalarining tasniflari;
- Grin funsiyasi va xossalari [2];
- Grin va Ostrogradskiy formulalari;
- birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar;
- xos va xosmas integrallar;
- Eylerning r( a) va a, b ) funksiyalari va ularning xossalari;
CENTRAL ASIAN ACADEMIC JOURNAL ISSN: 2181-2489
OF SCIENTIFIC RESEARCH VOLUME 2 I ISSUE 5 I 2022
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
- Gaussning bir o'zgaruvchili F( a,b;c ;z) va ikki o'zgaruvchili F(a, b; c; d; e ; zx, z2) gipergeometrik funksiyalari va xossalari [10];
- Gorn tenglamalar sistemasi va xossalari [10];
- ketma-ket yaqinlashish prinsipi;
- elliptik tenglamalar uchun ekstremum prinsipi [6];
- kompleks analiz fanidan boshlang'ich tushunchalar va ularni mustaqil o'rganish
[11];
- uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega funksiyalar sinfi;
- Gyolder shartlarini qanoatlantiruvchi funksiyalar to'g'risida chuqur bilimga ega bo'lishi zarur bo'ladi.
Quyidagi tenglamani qaraylik:
ym Uxx + xm Uyy = f(x,y , U, Ux, Uy), m>0. ( 1 )
H — chegaraviy masala qaralayotgan soha bo'lsin, x > 0 va y > 0 da A( 1,0 ) va B(0 , 1) nuqtalarni tutashtiruvchi normal egri chiziq: <r0: x2p + y2p = 1 , y = 0 o'qidagi 0A hamda x = 0 o'qidagi 0B kesma bilan chegaralangan. Qulaylik uchun ushbu belgilashlarni kiritib olamiz:
h = {(x,y)}: 0<x<1, y = 0J2 = {(x,y):x = 0, 0<y<1}, P = {(x,y) E (H) , — 00 < U , U x, U y < + 00 }, 2 p = m + 2, 2 ß = m/(m + 2).
Yuqorida qayd qilib o'tilganlardan foydalanib ayta olamizki, (1) tenglama H — sohaning ichida elliptik tipga, chegaralari y = 0 o'qidagi 0A va x = 0 o'qidagi 0B kesmalarda parabolik tipga tegishli bo'ladi. Shu sababli (1) tenglama ikkita buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli elliptik tenglama deb yuritiladi.
Shu o'rinda aytish joizki, [10] da olib borilgan ilmiy ishlarda ikkita buzilishi chizig'iga ega chiziqli tenglamalar qaralgan bo'lsada, unda buzilish tartibi turlicha bo'lgan
ym Uxx + xn Uyy = 0, (2)
tenglama o'rganilgan.
[10] da taklif qilingan nazariyada m va n larning musbat va o'zaro teng bo'lmagan holi qaralgan. Agar m = n bo'lsa, monografiyada qaralgan nazariya asosida (1) tenglama uchun chegaraviy masalalarni yechishning imkoniyati bo'lmay qoladi.
Ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik tipdagi kvazichiziqli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar [12-18] da o'rganilgan. Yechimning mavjudligi va yagonaligini isbotlashda ketma-ket yaqinlashish usuli, integro-differensial tenglamalar nazariyasi, elliptik tenglamalar uchun ekstremum printsipidan keng foydalanilgan. Maxsus funksiyalarning turli kompozisiyalari o'rganilgan hamda ularning xossalaridan
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=2223Q
qo'llanilgan. [19] ilmiy izlanishda maxsus funksiyalarning turli kompozisiyalarini o'rganishda zarur bo'ladigan funksiyalarni asimptotik yoyishlar to'g'risida ma'lumotlar keltirilgan va bir qator misollar yordamida tushuntirilgan.
[20-24] ilmiy ishlarda buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli giperbolik tenglama uchun Koshi, lokal va nolokal chegaraviy masalalar o'rganilgan. Masala ekvivalent integro-differensial (Vol'terra tipidagi) tenglama keltirilgan va yechimning mavjudligi va yagonaligi isbotlangan. Ushbu maqolalarda Gaussning bir va ikki o'zgaruvchili gipergeometrik funksiyalari va ularning turli kompozitsiyalari o'rganilgan va masalaning yagoni yechimga ega bo'lishini isbotlashda keng ravishda qo'llanilgan. [25] maqolada matematik analizning asosiy tushunchalridan biri va sohada qo'llanilish bo'yicha muhim o'rin tutadigan hamda mavzuni osonroq tushunishga yordam beradigan ma'lumotlar (matematik analizning taqqoslashlar bo'limida o'rganiladigan muhim simvollar) keltirilgan.
[26-30] maqolalarda aralash tipdagi tenglamalar uchun Trikomi masalasiga o'xshash chegaraviy va nolokal masalalar o'rganilgan. Yechimning mavjudligi isbotlash uchun mos ravishda ketma-ket yaqinlashish usuli, Shauder prinsipidan foydalanilgan. Yechimning yagonaligini isbotlashda energiya integrali nazariyasi qo'llanilgan. Ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanilganda funksiyaning o'ng tomonidagi funksiyaning o'zi va hosilalarining qiymatini yetarlicha kichik bo'lishi lozimligi to'g'risida shartlar qo'yilgan. Shauder prinsipi qo'llanilganda aynan funksiyaning o'zi va hosilalarining qiymatini yetarlicha kichik bo'lish sharti olib tashlangan.
[31-34] ilmiy izlanishlarda ikkita buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli aralash tenglama uchun chegaraviy masalalarning umumlashgan yechimi o'rganilgan. Bu masalada yuqorida keltirilgan masalalardan farqli o'laroq chegaraviy masalaning umumlashgan yechimi izlanganligi uchun uni to'liqroq keltiramiz [31].
tenglamani qaraymiz, bunda /i(y), VV(x), c(x,y) ,/(x,y, U) - berilgan funksiyalar va t g 0 da t) g 0 , V( t) g 0 .
H - (x,y) tekisligida chekli, bir bog'lamli hamda qavariq soha bo'lib, x > 0 , y > 0 da A(1,0) va B(0,1) nuqtalarni tutashtiruvchi a — silliq chiziq, x > 0 , y < 0 va x < 0, y > 0 - bo'lganda tenglamaning 0(0, 0 ), 1 ,0) va 0(0, 0 ), ß(0 , 1 ) nuqtalaridan chiquvchi 0 D , D^4 Ba 0 C, Cß xarakteristikalari bilan chegaralangan. T masalasi. H sohada (3) tenglamani
U(x,y)|DAu o" u b c = 0
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=2223Q
Eng avvalo tegishli funksiyalar fazosi kiritib olingan va ular to 'liqligini ta'minlash uchun vaznli norma kiritilgan. Shu vaznli S.L.Sobolev fazosida umumlashgan yechimning mavjudligi isbotlangan.
Yechimning mavjudligi haqidagi teoremani isbotlash uchun birinchi tartibli xususiy hosilali yordamchi differensial tenglama kiritilgan va uning yagona analitik yechimi topilib, so'ngra asosiy masalaning umumlashgan yechimining mavjudligi isbotlangan. Tenglama o'rganilgan sohaning chegarasi va berilgan funksiyalarga qo'yilgan shartlarni qanoatlantiruvchi soha va funksiyalarga misollar keltirilgan. Isbotlangan teorema shartlarida umumlashgan yechimning yagona bo'lmasligi haqida aniq misollar keltirilgan [31], [34].
Endi bevosita (1) tenglama uchun qo'yilgan asosiy NDx chegaraviy masalaning yagona yechimga bo'lishi haqidagi izlanishni bayon qilamiz.
O'rganilayotgan ushbu masalada kvazichiziqli tenglamaning buzilish tartibi (bu yerda ikkinchi tartibli hosilalar oldidagi koeffitsientlar - x va y ning darajasi tartibi nazarda tutilyapti) bir xil va m musbat bo'lgan hol qaraladi, ya'ni (1) tenglama uchun NDX chegaraviy masalasi o'rganiladi va o'ng tomondagi funksiyaga shartlar qo'yilgan holda masalaning yagona yechimga ega bo'lishi isbotlanadi.
ND! masalasi. Qaralayotgan H sohada (1) tenglamani quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:
bunda p(x,y), z(x), v(y) - berilgan uzluksiz funksiyalar, v(y) funksiya 0(0 , 0) va B(0 ,1 ) nuqtalarda mos ravishda birdan kichik va a tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, p( 1, 0 ) = t( 1 ).
Izoh 1. ND ! masalasini o'rganish murakkab bo'lib, olib borilgan izlanishning har bir qismini (masalan, masalaning qo'yilishi, chegaraviy masala uchun Grin funksiyalari va xossalari, Grin funksiyasi va uning x va y bo'yicha hosilalarining baholari, potentsiallar nazariyasining qo'llab bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi yozilishi, yechimning yagonaligi va mavjudligi va shu kabilar) o'rganish izlanuvchidan ko'p vaqt va maxsus yo'nalishdagi bilimlarni talab qiladi. Shuning uchun masalaning har bir qismi alohida-alohida maqola shaklida chop qilingan [16], [17], [24], [30], [35-39].Talabalarning bu yo'nalishni o'rganishlari va ma'lumotlarni osonroq tushunishlari uchun uslubiy ko'rsatmalar ham berilgan [37].
Izoh 2. Mazkur maqola shu yo'nalishda chop qilingan [16], [17], [24], [30], [35], [36-39] maqolalarni birlashtirilib, kengaytirilgan holi hisoblanadi. Maqolani o'qiganda
U(x, y) = p(x , y) , (x, y) E a,
UIoa = t(x) , (x,0)eT± , dU
1 im— = v(y), ( 0 ,y)ET2,
x^+o dx
CENTRAL ASIAN ACADEMIC JOURNAL ISSN: 2181-2489
OF SCIENTIFIC RESEARCH VOLUME 2 I ISSUE 5 I 2022|
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=2223Q
qilingan ilmiy yangilik bo'yicha tasavvur hosil bo'lishi uchun qayd qilingan izlanishlardan ayrim ma'lumotlar olingan. Shu bilan bir qatorda, ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lgan kvazichiziqli elliptik, giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar bo'yicha olib borilgan ilmiy maqolalarning tahlili bayon qilingan.
Maqolada olib borilayotgan izlanish [12] va [14] maqolalarni mantiqiy davomi hisoblanadi. Xususan, [12] da (2) tenglama uchun Dirixle masalasi ( D masalasi: a 0 va 0A 0B kesmalarda funksiyaning qiymati berilgan), [14] da /D masalasi ( a 0 da funksiyaning konormal hosilasi, 0 A 0 B kesmalarda funksiyaning qiymati berilgan) o'rganilgan.
Izoh 3. (1) tenglama kvazichiziqli bo'lganligi uchun bir jinsli emas. Ushbuni inobatga olib, umumiylikka zid keltirmagan holda chegaraviy masalani bir jinsli holini qarashimiz mumkin (ya'ni <p(x,y) = t(x) = v(y) = 0 ).
Ta'rif. H sohada (1) tenglamaning regulyar yechimi deb (1) tenglamani qanoatlantiruvchi i/(i,y) GC(n)nC2(H) hamda 0( 0 ,0 ) va A( 1 ,0 ), B( 0 ,1 ) nuqtalardan tashqari d H da birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega funksiyaga aytiladi, 0( 0 , 0 ) va A( 1 , 0 ), B( 0 , 1 ) nuqtalarda esa mos ravishda birdan kichik va a tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bu yerda a — yetarlicha kichik musbat son.
Faraz qilamiz, /(x, y, / , //x, //y) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: /(x, y, / , //x, /y) = (xy)2 p+1 A(x, y, / , //x, /y), bunda A(x,y, /,/x,/y) - funksiya P da uzluksiz va barcha argumentlari bo'yicha birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega hamda da tartibli nolga aylansin, yetarlicha kichik musbat son va
^iL l/it/l, |/i i/^l, |/i i/y|| ^ c 0 t■
[16-17] maqolalardagi lemmaga asosan (1) tenglama uchun ND x chegaraviy masalasi ekvivalent ravishda quyidagi integro-differensial tenglamaga keltiriladi:
/(x,y) = — U /(f^,/,/^,^)^^^^^)^, (4)
n
bunda G3( f, 7y;x,y)— (2) tenglama uchun N D x chegaraviy masalasining Grin funksiyasi [36].
(4) integro-differensial tenglamaning yechimi mavjudligi ketma-ket yaqinlashish usuli orqali isbotlangan [39].
Asosiy nazariyaga asosan nolinchi yaqinlashish uchun /0(x,y) = 0 deb qabul qilamiz.
max p
CENTRAL ASIAN ACADEMIC JOURNAL ISSN: 2181-2489
OF SCIENTIFIC RESEARCH VOLUME 2 I ISSUE 5 I 2022|
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Agar n — yaqinlashish topilgan bo'lsa, (n + 1 ) — yaqinlashishni quyidagi formuladan foydalanib topamiz:
dUn dUn\ G3(f, 77; x, y)/ ( f, 77 , i/n, —, —) df d77.
n
3<f ' dr]
Grin funksiyasini x va y bo'yicha hosilasini hisoblab quyidagilar topiladi: d i/n+-(x,y)
dx
d [/n+!(x,y)
dy
/ dUn dUn\
G 3 x ( f, 7; x, y)/ ( f, 77, i/n, , -q^) df d77 ,
n
dUn dUn\ G 3 y ( f, 7; x, y)/ ( f, 77 , //n, , -q^) d f d77 ,
bu yerda n = 0 , 1 ,... .
[35] da ushbu G 3(f, 7;x,y) — funksiyasi va uning x va y bo'yicha hosilalari uchun quyidagi baholar isbotlangan:
|G3(f,7;x,y)| ^ClZnsl/^r^),
^ 3 x(f,7;x,y)| < C/(r2 ^r4),
|G3 y( f,7;x,y)| < C/(^2 ^4), bunda C = c ons t va berilgan funksiya va tenglamaning parametrlariga bog'liq aniq son. C — aniq ko'rinishi maqolaning keying betlarida keltirilgan.
Quyidagi lemma o'rinli [39].
Lemma. /(x, y, //, //x, //y) — yuqorida berilgan shartlarni qanoatlantirsin. U holda ushbu baholar o'rinli:
Wn+1 — //nl <CXCM(C3JV C)n, ( 5)
Öi/n+l dUn
dx dx
dUn+1 dUn
dy dy
< C2CM( C3iV C)n,
< C2CM( C3JV C)n,
( ) ( )
bu yerda
71 = 0,1,..., =
C = max( 2 cl, M =
2 _ 16 _ p(l - 2e), C2 = p2", C3 = 3max( Ci, C2),
ß2—2ß
C1 , 8 5" 4 ^ C1), 0 < 5 < 1 / 4,
( )
max/i(x,y,0,0, 0)|, iV = max yl, |/i i/J, |/j
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
Lemmadan foydalanib, quyidagi teorema isbotlanadi [39]:
Teorema 1. Agar /(x,y, U, Ux, Uy) — funksiya yuqorida berilgan shartlarni qanoatlantirsa va iV < ( C3C)_ 1 bo'lsa, u holda (1) tenglama uchun ND x chegaraviy masalaning yechimi mavjud bo'ladi.
Endi (4) integro-differensial tenglamaning (5)-(7) baholarni qanoatlantiruvchi yechimini yagona ekanligini isbotlaymiz.
Izoh 4. Elliptik tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechimini yagonaligini isbotlashning turli yo'llari bor. Masalan, elliptik tenglamalar uchun ekstremum prinsipi, energiya integrallari, Zarembo-Jiro lemmasi va shu kabi boshqa usullarni qo'llab yechimning yagonaligini isbotlash mumkin.
(2) tenglama uchun ND masalasi ( a0 da funksiyaning qiymati, 0A 0B kesmalarda funksiyaning hosilasini qiymati berilgan) yechimining yagonaligini isbotlashda elliptik tenglamalar ekstremum printsipini qo'llab bo'lmaydi. Chunki, koordinata boshi 0( 0 , 0 ) nuqtada funksiyaning qiymati berilmaganligi uchun yechimning yagonaligini isbotlashda muammoga duch kelinadi. Bu masala yechimini yagonaligini isbotlashda Zarembo-Jiro lemmasini qo'llash mumkin.
Agar (2) tenglama uchun ÄD masalasi ( a 0 — normal egri chiziqda funksiyaning konormal hosilasi, OA 0 B kesmalarda funksiyaning qiymati berilgan) yechimining yagonaligini isbotlashda energiya integralini qo'llashda ayrim muammolarga duch kelinadi. Xususan, yechimning yagonaligini isbotlash uchun energiya integralini hisoblaganda normal egri chiziqda funksiyaning qiymati qatnashib, uni berilgan shartlar bilan ifodalab bo'lmaydi. Oqibatda hosil bo'ladigan ifodalami musbatligini isbotlashning imkoniyati bo'lmay qoladi.
Endi bevosita asosiy o'rganilayotgan chegaraviy masalani yechimining yagonaligini isbotlaymiz [38].
Teorema 2. Agar /(x,y, U Ux, Uy) — yuqorida berilgan shartlarni qanoatlantirsa va N < ( C3C)_ 1 bo'lsa, ND x chegaraviy masalasi bittadan ko'p yechimga ega bo'lmaydi.
Isbot. K(x,y) — funksiya (4) tenglamani (5)-(7) baholarni qanoatlantiruvchi birorta yechimi bo'lsin.
ayirmani qaraymiz, bu yerda
•^n(*y) = ^o(x' y) +
n
k=1
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
(5)-(7) baholardan foydalanib hamda matematik induksiya usulini qo'llab, K(x,y)| <C6Vl(CзCV)n, n = l, 2 ,. . .
bo'lishini topamiz.
Teorema shartidan n — oo da Vn(x,y) — О ni topamiz. Bundan Sn(x,y)— / (x, y) bo'lishi kelib chiqadi.
Demak , K(x,y) = /(x,y). Teorema isbotlandi.
Xulosa o'rnida shuni aytish mumkinki, ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik, giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar va ularga qo'yilgan chegaraviy asalalarni o'rganishda izlanuvchidan bakalavrda o'tilayotgan mavzularga qo'shimcha ravishda maxsus fanlar bo'yicha ham chuqurroq bilimga ega bo'lishni talab qiladi. Masalan, izlanuvchilar [8-10], [18] va [25] adabiyotlarda berilgan ma'lumotlarga ega bo'lishlari lozim.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Чaплыгин СА. О гaзовых струях. - Полное собрaние сочинений. Ленингрaд, Изд. AH. СССР, 1933 год, Т. 2, 290 с.
2. Трикоми Ф. О линейных yрaвнениях смешaнного тита. Москвa, Гостехиздaт, 1947 годa, 192 с.
3. Gellerstedt S. Quelques problems mixtes pour i'equation y mZ xx + Zyy = О // Arkiv f. Math. Astr.OchFysik, 1938.-26 A. -№.3.
4. Фрaнкль Ф.И. Избрaнные труды по гaзовой динaмике. Москвa, издaтельство Hayкa, 1973 годa, 712 с.
5. Лaврентьев M.A. К проблеме yрaвнений смешaнного типa / M.A. Лaврентьев,
A.B. Бицaдзе //ДAH СССР. 1950. Т. 70, №3. С. 373-376.
6. Бивддзе A.B. К проблеме yрaвнений смешaнного типa // Труды мaт. ин-тa им.
B.A. Стеклова 1953. Т. 61. С. 1-58.
7. Моисеев Е.И. Урaвнения смешaнного типa со спектрaльным пaрaметром. Москвa, МГУ, 1988 годa.
8. Смирнов М.М. Урaвнения смешaнного тита. Москвa, Hayкa. 1985 годa.
9. Сaбитов К.Б., Биккyловa Г.Г., Гимaлтдиновa A.A. К теории yрaвнений смешaнного типa с двумя линиями изменения тита. Уфa: Гилем, 2006. 150 с.
10. Сaлaхитдинов М.С., Исломов Б.И. Урaвнения смешaнного типa с двумя линиями вырождения. Тaшкент, «Мумтозсуз», 2009 годa.
11. Rasulov, H. (2021). «Kompleks analiz» fanida mustaqil ta'limni tashkil qilish. Центр таучных пyбликaций (buxdu.Uz), 5(5).
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
12. Rasulov X.R. (2020). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration // Uzbek Mathematical Journal, №3, pp.117-125.
13. Расулов Х.Р. (1996). Задача Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №12, с.12-16.
14. Rasulov H. Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration // Центр научных публикаций (buxdu. uz) 5:5 (2021).
15. Rasulov Kh.R. (2018). On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek Mathematical Journal, №4, pp.126-131.
16. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladigan chegaraviy masalalar haqida // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.46-54.
17. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik tenglama uchun chegaraviy masalaning yechimi haqida // Models and methods for increasing the efficiency of innovative research, Germany, 10 (2022), p. 184-186.
18. Rasulov, X. (2022). Об одном краевом задаче для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
19. Расулов Х.Р. О понятие асимптотического разложения и ее некоторые применения // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), pp.77-88.
20. Салохитдинов М.С., Расулов Х.Р. (1996). Задача Коши для одного квазилинейного вырождающегося уравнения гиперболического типа // ДАН Республики Узбекистан, №4, с.3-7.
21. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа // «Комплексный анализ, математическая Физика и нелинейные уравнения» Международная научная конференция Сборник тезисов Башкортостан РФ (оз. Банное, 18 - 22 марта 2019 г.), с.65-66.
22. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, c. 197-199.
23. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче со смещением для линейного уравнения гиперболического типа // Академик Тошмухаммад Ниёзович Кори-Ниёзийнинг хаёти ва ижоди, чет эл олимлари иштирокида илмий-амалий конференция тезислари туплами, Тошкент, 2017, 84-85 б.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22230
24. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi haqida // «Zamonaviy ta'lim tizimini rivojlantirish va unga qaratilgan kreativ g'oyalar, takliflar va yechimlar», 35-sonli Respublika ilmiy-amaliy on-line konferensiyasi, 2022, 192-195 b.
25. Расулов Х.Р. О некоторых символах математического анализа // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), p.66-77.
26. Rasulov, X. (2022). Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
27. Расулов Х.Р. Бузилиш чизигига эга булган квазичизикли аралаш типдаги тенглама учун Трикоми масаласига ухшаш чегаравий масала хакида // Аник фанларни касбга йуналтириб укитиш муаммолари ва ечимлари, Республика илмий-амалий конференция материаллари туплами, 2018, Навоий, 14-15 б.
28. Расулов Х.Р. Иккита бузилиш чизигига эга булган аралаш типдаги тенглама учун нолокал масала хдкида // Аник фанларни касбга йуналтириб укитиш муаммолари ва ечимлари, Республика илмий-амалий конференция материаллари туплами, 2018, Навоий, 17-18 б.
29. Rasulov, R. X. R. (2021). Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
30. Rasulov Kh.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Analysis of Some Boundary Value Problems for Mixed-Type Equations with Two Lines of Degeneracy // Irish Interdisciplinary Journal of Science & Research (IIJSR), 6:2 (2022), p. 8-14.
31. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1-11.
32. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020), С. 6-9.
33. Rasulov X.R. Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type // Modern problems of applied mathematics and information technologies Al-Khwarizmi 2021, Fergana, Uzbekistan, p. 149.
34. Исломов Б., Расулов Х.Р. (1997). Существование обобщенных решений краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №7, с.5-9.
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=4.63) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=2223Q
35. Sayfullayeva Sh.Sh. Elliptik tenglama uchun WD ± masalasi Grin funksiyasining bahosi haqida // Journal of new century innovations, 3:3 (2022),
36. Sayfullayeva Sh.Sh. Elliptik tenglamalar uchun chegaraviy masalalarning Grin funksiyalari haqida // Journal of new century innovations, 3:3 (2022), 7-18 b.
37. Sayfullayeva Sh.Sh. Elliptik tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning interfaol usuli haqida // Scientific progress 3:4 (2022), 348-355 b.
38. Sayfullayeva Sh.Sh. (2022). Elliptik tenglama uchun Dirixle-Neyman chegaraviy masalasi yechimining yagonaligi haqida // Yosh Tadqiqotchi Jurnali, 1(4), 145-155 b. (https://doi.org/10.5281/zenodo.6560146).
39. Sayfullayeva Sh. (2022). Buzilish chizig'iga ega elliptik tenglama uchun Dirixle-Neyman chegaraviy masalasini yechimining mavjudligi haqida // Yosh Tadqiqotchi Jurnali, 1(4), 161-173 b. (https://doi.org/10.5281/zenodo.6523124).
19-29 b.
