CHORAK DOIRA TASHQARISIDA BIGARMONIK TENGLAMA UCHUN NOKORREKT QO‘YILGAN MASALA Текст научной статьи по специальности «Естественные и точные науки»

CHORAK DOIRA TASHQARISIDA BIGARMONIK TENGLAMA UCHUN

NOKORREKT QO'YILGAN MASALA

Tolipov Nodirjon Isaqovich

TATU Farg'ona filiali "Tabiiy fanlar" kafedrasi assistant o'qituvchisi [email protected] https://doi.org/10.5281/zenodo.7622383

Annotatsiya. Outside of this quarter circle, the problem for the biharmonic equation incorrectly set is checked for conditional correctness and an approximate solution is constructed.

Key words: Laplace operator, incorrectness, uniqueness of solution, approximate solution.

Annotatsiya. Ushbu chorak doira tashqarisida bigarmonik tenglama uchun nokorrekt qo'yilgan masala shartli korrektlikka tekshirilgan va taqribiy yechimi qurilgan.

Kalit so'zlar: Laplas operatori, nokorrektlik, yechim yagonaligi, taqribiy yechim.

Ushbu maqolada chorak doira tashqarisida bigarmonik tenglama uchun nokorrekt qo'yilgan masala shartli korrektlikka tekshirilgan va taqribiy yechimi qurilgan.

Masala. D = <j (p, ç) : a <p< +œ, 0 <ç<ft\ sohada quyidagi shartlarni

qanoatlantiruvchi u(p,ç) funksiya topilsin:

A 2u(p,ç) = 0,

d ft

u(P,0) = — up~) = 0, dç 2

d ft Au (p,0) = —Au (p,-) = 0, dç 2

u (b,ç) = 0, du (b,ç)

(p,ç) e D,

a < p < +œ,

a < p < +œ,

ft

0<ç<-, 2

(1) (2)

(3)

dp

= f (ç),

A ft

0<ç< —, 2'

d

lim u (p,ç) = lim — u (p,ç) = 0,

- ■ ■ - p^+œ dp

p^+œ

0 <ç<

ft ~2

(4)

(5)

(6)

bu yerda a < b, f (ç) - berilgan funksiya, A-Laplas operatori.

Avval (1)-(6) masala nokorrekt qo'yilganligini ko'rsatamiz [l]. Haqiqatdan ham

f (ç) = s ■ sin(2m + 1)ç

73

nu / O /V»

bo'lganda

u

(p() =

p2 - b2

s ч(2 m+1)

2b

lPy

sin(2m +1)p

funksiya (1)-(6) masalaning yagona yechimi bo'lishini bevosita tekshirib ko'rib ishonch hosil qilish mumkin.

Ixtiyoriy s> О son uchun shunday N > О, C > О sonlar topiladiki, m > N,

a<p<b bo'lganda

dUm (b,P)

dp

<S l|Um (P,Ç)||L (0f) > C > О

bo'ladi. Bundan masalaning yechimi turg'un emasligi, ya'ni masala nokorrekt qo'yilganligi kelib chiqadi.

(1)-(6) masala yechimining turg'unligini xarakterlovchi quyidagi teorema o'rinli bo'ladi.

Teorema. Agar u (р,ф) funksiya Ilu (a,p)||. ,.f <M,

du ( b,p)

¿¡(of)

(V)

dp

<s.

2

J f (p) sin pdp = 0

О

shartlarni bajarsa, u holda |p2 - b

f <

l2(°I) b2 - a2

M

s \2Л(Е)+1

a

iPy

tengsizlik o'rinli bo'ladi. Bu yerda À(s) son

M

s

b - a f b x

2b l a у tenglama ildizi.

Ushbu teoremadan (7) korrektlik to'plamida (1)-(6) masala yechimining yagonaligi kelib chiqadi.

Faraz qilaylik, f (p) funksiya S aniqlikda berilgan bo'lsin, ya'ni bu funksiyaning o'rniga uning taqribiy qiymati fs (p) funksiya berilgan bo'lib,

||f (P) - fs(p)||

L¡(0,-)

<s

tengsizlik o'rinli bo'lsin.

(1)-(6) masalaning taqribiy yechimi sifatida quyidagi funksiyani olamiz [2] :

p2 - b2 n -

unS (p,Ç) = -, £ am

2b m=l

/ \2 m+1 b

\pj

sin(2m + l)ç,

bu yerda am sonlar f (ç) funksiyaning Fure koeffitsientlari. (1)-(6) masalaning aniq va taqribiy yechimlari orasidagi farqni baholovchi quyidagi tengsizlikka ega bo'lamiz:

||u(p,ç) - unS(p,ç)||L(О|) Ap2 - b

f -1

2b

+

f \ a

2bM b2 - a2

Masalaning nokorrektligi.

Bevosita tekshirib ishonch hosil qilish mumkinki,

u

(p,ç)

(p2 - Rl2)f R^m

2R

\p y

cosmç (m > 3),

(8)

funksiya (1) - (6) masalaning f (ç) = scos mç bo'lgandagi yechimi bo'ladi. (8) formuladan ko'rinadiki, ixtiyoriy o'zgarmas О KSK 1, С > О sonlar uchun ç e (0,2я ), pe( R, Ri ) shunday N topiladiki, m > N bo'lganda [3]

dum (Rl,ç)

dp

As:

u

Xp,ç)\

L2 (О,2;

> c > О

L2 ( О,2*) tengsizliklar bajariladi:

Bundan ko'rinadiki, masala yechimi turg'un emas. Demak, qo'yilgan masala nokorrekt masala.

Turg'unlik bahosi. Korrektlik to'plami sifatida

l|u(¿»IILj(О,2.) A M'

tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar to'plamini olamiz. Faraz qilaylik (1)-(6) masala yechimi mavjud va korrektlik to'plamiga tegishli bo'lsin

u

(p,ç) bigarmonik funksiyani ikkita щ (p,ç) va щ (p,ç) garmonik funksiyalar

yig'indisi

u(p, ç) = (p2 - R2 ) u2 (p, ç) + u (p, ç) (9)

ko'rinishda yozish mumkinligidan foydalanib, (1) - (6) masalani quyidagi ikkita masalaga keltiramiz:

1) D = { (p,ç): R <p< О <ç< 2n } sohada

Л^^) = О, (p, ç) e D, (10)

75

r^j / Г nu

Щ (R ,p) = 0, 0 <p< 2л.

(11)

u

1(p,p + 2л) = ux(p,p), \imu\(P,V) = 0(1), R <p<+œ.

(12)

p^œ

shartlarni qanoatlantiruvchi u1 (p,p) funksiya topilsin. 2) D = { (p,p) : R <p< +œ, 0 < p< 2л } sohada Au^pp) = 0, (p,p) e D, (13)

du2(Ri,p) _ 1

■f (p), 0 <p< 2л

(14)

dp 2R

U2(p,p + 2 л) = U2 (p,p), limu (p,p) = 0(1), R <p<+œ (15)

p^œ

shartlarni qanoatlantiruvchi u2 (p,p) funksiya topilsin.

Birinchi masala garmonik davom ettirish masalasi bo'lib [1], ushbu masala echimining yagonaligidan щ(p,p) = 0 yechimga ega bo'ladi. Ikkinchi masalani hal

etishda o'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanamiz. (13) - (15) masala yechimini

^(pp) = F(p)0(p) (16)

ko'rinishda qidiramiz. (16) dan ikkinchi tartibli hosilalar olib, (13) ga qo'yamiz. Natijada

1 d

p

dF (p)'

p dp l dp

Ф (p) + ~2 F (P) Фп() = 0,

1 d ( dF (p)']

--p-—

p dp

dp

Ф (p)=y F (p) Ф'(р) •

Oxirgi ifodani

1

d

dp

p

dF (p) dp

'p f(p)

y F (P)Ô (P)

= Л Ф (P)

ga ko'paytirib, Л ga tenglab,

tenglikni hosil qilamiz. Bundan esa quyidagi Ф ' (p) + ЛФ(р) = 0 (17)

(18)

p dp^-F (P) = »

oddiy differensial tenglamalarga ega bo'lamiz. Bunda

u2(p,p + 2л) = u2(p,p), R <p<+œ

shartlarga ko'ra Ф (p + 2л) = Ф (p)

76

~ ! CL ~

bo'lgani uchun у[яП = m, m - butun son ekanligi kelib chiqadi.

U holda (17) tenglamaning umumiy yechimi

Ôn (ç) = am cos mç + ßm sin mç, (m = 0,1,2,3,...) (19)

ko'rinishda ekanligini topamiz.

(m = 0,1,2,3,...) bo'lganda (18) tenglamaning umumiy yechimi ushbu Fo = A + Bolnp , Fm(p) = AmPm + BmP~m (m = 1,2,3,...) (20)

ko'rinishga ega bo'ladi.

Bu qo'yilgan masala yechimi uchun F (+œ) chegaralangan bo'lishi kerak.

Shuning uchun (1,19) dan

Fo(p) = Ao, Fm(p) = BmP~m, (m = 0,1,2,3,...)

bo'ladi.

Shunday qilib, qaralayotgan tenglama yechimi

u,

œ

. (p, ç) = Ao + X P~m [ Am cos mç + Bm sin mç]

(21)

m=1

(22)

ko'rinishga ega bo'ladi. Bu erda Am, Bm ixtiyoriy o'zgarmas sonlar. Endi chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini tekshiramiz.

u2(R1,ç) ^ttV f ç)

2R '

1 œ

f (ç) =1 ao + X ( am cos mç + bm sin mç).

2 m=1

bu yerda,

j 2 ж

(23)

2 ж

a„

= — J f (ç)cos mçdç, bm = — J f (ç)sin mçdç

ж о ж о

aM, Ьш - f (ç) funksiyaning Fur'e koeffitsientlari.

(22) ning o'ng tomonidagi f (ç) o'rniga (23) ni qo'yib, mos koeffitsientlarini

1 a Rm-1 b

ao, Am = a*—, Bm = b^Rm1 ni topamiz.

tenglaymiz va A

Topilganlarni o'rniga qo'ysak, chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechim

U2(p,Ç) =

1

2 R

/ „ \m

œ ( rA

1

-ao + X

2 m=1^ p y

(am cos mç + bm sin mç)

(24) ko'rinishga ega

bo'ladi. Bu erda aw, bm - f (ç) funksiyaning Fur'e koeffitsienti.

Shunday qilib, (1) - (6) masalaning yechimi (9) formulaga ko'ra

u(p,ç) =

(p2 - R12)

2 R

1 ^

~ao + X

2 m=1

œ f R

vp;

(am cos mç + bm sin mç)

(25)

77

/ / fV»

ko'rinishda yoziladi. Bu yerda

1 2 k 1 2 k

am = - í f (p)cos mpdp, bm = - { f (p)sin mpdp, k o k O

am, - f (p) funksiyaning Fur'e koeffitsientlari. (25) yechim (6) shartni bajarishi uchun

1 2k 1 2k

= — jf(p)cos^^^ 0, (m = 0,1,2...), bm= - jf (p)sin^^^ 0, (m = 1,2...) k 0 k 0

shartlar bajarilishi kerak. Shuning uchun (1)- (6) masala yechimi

u(p,p) =

(p2 - R2)

2R

R

XI ~ I (am C0S mP + bm Sin mp)

=3

(26)

ko'rinishda bo'ladi.

(1)- (6) masala yechimining turg'unligini xarakterlovchi quyidagi teorema o'rinli bo'ladi.

Teorema. Agar u(p,p) funksiya < M,

L (0,2k)

(27)

l?du (R ,p)

j—^-¿cosmpdp = 0, m = 0,1,2,

0

2k

dp

j du (R1,p) sin mpdp = 0, m = 1,2,

0 dP du (R1,p)

dp

<s

(28)

L (0,2k)

munosabatlarni qanoatlantirsa, u holda

R

<

p2 - R12

HU(P'P)IL(0,2k) r2 - R

tengsizlik o'rinli bo'ladi. Bu yerda X (s) son

• Mí r>\Á(s)

\pj

(29)

R2 - R2 ( R^X v R j

2 R

M

s

(30)

trantsendent tenglama ildizi.

Isbot. (1) - (6) masalaning yechimini (27) korrektlik to'plamida

u p,P):

p2 - R12

vpj

(am cos mp + bm sin mp),

2 R m=3 ko'rinishda yozish mumkin. (26) tenglikdan normaning ta'rifiga ko'ra

(26)

m

u

(p,ç)

L 2ж (p2 - R ) œ A2m

= -{ u (p,ç) dç = ±-^2 X Cm

L (0,2ж) Ж - 4r2 m=3

Rl

\P y

tenglik kelib chiqadi. Bu yerda c 2 = a2m + b 2n (27) va (28) shartlardan esa

u

( R.ç)||

2

L (0,2ж)

_( R2 - R2 )~ » f R л2т

4R

X

m=3

=3 v r

c2 < M2

m

v r y

(31)

(32)

du (R ,ç)

dp

= x cm <s2

(33)

L (0,2ж)

m=3

tengsizliklarga ega bo'lamiz.

(31) funksionalni (32) va (33) shartlar ostida shartli maksimumga tekshiramiz. Buning uchun Lagranj funksiyasini tuzamiz:

(p2 - r2 )

L (cm Л M) 4r X с

/■ „ \2m œ . ( R >

m=3

+

vp;

+A

( R2 - R2 )2

4 R

yf R^

X V R

2m

m=3

c2 - M2

m

V r y

+ U

x c2

m=3

Bu funksiyaning cw, A, ц argumentlar bo'yicha olingan xususiy hosilalarni nolga tenglaymiz.

iL = 2c

dem

(p2 - Ri2 )2 f r Y* ( Ri2 - R2 )2 f V2m

4 R{

p

4 R V R

+ ц

= 0,

dL

( R2 - R2 )2

2m

œ f R л

x

dA 4Rl2 2=3 V R

cm - m2=o,

^ =X cm-*2=o.

djU m=3

Oxirgi uchta munosabatdan (31) ning o'ng tomonidagi yig'indi maksimumga erishishi uchun cm koeffitsientlar quyidagi 3 ta shartdan birini qanoatlantirishi kelib

chiqadi:

1. c* = 0, m Ф p, q, p < q,

79

~ /Cl ~

2

2

2. cp * 0, < = 0.

3. cP = 0, c2 *0.

Aytaylik, birinchi shart bajarilsin. U holda

2 2 2 c 2+c2=s2

ArA ^ p

v r у

c2 +

У D Л

Rl

V R у

2q

c2 =

4R2

(Rl2 - R2 j

-Mг

sistemaga ega bo'lamiz. Bu sistemani yechib, c2p va c2 noma'lum koeffitsientlarni topamiz:

s

cp =

Гц \pq v rl у

4R p M 2

(Rp - R2 )p

у D л2q \2p

> 0

Rl

R

V R У

R

V R У

4R} M 2 2 1 -s

c2 =

(R - R2 j

^ 2p V R У

у D л2q y^> л2р

> 0

Rl

R

R

V R У V R У

p < q bo'lgani uchun har doim yuqoridagi tengsizlik o'rinli bo'ladi. c2 > 0 va c2 > 0 ekanligidan

s

V ~R У

4R2 M 2

(R2 - R2 )2

> 0,

4R2 M 2

R

<2p

s \ R J >0

(R,2 - R2 J

tengsizliklar kelib chiqadi.

Natijada quyidagi tengsizlikka ega bo'lamiz:

S

s

fR TP

v R,

f D

4 R\M2

(R\ - R2 )2

Ri

V R j

2 A ^2

4 R(M

(R2 - R2 )2

R2 - R2 f R

2R

R

M r2 -R2 f R^q <— - 1

V R J

2R

R

V R J

Topilgan c2 va c2 larning ifodalarini (26) ga qo'yib, p, q ^A(s) da limitga

o'tamiz:

II" M f *

x2 p

< lim

p^X(s) q^A(s)

4 R2

(p2-R\ ) fR^p

2

4R

_1

vPj

Pj

f R12p

l R J

cl +

(p2 - r2 )2 f r 1q 4Ri U J

4 R2 M 2

(R2 - R2 )2

c2 <

1

2q 2p

Rl

R

V R J

R

V R J

4 r2 M 2 2 1 -s

(p2 - R-2) f r 12q (R-2 - R2)

4 R2

II" p)\ \l

vPj

2p

V R J

r u \2q iß \2P

R-

R

V R J

R

<

P2 - R-2

-M

V R J

rR\Ä(s)

(p2 - R- )2 (R - R2 )2

M2

✓ X2(s)

vPj

'M0'2^ R2 - R2 p

Bu yerda ^(s) - (30) trantsendent tenglamaning ildizi. Aytaylik, ikkinchi shart bajarilsin:

c2 - 0, c2 * 0 bo'lsin. U holda

q p

2 2 cp -S

f R12P

a R j

bo'ladi.

(31) tenglikka ko'ra

cp = M2 n2

4 R2

(R2 - R2)2

<

u

L ( 0,2k)

<

(p2 - r )2 ( R2 - r2 )2

hosil bo'ladi. Bundan esa

(p^)II

M2

( ^ kP;

2à(S

U

<

P - R

M0,2*) R2 - R2

■M

r R\X(e) kP;

kelib chiqadi. Bu yerda à(s) - (30) trantsendent tenglamaning ildizi. Aytaylik, uchinchi shart bajarilsin:

c2 * 0, c* = 0 bo'lsin. U holda

r r yq

, ~R ;

cq=m 2

4R2

(R2 - R2)2 bo'ladi. (31) ga ko'ra

u

(Ml

l ( 0,2k)

<

(p2 - r!2 )2

( R2 - R2 )

m 2

( ^ kP;

2à(S

bo'ladi. Bundan esa

u

<

P2 - R!2

M0,2*) R - R2

-M

Í R\À(s) kP ;

kelib chiqadi. Bu yerda à(s) - (30) trantsendent tenglamaning ildizi. Shu bilan teorema isbot bo'ldi.

Ushbu teoremadan korrektlik to'plamida qo'yilgan masala yechimining yagonaligi kelib chiqadi.

Taqribiy yechimni qurish.

Matematik fizikaning qandaydir masalasini Tixonov ma'nosida korrektligi ko'rsatilgandan keyin bu masalaning taqribiy yechimini qurish muammosi vujudga keladi.

Nokorrekt qo'yilgan masalalarning taqribiy yechimlarini qurish usullari ishlab chiqilganiga ancha bo'ldi. Tixonov 1963 yili nokorrekt qo'yilgan masalalarni taq ribiy yechishga yangicha yondashishni ishlab chiqdi. Bu usulning nazariyasi regulyarlashtiruvchi oilalar tushunchasi bilan chambarchas bog'liq. Aytaylik klassik ma'noda nokorrekt qo'yilgan matematik fizika masalasi berilgan bo'lsin.

a parametrga bog'liq bo'lgan masalalar oilasi qaralayotgan nokorrekt masalaga nisbatan regulyarlashtiruvchi oila deyiladi, agar quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1) Va > 0 son uchun masalalar oilasiga qarashli bo'lgan masala klassik korrekt qo'yilgan.

c

q

s

2

2) agar berilgan funksiyalar shunday bo'lsaki, bunda qaralayotgan nokorrekt masala yechimi mavjud bo'lsa, u holda a ^ 0 da masalalar oilasidagi xuddi shunday berilgan funksiyalarga bog'liq masala yechimlari ketma - ketligi nokorrekt masala yechimiga intiladi.

a ni regulyarlashtirish parametri deyiladi. Ba'zida n butun sonli parametrga bog'liq regulyarlashtiruvchi oilalar qaraladi va bunda ikkinchi shartda oilaga qarashli bo'lgan masala yechimini n ^да da qaralayotgan nokorrekt masala yechimiga intilishi talab etiladi.

a yoki n parametrga bog'liq operatorlar oilasi berilgan nokorrekt masalaga nisbatan regulyarlashtiruvchi operatorlar oilasi deyiladi, agar quyidagi ikki shart bajarilsa:

1) Va > 0 (n > 0) uchun oiladagi har bir operatorlar uzluksiz bo'lsa;

2) a ^ 0 (n ^ да) bo'lgan holda Ba fs ^ Bf bo'lsa, bu yerda Ba fs - taqribiy yechim, Bf - aniq yechim.

n butun sonli parametrga bog'liq holda quyidagicha aniqlangan B„ chiziqli operatorlar oilasini qaraymiz:

p2 - - 2 n ( - \m

Bnf (Ф)= 1 Ё — (am C0S тФ+ bm sin тФ)

'\P J

2— m=3 \

2ж 1 2ж

Y 2ж Y 2Ж

bu yerda, aOT = — J f (ф)cosт(рйф, bm = — J f (ф)sinтфёф , f (ф) funksiya-ж 0 Ж 0

ning Fur'e koeffitsienti.

Agar f (ф) va u(р,ф) yechim L2(0,2ж) Gilgbert fazosining elementlari deb qaralsa, u holda B„ operatorlar oilasi regulyarlashtiruvchi bo'ladi [3].

Adabiyotlar:

1. Лаврентьев М.М Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: НГУ, 1981. - 75 с.

2. Атаходжаев М.А. Ахмедов З.А. Об одной условно-корректной задаче для бигармонического уравнения // Изв. АН РУз Серия физ-мат. наук, 1980. 1-с. 3-9.c

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.М. Наука. 1974.